Aproximación por rectángulos del área de f(x) = x 3 en [0, 2]

Transcripción

1 Cpítulo 5 Integrión 5.. Introduión Hst hor hemos borddo tems reliondos básimente on el Análisis y el Cálulo iferenil (espeilmente en espios de Bnh), y que en prinipio relionábmos on el so prtiulr en que el espio fuer R, o lgún subonjunto de él, tnto pr el álulo de límites, omo derivds, óptimos de funiones, noiones de ontinuidd, etéter. Lo que introduiremos en este pítulo orresponde un extensión de lo que onoemos hst hor por Integrión, y que fue borddo en el urso previo. Pr dr un orret noión de ómo se integr en e.v.n. ms generles, uyo estudio se insert en un teorí generl de ls Mtemátis denomind Teorí de l Medid, debemos omenzr por trtr el so de R n, reordndo lguns noiones vists pr el so pr n y generlizndo n 2 y n 3 en funión de ls pliiones físis y geométris de l ingenierí, y sí definir inequívomente el onepto de integrl múltiple. Volveremos revisr oneptos omo Prtiiones, Sums de Riemnn, ondiiones de Riemnn-integrbilidd y Prmetrizión on tl de mplir nuestro estudio relizdo pr Cálulo de un Vrible. A ontinuión, dremos un onjunto de ejemplos y rgumentos que permitn no sólo lulr integrles sino que demás entregr ls herrmients pr juzgr l pertineni del onepto Conepto de Áre d un funión positiv f, un pregunt muy nturl es si existe un expresión pr el áre bjo su grfo. Pr responder est interrognte, podemos intentr proximr un vlor rel que represente dih áre, y un de ls forms de herlo es onsiderr dos proximiones: un inferior, que sume áres de retángulos insritos en l urv de f; l segund, un superior, que sume áres de retángulos irunsritos en l urv de f, omo indi l figur. Aproximión por retángulos del áre de f(x) x 3 en [, 2] Pr lulr ests ntiddes de form onsistente, debemos estbleer regls que se pliquen onjuntos generles. Luego, el álulo de áres será un pliión prtiulr de est teorí. 2

2 5.2. CONCEPTO E ÁREA CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN Se prte por sumir tres hipótesis (que hrán l suerte de xioms). enotremos por R un región del plno, y será A(R) un número rel que determin el áre que enierr dih región. iho esto, ( R R 2 ) A(R) R R 2 A(R R 2 ) A(R ) + A(R 2 ) Si R es un retángulo, es deir, R [, b] [, d], entones A(R) (b ) (d ) Proposiión R R 2 A(R ) A(R 2 ) em.: Podemos esribir R 2 omo R 2 R (R 2 \ R ) que result ser un unión disjunt. Luego, por el segundo postuldo, A(R 2 ) A(R (R 2 \ R )) A(R ) + A(R 2 \ R ), donde A(R 2 \ R ) A(R ) Si onsidermos el onjunto { (x, y) R 2 x [, b], y f(x) }, ls hipótesis nteriores pueden plirse en él. Pr esto, un ondiión que impondremos en f es que esté bien definid en [, b], es deir, que no se hg infinit. Si esto se umple, diremos que f es otd. Notemos demás que no pediremos que f se ontinu en [, b]. Finlmente, dd un funión f, lo que lulremos será extmente el áre bjo su urv si demás f. Cómo podemos relizr, formlmente, un proedimiento omo el desrito en l imgen nterior? Es deir, pree orreto tomr retángulos que hgn lo que menionmos, pero es perentorio sber ómo se definen mtemátimente y si so es posible que umpln su misión. Neesitmos dos oss pr definir d retángulo: un bse y un ltur. remos definiiones de ésts en funión de [, b] y f. efiniión : Se define un prtiión de un intervlo I [, b] omo P (I) {x i I x < x <... < x n < x n b} Notemos que, omo resultdo de l prtiión, neesrimente se tiene que el intervlo originl se divide en subintervlos I i [x i, x i ] uy unión es el mismo intervlo, esto es I n [x i, x i ] i n i I i enotmos por P I l onjunto de tods ls prtiiones sobre el intervlo I. Ejemplo: Si tenemos el intervlo I [, ], podemos definir en él ls siguientes prtiiones:. P {, } (prtiión trivil) 2. P 2 {, 2, } 3. P 3 {, 7, 3, π 4, } 4. P 4 { i n} n i efiniión 2: Se define l norm de un prtiión P (I) omo l myor distni entre puntos veinos ontenidos en ell, esto es: P (I) máx i n {x i x i }

3 5.2. CONCEPTO E ÁREA CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN Ejemplo: Considerndo nuevmente I [, ]:. P 2. P P 3 π P 4 n Observión: Si l prtiión es uniforme (todos los puntos están equiespidos), se tiene que P (I) (x i x i ) i,...,n b n Otrs epiones equivlentes son prtiión regulr, equidistnte o equiprtiión. En el ejemplo nterior, P, P 2 y P 4 son uniformes. Normlmente usremos este último tipo de prtiiones, pr lulr de form simple los primeros resultdos. Finlmente, notemos que, dd un prtiión finit ulquier, podemos onstruir otr prtiión que inluy los puntos de l primer más (resp. menos) lgunos otros. Esto define l noión de prtiión más fin (resp. menos fin). efiniión 3 iremos que un prtiión Q es más fin que P si P Q. Tmbién diremos que Q es un refinmiento de P, o que P Q. Observión: es un relión de orden pril pr P I. Es fáil drse uent de que, en [, b], P {, +b 2, b} y Q {, +b 3, b} no son omprbles. L form más intuitiv de proximr el áre enerrd entre un intervlo y su imgen, es trvés de ls llmds Sums de Riemnn, en que se tom el intervlo de interés, se prtiion (idelmente en prtes igules), y l longitud de d subintervlo definido por l prtiión se interpret omo l bse de un retángulo; por último, ls Sums de Riemnn proximn inferior y superiormente el áre busd tomndo omo lturs el ínfimo y el supremo de l funión en d subintervlo, respetivmente, y lulndo l sum del áre de todos los retángulos sí definidos. Formlmente: efiniión 4: Sen f : R R un funión, I [, b] un intervlo tl que I dom(f), y P un prtiión de diho intervlo. efinimos ls ntiddes: x i x i x i m i (f) M i (f) ínf f(x) x [x i,x i] sup f(x) x [x i,x i] Entones, se definen l sum inferior y l sum superior de f on respeto l prtiión P omo s(f, P ) S(f, P ) n m i (f) x i i n M i (f) x i Ls sums inferior y superior suelen onoerse tmbién omo proximión por defeto y proximión por exeso, respetivmente. Es lro que x i P, por lo que l ide de tomr un prtiión equittiv (que podemos llmr, simplemente, equiprtiión) es que ( i {,..., n}) x i P b n i y que, demás, ( i {,..., n}) x i + i b n.

4 5.2. CONCEPTO E ÁREA CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN Ejemplo: Sen I [, ] y su prtiión P P 4 dd en el ejemplo nterior, y f(x) e x. Tenemos: x i i n i n m i (f) M i (f) n ínf x [x ex e xi e i n i,x i] sup e x e xi e i n x [x i,x i] Luego, s(f, P 4 ) S(f, P 4 ) n i n i e i n e i n n e n(e n ) n e n (e ) n(e n ) Un propiedd muy nturl es que, independientemente de l prtiión esogid, se tiene donde m ínf f(x) y M sup f(x). x [,b] x [,b] m(b ) s(f, P ) S(f, P ) M(b ) Otr propiedd importnte es que, pr ulquier prtiión P, si P Q, entones s(f, P ) s(f, Q) S(f, P ) S(f, Q) ) b) Refinmiento de un sum inferior () y superior (b) Lo nterior puede demostrrse sin myor difiultd, por lo que qued omo ejeriio. Sin embrgo, es más interesnte lo siguiente: Proposiión 2: Se f : I R R un funión, on I [, b]. Se tiene que ( P, Q P I ) s(f, P ) S(f, Q) em.: No import ómo sen P y Q, sbemos que P Q debe ser más fin que mbs. Por ls propieddes menionds nteriormente, se tiene s(f, P ) s(f, P Q) S(f, P Q) S(f, Q)

5 5.2. CONCEPTO E ÁREA CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN Es nturl preguntrse de qué sirve est proposiión, y en qué medid es más importnte que ls dos propieddes nteriores. L verdd es que este resultdo es vitl, y que nos die que si tommos ulquier suesión de prtiiones (P n ) n N tl que P n P n+ (d prtiión en l suesión es estritmente más fin que su predeesor), entones tod suesión de sums inferiores s(f, P n ) es reiente y otd superiormente, y tod suesión de sums superiores S(f, P n ) es dereiente y otd inferiormente, luego ests dos ntiddes deben onverger un número rel (no neesrimente onvergen l mismo). L úni sutilez que hy que uidr insistentemente, es que f se otd en [, b]. iho esto, sbemos que existen el supremo de ls sums inferiores y el ínfimo de ls sums superiores, que podemos denotr b b f sup s(f, P ) P P I f ínf S(f, P ) P P I Observión: Siempre se umple que b f b efiniión 5: iremos que f, otd en el intervlo I [, b], es Riemnn-integrble en I si f. A prtir de esto, si f es Riemnn-integrble en I, podemos definir unívomente l integrl definid omo I f b b f b f sup P P I s(f, P ) ínf P P I S(f, P ) Est últim expresión es onoid omo notión de Leibnitz. f b f(x)dx Observión: Por l observión nterior, pr que f se Riemnn-integrble bst que se umpl Además, si f es Riemnn-integrble, f es el únio número que stisfe I ( P P I ) s(f, P ) f S(f, P ) Finlmente, si l prtiión es equittiv, es equivlente onsiderr el supremo y el ínfimo de un sum omo el límite undo n (el tmño de l prtiión) tiende infinito. Es deir, si sólo onsidermos PI R P I el onjunto de prtiiones equidistntes, tenemos que sup s(f, P ) lím s(f, P ) P PI R n ínf P P R I S(f, P ) lím n S(f, P ) I b f b f. Ejemplo: Notemos que en el ejemplo nterior, sup P P R I ínf P P R I s(f, P ) lím s(f, P e 4) lím n n n(e n ) e S(f, P ) lím S(f, P e n (e ) 4) lím n n n(e n ) e

6 5.3. GENERALIZACIÓN E INTEGRAL: VOLUMEN E HIPERVOLUMEN CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN Ambos resultdos oiniden, por lo tnto f(x) e x es integrble en [, ], y podemos deir sin equivornos que e x dx e. Pr onluir est seión, dremos el resultdo lve pr segurr que el áre bjo un urv existe y tiene un vlor determindo (sin neesidd de proximrl itertivmente). Proposiión 3 (Condiión de Riemnn): Un funión f otd sobre un intervlo I [, b] es Riemnn-integrble en I si, y sólo si, ( ε > ) ( P P I ) S(f, P ) s(f, P ) < ε em.: ) Como f es integrble, existe f, y podemos esoger dos prtiiones, P y Q, tles que I f s(f, P ) ε S(f, Q) f ε 2 2 I Tomndo K P Q, que es más fin que mbs prtiiones originles, lo nterior qued f s(f, K) ε S(f, K) f ε 2 2 y sumndo mbos resultdos, ) Sbemos que pr ulquier prtiión P I S(f, K) s(f, K) ε s(f, P ) I f I I f S(f, P ) I Neesitmos que I f f, es deir, I I f f ε. Pr ver que esto es ierto, bst usr l desiguldd I nterior; omo f stisfe l ondiión de Riemnn, Luego tenemos que ( P ε P I ) S(f, P ε ) s(f, P ε ) ε f f S(f, P ε ) s(f, P ε ) ε I I Ejemplo: Se define l funión de irihlet omo si x Q (x) si x / Q Es lro que (x) no es Riemnn-integrble en ningún intervlo [, b], y l prueb está en que l sum inferior siempre es, mientrs que l superior es b, pr ulquier prtiión Generlizión de integrl: volumen e hipervolumen Trbjremos dos situiones en prieni distints: el so en que tengmos un mpo eslr f uyo dominio esté en R 2, y el so en que el mpo eslr teng dominio en R n. Como veremos, el segundo so generlizrá l primero y ulquier otro. Además, lo visto previmente servirá pr onstruir ls misms ides, hiendo del problem de dimensionlidd un mer sutilez.

7 5.3. GENERALIZACIÓN E INTEGRAL: VOLUMEN E HIPERVOLUMEN CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN f : R 2 R Ls funiones que responden est estrutur tomn omo rgumento puntos en el plno rel, que luego trnsformn en otro número rel. En onreto, ls funiones de este tipo pueden visulizrse omo mntos en el espio tridimensionl, por lo que uno podrí estr summente interesdo en lulr el áre de dihos mntos, o bien el volumen ontenido entre un región del plno y l imgen de dih región ví l funión. Clulremos primero el volumen bjo un mnto (nos referiremos mnto omo el símil bidimensionl de urv), puesto que se dpt l mism noión que usmos l definir ls sums de Riemnn. En est osión, reemplzremos el onepto de intervlo por el de retángulo. efiniión 6: Se define un retángulo en el plno omo el onjunto [, b] [, d] { (x, y) R 2 x b, y d } Observión: Si los intervlos fuern biertos por izquierd y dereh, hblrímos de un retángulo bierto. Estmos interesdos en funiones que estén bien definids en un determindo retángulo, es deir, que sen otds. Nuevmente, neesitmos nuestr list de xioms pr poder onstruir un teorí onsistente on lo que hremos, lgo similr lo que hiimos en l primer prte de este pítulo. enotemos por R un región en el espio, y digmos que V (R) es un número rel que represent el volumen que ontiene. ( R R 3 ) V (R) R R 2 V (R R 2 ) V (R ) + V (R 2 ) Si R es un prism, es deir, R [, b] [, d] [e, f], entones V (R) (b ) (d ) (f e) Proposiión 4: R R 2 V (R ) V (R 2 ) em.: Qued omo ejeriio. efiniión 7: Se define un prtiión del retángulo R [, b] [, d] omo P (R) {(x i, y j ) R x < x <... < x n < x n b, y < y <... < y m < y m d} Posible prtiión de un retángulo [, b] [, d] Notemos que, omo resultdo de l prtiión, neesrimente se tiene que el retángulo originl se divide en subretángulos uy unión es el mismo retángulo, esto es ( n ) m R [x i, x i ] [y j, y j ] i j

8 5.3. GENERALIZACIÓN E INTEGRAL: VOLUMEN E HIPERVOLUMEN CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN Además, d subretángulo puede notrse omo R ij [x i, x i ] [y j, y j ], de form que R i,j R ij. enotmos por P R l onjunto de tods ls prtiiones sobre el retángulo R. efiniión 8: d un prtiión P, deimos que un prtiión Q es más fin que P si P Q. efiniión 9: Se f : R R 2 R, R [, b] [, d], P un prtiión sobre diho retángulo y R ij d subretángulo resultnte de est prtiión. Siguiendo el mismo proedimiento de l seión nterior, es onveniente definir ls ntiddes A(R ij ) (x i x i ) (y j y j ) m ij (f) M ij (f) ínf f(x, y) (x,y) R ij sup f(x, y) (x,y) R ij e est form, definimos ls sums inferior y superior de f on respeto P omo s(f, P ) S(f, P ) n i j n i j m m ij (f) A(R ij ) m M ij (f) A(R ij ) Elementos de l sum superior de un funión eslr de dos vribles Podemos menionr vris propieddes, bsds en los mismos rgumentos expuestos nteriormente. Así, es lro que, pr ulquier prtiión, en un retángulo R [, b] [, d] donde m ínf f(x, y) y M sup f(x, y). (x,y) R (x,y) R Además, si tenemos dos prtiiones P y Q tles que P Q m(b )(d ) s(f, P ) S(f, P ) M(b )(d ) s(f, P ) s(f, Q) e esto se desprende l importnte propiedd S(f, P ) S(f, Q) ( P, Q P R ) s(f, P ) S(f, Q)

9 5.3. GENERALIZACIÓN E INTEGRAL: VOLUMEN E HIPERVOLUMEN CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN Luego, se definen ls ntiddes (ls ules existen por el rgumento esgrimido on nterioridd) R f f R b d b d f sup P P R s(f, P ) f ínf P P R S(f, P ) efiniión : iremos que f, definid en el retángulo R [, b] [, d], es Riemnn-integrble en R si R f f R L proposiión 3, llmd Condiión de Riemnn, sigue siendo válid. Si f es Riemnn-integrble, definimos sin mbigüedd l integrl sobre el retángulo R omo ulquier de ls ntiddes nteriores (omo oiniden, d igul uál se esrib), y se denot de mner equivlente b d f da R f da donde da es llmdo diferenil de áre, que represent ls vribles on respeto ls que integrmos. En el so usul, da dxdy o bien da dydx (prenderemos qué importni tiene el orden), pero tmbién veremos que, dependiendo de l funión, podrí ser más onveniente representrl on oordends polres, en uyo so hbrá que onsiderr otro diferenil de áre que se deúe tl modelo. Tmbién es importnte destr que el nombre se relion on áre en el sentido de que l región sobre l que se integr es pln, por lo que evo l ide de superfiie. Similrmente, si integrármos sobre un región tridimensionl, hblrímos de diferenil de volumen. Sin embrgo, prtir de utro dimensiones, estos nombres no hen refereni lgo onoido, por lo que hbrá que bstrerse de ls noiones físis y ostumbrrse trbjr on ls definiiones y propieddes de este objeto f : R n R Al terminr est seión mnejremos los elementos básios pr definir bien un integrl pr ulquier vlor de n, unque los sos más usules son n, 2 y 3. efiniremos un pr de oneptos nuevos, que no se trtrán on estrito rigor, sino más bien nos drán ides prehensibles y fáiles de entender de lo que está ourriendo. efiniión : Se define un retángulo n-dimensionl, o simplemente retángulo, l onjunto R [, b ] [ 2, b 2 ] [ n, b n ] { (x, x 2,, x n ) R n ( i,, n) i x i b i } Si los intervlos son biertos, hblmos de un retángulo bierto. Queremos generlizr l noión de áre y ún más de volumen, lgo que podemos llmr hipervolumen. Sin embrgo, el nombre en sí no port informión relevnte, pues pli pr ulquier vlor de n 4. En lugr de lulr ests mgnitudes, distinguiendo nombres por dimensión, simplemente definiremos l llmd medid de Lebesgue de un región R (que denotmos λ(r)) omo un generlizión de longitud, áre, volumen, et. efiniión 2: Pr un número finito n N, y pr un retángulo ulquier, definimos su medid de Lebesgue omo λ(r) n (b i i ) i

10 5.3. GENERALIZACIÓN E INTEGRAL: VOLUMEN E HIPERVOLUMEN CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN Además, onsiderremos l medid de Lebesgue de un onjunto numerble omo nul. Esto se dpt l ide de que l integrl sobre un ntidd finit de puntos es simplemente nul, extendiendo l finitud numerbilidd. Luego, ls propieddes inherentes de est definiión generlizn ls que y vimos, est vez pr R R n : λ(r) R R 2 λ(r R 2 ) λ(r ) + λ(r 2 ) L propiedd reltiv l medid de Lebesgue de un retángulo viene dd por l definiión mism. Además, de lo nterior se desprende el resultdo (uy demostrión qued omo ejeriio) Proposiión 5: R R 2 λ(r ) λ(r 2 ) efiniión 3: Se define un prtiión del retángulo R [, b ] [ n, b n ] omo P P P 2 P n donde P i es un prtiión del intervlo [ i, b i ]. L notión puede tornrse omplid l hor de representr l prtiión por ompleto, pero vle l pen reordr que P i { i x (i) < x (i) <... < x (i) m i b i }, y que esto define n prtiiones (pues i,... n), determindos d uno por m i puntos (pues d intervlo lo podemos dividir en distints ntiddes de prtes). A su vez, l unión de estos subintervlos gener el intervlo originl, por lo que m [ ] R x () j, m 2 [ ] m x() j x (2) j, n [ ] x(2) j x (n) j, x(n) j j j j Qued omo ejeriio personl onvenerse de que podemos representr d subretángulo omo [ ] [ ] [ ] R jj 2...j n x () j, x() j x (2) j, 2 x(2) j 2... x (n) j, n x(n) j n j i,..., m i enotmos por P R l onjunto de tods ls prtiiones sobre R. Observión: Es importnte notr que m m 2 j j 2... m n j n λ(r jj 2...j n ) j...j n λ(r jj 2...j n ) λ(r) efiniión 4: Sen P, Q P R. iremos que Q es más fin que P si ( i {,..., n}) P i Q i efiniión 5: Sen f : R n R un funión otd sobre el retángulo R, P P R y R j...j n resultnte de est prtiión. Consideremos ls ntiddes λ(r j...j n ) n i ( ) x (i) j x (i) j m j...j n (f) ínf { f(x,... x n ) (x,... x n ) R j...j n } un subretángulo M j...j n (f) sup { f(x,... x n ) (x,... x n ) R j...j n } Luego, se definen ls sums inferior y superior de f en R on respeto P omo s(f, P ) m m 2 j j 2... m n j n m jj 2...j n (f) λ(r jj 2...j n ) j...j n m jj 2...j n (f) λ(r jj 2...j n )

11 5.3. GENERALIZACIÓN E INTEGRAL: VOLUMEN E HIPERVOLUMEN CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN S(f, P ) m m 2 j j 2... m n j n M jj 2...j n (f) λ(r jj 2...j n ) j...j n M jj 2...j n (f) λ(r jj 2...j n ) Qued omo ejeriio plnter un generlizión (donde orrespond) de ls propieddes y proposiión vists ntes. Pr terminr, denotmos... f sup s(f, P ) R P P R 2... R R n... f ínf S(f, P ) R P P R 2... R R n efiniión 6: iremos que f es Riemnn integrble si ls ntiddes nteriores son igules, en uyo so, ulquier de ess dos expresiones equivle... fdr fdr R R 2... R n R Notemos que usmos R y dr, básimente porque represent de form ompt tods ls vribles que modeln el retángulo sobre el que integrmos. Pr finlizr l introduión, dremos el resultdo que nos permitirá desrrollr más teorí sin estnrnos en l dud sobr l integrbilidd de ierts funiones. Proposiión 6: Un funión f : R R n R ontinu en R un retángulo, es integrble sobre R. em.: Primero notemos (puede, omo ejeriio, probr l siguiente firmión) que, omo f es ontinu sobre un ompto, lnz máximo y mínimo en él, los lnz en d subretángulo, y demás es uniformemente ontinu en dih región. Por lo tnto, ddo un ε > rbitrrio, existe un δ > tl que ( x, x 2 R) x x 2 δ f(x ) f(x 2 ) ε λ(r) Consideremos un prtiión P P R tl que P i δ, i,..., n. Como f lnz mínimos y máximos en d subretángulo, podemos segurr que ( x j R j...j n ) f(x j ) ínf{f(x) x R j...j n } Luego, ( x j R j...j n ) f(x j ) sup{f(x) x R j...j n } S(f, P ) s(f, P ) j...j n [M j...j n m j...j n ] λ(r j...j n ) j...j n [ f(x j) f(x j) ] λ(r j...j n ) Es lro que x j x j λ(r j...j n ) δ, pues d intervlo que ompone l retángulo tiene lrgo menor que δ. Finlmente, tenímos que l funión es uniformemente ontinu, umpliéndose l proposiión por lo que x j x j δ f(x j ) f(x j) ε λ(r)

12 5.3. GENERALIZACIÓN E INTEGRAL: VOLUMEN E HIPERVOLUMEN CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN S(f, P ) s(f, P ) [ f(x j) f(x j) ] λ(r j...j n ) j...j n ε λ(r j...j λ(r) n ) j...j n ε Proposiión 7: Si f : A R n [, b] R es integrble en el retángulo A y h : [, b] R es ontinu en [, b], entones h f : A R es integrble en A. esde hor, trbjremos on funiones que umpln l hipótesis de ser integrbles. Sin embrgo, es buen ejeriio orroborrlo ntes de iniir ulquier inursión. En este ontexto, sbemos que l integrl (sí hemos llmdo l límite de ls sums de Riemnn) existe, y que es un operdor que trnsform funiones en vlores reles. e momento no hemos meniondo ómo lulr l integrl de un funión de vris vribles (que tmbién podemos llmr integrl múltiple), pero de l definión y propieddes que dimos de ls sums, se desprende lo siguiente. Teorem : Sen A R n un retángulo y f, g : A R funiones integrbles en A.. f + g tmbién es integrble, y (f + g) f + g 2. Pr α R, αf tmbién es integrble, y (αf) α 3. Si f, entones 4. Si f g, entones A A f f 5. f tmbién es integrble, y A g A A f A f 6. mx{f, g} y min{f, g} tmbién son integrbles 7. f 2 tmbién es integrble 8. El produto f g tmbién es integrble Teorem 2: Sen R 2 un retángulo y f : R un funión integrble en.. Áre() dxdy 2. ( m, M R) ( (x, y) ) m f(x, y) M m Áre() f f + f 2 4. f ontinu en ( (x, y ) ) f f(x, y ) Áre() em.: Qued omo ejeriio. A A A A f f M Áre() Observión: L propiedd 4 del Teorem 2, es preismente el Teorem del Vlor Medio pr integrles.

13 5.4. CÁLCULO E INTEGRALES OBLES CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 5.4. Cálulo de integrles dobles Integrles sobre retángulos En est seión prenderemos lulr, undo existn, ls integrles sobre regiones n-dimensionles, unque por simpliidd de notión nos restringiremos l so n 2; no es difíil extender los resultdos que veremos dimensiones myores. Además, undo hblemos de integrles pr funiones de un vrible, nos referiremos ls integrles definids vists en el urso de Cálulo iferenil e Integrl. Lo primero que hy que dejr lro, es que el orden en que se pongn los difereniles es relevnte, l punto que hy que signrles el orden estbleido por los signos integrles. Cundo hgmos es distinión, estremos hblndo de integrles iterds (un integrl múltiple en que se disting un signo integrl de otro). Así, si queremos lulr l integrl undo x [, b] e y [, d], podemos herlo sí: o sí: b d d b fdydx fdxdy pero no en distinto orden; en otrs plbrs, los difereniles se ubin en el orden inverso de los signos integrles según orrespond el intervlo l ul pertenez d vrible. Un form lr de verlo, es usndo préntesis: ( b ) d ( d ) b fdy dx fdx dy Supongmos que tenemos un funión f, integrble en un retángulo A [, b] [, d], y queremos lulr l integrl sobre diho retángulo. Hy dos posibiliddes: Cso : Queremos lulr Cso 2: Queremos lulr d b b d f(x, y)dxdy. efiniendo Ψ(y) d b b f(x, y)dxdy f(x, y)dydx. efiniendo Φ(x) b d d f(x, y)dydx f(x, y)dx, tenemos d Ψ(y)dy f(x, y)dy, tenemos b Φ(x)dx Qué podemos deir de ests dos integrles? Import el orden en que integremos? Teorem 2 (Teorem de Fubini): Sen R [, b] [, d] un retángulo y f : R R un funión Riemnn-integrble en dih región. Se tiene que ( x [, b]) Φ(x) d f(x, y)dy < R fdr d b f(x, y)dxdy Lo mismo suede si reemplzmos Φ(x) por Ψ(y) omo lo definimos on nterioridd. b d f(x, y)dydx

14 5.4. CÁLCULO E INTEGRALES OBLES CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN El teorem de Fubini nos die que el volumen de un funión integrble no depende de ómo se brre el retángulo. em.: Se Φ : [, b] R l funión definid por Neesitmos que Φ se integrble en [, b] y que b d Φ(x) d f(x, y)dydx f(x, y)dy b Φ(x)dx Sen P x P [,b] un prtiión que defin los subintervlos G i [x i, x i ], on i {,..., n}, y P y P [,d] otr prtiión que defin los subintervlos H j [y j, y j ], on j {,..., m}. Luego, tenemos pr el retángulo R [, b] [, d] l prtiión P P R, que define los subretángulos R ij G i H j. Tenemos entones que s(f, P ) n m m ij (f) A(R ij ) m ij (f) y j x i i,j i j Además, pr d x G i y pr d j {,..., m} se tiene que m ij (f) m j (f x ), pues el primer término es el ínfimo sobre todo el subretángulo, mientrs que el segundo es el ínfimo l fijr un oordend x G i. Sumndo sobre j, se tiene que m m d m ij (f) y j m j (f x ) y j f x (y)dy Φ(x) j Como ests desigulddes vlen pr todo x G i, tommos ínfimo en x, lo que d m m ij (f) y j m i (Φ) j j pr d i {,..., n}. Sumndo sobre i, obtenemos s(f, P ) s(φ, P x ) S(Φ, P x ) S(f, P ) Como esto vle pr ulquier prtiión de P de R (por ende, pr ulquier prtiión P x de [, b] y P y de [, d]) y f es integrble, se dedue de ests desigulddes que Φ es integrble sobre [, b], y ( b ) d b f f(x, y)dy dx Φ(x)dx L demostrión es nálog si estbleemos l existeni de Ψ(y) R b f(x, y)dx, on lo que obtendrímos l integrl en el orden inverso. Como todo en Cálulo, se tiene que f es integrble en el retángulo, o que l integrl doble de f existe, sólo si mbos resultdos oiniden, pero por hipótesis f es Riemnn-integrble, por lo que onluimos que ésto último tmbién se stisfe.

15 5.4. CÁLCULO E INTEGRALES OBLES CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN Ejemplos: Vemos distintos sos en que podemos o no plir el teorem de Fubini. Clulr x 2 + y 2 da, donde R [, ] [, 2] R R x 2 + y 2 da ( x 2 + y 2 dxdy ) x 2 + y 2 dx dy ( x 2 dx + ( x y 2 x ) dy 3 + y2 dy 2 3 y + y3 2 3 dy 3 (2 ) + (8 3 3 ) ) y 2 dx dy 8 3 Qued omo ejeriio demostrr que ls ondiiones pr usr el teorem de Fubini se umplen, y verifir que mbs integrles oiniden. Se f : [, ] [, ] R tl que f(x, y) x os(y). Tenemos que f(x, y)dxdy f(x, y)dydx x2 2 lím x 2 2 x os(y)dxdy os(y)dy os(y)dy dy t x os(y)dydx t x os(y)dydx t x lím sin(y) t dx lím t sin(t) lím t sin(t)

16 5.4. CÁLCULO E INTEGRALES OBLES CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN L últim iguldd se tiene por tener el produto entre un límite otdo y un término nulo. Por lo tnto, mbs integrles dobles existen y son igules. Sin embrgo, un de ls integrles no: Φ(x) x os(y)dy x lím t sin(t) Clrmente, Φ está bien definid únimente pr x. Por lo que el reíproo del teorem no es ierto (que l existeni de l integrl doble implique que d integrl simple exist). Se f : [, ] [, ] R un funión otd, definid por { 2x, y / Q f(x, y), y Q Vemos que Ψ(y) Sin embrgo, Φ(x) f(x, y)dx 2xdx, por lo que f(x, y)dxdy dy f(x, y)dy no existe, pues on respeto y se nos present el problem reliondo l funión de irihlet. e ese modo, no podemos lulr f(x, y)dydx Conluimos que f no stisfe el teorem de Fubini (que ls integrles iterds oinidn) y, por ontrrreípro, f no puede ser integrble. Sin embrgo, hgmos un pequeño ejeriio prte. efinimos ls funiones Φ inf (x) Ψ inf (y) f(x, y)dy Φ sup (x) f(x, y)dy Ψ sup (y) f(x, y)dy 2x f(x, y)dy Luego, tenemos que tods ells son ontinus, y por lo tnto integrbles. Pero no sólo eso; l integrl de Φ inf y Φ sup sobre [, ] es, l igul que l integrl de Ψ inf y Ψ sup sobre [, ]. Es eso oinideni? Corolrio (Teorem de Fubini generlizdo): Sen A [, b] [, d] y f : A R un funión otd e integrble en A. Pr d x [, b], se g x : [, d] R l funión definid por g x (y) f(x, y). Consideremos ls funiones L(x) d g x (y)dy U(x) d g x (y)dy Sbemos por un observión que ests ntiddes siempre existen. Entones, ls funiones L(x) y U(x) son integrbles en [, b], y b b L(x)dx f(x, y)dxdy U(x)dx A Esto es nálogo definiendo en [, d], y de form similr, L(y) y U(y). L demostrión se bs en l mism que dimos pr el teorem de Fubini. Ejeriio: Verifir el resultdo nterior pr l funión f : [, ] [, ] R dd por (x, y) / Q 2 {(, )} {(, )} f(x, y) n + q x m n, y p q, on (m, n) y (p, q) primos reltivos

17 5.4. CÁLCULO E INTEGRALES OBLES CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN Corolrio 2 (Funiones seprbles): Se f un funión integrble sobre un retángulo R [, b] [, d] y tl que ( x, y R) f(x, y) g(x)h(y) (en ese so, deimos que f es un funión seprble). Entones b ( d ) ( b ) d f(x, y)dydx g(x)dx h(y)dy Ls funiones seprbles son muy fáiles de mnejr l hor de integrr, pues he intuitiv l form que dquiere su gráfi, permitiéndonos lulr áres y volúmenes sin relizr álulos omplidos, más ún undo f(x, y) es en relidd un funión de un sol vrible (pues se puede notr f(x, y) g(x) h(y), por ejemplo). Sin profundizr muho, ls seiones trnsversles en los ejes muestrn el omportmiento de d prte de l funión omo urvs de nivel, omo vemos en los siguientes ejemplos. Ejemplo: Se f : R 2 R definid por f(x, y) e x sin(y). Y vemos que f(x, y) g(x) h(y), on g(x) e x y h(y) sin(y). No lulremos integrles, pero veremos qué nos referímos on lo simple que es visulizr ls urvs de nivel de f en los plnos XZ y Y Z. Ejemplo: Se f : [, ] [, R] R, definid omo f(x, y) 2 x 2 on R >. Queremos lulr l integrl doble de f en su dominio (es deir, el volumen ontenido entre el plno y l gráfi de f). Se puede lulr sin myor difiultr usndo ténis de integrión y prendids, pero tmbién podemos notr que f(x, y) g(x) h(y), on g(x) 2 x 2 y h(y). Es deir, onforme se vnz en el eje Y, ls urvs de nivel de f en el plno XZ no vrín. e heho, ésts desriben un semiírulo de rdio.

18 5.4. CÁLCULO E INTEGRALES OBLES CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN Luego, omo Ψ(y) x2 dx es el áre del semiírulo, l integrr Ψ(y) sobre [, R] obtendremos el volumen de medio ilindro de lrgo R y rdio. Finlmente, el resultdo es π2 R. 2 Como onseueni del teorem de Fubini, dds ls ondiiones neesris, podemos integrr sin preouprnos por el orden en que lo hgmos (respetndo l orrespondeni intervlo-diferenil). Además, se evideni que no tiene sentido el álulo de primitivs o integrles indefinids undo se trt de integrles múltiples, y que todo se redue un problem numério. No está de más dvertir, no obstnte, que el proedimiento usul de álulo es desde dentro hi fuer, es deir, se resuelve l integrl uyo diferenil esté en primer lugr de l mism form en que lulmos un integrl ordinri, y se sigue en ese orden, hst llegr l último diferenil. Hemos diho que el álulo de integrles dobles tiene relión on el álulo del volumen omprendido entre el grfo de un funión y el plno XY, otdo por el retángulo R. En ese sentido, el enunido del ejemplo nterior pudo ser Clulr el volumen ontenido bjo el grfo de f(x, y) x 2 + y 2 en el retángulo R [, ] [, 2], y hbrí sido ompletmente equivlente lo resuelto, on l úni slvedd que, eventulmente, f puede ser negtiv, en uyo so pr obtener volumen l integrl lulr no es sobre f, sino sobre f Integrles sobre onjuntos más generles Todo lo que hemos heho hst hor, es lulr integrles sobre retángulos, y deberímos ser pes de integrr sobre uniones, interseiones y ombiniones de ésts operiones plids retángulos. Sin embrgo, no hemos todo el tem de integrr sobre triángulos, írulos y otros onjuntos muho más omplejos. ebemos definir formlmente un funión uyo vlor depende del onjunto l que pertenee el rgumento. efiniión 7: Se A R 2 un onjunto otdo. Se define l funión inditriz o indidor on respeto A omo si (x, y) A χ A (x, y) si (x, y) / A efiniión 8: Se f : A R 2 R un funión otd. Se define l integrl de f sobre A omo f(x, y)dxdy f(x, y) χ A (x, y)dxdy A donde R es ulquier retángulo que ontiene A. Vemos que est definiión está bien estbleid: Sen R, R 2 R 2 tles que A R y A R 2 (R y R 2 no neesrimente son igules). Entones se tiene que R (R \ A) A y R 2 (R 2 \ A) A. Luego f χ A f χ A + f χ A R R \A A f χ A A f χ A f χ A + f χ A R 2 R 2\A A f χ A A Esto se tiene porque χ A (R \ A) χ A (R 2 \ A) {}. Por lo tnto, l integrl está bien definid, pues no depende del retángulo que esojmos, siempre que éste onteng A. Más generlmente, se tiene que está bien definid si esogemos R ulquier región (no neesrimente retngulr) que onteng A, y l demostrión es ompletmente idénti l nterior. R

19 5.4. CÁLCULO E INTEGRALES OBLES CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN Observión: Como se ps de un onjunto ulquier un retángulo que lo ontiene, ls propieddes omo l linelidd se onservn. Podemos horrr notión definiendo f f χ A ; hor busremos ondiiones pr que f se integrble en el sentido ddo nteriormente. Usulmente, f es ontinu, pero por lo generl f no. Esto nos oblig onsiderr otrs propieddes más generles que l ontinuidd, unque sumiremos que l menos f l stisfe. efiniión 9: Se die que un onjunto A R n tiene ontenido ero si ( ε > ) ( U,..., U m retángulos errdos) A m i U i m λ(u i ) < ε donde λ(u i ) denot l medid de Lebesgue del retángulo U i (volumen n-dimensionl). Tmbién diremos que un onjunto que tiene ontenido ero, es un onjunto de medid de Jordn nul. Proposiión 8: Se tiene. Si A es un onjunto de medid nul y B A, entones B tmbién es de medid nul. 2. Si A y B son onjuntos de medid nul, entones A B tmbién es de medid nul. 3. enotndo A A A 2... A n, si pr lgún i {,..., n} A i es numerble, A tiene es de medid nul en R n. Ejemplo: Mostrremos tres sos en que quermos ver si lgún onjunto es o no de medid nul. Es importnte notr que, dependiendo de l dimensión del espio, esto equivle mostrr si el onjunto tiene longitud, áre, volumen, et. emostremos que el onjunto S { (x, y) R 2 x + y } es de medid nul en R 2. Pr esto, podemos reubrir S on retángulos (udrdos) uyos áres disminuyen itertivmente, omo ilustr l figur. i Así, S se puede enerrr en 4n udrdos errdos, d uno de áre n. Luego, el áre totl del reubrimiento es 4 2 n, el ul se puede her rbitrrimente pequeño. En resumen, tenemos que S es subonjunto de l unión finit de retángulos errdos y que l sum de sus medids de Lebesgue (en este so, áre) es tn hi omo quermos. Luego, S es de medid nul. emostrr que, si < b, entones [, b] R no tiene ontenido ero en R. Lo que hremos será mostrr por induión que, prtir de un reubrimiento finito de errdos de [, b], digmos m U,..., U m tles que [, b] U i, se tiene neesrimente que i m λ(u i ) b i

20 5.4. CÁLCULO E INTEGRALES OBLES CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN Es evidente que pr m se umple, pues U [, d] neesrimente debe ser tl que y d b, por lo que λ(u ) d b. Supongmos que est propiedd se umple pr un reubrimiento de m intervlos errdos, {U,..., U m }, y onsideremos hor el onjunto {U,..., U m, U m+ }. Es lro que este onjunto es un reubrimiento finito de [, b], pues m+ i ( m ) U i U i U m+ [, b] U m+ [, b] i Supongmos, sin pérdid de generlidd, que U. Como U [α, β], entones α β. Ahor, si b β, se tiene que [, b] U, y l demostrión termin. Si b > β, entones {U 2,... U m+ } reubre [β, b], y por hipótesis indutiv, Así, tenemos que m+ i m+ i2 λ(u i ) b β λ(u i ) (β α) + (b β) b α b Se f : [, b] R un funión ontinu. emostrremos que su gráfio, el onjunto G { (x, f(x)) R } 2 x [, b], tiene ontenido ero en R 2. Se ε >. Como f es ontinu en el ompto [, b], es uniformemente ontinu en diho intervlo. Luego, existe δ > tl que f(x) f(y) < ε b pr todo x, y [, b] tles que x y < δ. Se P {x, x,..., x n, x n b} un prtiión de [, b] tl que P máx i n {x i x i } < δ Sen M i y m i el máximo y el mínimo de f en [x i, x i ], y sen i, i tles que f( i) M i y f( i ) m i. Como tenemos que ( i {,..., n}) i i x i x i < δ M i m i f( i ) f( i) < ε b Finlmente, los n retángulos errdos U i [x i, x i ] [m i, M i ] reubren G, y demás n λ(u i ) i n (x i x i )(M i m i ) i n ε < (x i x i ) b i ε n (x i x i ) b i ε efiniión 2: iremos que un onjunto A R n es medible en el sentido de Jordn, Jordn-medible o simplmente medible si su fronter, A, tiene ontenido ero. Ejemplo: El onjunto M R {(x, y) [, ] [, ] x, y R} es medible en R 2, mientrs que M Q {(x, y) [, ] [, ] x, y Q} no lo es.

21 5.4. CÁLCULO E INTEGRALES OBLES CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN A ontinuión, enunimos el teorem que nos permitirá trbjr on integrles sobre onjuntos más generles. Teorem 3 (Teorem de Lebesgue): Se f : A R n R un funión otd y ontinu, on A un onjunto otdo. Entones l funión f : R A R, on f f χ A, es Riemnn-integrble si y sólo si A es Jordn-medible. En prtiulr, si n 2, el áre de A está bien definid y se lul omo Áre(A) χ A dxdy Lo que propone este teorem, es que el áre de un región puede lulrse sobre otr región que l onteng, medinte un funión que disrimin puntos dentro y fuer de l región de interés. L demostrión se drá en un péndie, puesto que requiere iert espeilizión sobre lgunos oneptos que no se bord por su difiultd y po relevni pr el resto del urso. L myorí de los ejemplos que onsiderremos en este urso orresponden regiones Jordn-medibles, o uniones e interseiones finits de regiones de este tipo Integrles dobles sobre onjuntos generles Hemos visto que l integrl sobre un retángulo (de ulquier dimensión) medinte integrión reiterd y hiendo uso del teorem de Fubini. Ahor enfrentmos el problem de lulr integrles dobles sobre onjuntos medibles rbitrrios Vmos empezr onsiderndo dos tipos de estos onjuntos pr los que l integrl doble puede lulrse por integrión reiterd de un mner similr l que hemos empledo en el so de retángulos. efiniión 2: Un onjunto A R 2 se die de tipo I o x-proyetble si es de l form A { (x, y) R 2 x b, f (x) y f 2 (x) } donde f, f 2 : [, b] R. Ls integrles sobre este tipo de onjuntos se luln omo ( b ) f2(x) f(x, y)dxdy f(x, y)dy dx A I f (x) Ejemplo: Clulr l integrl de f(x, y) x + y 2 sobre A { (x, y) R 2 x, y x }. A x + y 2 dxdy ( x (xy + y3 3 x 2 + x3 3 dx ( ) x x ) x + y 2 dy dx ) x dx A omo región tipo I efiniión 22: Un onjunto A R 2 se die de tipo II o y-proyetble si es de l form A { (x, y) R 2 y d, g (y) x g 2 (y) } donde g, g 2 : [, d] R. Ls integrles sobre este tipo de onjuntos se luln omo ( d ) g2(y) f(x, y)dxdy f(x, y)dx dy A g (y)

22 5.4. CÁLCULO E INTEGRALES OBLES CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN Ejemplo: Clulr l integrl de f(x, y) xe y5 sobre A { (x, y) R 2 y, x y 2 }. A xe y5 dxdy ( y 2 ( x 2 2 ey y ey dy ) ( 5 ey e xe y5 dx ) 5 y 2 ) dy dy A omo región tipo II Observión: El tipo del onjunto qued determindo por l form de desribirlo; en este sentido, ddo un onjunto en el plno rel, tenemos que busr un form de prmetrizrlo. L justifiión de esto l dmos ontinuión. Además, puede hber onjuntos que sen simultánemente de tipo I y de tipo II, en uyo so se die que son de tipo III y se puede plir ulquier de los dos álulos nteriores. En generl, unque un onjunto se de tipo III, l prmetrizión de tipo I no oinide on l de tipo II, lo ul verifiremos más delnte. Justifiremos lo nterior. Se R l región de tipo I dd por R { (x, y) R 2 x b, ϕ (x) y ϕ 2 (x) }. Si ínf (x)} x b d sup x b {ϕ 2 (x)} entones R [, b] [, d]. Luego f(x, y)dxdy R [,b] [,d] f(x, y)dxdy donde f f χ R. Como trbjmos on f ontinu tenemos que, pr d x [, b], l funión Ψ(y) f(x, y) es integrble sobre [, d], y por definiión de f sigue que d f(x, y)dy ϕ2(x) ϕ (x) f(x, y)dy Luego, por teorem de Fubini, R f(x, y)dxdy Pr regiones de tipo II se sigue un rzonmiento nálogo. b ( ) ϕ2(x) f(x, y)dy dx Ahor veremos ómo enontrr l prmetrizión neesri en un so simple, que result ser un onjunto de tipo III. Así, veremos el proeso generl pr enontrr los límites de l integrl doble y verifiremos que los límites enontrdos pr el tipo I no neesrimente oiniden on los enontrods pr el tipo II. Ejemplo: Se f : A R 2 R un funión ontinu, on A desrit omo en ls figurs siguientes. Queremos enontrr un form de desribir A explíitmente.. ϕ (x)

23 5.4. CÁLCULO E INTEGRALES OBLES CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN En este so, l form más senill de desribir l región, es por medio de funiones de x, undo x [, 2]. Es fáil ver que y está otdo inferiormente por f (x) y superiormente por f 2 (x) 3 2x + 3. Así, A es de tipo I, y { A (x, y) R } 2 3 x 2, y 2 x + 3 Además, podemos onsiderr desribir A por medio de funiones de y, undo y [, 3]. Por despeje de l vrible x en l funión f 2 (en f no se puede), tenemos que x está otdo inferiormente por g (y) y superiormente por g 2 (y) 2 3y + 2. Así, A es de tipo II, y A {(x, y) R 2 y 3, x 23 } y + 2 Por lo tnto, A es de tipo III, pues se puede desribir de mbs forms, pero vemos que ésts son distints. 2. Primero desribiremos est región omo un onjunto de tipo II. Es fáil ver que ls rets involurds tienen euión L : y 3x + 3 y L 2 : y 3 2x + 3, prtir de lo que podemos despejr x en funión de y. Así, undo y [, 3], x está otd inferiormente por g (y) 3 y + y superiormente por g 2(y) 2 3y + 2. Luego, A {(x, y) R 2 y 3, 3 } y + x 23 y + 2 Además, podemos desribir A omo onjunto de tipo I, pero est vez se omplirá un poo, pues y en funión de x es distinto en los intervlos [, ] y [, 2]. Por ls propieddes de l integrl, podemos seprr A en dos regiones, A y A 2. Luego sólo tendrímos que sumr ls integrles sobre dihs regiones.

24 5.4. CÁLCULO E INTEGRALES OBLES CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN Cundo x [, ], A está otdo inferiormente por f (x) 3x + 3 y superiormente por f 2 (x) 3 2x + 3. Cundo x [, 2], A 2 está otdo inferiormente por f (x) y superiormente por f 2 (x) 3 2x + 3. Así, { A (x, y) R 2 } 3 x, 3x + 3 y { A (x, y) R 2 } 3 x 2, y A A A 2 Como vemos, est vez A tmbién es de tipo III. Tmbién es lro que l representión omo región tipo I difiere muho de l de tipo II, unque desribn l mism región. Ejeriio: esribir omo región tipo I o II, o omo unión o interseión de ells, l región nulr R { (x, y) R 2 x 2 + y 2 4 } Tmbién se nos puede presentr el problem inverso: determinr l región de integrión (por ejemplo, en un gráfio) prtir de los límites de l integrl. Esto en sí no es un problem, unque podrí ser útil (undo se posible) mbir el orden de ls integrles, es deir, psr de un onjunto tipo I un de tipo II, o viesvers. Ejemplo: Los siguientes ejemplos mostrrán ómo mbir el orden de integrión, y l utilidd de ello. ( e ) ln(y) Consideremos l integrl iterd f(x, y)dx dy. Es lro que l región se ve gráfimente omo en l figur, ddo que y e y x ln(y) Pr invertir el orden de integrión, simplemente debemos ver qué funiones otn l vrible y undo x [, ]. Result fáil onluir que l región está otd inferiormente por f (x) e x y superiormente por f 2 (x) e. Así, ( e ) ln(y) ( e ) f(x, y)dx dy f(x, y)dy dx e x Clulr r os(y) sin(x) + sin 2 (x)dxdy. Podrímos lulr diretmente est integrl, pero en generl serí un tre summente omplid. Pr evitrlo, veremos si integrndo en orden inverso se simplifi el problem. Tenemos que y x r os(y)

25 5.4. CÁLCULO E INTEGRALES OBLES CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN Cundo y [, ], dds ls ots de x sbemos que x [, π 2 ]. Además, en ese intervlo, y está otdo inferiormente por f (x) y superiormente por f 2 (x) os(x). Así r os(y) sin(x) + sin 2 (x)dxdy π/2 os(x) π/2 π/2 2 sin(x) + sin 2 (x)dydx sin(x) + sin 2 (x)y os(x) dx sin(x) + sin 2 (x) os(x)dx u + sin2 (x) du 2 sin(x) os(x)dx udu u3/2 ( 2 ) 2 3 Clulr 2 / 2 y/2 os(πx 2 )dxdy. Nuevmente, lulr diretmente est integrl puede resultr muy omplido; tl vez imposible. Notemos hor que l región dd por y 2 y x 2 2 puede ser desrit tmbién omo x 2 y 2x

26 5.4. CÁLCULO E INTEGRALES OBLES CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN Así, 2 / 2 y/2 os(πx 2 )dxdy π / 2 2x / 2 / 2 π/2 π sin(u) π/2 π os(πx 2 )dydx os(πx 2 )y 2x dx os(πx 2 )2xdx os(u)du u πx 2 ; du 2πxdx Ejemplo: Veremos ómo lulr un integrl sobre un región desrit omo unión de dos regiones distints. Pr ello, onsideremos l funión f : R 2 R dd por f(x, y) x 2 + y 2 y l región S que pree en l figur Es fáil drse uent de que S es de tipo I, pues onoemos l euión de los írulos que l delimitn. Además, pr desribirl, es neesrio dividirl en dos regiones omo en l figur siguiente Sigue que S S 2 {(x, y) R 2 x [, ], x2 y 4 x 2 } { (x, y) R } 2 x (, 2], y 4 x 2 Luego, l integrl de f sobre S es l sum de l integrl de f sobre S on l integrl sobre S 2, pues S S S 2. Así, f(x, y)dydx S f(x, y)dydx + S f(x, y)dydx S 2 4 x 2 x 2 x 2 + y 2 dydx x 2 x 2 + y 2 dydx

27 5.5. CAMBIO E VARIABLES CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN Qued omo ejeriio verifir que el resultdo es 5π/8. El que hymos omitido el desrrollo de est integrl, es básimente puesto que es engorroso y requerirí vris línes. Por ello, surge l pregunt de si so hy un form más diret de evlur l integrl. L respuest es que, dds ierts ondiiones, sí existe un mner de ortr el proeso de álulo. e esto se trt l siguiente seión Cmbio de vribles Teorem 4: Se f : R R un funión integrble y g : R R un funión diferenible. Se tiene entones que b f(g(x))g (x)dx g(b) g() f(u)du Este teorem nos entreg omo herrmient los llmdos mbios de vrible, bstnte útiles si dentro de un integrl enontrmos el produto entre un funión (en este so g) on su derivd (quí g ). Como vimos en los dos últimos ejemplos nteriores, el álulo de un integrl puede simplifirse si relizmos un mbio de vrible onveniente. Podremos her lgo preido en un integrl múliple? L respuest es sí, y de form muy similr l que usmos en integrles simples. El teorem que presentremos ontinuión permite que, prtir de un funión, enontremos un trnsformión de ls vribles que hg más ómodo el álulo, lo que rre omo onseueni que l región sobre l que se integr tmbién se trnsforme. Teorem 5 (Cmbio de vribles): Sen f : R n R un funión ontinu en l región y T : R n R n un funión biyetiv y ontinu en, tl que T ( u) ( x) (x ( u),..., x n ( u)). Luego,... f( x)dx... dx n... f(x ( u),..., x n ( u)) det [J T ( u)] du... du n donde J T es el jobino de l funión T. En prtiulr, si n 2, tenemos que f : R 2 R es ontinu en, T : R 2 R 2 es biyetiv y ontinu en tl que T (u, v) (x, y) (x(u, v), y(u, v)) y f(x, y)dxdy f(x(u, v), y(u, v)) det [J T (u, v)] dudv [ x ] x f(x(u, v), y(u, v)) det u v y dudv u y v L demostrión de este teorem us rgumentos que espn l lne del urso, por lo que eptremos este resultdo generl sin demostrrlo. Sin embrgo, podemos her un sketh of proof pr el mbio de vribles oordends polres. Éste es muy onveniente undo podemos provehr propieddes trigonométris prtir de l funión que queremos integrr. Está ddo por l biyeión x r os(θ) y r sin(θ) donde r [, ) y θ [, 2π). L trnsformión invers está dd, omo se puede omprobr, por r x 2 + y 2 ( y θ rtn x)

28 5.5. CAMBIO E VARIABLES CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN El mbio de vribles oordends polres trnsform seiones irulres en retángulos. ejndo de ldo tod formlidd, podemos lulr de qué form vrín ls vribles rdil y ngulr en l medid en que vrín x e y por medio del operdor grdiente, y lulndo después l norm de este vetor. Tenemos ( r x x r, x2 + y 2 y y r x2 + y 2 x, r ) x y 2 + y 2 r θ x y, x2 + y 2 θ y x x2 + y 2 ( θ x, θ y ) y2 + x 2 x 2 + y 2 Luego, el diferenil de áre neesrimente inluye r en su expresión, es deir, dxdy rdrdθ. Y vemos que, en efeto, el teorem rroj el mismo resultdo: [ x ] [ ] x detj T (r, θ) det r θ y os(θ) r sin(θ) det r os 2 (θ) + r sin 2 (θ) r sin(θ) r os(θ) r y θ Es neesrio her hinpié en que el teorem de mbio de vribles nos revel que el objeto que llmmos diferenil no está multiplindo en form lgun l funión, sino que desribe l medid en que fet l funión d pso infinitesiml que relizmos, los ules debemos onsiderr si queremos lulr un integrl (vist omo un sum infinit de l funión sobre pequeñs vriiones en su dominio). Así, en oordends rtesins el objeto diferenil de áre da dxdy se identifi en oordends polres on el diferenil da rdrdθ, y esto es independiente de qué funión quermos integrr. Est independeni se present en ulquier mbio de vribles que reliemos. Ejemplo: Clulemos l integrl de f(x, y) x 2 y 2 sobre { (x, y) R 2 x 2 + y 2 4 }. Primero, notemos que est región es irulr. Luego, bjo el mbio de vrible (x, y) (r os(θ), r sin(θ)), obtenemos que f(r, θ) r 2 os(2θ) y T () { (r, θ) R + [, 2π) r 2 }, que es un región retngulr.

29 5.5. CAMBIO E VARIABLES CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN Luego x 2 y 2 dxdy 2π 2 2π 2 2π 2 2π 2π r 2 os(2θ) J T (r, θ) drdθ r 2 os(2θ) rdrdθ r 3 os(2θ)drdθ r os(2θ)dθ 4 os(2θ)dθ 4 sin(2θ) 2 2π Clulemos l integrl de f(x, y) x 2 + y 2 sobre l región S desrit en el ejemplo de l seión nterior. Tenemos que en oordends polres f(r, θ) r 2 y { S (r, θ) [, ) [, 2π) r [, 2], θ π } 2 Luego S f(x, y)dxdy S f(r, θ) rdrdθ π/2 2 π/2 2 π/2 π/2 5 4 θ π/2 5 8 π r 2 rdrdθ r 3 drdθ r dθ 5 4 dθ Clulemos I e x2 dx.

30 5.5. CAMBIO E VARIABLES CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN Como e x2 dx I 2 Por lo tnto, I π. Clulemos 2 x 3 x π e y2 dy, ( ) ( ) e x2 dx e y2 dy 2π 2π 2π 2π e x2 y 2 dxdy e r2 rdrdθ e u dθ e u dudθ dθ (x, y) (r os(θ), r sin(θ)); dxdy rdrdθ u r 2 ; du 2rdr xdydx usndo vribles polres. Primero, hy que trnsformr l región de integrión. Es fáil notr que se trt de un triángulo, por lo que l trnsformión viene dd por y x, x 2 r sin(θ) r os(θ), r os(θ) 2 sin(θ) os(θ), r os(θ) 2 θ π/4, r 2 2 y x 3, x 2 r sin(θ) 3r os(θ), r os(θ) 2 sin(θ) 3 os(θ), r os(θ) 2 θ π/3, r 4 x 2, 2 y 2 3 r os(θ) 2, 2 r sin(θ) 2 3 r 2 se(θ), 2 2 tn(θ) 2 3 r 2 se(θ), π/4 θ π/3

31 5.6. APLICACIONES E LA INTEGRAL OBLE CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN Luego 2 x 3 x xdydx π/3 2 se(θ) π/4 π/3 2 se(θ) π/4 π/3 π/4 π/3 π/4 π/3 π/4 os(θ) r tn(θ) π/3 8 3 r os(θ)rdrdθ r 2 os(θ)drdθ 2 se(θ) dθ os(θ) se 3 (θ)dθ se 2 (θ)dθ π/4 ( 3 ) Por supuesto, éste no es el únio mbio de vribles posible. Existe infinidd de ellos, que se deún en iert form l problem que se nos plnte. Ejemplo: Si S es l región del primer udrnte limitd por ls urvs xy, xy 2, y x, y 4x, probr que S f(xy)dxdy ln(2) 2 f(v)dv L fronter de l región S sugiere relizr el mbio u y/x, v xy. Hiendo esto, obtenemos un región S limitd por v 2, u 4. Además, despejndo x e y en funión de u y v, tenemos que x v/u e y uv, por lo que [ x ] [ ] x detj T (u, v) det u v y det 2 u 3/2 v /2 2 u /2 v /2 2 u /2 v /2 2 u/2 v /2 2u u y v e est mner, l integrl dd se puede esribir omo S f(xy)dxdy 2 4 f(v) 2u dudv f(v) ln(u) 4 dv ln(2) f(v)dv 5.6. Apliiones de l integrl doble En est seión presentremos ls pliiones más reurrentes de l integrl doble, que enontrremos útiles en geometrí y en físi lási, unque de esto se puede extender su uso áres más generles, omo Eletromgnetismo o Meáni de Medios Continuos.. Áre de regiones: Si S R 2, su áre es A(S) dxdy S 2. Mss y entro de grvedd: Si S R 2 represent un superfiie pln on densidd puntul ρ(x, y) pr d (x, y) S, entones l ms de S viene dd por m(s) ρ(x, y)dxdy S

32 5.7. CÁLCULO E INTEGRALES TRIPLES CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN y el su entro de grvedd (x g, y g ) estrí ddo por x g xρ(x, y)dxdy y g m(s) m(s) 3. Volumen: Se R 3 un región xy-proyetble, definid por Entones su volumen está ddo por S S yρ(x, y)dxdy { (x, y, z) R 3 (x, y) S R 2, f(x, y z g(x, y)) } V () S [g(x, y) f(x, y)] dxdy L pliión es nálog pr regiones xz-proyetbles e yz-proyetbles. 4. Áre de mntos: Se Ω R 3 l superfiie xy-proyetble definid por Entones el áre de su mnto viene ddo por Ω { (x, y, z) R 3 (x, y) S R 2, z f(x, y) } A(Ω) S + ( ) 2 f + x ( ) 2 f y L pliión es nálog pr regiones xz-proyetbles e yz-proyetbles Cálulo de integrles triples Como ests integrles se plin regiones tridimensionles (desrits por tres vribles), tods ls definiiones dds l prinipio del pítulo se plin l so prtiulr en que n 3. Esto inluye l medid de Lebesgue de un región retngulr (que se trdue en volumen de prlelepípedos), prtiiones, sums de Riemnn, ondiión de integrbilidd, etéter. Aquí repsremos lgunos resultdos en que l tridimensionlidd se determinnte. Teorem 6 (Teorem de Fubini): Se R [, b] [, d] [e, f] y h : R R un funión otd e integrble sobre R. Supongmos que, pr todo x [, b], está bien definid l funión J(x) h(x, y, z)dydz R donde R [, d] [e, f]. Entones tmbién existe l integrl de J(x) sobre [, b], y se umple b b ( ) h(x, y, z)dxdydz J(x)dx h(x, y, z)dydz dx R R Observión: Tl omo en el so de integrles dobles, podemos definir de form similr ls funiones K(y) y L(z) en los intervlos [, d] y [e, f], respetivmente. Además, plindo el teorem de Fubini pr integrles dobles, podemos mbir el orden de ls integrles que definen d un de ests funiones, por lo que, en relidd, podemos intermbir nuestro ntojo el orden de integrión sobre regiones retngulres. En totl, hy 6 forms distints de lulr l mism integrl triple (debido que, pr n signos integrles, hy n! permutiones). Como en tod funión, teniendo ls ondiiones de integrbilidd sufiientes (omo ontinuidd) podemos evitr lulr un integrl triple omo el límite de ls sums de Riemnn orrespondientes simplemente plindo un versión tridimensionl de los teorems de Fubini, de Lebesgue, de Cmbio de Vribles, et. Supongmos que queremos integrr un funión F : R 3 R sobre un región otd por un superfiie errd φ(x, y, z), es deir, otd inferiormente por un superfiie z f (x, y), superiormente por un superfiie

33 5.7. CÁLCULO E INTEGRALES TRIPLES CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN z 2 f 2 (x, y) y lterlmente por un ilindro C prlelo l eje OZ. enotemos por R l proyeión vertil de sobre el plno XY, que está enerrdo en l proyeión de C sobre el plno XY. Así, podemos definir omo { (x, y, z) R 3 (x, y) R, f (x, y) z f 2 (x, y) } Podemos sumir el so en que f y f 2 son funiones ontinus en R. Luego, l integrl de F se lul omo ( ) f2(x,y) F (x, y, z)dv F (x, y, z)dz da R Los límites de integrión pr z indin que, pr (x, y) perteneiente R, l oordend z se extiende desde l superfiie inferior z f (x, y) hst l superior z f 2 (x, y), donde los vlores de z se deduen de l euión φ(x, y, z). Luego, el ilindro C puede tener sus tps de forms irregulres, no neesrimente plns. Un vez se lul l integrl dentro del préntesis, obtendremos un funión G(x, y), l ul integrremos sobre l región R. Pr esto, pliremos lo prendido en l seión de integrles dobles, on lo que obtendremos un expresión del tipo f (x,y) F (x, y, z)dv ( ) f2(x,y) F (x, y, z)dz dydx R f (x,y) G(x, y)dydx R 2 y2(x) f2(x,y) y (x) f (x,y) F (x, y, z)dzdydx o bien F (x, y, z)dv ( ) f2(x,y) F (x, y, z)dz dxdy R f (x,y) G(x, y)dxdy R b2 x2(y) f2(x,y) b x (y) f (x,y) F (x, y, z)dzdxdy Luego, el ilindro tmpoo debe tener neesrimente un mnto regulr. En prtiulr, si éste se redue ero, tendremos que f (x, y) f 2 (x, y) y no existe dependeni de z, lo ul define l fronter de R. iho de otr form, podemos desribir un región errd intersetndo un superfiie f (x, y) on otr f 2 (x, y), y onsiderndo los puntos omprendidos entre ells. Todos estos resultdos no son solmente plibles z; omo lo hímos on integrles dobles, podemos intermbir los roles entre ls vribles de l funión. Si podemos prmetrizr l región de integrión prtir de l vrible z, diremos que l región es xy-proyetble. Si, en mbio, podemos prmetrizrl prtir de y, diremos que es xz-proyetble, y es yz-proyetble si se puede prmetrizr prtir de x. L figur ilustr un región que es proyetble en los tres plnos, por lo que es posible prmetrizrl prtir de ulquier de ls tres vribles rtesins.

34 5.7. CÁLCULO E INTEGRALES TRIPLES CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN Ejemplo: d l integrl x y f(x, y, z)dzdydx, enontrr l región de integrión R. En este so, qued lro que R { (x, y, z) R 3 z y, y x, x } (bst ver l orrespondeni entre signo integrl y diferenil). Luego, y está otdo por ls funiones ϕ (x) y ϕ 2 (x) x; en el plno xy se gener un triángulo. Además, z está otdo por ls funiones ψ (y) y ψ 2 (y) y; en el plno yz tmbién se gener un triángulo. Finlmente, omo y x, tenemos que z x, por lo que en el plno xz tendremos otro triángulo. Luego, l extender estos triángulos en ls oordends z, x e y, respetivmente, tendremos que l interseión nos d l región R que busmos, y que es extmente l región de l figur nterior. Qued omo ejeriio expresr l integrl nterior en tods sus 6 forms posibles. Enontrr los límites de integrión pr f(x, y, z)dv, donde R es l región que enierrn el prboloide de euión y x 2 + z 2 y el plno y 4. L región se ve gráfimente sí R Luego, no es difíil drse uent de que, en el plno xy, se form un región otd inferiormente por un prábol y superiormente por l ret y 4. Est región se desribe tomndo 2 x 2, x 2 y 4. Finlmente, de l euión de l prábol, podemos despejr z en funión de x e y, de form que x 2 y z x 2 y. Así, R qued ompletmente desrit y l integrl se esribe 2 4 x 2 y f(x, y, z)dv 2 x 2 x 2 y