CONSIDERACIONES TEORICAS Y PRAXIS DEL PROCESO DE JERARQUIA ANALITICA EN LA TOMA DE DECISIONES. Andrés E. Reyes Polanco. Profesor Asociado UCV

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1 CONSIDERACIONES TEORICAS Y PRAXIS DEL PROCESO DE JERARQUIA ANALITICA EN LA TOMA DE DECISIONES. Adrés E. Reyes Polaco. Profesor Asociado UCV Itroducció. La técica que a cotiuació cometamos fue desarrollada por el matemático T. M. Saaty durate los primeros años de la década de los ocheta. Su aplicació es ta amplia que discurre desde complejos problemas de política iteracioal hasta selecció de u software o de ua cartera de iversió. E este trabajo es el resultado de alguas aplicacioes realizadas e Veezuela por el suscrito, mostrado al fial de este puto las dificultades y limitacioes de la herramieta e diferetes situacioes. El método resulta secillo cuado hay u solo árbitro y pocos atributos, pero cuado estos atributos se ramifica e varios iveles y hay más de u decidor su aplicació preseta varios problemas. El caso se divide e los siguietes putos, e primer lugar se desarrolla el método, posteriormete se preseta ua propuesta dode se establece la relació que hay etre la teoría de la iformació y el problema de cosistecia del método, e seguida se platea uos cometarios geerales productos de la experiecia..- El método. El proceso de jerarquía aalítica (P.J.A) es u método que permite cosolidar las opiioes de uo o varios expertos cuado se está e la disyutiva de escoger etre varias opcioes, que o so fáciles de evaluar por el gra úmero de categorías implícitas. Para ello se defie diferetes iveles. E el primer ivel está la defiició del problema, e el segudo está los atributos e su expresió más alta. Cada uo de estos atributos se subdivide e sub-atributos defiiedo u uevo ivel. Esta operació de defiir iveles se efectúa tatas veces como sea ecesario. Partiedo de esta forma jerárquica, si o hay iformació previa de los atributos a u ivel o solo se tiee de alguos de ellos que permita hacer comparacioes, se costruye sucesivas matrices, que permite realizar comparacioes pareadas y, mediate el uso de auto vectores y auto valores puede determiarse cuál es el orde de importacia de cada atributo e los diferetes iveles. El Proceso de Jerarquía Aalítica tambié coocido como Método Aalítico de Jerarquía dará lugar a u árbol cuya forma geeral es:

2 Objeto geeral del proceso de decisió Nivel l Nivel 2. Atributo Atributo 2 Atributo 3 Atribut Atributo Nivel 3 Sub- Atribut o Sub- Atribut o 2 Sub- Atribut o 3 Sub- Atributo Sub- Atributo 2 Nivel k Alterativa de decisió Alterativa de decisió 2 Alterativa de decisió 3 Alterativa de decisió 4 Se puede observar que e el último ivel está las opcioes o alterativas. El siguiete paso, cosiste e la determiació de los pesos para clasificar las alterativas de decisió. Si se tiee e forma geeral, criterios e ua jerarquía cualquiera, etoces ecesitamos ua matriz de comparació x. Cada uo de estos criterios puede subdividirse e m i criterios, dado orige a matrices m i x m i, y así sucesivamete. E cuato al último ivel la iformació requerida de las opcioes debe correspoder a las que se posee del ivel imediatamete aterior. Supogamos que e u ivel cualquiera se está comparado tres atributos idepedietes etre si que llamaremos A, B y C la matriz de comparació pareada es: ATRIBUTOS A B C A B C Ua característica de esta matriz cuadrada es que la diagoal pricipal es ua costate igual a porque la comparació etre u mismo atributo es idiferete. Para cotiuar la comparació debemos teer presete los siguietes aspectos:

3 .-Hay que estar seguro que por la aturaleza de los atributos so idepedietes, la presecia de uo o codicioa para ada la de otro. 2.-Los valores que se asiga a las comparacioes debe cumplir co: 2.a Siempre es: A A. Por tato el úmero que se le asiga es uo. 2.b Si A f B, esto es, A es preferido a B y se le asiga el valor k, al hacer la comparació B co A se cumple B p A y por tato el valor asigado es /k. 2. c. Si A f B f C, etoces A f C, por tato si A f B se le asigó k y B f C se le asigó g, a A f C se le asigará u úmero m máximo (k,g). 2.d Si A es idiferete a B, esto es A es igualmete preferido a B: A B etoces, B A y el valor que se asiga es uo. 2.e Si A f B y B C etoces A f C y el valor que se le asiga a C es el mismo que el asigado a A f B. Sea a ij el elemeto de la i-ésima fila y la j-ésima columa de la matriz cuadrada A x (e dode su lectura por fila o por columa se asocia a los atributos) el cual puede tomar los valores eteros etre y 9, e dode a ij =, idica que tato el atributo i como el atributo j so igualmete importates, a ij =3 refleja que el atributo i es algo importate que el atributo j, a ij =5 idica que el atributo i es más importate que el atributo j, a ij =7 idica que el atributo i es mucho más importate que el atributo j, a ij =9 es el caso extremo dode el atributo i es extremadamete mucho mas importate que j. De esto se desprede que si a ij =k, a ji =/k. El problema es ecotrar la solució a la siguiete ecuació: A x x x- λx x =0 x E dode A x es la matriz de comparacioes pareadas, x x es u vector fila, 0 x es el vector ulo y λ es u valor real. Esta ecuació tiee solució distita a la trivial si y solo si el determiate de A x x x- λx x es cero. Al resolver el determiate se obtedrá u poliomio e λ. E efecto: A x x x- λx x =f(λ) Como el determiate debe ser ulo, etoces: f(λ)=0. Las raíces de f(λ) se deomia raíces características o auto valores y los vectores asociados a estas raíces se llama vectores característicos o auto vectores. Hay diferetes métodos de cálculo que permite obteer tato las raíces como los vectores. Pero, si la matriz de comparacioes se ha costruido tomado e cueta lo propuesto e los putos y 2 etoces la matriz de comparació, es perfectamete cosistete. Si este es el caso, etoces se podrá costruir ua ueva matriz partiedo de ésta, tal que la suma de los compoetes de cada vector columa suma uo, esto es: P= p ij, p ij = a ij / aij i=,2, y j=,2, ; i= ( p ij el símbolo se lee la matriz de elemetos p ij; i=,2, y j=,2, ; y cumple co p ij = a ij =). La matriz P se llama matriz de i= ij = para todo j ( p i= poderacioes iiciales. i= a ij / i=

4 Costruiremos la matriz P* que resulta de dividir cada columa de la matriz P por el elemeto que está e la posició que correspode al úmero de la columa, esto es, la primera columa se divide etre el primer elemeto, la seguda por el segudo elemeto de esta columa y así sucesivamete (P*= p ij / p jj ). Es fácil probar que: A=P* Partiedo de lo aterior defiimos el sistema de ecuacioes dado por: AP j =P*P j = λp j dode P j es u vector columa de la matriz P y λ= como puede comprobarse. Por tato, si la matriz A es cosistete etoces el primer valor característico es igual al úmero de atributos o criterios que se está evaluado. Postmultiplicamos esta matriz P por el vector (/) dode t = (,,,,) obteemos el vector de las medias por fila. Que es el vector característico o auto vector, cada elemeto de este vector sigifica la importacia de cada atributo e el ivel cosiderado, luego para cada ivel se costruirá las matrices y vectores, icluyedo el ivel de alterativas de decisió. Ua vez determiados todos los pesos e los diferetes iveles, se obtiee u ídice por ecadeamieto de los pesos para cada ua de las alterativas de decisió, es decir, para cada opció se obtiee uo y sólo u ídice mediate el cual se determia que opció es mejor detro de cada subatributo del último ivel. Ejemplo. Supogamos, que ua empresa desea adquirir ua ueva maquiaria tomado e cueta tres cualidades o categorias: a) tecología, b) costo y c)vida útil y mediate la aplicació de ua matriz de comparacioes obtuvo que la tecología y el costo tiee u peso cada uo de 30% y la vida útil el 40%. Hay tres maquiarias cadidatas a ser seleccioadas de acuerdo a estos atributos. El problema se preseta e forma de u árbol: Nivel Selecció Productos Nivel 2-a Pa=0,3 Nivel 2-b Pb=0,3 Nivel 2-c Pc=0,4 Producto Q a=0;3 Q b =0;2 Q c =0;5 Producto 2 Q 2 a=0;5 Q 2 b=0;4 Q 2 c=0; Producto 3 Q 3 a=0;2 Q 3 b=0;4 Q 3 c=0;4

5 El ivel uo se idica el problema, el siguiete las tres cualidades o categorías, co sus respectivas poderacioes. La primera cualidad 2-a tiee ua poderació de 0,3 y así las demás. El tercer ivel lo coforma las alterativas de maquiarias y sus poderacioes se obtiee mediate datos técicos proporcioados por los vededores. Si se observa los últimos cuadros correspodietes al último ivel puede otarse que para la categoría tecología a (Qa ) la maquiaria tiee ua poderació de 0,3; la maquiaria 2 tiee ua poderació de 0,5 y por último la maquiaria 3 ua poderació de 0,2 que al sumar da uo. Igual ocurre co las otras dos categorías. Para evaluar cada máquiaria, poderamos el peso que tiee cada ua de las categorías por el peso correspodiete del ivel superior. P=0,3x0,3+0,3x0,2+0,4x0,5=0,35 P2=0,3x0,5+0,3x0,4+0,4x0,=0,3 P3=0,3x0,2+0,3x0,4+0,4x0,4=0,34 E este caso el mejor es la maquiaria. Geeralmete, o se puede garatizar la cosistecia de ua matriz la primera vez que se trabaja, por tato hay que estudiar la cosistecia de la matriz de comparació, que e forma geeral se platea así: se calcula el ídice de cosistecia de A dado por: IC= (λ-)/(-), el ídice de cosistecia aleatorio dado por: ICA=,98(-2)/ y la razó de cosistecia que está dada por: (λ )/,98(-)(-2), si esta razó es meor que 0,, el ivel de icosistecia es, segú Saaty muy aceptable. Si las matrices so cosistetes, se pasa al ordeamieto de las variables o categorías segú el valor del elemeto que le correspode e el auto valor e cada ivel. Cuado se tiee u solo evaluador y u solo ivel de comparació co pocos atributos el problema se resuelve si igua dificultad, de hecho se puede emplear el Excel si recurrir a algú software especializado. Difícilmete, u evaluador frete a matrices de orde meor a cuatro tedrá mayores problemas para obteer matrices cosistetes, el problema surge cuado hay varios iveles co matrices de orde superior a tres. Cuado existe varios iveles es ecesario estudiar la cosistecia global, o solamete la cosistecia e cada ivel. Para estudiar la cosistecia global partimos como sigue: ICG=IC del segudo ivel + (autovector del segudo ivel)x( vector de IC del tercer ivel)+(autovector del tercer ivel)x(vector de IC del cuarto ivel)+.+(autovector del ivel k-)x( vector de IC del ivel k) Ahora bie, es frecuete que e ua empresa participe varios evaluadores cosiderados como expertos. Cuado existe varios evaluadores para u mismo problema que afecta a ua orgaizació hay que estudiar la cocordacia etre los evaluadores. Para ver la cocordacia etre todos los expertos o evaluadores, se emplea el coeficiete de cocordacia W de Kedall que viee dado por: W=2 (Ri*-R*) 2 /( 2 -) i=

6 Dode: R i *= promedio de los ragos asigados al i-ésimo objeto. R*= la media de todos los ragos asigados. = el úmero de factores o atributos evaluados. ( 2 -)/2= suma máxima posible de los cuadrados de las desviacioes El máximo valor que puede alcazar (Ri*-R*) es ( 2 -)/2 y el míimo es cero i= Por tato 0 W, mietras más cercao se esté de uo, mejor es la cocordacia, puesto que de la forma que está defiido este estadístico, a valor mayor de correlació etre el cojuto de ragos, mayor es la cocordacia. La hipótesis que se establece es H 0 W=0, cotra la alterativa: H W>0. Si el úmero de factores o atributos es mayor que siete (>7) el estadístico que se emplea para cotrastar la hipótesis ula es: X 2 =k(-)w dode k es el úmero de evaluadores. Este estadístico bajo la hipótesis ula tiee ua ley X 2 co - grados de libertad. Si este valor es mayor que el valor del cuatil asociado a u ivel de sigificació preestablecido de ua X 2 co - grado de libertad, etoces rechazamos la hipótesis H 0 W=0. E el caso de que el úmero de evaluadores k esté compredido etre tres y veite y el úmero de criterios a ordear sea igual o meor a siete se tiee tablas para realizar el cotraste co la distribució exacta. Resumiedo esta metodología requiere:.-la costrucció de u istrumeto especial que permita recoger las comparacioes realizadas e cada ivel y por cada uo de los expertos e las diferetes áreas. 2.-Estudiar la cosistecia de cada ua de las matrices mediate la aplicació del ídice de cosistecia y razó de cosistecia. 4.-Estudiar la cosistecia global. 3.-Estudiar la cocordacia o acuerdo de las opiioes de los expertos mediate el estadístico W de Kedall, cuado existe mas de dos expertos. 4.-Elimiar o aplicar uevamete el istrumeto e aquellos casos e dode se determie icosistecia. a.- Cálculo del autovector y del autovalor. El cálculo de autovectores y autovalores parte de la siguiete relació: AP j =P*P j = λp j, esto es equivalete a aij P j = p* ij P j =λp i, i=,2, j= j=

7 dode a ij es el elemeto de la fila i y de la columa j de la matriz A, p* ij es el elemeto de la fila i y de la columa j de la matriz P*, p i es elemeto i del vector característico Pj. De las igualdades ateriores obteemos ua forma aproximada de obteer el vector característico y el autovalor: λ= I ( j a ij p j / p i )/ Multiplicado la matriz P por el vector (/) dode t = (,,,,) obteemos: Pj=(/)P. Ejemplo 5 Veremos u ejemplo para ilustrar el procedimieto. De cada matriz de comparacioes se obtiee el autovector y autovalor usado los siguietes pasos: Se costruye ua ueva matriz de la siguiete forma. E primer lugar se suma los valores de cada columa por separado, ua vez realizada la suma se divide cada elemeto de la columa etre la suma obteida. Cada vez que se realiza esta operació se está obteiedo ua columa de la ueva matriz. Para aclarar este puto cosideremos ua matriz de comparacioes pareadas 6x6. ATRIBUTO ATRIBUTO2 ATRIBUTO3 ATRIBUTO4 ATRIBUTO5 ATRIBUTO6 ATRIBUTO 0, ,5 0, , ATRIBUTO2 3 0,5 0, ,2 0,2 ATRIBUTO , , ATRIBUTO , , ATRIBUTO ATRIBUTO La suma de la primera columa es catorce (4), etoces, cada elemeto de esta columa se divide etre esta catidad obteiédose los elemetos de la primera columa de la ueva matriz: (0, , 0,242857, 0,242857, 0,242857, 0, , 0,242857) T. Puede observarse que la suma de estos valores da la uidad. Para obteer la seguda columa de la ueva matriz, se toma los elemetos de la seguda columa de la matriz origial y se suma lo que da veitiuo (2), ahora cada elemeto de esta columa se divide etre este úmero obteiedo la seguda columa de la ueva matriz ( 0,05625, 0,046875, 0,234375, 0,234375, 0,234375, 0,234375) T y así sucesivamete hasta obteer la ueva matriz la cual se llama matriz ormada. MATRIZ NORMADA 0, , , ,02 0, , , , , ,02 0, , , , , ,06 0, , , , , ,06 0, , , , , ,42 0, , , , , ,42 0, ,

8 2.-Para obteer el autovector procedemos como sigue: se suma la matriz por fila y el resultado se divide etre el úmero de columas que tiee la matriz, cada vez que se realiza esta operació se obtiee u elemeto del auto vector. AUTOVECTOR 0, , ,023 0,023 0, , El primer valor del auto vector se obtuvo como sigue: (0, , , ,02 +0, ,627907)/6=0, La iterpretació de los elemetos del autovector es que mide el peso o importacia que tiee cada atributo, e el ejemplo, el atributo umero seis es el más importate: 0, Para obteer el auto valor, e primer lugar se multiplica la matriz origial por el auto vector obteiédose u uevo vector: MATRIZ ORIGINAL POR AUTOVECTOR 0, , , , , , Cada elemeto de este vector se divide etre cada elemeto del auto valor y luego se suma y se divide etre el úmero de sumados. El resultado es el primer auto valor de la matriz A λ=(0, /0, , /0, , /0,023+0, /0, 023+2, /0, , /0, )/6=8, Ua vez obteido el auto valor, que deotamos por λ se obtiee el ídice de cosistecia dado por: (λ )/(-)= 0,

9 Luego, obteemos el ídice de cosistecia aleatorio dado por:,98(-2)/=, , fialmete calculamos la razó de cosistecia que está dada por: (λ )/,98(-)(- 2)= 0, como esta razó o es meor que 0,, el ivel de icosistecia o es aceptable. Si se tiee varios evaluadores se promedia los autovalores de aquellos cuya icosistecia es aceptable, es decir, la razó de cosistecia es meor a 0,. b.- Cálculo de la cocordacia. Supogamos que teemos tres evaluadores de los cuales poseemos sus autovectores y los ragos asigados a los mismos: Evaluador Rago Evaluador2 Rago Evaluador 3 Rago 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , Los ídices de cosistecia de cada evaluador es 0, para el primero, 0, para el segudo y 0,099 para el tercero. Para el estudio de la cocordacia empleamos el estadístico de Kedall el cual se obtiee mediate: W=2 (Ri*-R*) 2 /( 2 -). i= La forma de calcular este estadístico es como sigue:.-se calcula el promedio de los ragos de cada atributo: Rago Rago2 Rago 3 R i * , , , , ,66

10 2.-Luego se calcula el promedio de R*:=3,5 3.-La suma de los cuadrados de los desvíos ( -3,5) 2 +(3,66-3,5) 2 +(3,66-3,5) 2 +(4,66-3,5) 2 +(3,33-3,5) 2 +(4,66-3,5) 2 )=9,05 Fialmete se obtiee W=0,574.. U valor alto de W puede iterpretarse como u reflejo de que los k evaluadores está aplicado los mismos estádares al asigar ragos a las categorías o atributos bajo estudio. Para cotrastar la hipótesis si el úmero de objetos evaluados es mayor que siete (>7) etoces aplicamos: X* 2 =k(-)w Si este valor es mayor que el valor del cuatil asociado a u ivel de sigificació preestablecido de ua X 2 co - grado de libertad o calculamos P(X 2 > X* 2 ) y si es meor al ivel de sigificació α rechazamos la hipótesis ula H 0 W=0. Para valores <7 hay tablas de la distribució exacta bajo la hipótesis ula dispoibles para realizar el cotraste. 2.-Iformació y cosistecia. E este puto cosideramos la catidad de iformació coteida e el vector característico, para ello cosideramos el caso que todos los atributos so igualmete idiferete esto es: A x ==, luego el auto vector está formado por elemetos iguales a: / por tato λ=. Si ahora tomamos la fució de etropía dada por: H=- i= pj log b p j La fució de etropía tiee dos iterpretacioes, ates de realizar el experimeto es ua medida de idetermiació y después de realizado es ua medida de iformació promedio. Esta fució se hace máxima para p i =/ para todo i, y el máximo es log (b) ( log (b). se lee logaritmo de base b de, e dode si b=2, se habla de bit y si es de base 0 de it ). Llamamos H s a la fució para cualquiera otro valor de P j co la codició que sea diferetes para todo o casi todo j, etoces: H-H s es la catidad de iformació gaada. Ahora, cosideremos ua matriz de comparació x co todos sus elemetos iguales a ua costate a: a co a,a tal matriz la llamaremos ua matriz de comparació impropia de primer tipo. Se puede demostrar que esta matriz tiee máxima etropía y altísima icosistecia (cuado tiede a aumetar la icosistecia se acerca a: a-), su auto valor mayor es λ=a. Si a=, es ua matriz de comparació impropia de segudo tipo, ella tedrá máxima etropía e icosistecia ula puesto que su auto valor mayor es λ=.

11 Cosideremos ua matriz de comparació cualquiera A siempre tedrá mayor iformació que las matrices de comparació impropias uo y dos. Por otra parte, tedrá meor o igual icosistecia que la matriz del tipo uo y mayor o igual a la matriz del tipo dos. Si IC(.) e If(.) so ídices de icosistecia e iformació, lo aterior se resume como: If(A) If() If(A) If(2) IC() IC(A) IC(2). Mietras mayor sea la cosistecia (meor icosistecia) de ua matriz de comparació, mayor será su iformació e el setido que se ha defiido como la diferecia de dos fucioes de etropía. Cosideremos ahora que se puede dar u ivel de icosistecia asociado al auto vector P j y que es posible dismiuir tal ivel y corregirlo dado lugar a u uevo auto vector Q j.el problema es cua ta grade ha sido la modificació del criterio de poderacioes. Para respoder a este problema tomaremos ua propuesta de H. Theil adaptádola co ua ueva iterpretació mas apropiada al problema que os ocupa. Usado la misma otació de H. Theil teemos: I(P j,q j )= j qj log q j / p j Siedo p j y q j respectivamete elemetos de P j y Q j. I(P j,q j ) /2 j qj ((p j q j )/ q j ) 2 =/2 (pj q j ) 2 / q j j Si este estadístico toma u valor muy grade es de presumir que p j - q j 0, para al meos algú j. La hipótesis ula es H o : p j q j =0, para todo j y la alterativa H : p j q j 0 para al meos algú j. Este estadístico sigue ua ley Χ 2 co - g.l, bajo la hipótesis ula. Si la hipótesis ula o se rechaza o se ha presetado ua mejora e la icosistecia. Asumiedo que la matriz de comparació es cosistete, etoces el suceso de cumplimieto expuesto e el puto 2, tiee probabilidad igual a. 3.-Cometarios geerales. Empezaremos el cometario sobre el método, idicado sus limitacioes e la aplicació. Como dijimos ateriormete es fudametal que los atributos e u ivel sea idepedietes etre sí icluso e su desagregació a iveles iferiores. E problemas co u solo árbitro, o es tato el úmero de iveles sio el orde de cada matriz de comparació cuado o hay datos estadísticos que avale las preferecias. Es corriete e estos casos, que se presete icosistecias e uo o varios iveles. U problema comú es cuado se tiee varios árbitros o jueces pero y o existe la icosistecia por el orde de las matrices e los diferetes iveles, sio que el problema es la cocordacia.

12 Hay situacioes que resulta algo más complejas: los iveles so evaluados por árbitros distitos y además el orde de las matrices es mayor de cuatro. Esto ocurre cuado el problema es lo suficietemete complejo que requiere la participació de u grupo de expertos distito para algú ivel o para todos. Fialmete, se preseta el caso que o exista uo o varios árbitros que tega ua visió cofiable de cojuto y por tato o se pueda termiar el árbol. A pesar de lo idicado ateriormete, el método como herramieta para la toma de decisioes resulta satisfactorio cuado el trascurrir del tiempo muestra que se ha tomado ua buea decisió o porque hay estudios similares que así lo avala o, cuado se ha usado el método acompañado co otra técica, y es posible cotactar que los resultados o se cotradice. Para resumir lo aterior daremos el siguiete cuadro: Causa Problema Solució. Complejidad. Falta de cosistecia.-falta Revisió de la cosistecia.-número de jueces 2.- Número de iveles de cocordacia repetició del experimeto, Aplicar T.G.N 3.-Orde de las matrices Falta de cosistecia ídem Coocimieto..-Defiició iadecuada de la jerarquía. 2.-Descoocimieto de las reglas de asigació de valores- Falta de cosistecia Redefiir el cojuto de categorías y sus divisioes. Iducció sobre el método BIBLIOGRAFÍA..-Caada; R,J. Sulliva; W,G. White; J,A. (997) Aálisis de la Iversió de Capital para Igeiería y Admiistració. Cap 20. El proceso de jerarquía aalítica. Pretice Hall.. México. 2.-Reyes P. A,E (999). Estudio estadístico del sistema de arma 5,56x45mm. Capítulo 3: Aplicació del proceso de jerarquía aalítico de los miembros del comité para la selecció del fusil de asalto. DARFA. 3.-Reyes P. A,E (200). Uso del proceso de jerarquía aalítica para la evaluació y selecció de taletos. Grupo BC.

13 4.- Reyes P. A,E (2002). Estudio estadístico del sistema de evaluació de la Escuela Superior de Guerra Naval. Capítulo 2 Opiió de evaluadores. ESGN. 5.- Reyes P. A,E (2002). Aplicació del proceso de jerarquía aalítica para la selecció de ua solució tecológica para seguros. Baesco Seguros. 6.-Siegel S. Castella N,J.(997) Estadística o paamétrica aplicada a la ciecia de la coducta. Cap.8: Medidas de asociació y sus pruebas de sigificació. Trillas. México. 7.-Taha H (997) Ivestigació de Operacioes-Ua itroducció. Cap.4: Aálisis de decisió y juego. Pretice Hall. México. 8.-Theil H (97). Cap. 2:Frotiers of ecopmetrics. Joh Wiley ad Sos, Ic. New York.