Acta Universitaria ISSN: Universidad de Guanajuato México

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1 Acta Unverstara ISSN: Unversdad de Guanajuato Méxco Ureña-López, Lus Arturo Sstemas Dnámcos Cosmológcos: Puntos y Líneas para la Evolucón del Unverso Acta Unverstara, vol. 19, núm. 2, septembre, 2009, pp Unversdad de Guanajuato Guanajuato, Méxco Dsponble en: Cómo ctar el artículo Número completo Más nformacón del artículo Págna de la revsta en redalyc.org Sstema de Informacón Centífca Red de Revstas Centífcas de Amérca Latna, el Carbe, España y Portugal Proyecto académco sn fnes de lucro, desarrollado bajo la ncatva de acceso aberto

2 Unversdad de Guanajuato DIRECCIÓN DE APOYO A LA INVESTIGACIÓN Y AL POSGRADO Sstemas Dnámcos Cosmológcos: Puntos y Líneas para la Evolucón del Unverso Lus Arturo Ureña-López* RESUMEN Después de una breve descrpcón del Modelo Estándar de la Cosmología, se presentan las ecuacones cosmológcas y la manera de resolverlas utlzando las herramentas matemátcas de los sstemas dnámcos. Se muestra que las propedades prncpales de la evolucón del Unverso pueden ser descrtas en térmnos de puntos crítcos y líneas heteroclíneas sobre el espaco fase de varables cosmológcas elegdas apropadamente. ABSTRACT Recbdo:15 de Juno de 2009 Aceptado: 25 de Julo de 2009 After a bref descrpton of the Standard Model of Cosmology, we present the cosmologcal equatons and how they can be solved usng the mathematcal tools of dynamcal systems. It s then shown that the man propertes of the evoluton of the Unverse can be gven n terms of crtcal ponts and heteroclnc lnes on the phase space of approprate cosmologcal varables. INTRODUCCIÓN Es ya tradcón en la lteratura especalzada el tomar el año de 1998 como un parteaguas en la Cosmología moderna. Fue en este año que se deron a conocer los resultados de las observacones de un consderable número de supernovas tpo Ia, por dos colaboracones centífcas dstntas (SCP, 2009; Hgh-z, 2009), que sorpresvamente ndcaron que el Unverso se expande aceleradamente. Las observacones sobre supernovas tpo Ia cerraron un prmer capítulo mportante de la Cosmología en el que la pregunta central es: De qué está hecho el Unverso? Podemos decr que los esfuerzos de la humandad para contestar esta nterrogante han estado presentes a lo largo de toda su hstora. Sn embargo, una sorpresa fue develándose poco a poco a lo largo del sglo XX y para 1998 se había convertdo en una certeza: la mayor parte del contendo materal de nuestro Unverso observable (96% del total) está hecho de matera aún desconocda para la cenca. Este es el acertjo central de lo que se venía llamando de manera genérca como el problema de la Matera Oscura (Dark Matter, según su denomnacón en nglés), ver la fgura 1 y 2. Palabras clave: Cosmología; Matera Oscura; Energía Oscura; Sstemas dnámcos. Keywords: Cosmology; Dark matter; Dark energy; Dynamcs systems. Fgura 1. El llamado Pay Cósmco, que representa de manera gráf ca las porcones materales atrbudas a nuestro Unverso por la Cosmología moderna. Según estmacones, el 96% está formado por la Matera Oscura Fría y la Energía Oscura, materas de naturaleza desconocda. * Departamento de Físca, Dvsón de Cencas e Ingenerías del Campus León, Unversdad de Guanajuato, CP 37150, León, Gto., Méxco. Tel./Fax: , ext. 8436/477, , ext Correo electrónco: lurena@f sca.ugto.mx. Vol. 19 Número especal 2, Septembre

3 DIRECCIÓN DE APOYO A LA INVESTIGACIÓN Y AL POSGRADO Unversdad de Guanajuato Fgura 2. Al mrar las mágenes tan mpresonantes (Cúmulo de Abell, zquerda) obtendas por el Telescopo Espacal Hubble (derecha), no se puede evtar que venga a nuestra mente de nuevo la pregunta mlenara: de qué está hecho el Unverso? Fotos tomadas del HubbleSte (HubbleSte, 2009). A partr del descubrmento de la expansón acelerada del Unverso, se cayó en la cuenta de que la Matera Oscura debía estar compuesta de al menos dos tpos generales de nueva matera: la Matera Oscura Fría (Cold Dark Matter, CDM, por su nombre en nglés), que formaría las galaxas y en general la estructura cosmológca que hoy observamos, y la Energía Oscura (Dark Energy, DE, por su nombre en nglés) que sería la responsable drecta de la expansón acelerada del Unverso (Peebles, 1993; Padmanabhan, 1994; SCP, 2009; Perlmutter, 2003; LAMBDA, 2009). Para entender cómo es que se ha llegado hasta tales conclusones en la Cosmología moderna, tenemos que recordar que toda observacón necesta de un modelo teórco que le dé sustento (Ruz & Ayala, 1999). En nuestro caso, debemos recurrr al llamado Modelo Estándar Cosmológco, el cual parte de certos prncpos y premsas para explcar las observacones cosmológcas (Peebles, 1993; Padmanabhan, 1994; Lddle A. R., 2000). Lo prmero que debemos consderar es que la fuerza domnante en el Unverso es la gravtatora; segundo, que la gravedad es descrta por la Teoría de la Relatvdad General enuncada por Albert Ensten en 1915 (Msner, Thorne, & Wheeler, 1973; Wenberg, 1972). En tercer lugar, la matera es representada por un fludo perfecto, cuyas propedades físcas quedan enteramente representadas por su densdad de energía y su presón; tambén debemos especfcar la ecuacón de estado, que no es otra cosa más que la relacón funconal entre la presón y la densdad de energía. El sguente paso consste en establecer una hpótess de trabajo acerca de las propedades del espacotempo. Una hpótess muy senclla es enuncar, como lo hzo el msmo Ensten en su prmer modelo cosmológco, que el espacotempo que descrbe la dnámca del Unverso debe aparecer homogéneo (hecho de lo msmo en todas partes) e sotrópco (el msmo en todas dreccones) a todo observador del msmo. Este enuncado es conocdo en la lteratura especalzada como el Prncpo Cosmológco (PC), tambén a veces llamado de Ensten, por ser el prmero que lo propuso (Peebles, 1993). El PC puede ser expresado matemátcamente al escrbr el elemento de línea del espacotempo del Unverso en la forma Ecuacón 1 ds 2 = -dt 2 + a 2 (t)[dx 2 + dy 2 + dz 2 ]. Puede notarse que los últmos térmnos de la ecuacón de arrba nos recuerdan al elemento de línea de la geometría Eucldeana; de manera general, la ecuacón tambén nos recuerda al elemento de línea del espacotempo de Mnkowsk excepto por la presenca del factor de escala a(t), el cual depende sólo del tempo (tal y como debe ser para cualquer funcón cosmológca de acuerdo al PC). Debdo a las smltudes descrtas arrba, es que se conoce a la ecuacón Ecuacón 1 como el elemento de línea de un unverso plano. La ecuacón Ecuacón 1 no es la forma más general compatble con el PC, ya que exsten otras dos varantes conocdas como el unverso cerrado y el unverso 16 Vol. 19 Número especal 2, Septembre 2009

4 Unversdad de Guanajuato DIRECCIÓN DE APOYO A LA INVESTIGACIÓN Y AL POSGRADO aberto. Sn embargo, las observacones cosmológcas ndcan que nuestro unverso es plano en muy buena aproxmacón (LAMBDA, 2009), por lo que lo consderaremos así por el resto de este artículo. La evolucón dnámca del espacotempo está determnada por las ecuacones de Ensten de la Teoría de la Relatvdad General, las cuales para nuestro caso partcular son la ecuacón (de constrccón) de Fredmann: 2 ȧ a = Ecuacón πg ρ, donde el punto en las varables denota dervada con respecto del tempo; y la ecuacón de aceleracón: Ecuacón 3 a G p a = 8π ( ρ ). Las cantdades ρ son las densdades de energía ( no confundr con densdades de masa!) de cada fludo materal presente en el Unverso, mentras que p representan las presones de esos msmos fludos. Las ecuacones de la Cosmología parecen sencllas, pero sus solucones no son trvales y pueden dar lugar a comportamentos muy dversos para la expansón del Unverso dependendo de su contendo materal. Por otro lado, se requeren ecuacones extras para determnar el comportamento de las densdades de energía y las presones de cada uno de los fludos perfectos. Debemos entonces agregar para cada fludo la conservacón de su tensor de energía-momento que en nuestro caso resulta en la ecuacón Ecuacón 4 ρ = 3 a ( ρ +p). a Además, agregaremos la suposcón de que la ecuacón de estado es de la forma llamada barotrópca, y entonces p = w ρ donde w es una constante determnada a través de la nformacón físca que tengamos a la mano del fludo en cuestón. Los casos más socorrdos en la Cosmología son el de matera relatvsta (w = 1/3), matera no-relatvsta (w = 0), y la constante cosmológca (w = -1). Una vez determnados los valores de la ecuacón de estado para cada fludo, las ecuacones forman un conjunto completo que nos permte encontrar las solucones de las dstntas varables y su evolucón en el tempo. En la Tabla 1 presentamos un resumen de las dstntas etapas del Unverso, según se desprende de las ecuacones y observacones cosmológcas, ponendo en cada una de ellas las escalas de tempo, temperatura y energía que les corresponden. Tabla 1. Dstntas etapas en la evolucón del Unverso, de acuerdo al Modelo Estándar de la Cosmología (datos tomados de (Lddle & Lyth, 2000)). Tempo Escala de energía Evento s GeV Comenzo de nflacón 10-32±6 s 10-13±3 GeV Fnal de Inflacón 10-18±6 s 10-6±3 GeV Comenzo del Bg Bang 10-2 s 10 MeV Barones y fotones en equlbro (domnacón de matera relatvsta) 1 s 1 MeV Desacople de los neutrnos 100 s 0,1 MeV Nucleosíntess 10 4 años 1 ev Igualdad de matera-radacón (domnacón de matera no-relatvsta) 10 5 años 0,1 ev Formacón de los prmeros átomos Formacón de galaxas (domnacón de la 10 9 años 10-3 ev energía oscura) 13.7 x 10 9 años 10-4 ev Tempo presente Independentemente de los valores numércos del tempo y la energía del Unverso, báscamente podemos decr que hay tres etapas prncpales. La prmera es la etapa de la domnacón de la matera relatvsta, ya que la temperatura del Unverso es tan alta que sus componentes materales se mueven a velocdades relatvstas. Esto va a cambar eventualmente ya que el Unverso se enfría al expandrse, hasta que comenza la segunda etapa que corresponde a la domnacón de la matera no-relatvsta, cuya componente prncpal es lo que conocemos como Matera Oscura Fría. Esta etapa es mportante ya que en ella se dan los procesos que dan lugar a la formacón (prncpalmente) de galaxas, lo cual sucede hasta que el Unverso tene una edad de unos cuantos mles de mllones de años. Por últmo, comenza la domnacón de la energía oscura con lo cual práctcamente termna la formacón de nuevas estructuras cosmológcas y comenza la etapa de expansón acelerada, la cual contnúa en la época presente. Lo arrba descrto sobre la evolucón del Unverso es resultado del análss mnucoso que dversos nvestgadores han realzado en los úl- Vol. 19 Número especal 2, Septembre

5 DIRECCIÓN DE APOYO A LA INVESTIGACIÓN Y AL POSGRADO Unversdad de Guanajuato tmos 90 años, y se tene la convccón (basada en la confrontacón de la teoría con las observacones cosmológcas) de que el Unverso debó pasar por esas etapas. Es por eso que a este cuadro general se le conoce como el Modelo Estándar Cosmológco. En la seccón sguente hablaremos de cómo se pueden escrbr las ecuacones cosmológcas en la forma de un sstema dnámco y la nformacón general que podemos obtener sobre las etapas de evolucón del Unverso. SISTEMAS DINÁMICOS COSMOLÓGICOS Lo que vene a contnuacón no pretende ser una presentacón exhaustva de la teoría formal detrás de los sstemas dnámcos y su aplcacón en Cosmología (ver por ejemplo la referenca (Coley, 1999; Copeland, Sam, & Tsujkawa, 2006)), sno una ntroduccón breve de sus prncpales característcas formales y su nterpretacón físca. En prmer lugar, debemos escrbr las ecuacones cosmológcas en la forma de un sstema de ecuacones dferencales ordnaras de prmer orden. Aún cuando exsten en prncpo muchas formas de hacer eso, nos lmtaremos al procedmento más socorrdo en la lteratura especalzada el cual es como sgue: Realzamos un cambo en la varable temporal y reemplazamos el tempo cósmco por la varable N(t):= log[a(t)]. Sempre y cuando el factor de escala sea una funcón monótona del tempo es que podemos hacer este reemplazo de manera segura y pensar efectvamente en la varable N como nuestro nuevo parámetro temporal. En segundo lugar, elegmos nuevas varables físcas que tambén smplfquen la escrtura del sstema dnámco. Una eleccón afortunada lo son los llamados parámetros de densdad: Ecuacón 5 G x := 8 π ρ, 3H 2 los cuales son cantdades admensonales y su nterpretacón físca es que representan la proporcón con respecto del total con la que contrbuye cada componente materal del Unverso. De hecho, la ecuacón de Fredmann luce de manera explícta como una constrccón algebraca cuando la escrbmos en térmnos de los parámetros de densdad Ecuacón 6 1 = x. Que la suma de los parámetros de densdad sea exactamente gual a la undad no es más que reflejo de la suposcón en este artículo de que la curvatura del espacotempo del Unverso es nula. Tomando los parámetros de densdad como las varables dnámcas, las ecuacones cosmológcas pueden entonces escrbrse como un sstema dnámco. A contnuacón, escrbré el sstema dnámco correspondente a un Unverso con matera relatvsta ( x 3 ), matera no-relatvsta ( x 1 ) y una constante cosmológca ( x 2 ): Ecuacón 7 x 1 = x 1 (1 - x 1-4x 2 ), Ecuacón 8 x 2 = x 2 (4 - x 1-4x 2 ), donde las prmas ahora sgnfcan dervada respecto de la varable N defnda anterormente. La ecuacón de la tercera componente no aparece debdo a que utlcé la constrccón de Fredmann para sustturla en las ecuacones anterores; es decr, la matera relatvsta puede determnarse a partr de la ecuacón: x 3 = 1 - x 1 - x 2. El sstema dnámco resultante tene dos característcas que facltan el estudo de las solucones cosmológcas. La prmera es que el sstema dnámco es autónomo y entonces los lados derechos de las ecuacones no contenen la presenca explícta de la varable temporal. La segunda es que es un sstema dnámco bdmensonal, lo cual faclta su vsualzacón en gráfcas como la mostrada en la fgura 3. La gráfca se conoce como espaco fase y los vectores (normalzados) en ella representan el campo de velocdades del sstema dnámco. Cada vector en un punto ndca la dreccón de la velocdad de la trayectora que pasa por ese msmo punto; además, cada trayectora en el espaco fase es únca (no hay trayectoras que se crucen en punto alguno del espaco fase) y representa la ntegracón completa del sstema dnámco y su evolucón en el tempo. Más aún, en la gráfca tambén puede aprecarse la exstenca de los llamados puntos crítcos y las trayectoras heteroclíneas. Los puntos crítcos son aquellos puntos en donde el campo de velocdades es nulo y representan las solucones de las ecuacones algebracas obtendas al hacer x 1 = 0 = x 2. Para nuestro sstema dnámco, los puntos crítcos son: (x 1,0, x 2,0 ) = {(0,0),(1,0),(0,1)}. 18 Vol. 19 Número especal 2, Septembre 2009

6 Unversdad de Guanajuato DIRECCIÓN DE APOYO A LA INVESTIGACIÓN Y AL POSGRADO La solucón de este sstema lneal de ecuacones puede escrbrse de manera general como Ecuacón 10 u N N C e C e v = λ + 1 λ2 1η1 2η2, donde las λ s y las η s son los valores propos (egenvalores) y sus correspondentes vectores propos (egenvectores) de la matrz de perturbacones al ser evaluada en cada uno de los puntos crítcos; las C s representan constantes arbtraras. Fgura 3. Vsón gráf ca del espaco fase del modelo cosmológco dscutdo en el texto. Las líneas en negro ndcan las solucones numércas del sstema dnámco, los círculos rojos ndcan los puntos crítcos y las líneas en verde, que forman el perímetro de un trángulo rectángulo, representan las heteroclíneas que unen entre sí a los puntos crítcos. La línea correspondente a nuestro Unverso sería smlar a la línea en negro que aparece en el extremo derecho de la gráf ca. Fgura obtenda con el programa matemátco Maple (MapleSoft). Cada uno de estos puntos tene un sgnfcado. El orgen (0,0) representa la etapa de domnacón de matera relatvsta; el punto (1,0) a su vez representa la etapa de domnacón de matera no relatvsta; y fnalmente, el punto (0,1) es la domnacón de la constante cosmológca. Por su propa defncón, los puntos crítcos son tambén solucones del sstema dnámco y representan en prncpo solucones estaconaras (por lo que tambén son a veces llamados puntos fjos) en las que el sstema debe permanecer s ncalmente fue puesto allí. No obstante, no es sufcentemente nteresante sólo saber que el campo de velocdades se anula en los puntos crítcos, sno que debemos tambén conocer el comportamento del sstema en sus proxmdades. Esto se logra realzando un análss lneal de perturbacones alrededor de los puntos crítcos. Suponemos prmero que x 1 = x 1,0 + u y x 2 = x 2,0 + v, donde u y v son cantdades pequeñas que representarán al sstema en la vecndad de los puntos crítcos. Entonces, una expansón a prmer orden del sstema dnámco nos arroja un nuevo sstema de ecuacones dferencales lneales que puede escrbrse de manera matrcal como; Ecuacón 9 u = 1 2x 1 4x2 4x1 v x 4 8x x x0 u v. De manera general, llamamos estable al punto crítco cuyos valores propos son todos negatvos (las perturbacones decaen exponencalmente); punto slla al punto crítco para el cual los valores propos son de sgno contraro (la solucón presenta un modo decrecente y otro decrecente, ambos de manera exponencal); e nestable al punto crítco con ambos valores propos postvos (las perturbacones crecen exponencalmente). En la Tabla 2 se presenta un resumen de los puntos crítcos del sstema dnámco cosmológco. Incalmente, el Unverso se encontró en una etapa de domnacón de matera relatvsta. Este estadío es nestable, por lo que nevtablemente el Unverso debe alejarse de él y drgrse haca un estado donde domne la matera no-relatvsta. Por ser éste últmo un punto slla, el Unverso no puede más que acercarse a ese punto pero no estaconarse en él. Al transcurrr el tempo deberá alejarse y drgrse al punto de domna- Tabla 2. Puntos crítcos del sstema dnámco cosmológco para un Unverso plano que contene Matera Relatvsta, Matera no-relatvsta y una Constante Cosmológca. Valores x 1 x 2 Establdad Sgnfcado propos 0 0 1;4 Inestable 1 0-1;3 Slla 0 1-3;-4 Estable Domnacón de Radacón Domnacón de Matera Domnacón de Constante Cosmológca Como podemos ver, el punto crítco correspondente a la domnacón de matera relatvsta es nestable, mentras que el correspondente a la domnacón de matera no-relatvsta es un punto slla. Por últmo, el punto crítco de la domnacón de constante cosmológca es estable. Este análss tan sencllo nos permte recuperar la descrpcón más detallada de la evolucón del Unverso tratada en la seccón anteror. Vol. 19 Número especal 2, Septembre

7 DIRECCIÓN DE APOYO A LA INVESTIGACIÓN Y AL POSGRADO Unversdad de Guanajuato cón de la constante cosmológca. Éste es el únco punto estable del espaco fase, y el Unverso se acercará asntótcamente haca él sn que haya manera de que pueda retornar a alguno de los otros puntos crítcos. Para termnar esta seccón, menconaré a las trayectoras heteroclíneas que unen a los puntos crítcos del espaco fase. Las heteroclíneas son solucones del sstema dnámco que parten de un punto crítco slla o nestable y termnan en otro punto crítco que puede ser tambén slla o estable. Debdo a la uncdad de las solucones en el espaco fase, es claro que las heteroclíneas tambén son úncas y deben ser encontradas bajo condcones muy partculares. En la fgura 3 vemos las tres heteroclíneas característcas de nuestro sstema dnámco cosmológco; son muy sencllas, ya que forman el perímetro del trángulo rectángulo que tene como vértces a los puntos crítcos de nterés. Las condcones especales para encontrar a cada una de las heteroclíneas son: a) x 2 = 0 (Unverso con sólo matera relatvsta y no-relatvsta), correspondente a la heteroclínea vertcal que parte del orgen de coordenadas; b) x 1 = 0 (Unverso con sólo matera relatvsta y una constante cosmológca), correspondente a la heteroclínea horzontal que parte del orgen de coordenadas; c) x 1 + x 2 = 1 (Unverso con sólo matera no-relatvsta y una constante cosmológca), correspondente a la heteroclínea que forma la hpotenusa del trángulo rectángulo. Las líneas heteroclíneas juegan tambén el papel de separatrces del espaco fase, y en nuestro ejemplo partcular las 3 heteroclíneas delmtan la regón del espaco fase que tene un sgnfcado físco váldo. Las trayectoras al nteror del trángulo rectángulo satsfacen la constrccón de Fredmann para un Unverso plano; las regones externas a aquel corresponderían a las otras dos posbles geometrías que menconamos anterormente. De aquí podemos deducr que el Unverso, una vez ncando con una curvatura defnda, no puede por smple evolucón cambarla a alguna otra. CONCLUSIONES Como menconamos anterormente, es de gran mportanca conocer las solucones de las ecuacones cosmológcas para poder nterpretar las dferentes etapas por las que transta el Unverso durante su evolucón. En este respecto, los métodos y herramentas de los sstemas dnámcos han sdo amplamente usados en la lteratura especalzada para una gran varedad de modelos (como ejemplo se lustran los trabajos en (Urena-Lopez, 2005; Ureña-López & Reyes- Ibarra, On the dynamcs of a quadratc scalar feld potental, 2009; Caldera-Cabral, Maartens, & Ureña- López, 2009; Copeland, Sam, & Tsujkawa, 2006)). El ejemplo presentado aquí es de los más sencllos (tan sencllo que ncluso tene solucón analítca completa (Ureña-López, Unvelng the dynamcs of the Unverse, 2006)), pero el procedmento es el msmo ncluso para modelos con propuestas más complcadas de Matera Oscura Fría y Energía Oscura. Al fnal del día, hay una sencllez muy atractva en el hecho de poder vsualzar las propedades generales de la evolucón de nuestro Unverso a través de puntos y curvas dbujados sobre un dagrama cartesano. Tanto así que contnuamente aparecen más y más trabajos especalzados cuyas herramentas matemátcas prncpales son las de sstemas dnámcos. Es de esperarse que esta rama de las Matemátcas contnúe aportando solucones novedosas con las cuales podamos entender mejor a nuestro Unverso. AGRADECIMIENTOS El presente trabajo fue realzado con los patrocnos del CONACYT (56946) y de PROMEP-UGTO-CA-3. El autor es tambén parte de la colaboracón auspcada por el Insttuto Avanzado de Cosmología A.C. REFERENCIAS Caldera-Cabral, G., Maartens, R., & Ureña-López, L. A. (2009). Dynamcs of nteractng dark energy. Physcal Revew D, 79, Coley, A. (1999). arxv.org. Obtendo de Cornell Unversty Lbrary: org/abs/gr-qc/ Copeland, E., Sam, M., & Tsujkawa, S. (2006). Dynamcs of dark energy. Internatonal Journal of Modern Physcs D, 15, Hgh-z. (2009). Hgh-z SN Search. Obtendo de HubbleSte. (2009). HubbleSte. Obtendo de LAMBDA. (2009). Legacy Archve for Mcrowave Background Data Analyss. Obtendo de LAMBDA: Lddle, A. R. (2000). An Introducton to Modern Cosmology. Wley. Lddle, A., & Lyth, D. (2000). Cosmologcal Infl aton and Large-Scale Structure. Cambrdge: Cambrdge Unversty Press. MapleSoft. (s.f.). MapleSoft. Obtendo de Msner, C. W., Thorne, K. S., & Wheeler, J. A. (1973). Gravtaton. Freeman. 20 Vol. 19 Número especal 2, Septembre 2009

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