Capítulo 2: Potencias y raíces
|
|
- Alicia María Josefa Aguilar Carrasco
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas. º B de ESO Capítulo : Potecias y raíces Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
2 1 Potecias y raíces. º B de ESO Ídice 1. OPERACIONES CON POTENCIAS 1.1. PRODUCTO DE POTENCIAS 1.. COCIENTE DE POTENCIAS 1.. POTENCIA DE UN PRODUCTO 1.. POTENCIA DE UN COCIENTE 1.. POTENCIA DE OTRA POTENCIA. POTENCIAS DE NÚMEROS RACIONALES.1. POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE NEGATIVO.. PRODUCTO DE POTENCIAS DE BASE RACIONAL.. COCIENTE DE POTENCIAS DE BASE RACIONAL.. OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS. NOTACIÓN CIENTÍFICA.1. NÚMEROS GRANDES Y NÚMEROS PEQUEÑOS.. OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA. RAÍCES.1. RADICALES DE ÍNDICE CUALQUIERA.. POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO.. EXTRACCIÓN DE FACTORES DE UN RADICAL.. OPERACIONES CON RADICALES.. OPERACIONES COMBINADAS.6. RAÍCES CUADRADAS Resume E este capítulo utilizamos los grades úmeros, las potecias, que os permite describir de maera más fácil la imesidad del Uiverso, epresar sus distacias, la masa de los cuerpos celestes, el úmero de galaias, estrellas y plaetas. Tambié os fijaremos e los pequeños úmeros, el mudo microscópico epresado e forma de potecia de epoete egativo. Utilizaremos la otació cietífica para grades y pequeños úmeros. Repasaremos las operacioes co potecias de epoete u úmero atural, itroduciedo las potecias co epoetes egativos y racioales. Ya coocemos las potecias de base u úmero atural, ahora usaremos las mismas ideas utilizado bases de úmeros egativos y racioales. Ya cooces los radicales, ahora veremos que u radical es ua potecia de epoete u úmero fraccioario y que podemos utilizar las propiedades de las potecias co ellos. Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
3 Potecias y raíces. º B de ESO 1. OPERACIONES CON POTENCIAS Recuerda que la potecia a de base u úmero atural a y epoete atural es u producto de factores iguales a la base: a = a a a... factores... a ( > 0) El factor que se repite es la base y el úmero de veces que se repite es el epoete. Al resultado se le llama potecia. Ya cooces las propiedades de las operacioes co potecias, que vamos a repasar. E este capítulo veremos que si el epoete o si la base es u úmero egativo o fraccioario, esas propiedades se matiee. epoete = 6 base potecia Recuerda: a 0 = 1 1 m = 1 (1) m = 1 m par (1) = 1 impar 0 = 0 a = a Producto de potecias Co la misma base El producto de potecias de la misma base es otra potecia co la misma base y de epoete, la suma de los epoetes. b m b b p = b m++p () () () () 6 = () +( ) + +( 6) = () = 1/() = 1/ 1 Co el mismo epoete El producto de potecias co el mismo epoete es otra potecia cuya base se calcula multiplicado las bases, elevada al mismo epoete. a m b m c m = (a b c) m () () (1) () = [() () (1) ()] = (+60) = Cociete de potecias Co la misma base El cociete etre dos potecia de la misma base es otra potecia co la misma base y su epoete se calcula restado los epoetes. (1) 7 : (1) = (1) 7 = (1) c m : c = c m Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
4 Potecias y raíces. º B de ESO Co el mismo epoete Para dividir potecias co el mismo epoete, se divide las bases y el resultado se eleva al mismo epoete. 18 : = (18/) = 6 () : (1) = (/1) a b Potecias de epoete etero egativo Ua potecia de base real a 0, y epoete atural < 0 es el iverso de la misma co epoete positivo. 1 a a La epresió a puede ser el resultado de dividir dos potecias de la misma base, ya que: a : a y = a y si < y (y) < 0. 6 : 6 8 = 6 8 = 6 = 1/6 1.. Potecia de u producto La potecia de u producto puede calcularse realizado primero el producto y elevado el resultado a dicha potecia o bie, elevado cada uo de los factores a dicha potecia y realizado después el producto. a b (a b c d) = a b c d [() (+) ()] = (+0) = = () (+) () = (8) (+1) (6)= Potecia de u cociete La potecia de u cociete puede calcularse efectuado primero el cociete y elevado el resultado a dicha potecia, o bie elevar dividedo y divisor a la potecia y después efectuar el cociete. (a : b) m = a m : b m [( ) : ()] = (/) = (1,) = +1,6 = () : () = : 16 = 1,6 1.. Potecia de otra potecia Al elevar ua potecia a otra potecia obteemos ua potecia co la misma base y cuyo epoete es el producto de los epoetes: (( ) ) 6 = ( ) 6 = ( ) 18 ((d) m ) = d m Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
5 Potecias y raíces. º B de ESO Actividades resueltas Se cueta que el ivetor del ajedrez se lo mostró al rey Shirham de la Idia, que se etusiasmó tato que le ofreció regalarle lo que quisiera. El ivetor pidió u grao de trigo para la primera casilla, dos para la seguda, para la tercera, y así duplicado la catidad e cada casilla. Cuátos graos de trigo habría que poer e la última casilla, e la 6? Observamos que el úmero de graos de trigo de la casilla es 1 por lo que debemos calcular 6. Calculamos =. Luego: ( ) = = 16 (( ) ) = 8 = = 6 ((( ) ) ) = ( 8 ) = 16 = 6 6 = 66 (((( ) ) ) ) = ( 16 ) = = = ((((( ) ) ) ) ) = ( ) = 6 = = Y ahora, para calcular 6 podemos dividir potecias de la misma base: 6 = 6 / = graos de trigo, u úmero eorme y difícil de maejar. Para calcular el úmero total de graos de trigo observamos que la suma de graos hasta la casilla es por lo que etoces debemos calcular 6, que estimado 100 graos por kg da poco más de 1 billoes de Tm y eso correspode a la producció mudial de 168 años. Imposible que el rey tuviera tato trigo! Actividades propuestas 1. Determia el sigo de las potecias: (1) 9 () 1 (1) (8) Alga maria (fotografía microscópica). Epresa e forma de ua úica potecia: (7) (7) (7) (7) 6 () () 7 () () (). Epresa e forma de potecia: (6) () (1) (). Epresa e forma de potecia: (8) 9 : (8) () : () 7. Epresa e forma de potecia: (+7) : () () 8 : ( 8) 8 6. Epresa e forma de potecia: (() ) 6 ((7) ) Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
6 Potecias y raíces. º B de ESO. POTENCIAS DE NÚMEROS RACIONALES La potecia de u úmero racioal es otro úmero racioal cuyo umerador y deomiador queda elevados a dicha potecia. a b a b.1. Potecias de base racioal y epoete egativo El resultado de elevar u úmero racioal a ua potecia egativa es otra potecia cuya base es el úmero racioal iverso, elevado al mismo epoete, positivo. (/9) = (9/) a b.. Producto de potecias de base racioal Se matiee las propiedades de las potecias de base u úmero atural. Co la misma base El resultado de multiplicar potecias co la misma base es otra potecia co la misma base y epoete la suma de los epoetes. b a (a/b) m (a/b) (a/b) p = (a/b) m++p (/) (/) (/) (/) = (/) +1+( )+ = (/) Co el mismo epoete El resultado de multiplicar potecias co el mismo epoete es otra potecia cuya base es el producto de las bases, elevada al mismo epoete. (a/b) m (c/d) m (e/f) m = [(a/b) (c/d) (e/f)] m (/) (1/) (/) = [(/) (1/) (/)] = (6/60) = (1/10) Actividades propuestas 7. Calcula: a) (/) b) (/7) c)(1/6) d) (/) 8. Epresa como úica potecia: a) (/) (/) ((/) 8 b) (1/8) (1/8) (1/8) 16 6 Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
7 6 Potecias y raíces. º B de ESO 9. Epresa como úica potecia: a) (/) 6 (/) 6 (1/7) 6 b) (/) (/8) (1/).. Cociete de potecias de base racioal Co la misma base El resultado de dividir potecias co la misma base es otra potecia co la misma base y el epoete la diferecia de los epoetes. (1/) : (1/) = (1/) = (1/) 1 Co el mismo epoete (a/b) m : (a/b) = (a/b) m El resultado de dividir potecias co el mismo epoete es otra potecia cuya base es el cociete de las bases, elevada al mismo epoete. (a/b) m : (c/d) m = [(a/b) : (c/d)] m (/) : (7/8) = [(/) : (7/8)] = (/8) = (6/7) = (7/6).. Operacioes combiadas co potecias ( ) ( ) ( ) 8 6 ( ) ( ) ( ) 1 86 ( ) ( ) (9 ) ( ) ( ) Actividades propuestas 10. Calcula: ( ) ( ) 1 ( ) 0 a) (/) : (/) 7 b) (/8) : (/8) 11. Calcula: a) (1/) : (/9) b) (6) : ( /9) 1. Calcula: 1 ( ) ( ) ( ) = 106. a) ( ) 1 6 b) Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
8 7 Potecias y raíces. º B de ESO. NOTACIÓN CIENTÍFICA.1. Números grades y úmeros pequeños U úmero epresado e otació cietífica está formado por u úmero decimal cuya parte etera está etre 1 y 9, multiplicado por10, siedo u úmero etero positivo o egativo. a 10 siedo 1 a 9 Si el epoete es positivo se utiliza para epresar úmeros grades y si el epoete es egativo para epresar úmeros pequeños =, , =, Actividades resueltas E la leyeda del ajedrez utilizamos úmeros muy grades. Si o os iteresa tata aproimació sio haceros ua idea úicamete de los grades que so, podemos usar la otació cietífica. Ua aproimació para el úmero de graos de trigo de la casilla 6 es , co lo que os hacemos ua idea mejor de lo eorme que es que co el úmero: que da u poco de mareo. Escribe e otació cietífica: 16, y 6 16 = 66 6, 10 = = = = 1, Operacioes co otació cietífica Suma o diferecia Para realizar sumas y restas, co epresioes e otació cietífica, se trasforma cada epresió decimal de maera que se iguale los epoetes de 10 e cada uo de los térmios Para calcular , , 10 epresamos todos los sumados co la misma potecia de 10, eligiedo la meor, e este caso 10 : , 10 Sacamos factor comú: 10 ( ,) = 016, 10 =, Producto El producto de epresioes e otació cietífica es el resultado de multiplicar los úmeros decimales y sumar los epoetes de base 10. Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
9 8 Potecias y raíces. º B de ESO, 10 1, = (, 1,6) =, Cociete El cociete de dos epresioes e otació cietífica es el resultado de dividir los úmeros decimales y restar los epoetes de base 10., 10 9 : 10 7 = (, : ) = 1, 10 Actividades resueltas Para hacer el cociete para calcular 6 dividiedo 6 etre e otació cietífica: 6 = 6 / = 1, / = 0, = Usa la calculadora Las calculadoras utiliza la otació cietífica. Muchas calculadoras para escribir escribe 9e Utiliza tu calculadora para obteer 16, y 6 y observa cómo da el resultado. 1. Utiliza la calculadora para obteer tu edad e segudos e otació cietífica. Actividades propuestas 1. Efectúa las operacioes e otació cietífica: a) 0, , 10 b) , , Efectúa las operacioes e otació cietífica: a) (1, 10 ) (6,1 10 ) b) (, ) ( 10 6 ) (, 10 ) 17. Efectúa las operacioes e otació cietífica: ( 10 8 ) : (1, 10 ) b) (, 10 ) ( 10 ) : (6, ) 18. Se estima que el volume del agua de los océaos es de km y el volume de agua dulce es de km. Escribe esas catidades e otació cietífica y calcula la proporció de agua dulce. 19. Se sabe que e u átomo de hidrógeo el úcleo costituye el 99 % de la masa, y que la masa de u electró es aproimadamete de 9, kg. Qué masa tiee el úcleo de u átomo de hidrógeo? (Recuerda: U átomo de hidrógeo está formado por el úcleo, co u protó, y por u úico electró) 0. A Jua le ha hecho u aálisis de sagre y tiee milloes de glóbulos rojos e cada mm. Escribe e otació cietífica el úmero aproimado de glóbulos rojos que tiee Jua estimado que tiee litros de sagre. Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
10 9 Potecias y raíces. º B de ESO. RAÍCES.1. Radicales de ídice cualquiera La raíz eésima de u úmero a es u úmero que al elevarlo a, da como resultado a. a = a. Recuerda: = ídice de la raíz a = radicado = a raíz La raíz cuadrada de u úmero real o egativo a es u úico úmero o egativo que elevado al cuadrado os de a: a a, a 0, 0. Observació No cofudas resolver ua ecuació, = 9, que tiee dos raíces, y, co calcular ua raíz, como 9 que es úicamete. Imagia que lío ta horrible sería calcular si el resultado pudiera ser: = 6, o bie, 1 = 0, o bie + 1 =, o bie 1 + = La raíz eésima de u úmero e el campo real o o eiste o es úica. Observa que 1 o eiste e el campo real. Nigú úmero real al elevarlo al cuadrado da u úmero egativo. Sólo podemos calcular raíces de epoete par de úmeros positivos. Si embargo 1 = 1, pues ( 1) ( 1) ( 1) = 1. Actividades resueltas Cuáto mide el lado de ua habitació cuadrada embaldosada co 1 baldosas de cuadradas de cm de lado? Cada lado tedrá 1 = 1 baldosas, que mide cm, luego medirá 1 = 00 cm = m de largo. E u depósito cúbico cabe 1000 cubos de 1 dm, cuáto mide su arista? Y si cabe 1167 cubos? Calculamos 1000= 10. La arista mide 10 dm. Calculamos ahora 1167=. La arista mide dm porque = Calcula 6 ; 8; 7 ; Las raíces de radicado egativo e ídice impar, si eiste: 6 = ; 8 = ; 7 = ; 1000 = 10. Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
11 0 Potecias y raíces. º B de ESO.. Potecias de epoete fraccioario Se defie 1 como : 1 = m Por tato, la potecia puede epresarse e forma de radical, de maera que será el ídice de la raíz y m el epoete del radicado. m = m / = Las propiedades de las potecias de epoete fraccioario coicide co las de las potecias de epoete u úmero atural. Actividades resueltas Simplifica los radicales , 7 usado potecias de epoete fraccioario. Escribimos el radical como potecia de epoete fraccioario y simplificamos las fraccioes: Calcula 8 y 7000 factorizado previamete los radicados Calcula 0, ; y 6 1 0, Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
12 1 Potecias y raíces. º B de ESO.. Etracció de factores de u radical Teemos m = m co m >, para etraer factores de la raíz realizamos el cociete: m dividido etre tiee de cociete p y de resto r: m = p + r. El resultado es pr r p m pr = p r. Si m >, m = m = p r. = = = = 1 1 Actividades propuestas 1. Calcula todas las solucioes: a) 11 b) 8 c) d) 1 e) 7 1. Epresa e forma de radical a) () / b) 8 1/ c) /. Etrae los factores posibles e cada radical: a) a 6 b b) 6 6 c) 9.. Operacioes co radicales Como los radicales se puede escribir como potecias, tiee las propiedades que ya cooces de las potecias. Raíz de u producto La raíz de u producto es igual al producto de las raíces de los factores y z y z 8 76 = = = Raíz de u cociete La raíz de u cociete es igual al cociete de la raíz del dividedo y la raíz del divisor y y Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
13 Potecias y raíces. º B de ESO = Raíz de ua raíz Recuerda Hay operacioes co radicales que NO está permitidas. 10 = 100= 6 6 que es distito de: = = 1 La raíz de ua raíz es igual a otra raíz co el mismo radicado y cuyo ídice es el producto de los ídices m m.. Operacioes combiadas / y 1/ = y y 7 7 Actividades propuestas. Epresa e forma de producto o de cociete: a) 7 a b b) 7 c) 6. Epresa e forma de úica raíz: a) 18 b) 6. Epresa e forma de potecia: a) b) 7. Simplifica la epresió: 11 a) b) d) y Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
14 Potecias y raíces. º B de ESO.6. Raíces cuadradas Ya sabes que: La raíz cuadrada eacta de u úmero a es otro úmero b cuyo cuadrado es igual al primero: a b b a Al poder costruir u cuadrado de lado co cuadrados pequeños se dice que es la raíz cuadrada de, ya que =, y por tato decimos que es la raíz cuadrada de, es decir:. Obteer la raíz cuadrada eacta es la operació opuesta de elevar al cuadrado. Podemos costruir u cuadrado de lado co 9 cuadrados pequeños, por tato como = 9 etoces: 9. Al escribir 6 8 se lee que la raíz cuadrada de 6 es 8. Al sigo se le deomia radical, se llama radicado al úmero colocado debajo, e este caso 6 y se dice que el valor de la raíz es 8. Sabemos que el área de u cuadrado es 11 cm, cuáto vale su lado? Su lado valdrá la raíz cuadrada de 11. Como 11 = 11, etoces la raíz cuadrada de 11 es 11. El lado del cuadrado es 11. Se puede costruir u cuadrado co 7 cuadrados pequeños? Observa que se puede formar u cuadrado de lado, pero sobra cuadrados pequeños, y que para hacer u cuadrado de lado falta cuadrados pequeños. El úmero 7 o es u cuadrado perfecto, o tiee raíz cuadrada eacta porque co 7 cuadrados pequeños o se puede costruir u cuadrado. Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
15 Potecias y raíces. º B de ESO Es más, aquellos úmeros aturales que o tiee raíz cuadrada eacta, su epresió decimal es u úmero irracioal, co ifiitas cifras decimales o periódicas. Pero podemos afirmar que < 7 <. Como es u cuadrado perfecto y =, y 9 es tambié otro cuadrado perfecto y 9 =, los úmeros,, 6, 7, y 8 o so cuadrado perfectos y su raíz cuadrada es u úmero irracioal. Co más dificultad se puede aproimar esos valores, así,6 < 7 <,7, (Multiplica,6 por sí mismo, y,7 por sí mismo, y comprueba que se verifica la desigualdad) o podemos obteer más cifras decimales:,6 < 7 <,6, o bie,6711 < 7 <,671. Podemos ecotrar u valor aproimado de la raíz. Para calcular raíces cuadradas puedes utilizar la calculadora, co la tecla Es importate coocer los cuadrados perfectos, pues metalmete, te ayuda a saber etre qué valores eteros está la raíz cuadrada que quieres calcular. Observa que: El cuadrado de u úmero, positivo o egativo, es siempre u úmero positivo. Luego o eiste la raíz cuadrada de u úmero egativo. Actividades propuestas 8. Escribe la lista de los 1 primeros cuadrados perfectos. 9. Calcula metalmete e tu cuadero las siguietes raíces: a) 9 b) c) 100 d) 6 e) 81 f) 1 g) Calcula metalmete e tu cuadero las aproimacioes eteras de las siguietes raíces: a) 1 b) 7 c) 10 d) 6 e) 80 f) g) Idica qué raíces cuadradas va a ser úmeros aturales, cuáles úmeros irracioales y cuáles o eiste: a) 6 b) c) 100 d) e) 7 f) 10 g) 100. Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
16 Potecias y raíces. º B de ESO CURIOSIDADES. REVISTA Células solares de silicio de tamaño microscópico El programa de Tecología Solar del Departameto de Eergía de Estados Uidos, e su objetivo de coseguir mayor eficiecia e la producció de eergía solar, ha creado células microscópicas de silicio. Estas células utiliza 100 veces meos material de silicio policristalio de 0 micrómetros de grosor co u sigificativo coste meor de fabricació. Estas células covierte casi u 1 % de la luz solar e eergía eléctrica. La cruz de Eistei Sabías que a las operacioes e otació epoecial tambié se las llama de coma flotate" porque el epoete equivale a la posició del decimal? E los ordeadores, la potecia de cálculo se mide e mflops, o miles de operacioes e coma flotate por segudo, e igles floatig poit operatios per secoud, abreviado "flops". Tu ordeador igual puede hacer u milló de estas operacioes por segudo, u "giga flops"! Albert Eistei había auciado, a partir de su teoría de la relativiadad geeral, el llamado espejismo cósmico o "lete gravitacioal". Este efecto puede eplicar la formació de cuatro o más imágees a partir de ua sola fuete muy distate. La cruz de la image resultó ser u solo quásar situado a uos milloes de años luz al que se llamó Cruz de Eistei, cuya luz queda curvada e su trayectoria por ua galaia lete situada diez veces más cerca. Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
17 6 Potecias y raíces. º B de ESO La presecia de las bacterias Se estima que eiste 100 milloes de bacterias, de 600 especies diferetes, por cada milímetro cúbico de saliva y 0 milloes de bacterias e u gramo de tierra. Alguos cietíficos calcula que e el iterior de la Tierra podría haber hasta billoes de toeladas de bacterias, de maera que si todas estuviera sobre la superficie, cubriría uestro plaeta hasta ua altura de 1 metros. Hay mucha más vida e el iterior que e el eterior. E el Papiro de Ajmeed (160 a.c.) se muestra cómo los egipcios etraía raíces cuadradas. E la atigua Idia, e los mauscritos del Baudhayaa Sulba Sutra Aryabhata ( a.c.) se aota u método para calcular raíces cuadradas. E Europa, o se ha ecotrado referecias ates de Cataeo (16). El símbolo de la raíz cuadrada fue itroducido e 1 por el matemático Christoph Rudolff, y es ua forma estilizada de la r miúscula. Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
18 7 Potecias y raíces. º B de ESO RESUMEN Producto y cociete de potecias Potecia de u producto y de u cociete POTENCIAS Y RAÍCES E el producto de potecias co la misma base se suma los epoetes. E el cociete se resta los epoetes Co el mismo epoete: E el producto, se multiplica las bases y se eleva el resultado al mismo epoete. E el cociete se divide las bases y se eleva el resultado al mismo epoete La potecia de u producto es igual al producto de cada uo de los factores elevados a dicha potecia ( a b c d) = a b c d La potecia de u cociete es igual al cociete del dividedo y el divisor elevados a dicha potecia c m : c = c m Ejemplos () () = () 6 : 7 = 7 = 1 () : () =( /) ( ) = (7/) 6 = 7 6 /() 6 Potecia de otra potecia Potecia de base racioal Potecia de epoete egativo Notació cietífica: operacioes a 10 siedo 1 a 9. + para grades úmeros para pequeños úmeros ((d) m ) = d m (() ) = () 1 (a/b) = a /b (6/) = 6 / a = 1/a 8 = 1/ =, , = Radicales: raíces de ídice cualquiera Potecias de epoete racioal 9 7; 16 6; 6 ; 81 ; Ua potecia co epoete racioal puede epresarse e forma de raíz cuyo ídice es el deomiador del epoete y el radicado queda elevado al umerador del epoete: m m 8 / = 8 Etracció de factores de u radical Si m = c+ r etoces a m a c a r Operacioes co radicales y z y ; z y y = = 1 Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
19 8 Potecias y raíces. º B de ESO EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Potecias 1. Epresa e forma de úica potecia: a) ( ) (1) b) (1) (1) 8 (1) c) () (1) d) () () ( ) e) (9) f) (18) : () g) ( 6) : (6) h) () : (). Epresa e forma de úica potecia: a) 6 (1) 6 b) [() 7 : ( ) 7 ] ( ) () c) [ () 6 ] : [() 8 () ] : 9 d) () (10) : () 7 : 7. Epresa e forma de potecia de epoete positivo: a) () b) (9) c) () : () 9 d) () () : () 6. Epresa e forma de úica potecia: a) (() ) b) (( ) ) c) (( 1) ) d) (() ) /. Epresa e forma de úica potecia: a) (/) b) ( /9) c) (1/) d) (/) 6. Epresa e forma de úica potecia: a) (/) ( /) (/) b) (1/6) (/) (6/7) c) (/) : (/) d) ( /9) : (/9) e) ((/) ) f) ((/7) 1 ) Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
20 9 Potecias y raíces. º B de ESO 7. Epresa e forma de úica potecia: a) ( /) (1/) (/9) (1/) (1/) (1/) (1/) (1/) b) ((1/) ) / ( /) 1/6 c) ( /) 1/ (/) / ( /) 1/6 (7/8) : (1/6) 8. Epresa e forma de otació cietífica: a) b) 800 c) d) 0, e) f) 0, g) 0,009 h) 0, Busca iformació epresada e otació cietífica sobre: a) La distacia etre la Tierra y la Lua b) Uidad de masa atómica c) Km que correspode a u año luz d) U gúgol e) La logitud de oda de los rayos cósmicos 10. Realiza las operacioes y epresa el resultado e otació cietífica: a) 10 +, , b), 10, c) 10, 10 d) 1,8 10 : La estrella Sirio está a uos 8,611 años luz de uestro plaeta. Epresa e metros, mediate otació cietífica la distacia que recorrería ua ave espacial que realizara u trayecto de ida y vuelta a Sirio. (Recuerda: U año luz, la logitud que recorre la luz e u año, es aproimadamete igual a 9, km ( ,8 km co más aproimació)) 1. La masa de u electró e reposo se estima e 9, kg, la de u protó es de 1, kg, y la de u eutró 1, kg. Calcula la masa de u átomo de carboo 1 (C 1 ) formado por seis protoes, seis electroes y 6 + = 8 eutroes. (El C 1 es u isótopo que tiee dos eutroes más que el carboo ormal y que se utiliza para datar). Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
21 60 Potecias y raíces. º B de ESO 1. Calcula y epresa e otació cietífica: a) 0, , 10 6, 10 b) 10 6, c) , 10 d) 10 (,7) 10 +, Epresa el resultado de esta operació e otació cietífica:, 10 1, 10 a) 0,0 10 1, b) 6 10, Se estima que eiste 0 milloes de bacterias e u gramo de tierra. Epresa e otació cietífica de forma aproimada el úmero de bacterias que eiste e uos camioes que está descargado 0 toeladas métricas de area e ua playa. 16. Si = 0000 y = 0,0008 z = 7, 10 6 Calcula y epresa e otació cietífica a) y b) + y 10 7 c) y 17. Arquímedes, e su tratado El areario cueta ua maera para epresar úmeros muy grades, como el úmero de graos de area que hay e toda la Tierra. Vamos a estimarlos ahora por otro procedimieto. Estimamos cuátos graos de area ecesitamos para teer u gramo de area. Te parece que 0 graos de area. Se estima que la masa de la Tierra es de: M T = g = g Calcula de forma aproimada el úmero de graos de area que hay e toda la Tierra. Grafito Cultivo de Escherichia coli 18. Vemos e Iteret que la masa de Marte es de 69E1 kg, que la masa de Júpiter es de 1,898E7 kg, y que la masa de la Tierra es de,97e kg. a) Calcula cuátas veces cabría la Tierra e el plaeta Júpiter. b) Calcula la relació etre la masa de la Tierra y la de Marte. Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
22 61 Potecias y raíces. º B de ESO Raíces 19. Calcula: a) 1100 b) 0, 008 c) 1 d) 1 e) 0, 9 0. Calcula: a), 076 b) 0, c) d) 6, Epresa e forma de raíz: a) () / b) 7 1/6 c) (1) 1/ d) () /. Epresa e forma de potecia: a) 6 b) ( 7) c) d) ( 0). Etrae los factores posibles de estos radicales: a) 10 b) 6 9 c) 11 y d) 6. Etrae los factores posibles de estos radicales: a b c b) a) 7 6. Simplifica: 6 c) 10 : d) a) b) 6. Epresa e forma de producto: c) y 8 y d) 1 : a) 01 b) 6 c) 8 9 d) a 8 b c 6 7. Epresa e forma de cociete: a) 1 b) 7 c) 9 d) 1 8. Epresa e forma de úica raíz: a) 8 b) 0 c) 9000 d) 1 9. Simplifica las operacioes: 1 8 a) b) 7 c) : d) 10 : 0. Simplifica las operacioes: a) : b) 10 c) ( ) ( ) d) ( 6) : ( 6) 1. Simplifica las operacioes: 6 b) a) : : 1 7 c) 7 7 Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
23 6 Potecias y raíces. º B de ESO AUTOEVALUACIÓN 1. El resultado de las operacioes siguietes es: (6) ( 6) (6) y (1) 7 : (1) a) 6 y 1 b) 1/6 y 1 c) 1/6 y 1. El resultado de las operacioes siguietes es: () (1) (6) y ( 8) 7 : () 7 a) (0) y () 7 b) 0 y (8/) 7 c) 0 y () 7. El resultado de las operacioes siguietes es: (() ) ; ((1) ) 7 y (() / ) 6 a) () 1 ; (1) y () 8/ b) 1 ; (1) y c) () 1 ; (1) y (). El resultado de las operacioes siguietes es: (8) ; () y (10 ) a) 1/1; 1/16 y 1/10 10 b)1/8 ; 1/ y 1/ El resultado de las operacioes siguietes es: ( /7) ; ( 1/) y ( /) a) /7 ; 1/ y / b) /7 ; y / 6. El resultado de las operacioes siguietes es: (/) (/) (/) a) 1 b) / c) / d) (/) (/) 7. Las epresioes, y 0, correspode a : a) y 9, b) y 9, c) y 9, El resultado de esta operació es: (0, , 10 ), 10 a) 1, b) 07, c) 107, d) 10,7 9. El resultado de las operacioes siguietes es: 11; 6 y 1 a) 11, 16, 1 b) 11, 16, 1 c) 11, 16, Las siguietes epresioes correspode a: () / ; () 1/ y () / a) ; y b) ; y c) 11. El resultado de etraer factores de estos radicales es: y a) ( ) b) ( ) y y 10 0 c) ( ) 1. Las operacioes siguietes puede epresarse: : 1 y 18 ; y y ( ) ( ) a) y 9 18 b) 1 y 6 18 c) 1 1 y 9 18 Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
Capítulo 2: Potencias y raíces
Matemáticas orietadas a las eseñazas aplicadas. º A de ESO Capítulo : Potecias y raíces www.aputesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF 1 Potecias y raíces. º
Más detallesEscuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 Dr. Carlos Juan Rodríguez Matemática 3º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 Primer Trimestre
Escuela Pública Eperimetal Descocetrada Nº Dr. Carlos Jua Rodríguez Matemática º Año Ciclo Básico de Secudaria Teoría Nº Primer Trimestre Cojuto de los úmeros racioales Los úmeros racioales so aquellos
Más detallesNúmeros reales. Operaciones
Números reales. Operacioes Matemáticas I 1 Números reales. Operacioes Números racioales. Caracterizació. Recuerda que u úmero r es racioal si se puede poer e forma de fracció de úmeros eteros de la forma
Más detallesTema 1 Los números reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1
Tema 1 Los úmeros reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1 TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL INTRODUCCIÓN: Los úmeros racioales: Se caracteriza porque puede expresarse: E forma
Más detalles21 EJERCICIOS de POTENCIAS 4º ESO opc. B. impar (-2)
EJERCICIOS de POTENCIAS º ESO opc. B RECORDAR a m a a m m ( a ) a b a a (a b) a m a a b m a m+ b a a - a b a - b a Tambié es importate saber que algo ( base egativa) par (- ) ( base egativa) impar (- )
Más detallesIES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11
IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como
Más detallesNúmeros racionales. Caracterización.
Números reales Matemáticas I Aplicadas a las Ciecias Sociales 1 Números racioales. Caracterizació. ecuerda que u úmero r es racioal si se puede poer e forma de fracció de úmeros eteros de la forma a b
Más detalles1. Aplicar la definición para hallar, sin calculadora, el valor de las siguientes potencias:
EJERCICIOS de POTENCIAS º ESO FICHA : Potecias de expoete IN RECORDAR: a a a a... a a Defiició de potecia ( veces). Aplicar la defiició para hallar, si calculadora, el valor de las siguietes potecias:
Más detalles1. Aplicar la definición para hallar, sin calculadora, el valor de las siguientes potencias:
EJERCICIOS de POTENCIAS º ESO académicas FICHA : Potecias de expoete IN RECORDAR: a a a a... a a Defiició de potecia ( veces). Aplicar la defiició para hallar, si calculadora, el valor de las siguietes
Más detallesFracciones. Prof. Maria Peiró
Fraccioes Prof. Maria Peiró Recordemos Las partes de ua divisió so Dividedo Residuo divisor Cociete Defiició Ua fracció o querado, es ua divisió de la uidad e u determiado úmero de partes, de las cuales
Más detallesTEMAS 1 y 3.- NÚMEROS REALES Y ÁLGEBRA- 1
1º Bachillerato - Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Motes Orietales (Izalloz)-Curso 2011/2012 TEMS 1 y 3.- NÚMEROS RELES Y ÁLGEBR- 1 1.- TIOS DE NÚMEROS. ROXIMCIONES DECIMLES 1.1.- Tipos de úmeros
Más detallesLa sucesión de Fibonacci y el número Φ Si dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtenemos:
SUCESIONES Págia 50 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Cuátas parejas de coejos? Cuátas parejas de coejos se producirá e u año, comezado co ua pareja úica, si cada mes cualquier pareja egedra otra pareja,
Más detallesRADICALES. Una raíz de índice n es una operación matemática que se define de la siguiente forma:
Aputes de Matemáticas para º de E.S.O. RADICALES Qué es ua raíz de ídice? Ua raíz de ídice es ua operació matemática que se defie de la siguiete forma: a = b a= b Esto se lee como: la raíz eésima de u
Más detallesLos números complejos
Los úmeros complejos Los úmeros complejos Forma biómica Defiició z = a + bi, o bie, z = (a, b) siedo a la parte real y b la parte imagiaria. a = r cos α b = r se α Opuesto z = a bi Cojugado z = a bi Represetació
Más detallesGUIA DE ESTUDIO Nro 1
MATERIA: MATEMÁTICA I CURSO: I AÑO EJE ESTRUCTURAL I: CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA GRUPOS CONCEPTUALES: - Epresioes algebraicas. Poliomios. - Ecuacioes. Iecuacioes. TEMARIO: GUIA DE ESTUDIO Nro
Más detallesUNEFA C.I.N.U. Matemáticas
RADICACIÓN: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Ates de etrar e el tema Radicació, vamos a comezar por recordar u poco sore Poteciació: Saemos que e lugar de escriir, utilizamos la otació: de Poteciació, dode el
Más detallesAMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como ua fució que asiga
Más detallesSUCESIONES. Si dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtenemos:
SUCESIONES Págia REFLEXIONA Y RESUELVE Cuátas parejas de coejos? Cuátas parejas de coejos se producirá e u año, comezado co ua pareja úica, si cada mes cualquier pareja egedra otra pareja, que se reproduce
Más detallesRespuesta: como cociente para multiplicarlo por el primer numerador que.el mismo proceso hacemos para la segunda fracción:
PRE EVALUACION: Resuelve la diferecia El m.c.m. de los deomiadores es el producto de ambos. tiees que dividir por cada deomiador y el factor que te queda como cociete, multiplicar por su umerador: E el
Más detallesTEMA 2: POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS
TEMA 2: POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS Segudo Curso de Educació Secudaria Oligatoria. I.E.S de Fuetesaúco. Mauel Gozález de Leó. CURSO 2011-2012 Págia 1 de 11 Profesor: Mauel Gozález de Leó Curso 2011 2012
Más detallesTema 8 Límite de Funciones. Continuidad
Tema 8 Límite de Fucioes. Cotiuidad 1. Operacioes co límites. Los límites de las sucesioes a b, c, d y e so los idicados e la tabla siguiete:, a b c d e - 0 1 Di cual es el límite de: a) lim( a b ) c)
Más detallesFUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y
CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 FUNCIONES Sí A y B so dos cojutos o vacío, ua fució de A e B asiga a cada elemeto a perteeciete al cojuto A u úico elemeto b de B que deomiamos image de a. Además diremos
Más detalles( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7
LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Límites de ua fució costate f k, k El límite de ua fució costate es la misma costate f k f k k k a a Límites de la fució idetidad I I a a a I I Límites e u puto fiito.
Más detallesINECUACIONES. Ejemplo: La desigualdad 2x+l>x+5, es una inecuación por que tiene una incógnita "x" que se verifica para valores mayores que 4.
INECUACIONES DEFINICIÓN: Ua iecuació es ua desigualdad e las que hay ua o más catidades descoocidas (icógita) y que sólo se verifica para determiados valores de la icógita o icógitas. Ejemplo: La desigualdad
Más detallesIES ATENEA. EXAMEN DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS. 3º ESO A. Nombre:
IES ATENEA. EXAMEN DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS. º ESO A Nombre: Evaluació: Primera. Feca: 0 de diciembre de 00 NOTA Ejercicio º.- Aplica el orde de prioridad de las operacioes para calcular: 64 : 5
Más detallesNegativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18
Los úmeros reales.. Los úmeros reales El cojuto de los úmeros reales está formado por los úmeros racioales y los irracioales. Se represeta por la letra Los úmeros racioales so los úmeros eteros, los decimales
Más detalles1. Calcula, aplicando mentalmente la definición de raíz (no uses calculadora):
EJERCICIOS de RADICALES º ESO FICHA 1: Cocepto de raíz -ésima RECORDAR: Defiició de raíz -ésima: Caso particular de simplificació: a a (Añade estas fórmulas al formulario, juto co la lista de los 0 primeros
Más detallesExpresiones Algebraicas
Semiario Uiversitario Matemática Módulo Epresioes Algebraicas Difícilmete se pueda estudiar cualquier rama de la matemática actual si u maejo algebraico razoable. Usamos la palabra maejo y o la de estudio,
Más detallesLAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO
LA ERIE GEOMÉTRICA Y U TENDENCIA AL INFINITO ugerecias al Profesor: Al igual que las sucesioes, las series geométricas se itroduce como objetos matemáticos que permite modelar y resolver problemas que
Más detallesPAGINA Nº 80 GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJOS PRACTICOS Nº 14
GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº 4 PAGINA Nº 80 GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJOS PRACTICOS Nº 4 OBJETIVOS: Lograr que el Alumo: Resuelva correctamete aritmos y aplique sus propiedades. Resuelva ecuacioes epoeciales.
Más detallesM arcelo, de vez en vez, usa una reata de 10 m de largo y 2 cm de grueso para
GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Tema 4 Series uméricas M arcelo, de vez e vez, usa ua reata de 10 m de largo y cm de grueso para medir el cotoro de los terreos que fumiga. Para que la reata que usa o
Más detalles7 4 = Actividades propuestas 1. Calcula mentalmente las siguientes potencias y escribe el resultado en tu cuaderno: exponente. base.
21 21 CAPÍTULO : Potencias y raíces. Matemáticas 2º de ESO 1. POTENCIAS Ya conoces las potencias. En este aparato vamos a revisar la forma de trabajar con ellas. 1.1. Concepto de potencia. Base y exponente
Más detallesINTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Matemáticas II - º Bachillerato INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Método de itegració por cambio de variable Cosiste e sustituir por ua fució adecuada para que la epresió resultate sea más secilla
Más detallesPROGRESIONES ARITMETICAS
PROGRESIONES ARITMETICAS DEF. Se dice que ua serie de úmeros está e progresió aritmética cuado cada uo de ellos (excepto el primero) es igual al aterior más ua catidad costate llamada diferecia de la progresió.
Más detallesPrueba Integral Lapso / Área de Matemática Fecha: MODELO DE RESPUESTA (Objetivos del 01 al 11)
Prueba Itegral Lapso 016-1 175-176-177 1/7 Uiversidad Nacioal Abierta Matemática I (Cód 175-176-177) Vicerrectorado Académico Cód Carrera: 16 36 80 508 51 54 610 611 61 613 Fecha: 19 11 016 MODELO DE RESPUESTA
Más detalles1. Calcular, aplicando mentalmente la definición de raíz (no usar calculadora):
EJERCICIOS de RADICALES º ESO académicas FICHA : Cocepto de raíz -ésima RECORDAR: Defiició de raíz -ésima: Caso particular de simplificació: a x x a x x (Añadir estas fórmulas al formulario, juto co la
Más detalles1. Calcular, aplicando mentalmente la definición de raíz (no usar calculadora):
EJERCICIOS de RADICALES º ESO FICHA : Cocepto de raíz -ésima RECORDAR: Defiició de raíz -ésima: Caso particular de simplificació: a x x a x x (Añadir estas fórmulas al formulario, juto co la lista de los
Más detallesINTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 2 1+ x dx
INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Método de itegració por cambio de variable Cosiste e sustituir por ua fució adecuada para que la epresió resultate sea más secilla de itegrar que la primera.
Más detallesEjemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi
u_miii.doc EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: No eiste u úmero real que satisfaga la ecuació +0 Para resolver este tipo de ecuacioes es ecesario itroducir el cocepto de úmero complejo. U úmero complejo
Más detallesUNIDAD 3. b b.1 Es una P.G. con a 1 5 y d 0,5. Por tanto: a n a 1 n 1 d 5 n 1 0,5 5 0,5n 0,5 0,5n 4,5 a n 0,5n 4,5
UNIDAD 3 a Escribe los cico primeros térmios de las sucesioes: a.1) a 2, a 3 1 2 a a a 1 2 a.2 b 2 + 1 b Halla el térmio geeral de cada ua de estas sucesioes: b.1 3, 1, 1, 3, 5,... b.2 2, 6, 18, 54,...
Más detalles1. Calcula, aplicando mentalmente la definición de raíz (no uses calculadora):
EJERCICIOS de RADICALES º ESO HOJA 1: Cocepto de raíz -ésima RECORDAR: Defiició de raíz -ésima: Caso particular de simplificació: a x x a x x (Añade estas fórmulas al formulario, juto co la lista de los
Más detallesCurso: 3 E.M. ALGEBRA 8
Colegio SSCC Cocepció - Depto. de Matemáticas Uidad de Apredizaje: POLINOMIOS Capacidades/Destreza/Habilidad: Racioamieto Matemático/ Aplicació / Calcular, Resolver Valores/ Actitudes: Respeto, Solidaridad,
Más detallesRecuerda lo fundamental
Números reales Recuerda lo fudametal Curso:... Fecha:... NÚMEROS REALES NÚMEROS RACIONALES So los que se puede expresar como...... EJEMPLOS: 0, =, = NÚMEROS IRRACIONALES La expresió decimal de u úmero
Más detalles9. Hallar un número de cuatro cifras que sea igual al cubo de la suma de las cifras.
Hoja de Problemas º Algebra II 9. Hallar u úmero de cuatro cifras que sea igual al cubo de la suma de las cifras. Solució: Sea el úmero buscado co a que si o, o seria de cuatro cifras. Teemos que ( ) como
Más detallesExpresiones Algebraicas
Semiario Uiversitario Matemática Módulo Expresioes Algebraicas Difícilmete se pueda estudiar cualquier rama de la matemática actual si u maejo algebraico razoable. Usamos la palabra maejo y o la de estudio,
Más detallesLímite y Continuidad de Funciones.
Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por
Más detalles1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS E el leguaje matemático, se deomia expresioes algebraicas a toda combiació de letras y/o úmeros viculados etre si por las operacioes de suma, resta, multiplicació y poteciació de
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Área bajo una curva
Profr. Efraí Soto Apoliar. Área bajo ua curva Nosotros coocemos muchas fórmulas para calcular el área de diferetes figuras geométricas. Por ejemplo, para calcular el área A de u triágulo co base b altura
Más detallesSERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio
Más detallesFUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERIA SESIÓN DE PRÁCTICAS 0
DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AGRÓNOMOS Y DE MONTES UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERIA SESIÓN DE PRÁCTICAS 0 1. Itroducció al cálculo de
Más detallesMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi
EDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. EDIA ARITÉTICA. Es la medida más coocida y tambié es llamada promedio se obtiee sumado todos los valores de la muestra o població, dividida etre el total de elemetos que cotiee
Más detallesÁlgebra I Práctica 3 - Números enteros (Parte 1)
FCEyN - UBA - 1er cuatrimestre 015 Divisibilidad y algoritmo de divisió Álgebra I Práctica 3 - Números eteros (Parte 1 1. Decidir cuáles de las siguietes afirmacioes so verdaderas a, b, c Z i a b c a c
Más detallesTEMA 19 Cálculo de límites de sucesiones*
CURSO -6 TEMA 9 Cálculo de límites de sucesioes* Propiedades aritméticas de los límites de sucesioes. b tales que : a = a b = b, dode ab, R Sea las sucesioes { } a y { } Etoces podemos obteer su suma,
Más detallesCLAVES DE CORRECCIÓN GUÍA DE EJERCITACIÓN FACTORES Y PRODUCTOS PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel
x Estimado alumo: Aquí ecotrarás las claves de correcció, las habilidades y los procedimietos de resolució asociados a cada preguta, o obstate, para reforzar tu apredizaje es fudametal que asistas a la
Más detallesBloque 4. Cálculo Tema 2 límites Ejercicios resueltos
Bloque 4. Cálculo Tema límites Ejercicios resueltos 4.-1 Resolver los siguietes límites: 1 5 1 a) ; b) ; c) ; 1 1 5 5 h d) ; e) ; f) 0 44 h0 h 1 0 a) idetermiació de la forma 1. Para evitarla, 1 0 descompoemos
Más detalles84 ejercicios de repaso de NÚMERO REAL, POLINOMIOS, ECUACIONES e INECUACIONES
8 ejercicios de repaso de NÚMERO REAL, POLINOMIOS, ECUACIONES e INECUACIONES Repaso úmero real. Itervalos: 1. Separar los siguietes úmeros e racioales o irracioales, idicado, de la forma más secilla posible,
Más detallesc) la raíz cuadrada Primero tienes que teclear la raíz cuadrada y después el número. 25 = 5
Aexo Calculadora La proliferació de las calculadoras e la vida cotidiaa obliga a profesores y padres a replatearse su uso. Los profesores debemos eseñar a los alumos su utilizació. Pero será los profesores
Más detallesActividades para preparar el examen.
Actividades para preparar el exame. TEMA 4: NÚMEROS ENTEROS. 1.- Cotesta si so ciertas las siguietes afirmacioes: La suma de dos úmeros eteros del mismo sigo, es siempre u úmero positivo. El producto de
Más detallesLAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO
LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO Sugerecias al Profesor: Resaltar que las sucesioes geométricas ifiitas so objetos matemáticos que permite modelar alguos procesos ifiitos, y que a la vez su costrucció
Más detalles3Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 79
Solucioes a los ejercicios y problemas PÁGINA 79 Pág. P RACTICA Sucesioes formació térmio geeral Escribe los cico primeros térmios de las siguietes sucesioes: a) Cada térmio se obtiee sumado 7 al aterior.
Más detallesOPERACIONES CON POLINOMIOS.
OPERACIONES CON POLINOMIOS. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Ua epresió ateática que usa úeros o variables o abos para idicar productos o cocietes es u tério. Los térios,, (ab), so todos epresioes algebraicas.
Más detallesSUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES
www.matesxroda.et José A. Jiméez Nieto SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. TÉRMINO GENERAL E las siguietes figuras observa el proceso que lleva a la creació de uevos
Más detallesTema 1: Números Complejos
Números Complejos Tema 1: Números Complejos Deició U úmero complejo es u par ordeado (x, y) de úmeros reales Éste puede iterpretarse como u puto del plao cuya abscisa es x y cuya ordeada es y El cojuto
Más detallesUnidad 1: Las Ecuaciones Diferenciales y Sus Soluciones
Uidad : Las Ecuacioes Difereciales y Sus Solucioes. Itroducció. Tato e las ciecias como e las igeierías se desarrolla modelos matemáticos para compreder mejor los feómeos físicos. Geeralmete, estos modelos
Más detallesQué es la estadística?
Qué es la estadística? La estadística tiee que ver co la recopilació, presetació, aálisis y uso de datos para tomar decisioes y resolver problemas. Qué es la estadística? U agete recibe iformació e forma
Más detalles5 4 = Potencias de uno y de cero Una potencia, de cualquier base distinta de cero, elevada a cero es igual a 1. exponente. base.
CAPÍTULO 3: POTENCIAS Y RAÍCES 1. POTENCIAS 1.1. Concepto de potencia. Base y exponente María guarda 5 collares en una bolsa, cada 5 bolsas en una caja y cada 5 cajas en un cajón. Tiene 5 cajones con collares,
Más detalles22 CAPÍTULO 2: POTENCIAS Y RAÍCES. 1. OPERACIONES CON POTENCIAS
CAPÍTULO : POTENCIAS Y RAÍCES.. OPERACIONES CON POTENCIAS Recuerd que l poteci de bse u úero turl epoete turl es u producto de fctores igules l bse: =... fctores... ( > 0) El fctor que se repite es l bse
Más detallesSi la razón es q, y el primer termino es a, la progresión se escribe. POR LO TANTO EL ENÉSIMO TÉRMINO DE UNA P.G SE DETERMINA A PARTIR DE:
Ua progresió es geométrica, si cada termio después del primero se obtiee multiplicado el aterior por u valor costates Este valor costate se llama razó geométrica (q) E geeral: a a : a......... a ; 3 Si
Más detallesPor: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS
Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariaa de Veezuela Tiaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Usted está familiarizado co alguas operacioes iversas. La adició y la sustracció so operacioes
Más detalles1. Secuencia Impulso unitario (función Kroëneker) 1, n = n 0. (n) = = {... 0, 0, (1), 0, 0,... }
SEÑALES DE TIEMPO DISCRETO SEÑALES Y SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO Las señales está clasificadas de maera amplia, e señales aalógicas y señales discretas. Ua señal aalógica será deotada por a t e la cual
Más detallesLOS NÚMEROS ENTEROS. Para restar un número entero, se quita el paréntesis y se pone al número el signo contrario al que tenía.
Melilla Los números Enteros y operaciones elementales LOS NÚMEROS ENTEROS 1º LOS NÚMEROS ENTEROS. El conjunto de los números enteros Z está formado por los números naturales (enteros positivos) el cero
Más detallesAnálisis de datos en los estudios epidemiológicos II
Aálisis de datos e los estudios epidemiológicos II Itroducció E este capitulo cotiuamos el aálisis de los estudios epidemiológicos cetrádoos e las medidas de tedecia cetral, posició y dispersió, ídices
Más detallesMOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL. Resumen: En este artículo se muestra como las transformaciones de funciones resultan
MOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL Viceç Fot Departamet de Didàctica de les CCEE i de la Matemàtica de la Uiversitat de Barceloa Resume: E este artículo se muestra como las trasformacioes
Más detallesÁlgebra I Práctica 2 - Números naturales e inducción
FCEyN - UBA - Segudo Cuatrimestre 203 Álgebra I Práctica 2 - Números aturales e iducció. Reescribir cada ua de las siguietes sumas usado el símbolo de sumatoria (a) + 2 + 3 + 4 + + 00, (b) + 2 + 4 + 8
Más detallesOrden en los números naturales
88 Aritmética U istrumeto para medir usado fraccioes comues Refleioes adicioales Dividir ua uidad e partes iguales: El Teorema de Thales se refiere a dividir u segmeto e cualquier úmero de segmetos iguales.
Más detalles5.6 Serie de Fourier de funciones pares e impares (desarrollo cosenoidal o senoidal)
5.6 Serie de Fourier de fucioes pares e impares (desarrollo coseoidal o seoidal) 46 5.6 Serie de Fourier de fucioes pares e impares (desarrollo coseoidal o seoidal) Fucioes Pares e Impares E el maejo de
Más detallesPotencias y raíces de números enteros
Potecias y raíces de úmeros eteros Objetivos E esta quicea aprederás a: Expresar multiplicacioes de u mismo úmero e forma de potecia. Realizar operacioes co potecias. Trabajar co potecias de base 0. Expresar
Más detallesTécnicas para problemas de desigualdades
Técicas para problemas de desigualdades Notas extraídas del libro de Arthur Egel [] 5 de marzo de 00 Medias Comezamos co dos de las desigualdades más básicas pero al mismo tiempo más importates Sea x,
Más detallesTEMA 3: POTENCIAS Y RAÍCES
TEMA : POTENCIAS Y RAÍCES Una antiquísima leyenda cuenta que Sheram, príncipe de la India, quedó tan satisfecho cuando conoció el juego del ajedrez, que quiso recompensar generosamente a Sessa, el inventor
Más detallesUNIDAD 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
UNIDAD UNIDAD Ecuacioes Difereciales de Primer Orde Defiició lasificació de las Ecuacioes Difereciales Ua ecuació diferecial es aquélla que cotiee las derivadas o difereciales de ua o más variables depedietes
Más detallesPreguntas más Frecuentes: Tema 2
Pregutas más Frecuetes: Tema 2 Pulse sobre la preguta para acceder directamete a la respuesta 1. Se puede calcular la media a partir de las frecuecias absolutas acumuladas? 2. Para calcular la media aritmética,
Más detallesSeries Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:
Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.
Más detallesPOTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA
POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA 1. POTENCIAS. 1.1. CONCEPTO DE POTENCIA. ELEMENTOS. Una potencia es un producto de factores iguales. Las potencias están formadas por: Base: factor que se repite. Exponente: número
Más detallesRecuerda: a 0 = 1 1 m = 1 ( 1) m = 1 m par ( 1) n = 1 n impar 0 n = 0
CAPÍTULO : POTENCIAS Y RAÍCES: º de ESO. OPERACIONES CON POTENCIAS Recuerd que l poteci de se u úero turl epoete turl es u producto de fctores igules l se: =... fctores... > 0) El fctor que se repite es
Más detallesALGEBRA 9. Curso: 3 E.M. Progresiones aritméticas y geométricas. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO:
Colegio SSCC Cocepció - Depto. de Matemáticas Uidad de Apredizaje: Progresioes aritméticas y geométricas Capacidades/Destreza/Habilidad: Racioamieto Matemático/ Aplicació / Calcular, Resolver Valores/
Más detallesObjetivos partir de su. nte de una función, Relacionar ASÍN CON CLA 11.4.
CONTENIDOS.- MAPA CONCEPTUAL DE LA UNIDAD....- CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓNN EN UN PUNTO....- LÍMITES LATERALES: CARACTERIZACIÓN....- LÍMITES Y OPERACIONES CON FUNCIONES: ÁLGEBRA DE LÍMITES... 5.-
Más detallesINSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA. GUIA Nº 3: Sucesiones, Límite de Sucesiones y Límite de Funciones en R
P á g i a INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA GUIA Nº 3: Sucesioes, Límite de Sucesioes y Límite de Fucioes e R GRADO: º AREA: MATEMÁTICAS PROFESORA: Ebli Martíez M. ESTUDIANTE: PERIODO: III
Más detallesTema 3 POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 1. Notación científica. Mr: Gonzalo Flores C
POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 1 Notación científica Mr: Gonzalo Flores C POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 2 ESQUEMA DE LA UNIDAD 0. Potencias de exponente natural. Propiedades. 1. Potencias de exponente
Más detallesPráctica 3 Sucesiones y series
Práctica 3 Sucesioes y series El programa Mathematica os sirve de ayuda para estudiar el comportamieto de sucesioes y series de úmeros reales, mediate las istruccioes Limit y Sum que os permitirá, e la
Más detallesCompetencia Matemática E. Paenza. Sexta Realización 1991
Competecia Matemática E. Paeza Seta Realizació 99 Resolució de los problemas Participate N : Problema. Sea C u cuadrilátero coveo. Si el área del cada uo de los cuatro triágulos determiados por las dos
Más detallesPROGRESIONES ARITMÉTICAS.-
PROGRESIONES ARITMÉTICAS.- Ua progresió aritmética es ua sucesió de úmeros tales que cada uo de ellos, excepto el primero, se obtiee sumado al aterior ua costate d, que se deomia diferecia de la progresió.
Más detallesEstado gaseoso. Mezclas de gases ideales presión parcial de un gas en una mezcla de gases ideales ley de Dalton
Estado gaseoso Ecuació de estado de los gases perfectos o ideales Mezclas de gases ideales presió parcial de u gas e ua mezcla de gases ideales ley de Dalto Feómeos de disolució de gases e líquidos leyes
Más detallesEstadística Teórica II
tervalos de cofiaza Estadística Teórica NTERVALOS DE CONFANZA Satiago de la Fuete Ferádez 77 tervalos de cofiaza CÁLCULO DE NTERVALOS DE CONFANZA PARA LA MEDA CON DESVACÓN TÍPCA POBLACONAL CONOCDA Y DESCONOCDA.
Más detallesCÁLCULO Ejercicios Resueltos Semana 1 30 Julio al 3 Agosto 2007
CÁLCULO Ejercicios Resueltos Semaa 0 Julio al Agosto 007 Ejercicios Resueltos. Estime el área ecerrada por la curva de ecuació y, el eje X y, para ello, divida el itervalo [0,] e cico partes iguales, y
Más detallesImportancia de las medidas de tendencia central.
UNIDAD 5: UTILICEMOS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Importacia de las medidas de tedecia cetral. Cuado recopilamos ua serie de datos podemos resumirlos utilizado ua tabla de clases y frecuecias. La iformació
Más detallesIES LA ASUNCIÓN w w.ieslaasuncion.org. Bloque I. Números y medidas. Tema 4: Potencias y raíces. Uso de la calculadora TEORÍA
MATEMÁTICAS º ESO Bloque I. Números y medidas. Tema : Potencias y raíces. Uso de la calculadora TEORÍA 1. POTENCIAS * Una potencia es una multiplicación de factores iguales. Se escribe a n e indica que
Más detallesNúmeros Complejos. Capítulo Los números complejos. 1.2 El plano complejo. 2 Matemáticas 1 : Preliminares
2 Matemáticas 1 : Prelimiares Capítulo 1 Números Complejos Este tema de úmeros complejos es más iformativo que recordatorio, siedo el uso explícito de los complejos escaso e las asigaturas de Matemáticas
Más detallesMATEMÁTICA LICENCIATURA EN RECURSOS HUMANOS PROFESORA CELIA SÁNCHEZ
MATEMÁTICA LICENCIATURA EN RECURSOS HUMANOS PROFESORA CELIA SÁNCHEZ UNIDAD NÚMEROS REALES INTERVALOS ENTORNOS VALOR ABSOLUTO - INECUACIONES MATEMÁTICA PROF. CELIA SÁNCHEZ INTRODUCCIÓN E esta uidad, osotros
Más detallesSesión No. 6. Contextualización. Nombre: Funciones exponenciales y logarítmicas y el uso de las MATEMÁTICAS. progresiones aritméticas y geométricas.
Matemáticas Sesió No. 6 Nombre: Fucioes expoeciales y logarítmicas y el uso de las progresioes aritméticas y geométricas. Cotextualizació Las fucioes expoeciales y logarítmicas se les cooce como trascedetes,
Más detallesMatemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton
Matemáticas I - o Bachillerato Matemáticas I - o BACHILLERATO El biomio de Newto es ua fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potecia de u biomio elevado a ua potecia cualquiera de expoete
Más detalles