REDES NEURONALES. Una esquema simplificado de una neurona se muestra en la siguiente figura. Cuerpo celular. Dendrita. Axón.

Transcripción

1 REDES NEURONALES Las redes neuronales consttuyen una poderosa herramenta para modelar sstemas, especalmente no lneales, sean dnámcos o estátcos. El cerebro humano es una sstema muy complejo formado por muchas células llamadas neuronas; se estma que exsten entre 0 0 y 0 de células en el cerebro. Las redes neuronales artfcales emulan la arqutectura y capacdades de sstemas neuronales bológcos. Una esquema smplfcado de una neurona se muestra en la sguente fgura. Dendrta Cuerpo celular Axón Snapss D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

2 En el cuerpo celular se realzan la mayoría de las funcones lógcas de la neurona. El axón es el canal de salda fnal de la neurona. Las dentrtas recben las señales de entrada de los axones de otras neuronas y se conectan al cuerpo celular por medo de las snapss. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

3 3 D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U. -

4 4 REPRESENTACION MATEMATICA DE UNA NEURONA En la sguente fgura se observa la estructura de una neurona artfcal con múltples entradas. x w x w x 3 w 3 w k Σ u f y x k w n x n θ En esta estructura, se tene n u = w x = donde w son los pesos de la neurona (snápss) x son las entradas a la neurona n es el número de entradas a la neurona D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

5 5 n y = f( u) = f w x = θ donde y es la salda de la neurona (axón) f es la funcón de actvacón, correspondente, en general, a una funcón no lneal (cuerpo celular) θ es el sesgo En general, se utlzan las sguentes funcones de actvacón: f f f b x b x b x Lmtador duro Hperbólca Sgmodal D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

6 D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U. 6

7 7 Las redes neuronales son estructuras de procesamento formadas por una gran cantdad de neuronas, que operan en paralelo. Además, los dstntos tpos de redes neuronales se generan a partr de la nterconexón de neuronas. Las prncpales redes neuronales que se utlzan para modelacón no lneal son: Redes perceptrón multcapa Redes recurrentes Redes de funcones de base radales (RBFN) D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

8 8 VENTAJAS DE LAS REDES NEURONALES Las redes neuronales deben su capacdad de procesamento de nformacón a su estructura dstrbuda y paralela, a su capacdad de apredzaje y por tanto de generalzacón. Tareas - Reconocmento de patrones - Memoras asocatvas - Aproxmacón funconal - Etc. Propedades - No lnealdad. Las neuronas son elementos de proceso generalmente no lneales. La nterconexón de estos elementos genera estructuras dde transformacón de datas donde este carácter no lneal queda dstrbudo a lo largo y ancho de la red. - Modelado de relacones de entrada/salda. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

9 9 - Adaptbldad. Las redes neuronales son por defncón estructuras adaptvas capaces de ajustar sus pesos, y por tanto su funcón de transferenca, a cambos en su entorno. - Toleranca ante fallos. Una red neuronal tene la capacdad de segur respondendo de forma no catastrófca cuando parte de su estructura no está dañada. Esto es debdo al tratamento dstrbudo de la nformacón y a la redundanca mplícta en su estructura. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

10 0 PERCEPTRÓN MULTICAPA El perceptrón multcapa es una estructura jerárquca que consste en varas capas de neuronas totalmente nterconectadas, que admten como entradas las saldas de los elementos de proceso (neuronas) de la capa anteror. x y x capa 3 capa capa En las redes perceptrón multcapa se dstnguen tres tpos de capas: Capa de entrada. Esta formada por n undades (sendo n el número de entradas externas) que se lmtan a dstrbur las señales de entrada a la capa sguente. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

11 Capas ocultas. Están formadas por neuronas que no tenen contacto físco con el exteror. El número de capas ocultas es varable, pudendo ncluso ser nulo. Capa de salda. Está formado por m neuronas (sendo m el número de saldas externas) cuyas saldas consttuyen el vector de saldas externas del perceptrón multcapa. Los modelos dnámcos neuronales están dados por: y(t) = N(y(t ),, y(t ny),u(t ),,u(t nu)) donde N es la red neuronal que puede ser un perceptrón multcapa, como se muestra en la sguente fgura. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

12 y(t-). y(t-ny) u(t-). y(t) u(t-nu) D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

13 3 Aplcacones - Aproxmacón funconal - Reconocmento de patrones - Fltrado de señales - Elmnacón de rudo - Segmentacón de mágenes y señales - Control adaptvo - Compresón de datos - Etc. Ventajas - Capacdad de representacón funconal unversal. Gran rapdez de procesamento. Genera buenas representacones nternas de las característcas de los datos de entrada. Amplamente estudada. Es la red neuronal más aplcada en la práctca Desventajas - Tempo de aprendzaje elevado para estructuras complejas D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

14 4 Ejemplo Modelacón de la químca del agua de una central térmca utlzando redes neuronales. Se consdera la central térmca a carbón Anllares (350 MW), propedad de la empresa Unón Eléctrca Fenosa (UEFSA), España. Esta central tene en operacón un sstema experto denomnado SEQA que permte adqurr varables relaconadas con las propedades químcas de los sguentes flujos del cclo agua-vapor: vapor condensado, agua de almentacón, vapor saturado, vapor sobrecalentado y vapor recalentado. Vapor Sobrecalentado Condensador Vapor Condensado Turbnas Vapor Recalentado Caldera Vapor Saturado Agua de Almentacón D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

15 5 Las propedades químcas analzadas para los flujos consderados son: la conductvdad catónca, la conductvdad específca, el ph y el porcentaje de O. La utlzacón de modelos predctvos para estas propedades químcas, en el sstema experto SEQA, permte controlar los problemas de corrosón de componentes presentes en la produccón de energía eléctrca. Especalmente, es mportante la modelacón de la conductvdad catónca del cclo agua-vapor, debdo a que esta propedad es muy representatva de las mpurezas del agua. Como ejemplo de la modelacón neuronal de las propedades químcas del agua, se presentan los resultados obtendos para la modelacón de la conductvdad catónca del agua de almentacón (CC aa ). Las varables de entrada al modelo son: la potenca generada de la central (P) y la conductvdad catónca del condensado (CC cond, flujo precedente). Los datos son adqurdos con un período de muestreo de 5 mnutos. El modelo neuronal para la conductvdad catónca del agua de almentacón está dada por: CC ( k) = N( CC ( k ), P( k ), P( k ), aa CC cond aa ( k), CC ( k )) cond D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

16 6 donde N es un perceptrón multcapa con una capa oculta de neuronas de funcones de actvacón tangente hperbólca y una capa de salda lneal. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

17 7 REDES RECURRENTES Estos modelos son capaces de representar sstemas realmentados dnámcos no lneales (Narendra, 990). x (t) x (t+) x (t) x n (t).. x (t+) x n (t+) z - z - z - D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

18 8 Además, se debe menconar que exsten dversos modelos neuronales que son combnacones de las redes perceptrón multcapa y redes recurrentes. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

19 9 REDES DE FUNCIONES DE BASE RADIALES (RBFN) Las redes de funcones de base radales (RBFN Radal Bass Functon Networks ) conssten en dos capas (Jang, 993). Los modelos dnámcos basados en las redes RBFN están dados por: y( t) = N( y( t ),, y( t ny), u( t ),, u( t nu)) donde N es una red neuronal como se muestra en la sguente fgura con n = ny + nu. y(t-) a. y(t-ny) a ny v v ny y(t) u(t-). v n u(t-nu) a n D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

20 0 La capa oculta esta compuesta por n undades radales totalmente conectadas al vector de entrada. Las funcones de transferenca de la capa oculta son smlares a una funcón de densdad gaussana, es decr: a = exp x r σ donde x = [ y( t ),, y( t ny), u( t ), u( t nu ] ) es el vector de entradas de la red, r son los centros de las undades radales, representan los anchos. σ La salda de la red está dada por: yt ()= n = va donde v son los pesos de las undades radales. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

21 Ejemplo Modelacón neuronal basada en RBFN para un fermentador batch de almentacón. La presón en el estanque de fermentacón puede ser controlada a través del cambo de flujo de are de salda mantenendo constante el flujo de are de entrada. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

22 El modelo de la red está dado por: yk ( + ) = Nyk ( ( ), uk ( )) donde y(k) es la presón en el estanque y u(k) es el flujo de salda. Además, N es una red neuronal lneal/rbf dada por las sguentes ecuacones: y(k + ) = w 0 + wφr (k) + w r (k) = x(k) c x(k) n = T x(k) [ y(k),,y(k n ),u(k),,u(k n ] T = y u ) D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

23 3 Aplcacones - Aproxmacón funconal - Reconocmento de patrones Ventajas Capacdad de representacón funconal unversal. La estructura de esta red tene nterpretacón drecta, lo que permte realzar una buena ncalzacón de los pesos de la red, y extraer conocmento de las estructuras ajustadas. La buena ncalzacón de los pesos acelera el proceso de aprendzaje. Desventajas El procesamento realzado es algo más complejo que en el caso del perceptrón multcapa. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

24 4 OTROS TIPOS DE REDES Adalne. Estas neuronas tenen capacdad de aprendzaje debdo a que sus pesos son cambados adaptvamente de acuerdo a un algortmo adaptvo. Sus aplcacones prncpales son: fltrado adaptvo de señales, reconocmento de patrones. Son fáclmente mplementables en hardware debdo a su sencllez y homogenedad, sn embargo sólo son capaces de resolver problemas de clasfcacón lnealmente separables y llevar a cabo transformacones lneales. Mapas autoorganzatvos de Kohonen. En este caso, las neuronas están ordenadas topológcamente. Frente a la presentacón de un patrón n-dmensonal de entrada, compten lateralmente hasta que sólo una de ellas queda actva. El objetvo es que patrones de entrada con característcas parecdas queden asocados a neuronas topológcamente cercanas. Sus prncpales aplcacones son: agrupacón y representacón de datos, compresón de datos y optmzacón. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

25 5 ENTRENAMIENTO DE REDES NEURONALES Se entende por entrenamento el cálculo de pesos y sesgos de manera que la red se comporte de una manera deseada. De acuerdo al tpo de entrenamento, las redes se pueden subdvdr en dos grandes grupos: Redes con entrenamento supervsado. Estas redes se entrenan presentando, para cada combnacón de entradas, las saldas que se espera ellas produzcan. Los algortmos de entrenamento calculan pesos y sesgos nuevos de manera de mnmzar el error entre la salda deseada y la obtenda realmente. Redes sn supervsón. Los algortmos de entrenamento calculan nuevos pesos lbremente. Estas redes se utlzan como clasfcadores, pues se caracterzan por asocar una combnacón de entradas especfca con una sola salda. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

26 6 ALGORITMO DE ENTRENAMIENTO BACKPROPAGATION El algortmo de entrenamento backpropagaton se utlza para ajustar los pesos y sesgos de un red, con el fn de mnmzar la suma del cuadrado de los errores de la red. El algortmo backpropagaton es un método teratvo de optmzacón de descenso según el gradente, cuyos detalles se presentan a contnuacón. Para una neurona j en una capa oculta o en la salda, la señal de salda es n oj = f wjo bj = donde f es la funcón de actvacón de la neurona w j son los pesos de las conexones entre la neurona consderada, j, y la neurona, pertenecente a la capa precedente. o es la salda de la neurona de la capa precedente b j es el sesgo de la neurona j D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

27 7 En este caso, se consdera funcones de actvacón sgmode logarítmcas. Además, se defne n net j = w jo b j = La salda de la neurona j, entonces, está dada por o ( ) = f net = + e j j net j Para el entrenamento, el valor -b j se consdera como un peso correspondente a la conexón de la neurona j con una supuesta neurona de la capa precedente cuya salda es constante e gual a uno. El algortmo de backpropagaton permte ajustar los pesos de la red neuronal con el fn de mnmzar el error cuadrátco sobre un conjunto de entradas y saldas asocadas (patrones) que la red debe ser capaz de aprender para luego realzar generalzacones a partr de ellas. Además, se defne como superfce de error a la funcón multvarable generada por la expresón del error de ajuste D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

28 8 en térmnos de los pesos y sesgos de las neuronas de la red. El algortmo backpropagaton permte determnar los valores de los pesos para los cuales la funcón de error es mínma. Esto no sempre se logra, convergendo muchas veces el algortmo a mínmos locales, no al mínmo global buscado, o smplemente no convergendo. Se consdera una red con M neuronas en la capa de salda y suponendo que se dspone de un conjunto de entrenamento con P patrones, uno de los cuales, denomnado p, tene saldas dadas por [,,, ] t t t t p = p p pm el error cuadrátco tene, para ese patrón, la sguente expresón ( p p ) M Ep = t o = que corresponde al error tomado para dervar la regla de optmzacón. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

29 9 Los valores t p representan las saldas deseadas ante las entradas correspondentes al patrón p. Cuando dcho patrón es presentado a la red, los pesos se modfcan según una regla teratva dervada del método de optmzacón según el gradente, con lo cual el peso w j según la ecuacón w ( h) = w ( h ) + w ( h) j j j donde h corresponde al contador dentro de una teracón. En este caso, una teracón se defne como la presentacón (una vez) de todos los patrones entrada/salda de los cuales se dspone para el entrenamento. El valor de w ( j h ) se calcula como w j E ( h)= η w p j = Ep η net j net j w j (*) donde η es la tasa de aprendzaje (constante de proporconaldad) ( 0< η < ) En general, los pesos se ncalzan entre cero y uno aleatoramente. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

30 30 Se defne el parámetro δ j como δ j Ep E = = net o j p j o j net j En las expresón sguentes, el subíndce p se ha omtdo por smplcdad. Para calcular las dervadas es necesaro tener en cuenta que la funcón de actvacón escogda es una sgmode logarítmca, cuya dervada es df( x) dx = d dx + e = + e + e x x x = ( fx ) fx ( ) ( ) Para una neurona j en la capa de salda se tene, entonces, = ( t o ) o ( o j ) δ j j j j Para una neurona en la capa oculta o en la capa de entrada, se tene δ j = o j ( o ) ( w ) j δ k k jk D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

31 3 donde el contador k cubre las neuronas de la capa posteror a la j. Entonces, la correccón de los pesos se comenza por la capa de salda y se propaga haca atrás hasta llegar a la capa de entrada. Con esto, el térmno (*) se puede expresar como w =ηδ o j j Ahora ben, normalmente no se emplea sólo esta expresón sno que se agrega un térmno denomnado momentum, que corresponde al cambo anteror en el peso ponderado por el coefcente de momentum. Entonces, se tene w = ηδ o + α w ( h ) j j j donde α es el coefcente de momento. Este térmno permte suavzar la convergenca del método y ayuda a que la convergenca de los pesos no se vea demasado afectada por rregulardades en la superfce de error. Consderando los P patrones de que se dspone y con los cuales se realzará el entrenamento, la expresón para el error total, o error de ajuste, es la sguente D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

32 3 ( p p ) P P M E= Ep = t o p= p= = En general, el entrenamento se consdera acabado cuando el valor de E es menor o gual que un límte preestablecdo. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

33 33 IDENTIFICACIÓN BASADA EN REDES NEURONALES Data Selecton Selecton of Relevant Varables Intal Neural Network Structure Defnton Structural and Parametrc Optmzaton Model Valdaton D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

34 34.- Seleccón de datos a) Conjunto de entrenamento b) Conjunto de test c) Conjunto de valdacón.- Seleccón de varables de entrada relevantes X : yk u ( k nb nk +) nu nu nu ( ), yk ( ), y( k na), u ( k nk ), u( k nb nk ),..., )..., +..., u ( k nk ),..., nu nu a) Análss convenconal b) Análss de sensbldades 3.- Defncón de la estructura ncal de la red a) Perceptron multcapa b) RBFN 4.- Optmzacón paramétrca y estructural Numero óptmo de neuronas y capas ocultas. 5.- Valdacón del modelo D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

35 35 IDENTIFICACION CON REDES NEURONALES Modelacón drecta u d Proceso y p d y m M Algortmo de Aprendzaje D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

36 36 En este caso, se entrena una red neuronal de manera de obtener la dnámca drecta de la planta. La red es colocada en paralela a la planta y el error entre el sstema y las saldas de la red son usados como entrada al entrenamento ( Backpropagaton ). Ecuacón del sstema no lneal (Proceso) ( y (t),, y (t n + ),u(t),,u(t n ) ) yp (t + ) = f p p + Red neuronal (Modelo) y ( y (t),, y (t n + ),u(t),,u(t n ) ) (t + ) = fˆ m p p + donde fˆ es la relacón de entrada salda dada por la red neuronal. Luego de un tempo adecuado de entrenamento, se tene: y m y p De esta manera, la red se ndependza de la planta, es decr: D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

37 37 y ( y (t),, y (t n + ),u(t),,u(t n ) ) (t + ) = fˆ m m m + Modelacón nversa s s r M u Proceso y p Algortmo de Aprendzaje s s es la señal de entrada para el entrenamento. Los modelos nversos de la dnámca de la planta juegan un rol mportante en el dseño de control. La salda y p es usada como entrada a la red neuronal. La salda de la red u es comparada con la entrada del sstema D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

38 38 s s (señal de entrenamento) y este error es usado para entrenar la red. Esta estructura claramente tende a forzar a la red neuronal a representar la dnámca nversa de la planta. Modelacón nversa especalzada r u Proceso y p C Algortmo de Aprendzaje M y m D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

39 39 En este caso, el modelo red neuronal nverso precede al sstema y recbe como entrada la referenca deseada de la salda. Esta estructura de aprendzaje contene además un modelo red neuronal drecto (M). La señal de error para el algortmo de entrenamento, en este caso, es la dferenca entre la señal entrenada y m y la señal entrenada y p. Alternatvamente, la señal de error puede ser la dferenca entre r y y p. La estructura entrada salda de la modelacón del sstema nverso está dada por: u(t) ( y (t),, y (t + n ),r(t + ),u(t ),,u(t n + ) ) = f S no se dspone de y p, p p u(t) ( y (t),, y (t + n ),r(t + ),u(t ),, u(t n + ) ) = f m m D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

40 40 ESTRUCTURAS DE CONTROL CON REDES NEURONALES Exsten dversas estructuras de control ben establecdas para sstemas no lneales (Hunt, 99). Control supervsor o por operador Operador Humano u Proceso y Red Neuronal u Proceso y En este caso, se dseña un controlador que mte las accones de control del operador humano. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

41 4 El controlador corresponde a una red neuronal que es entrenada con la nformacón sensoral recbda por el operador y la salda del proceso. Control nverso drecto y d G - G y y d Red Neuronal Planta y En este caso, se utlza un modelo nverso de la planta talque el sstema compuesto resulte la dentdad entre la salda del proceso y la salda deseada. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

42 4 CONTROL POR LINEALIZACION INSTANTANEA El enfoque más común de control para sstemas no lneales es aproxmar el sstema por un sstema lneal en una regón y luego dseñar una estratega de control lneal. Los modelos neuronales son estructuras no lneales que se pueden lnealzar. Esta lnealzacón puede ser en cada nstante de muestreo y por eso se denomna lnealzacón nstantanea. Consderemos el sguente modelo neuronal: y(t) = g( x(t)) donde [ y(t ),..., y(t n), u(t ),..., u(t d m) ] T x( t) = En el nstante t = τ, el sstema es lnealzado alrededor del punto de operacón x (τ), obtenéndose el sguente modelo aproxmado: y~ (t) = a + b 0 y~ (t )... a u~ (t ) b n m y~ (t n) u~ (t d m) D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

43 43 donde y~ (t ) = y(t ) y( τ ) u~ (t ) = u(t ) u( τ ) a = g( x(t)) x t=τ para n b = g( x(t)) x n+ + t=τ para m Para un modelo neuronal perceptron multcapa con n x entradas, una capa oculta con n h neuronas con funcón de actvacón tangente hperbolca y una capa lneal de salda, se tene: y(t) n W tanh = h x j j= k= n w kj x k (t) + w 0 j + W 0 Entonces, la dervada de la salda con rspecto a la entrada x (t) es: D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

44 44 h x g( x(t)) x (t) = n n W jw j tanh j= k= Por lo tanto, el modelo aproxmado está dado por: w kj x k (t) + w 0 j y(t) = + n = a y( τ) + y(t ) + n = a m = 0 b y( τ ) u(t ) m = 0 b u( τ ) donde ξ( τ) = y( τ) + n = es un termno constante (bas). m a τ y( ) bu( τ ) = 0 A partr, de este modelo lnealzado se derva un controlador lneal, que es actualzado en el sguente nstante. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

45 45 Control por modelo de referenca Modelo de Referenca r C u Proceso y p - y r + e r Algortmo de Aprendzaje El funconamento deseado del sstema en lazo cerrado es especfcado a través de un modelo de referenca estable, que se defne por el par entrada-salda {r(t),y r (t)}. El sstema de control pretende llevar a la salda de la planta y p (t) a la salda del modelo de referenca y r (t) asntotcamente, es decr: lm y t r (t) y p (t) ε ε 0 En esta estructura, el error entre y r e y p es usado para entrenar al controlador neuronal. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

46 46 Control por modelo nterno y s + - e F r C u Proceso y p + y m M - En este caso, los modelos drecto e nverso son utlzados drectamente como elementos dentro del lazo de retroalmentacón. La dferenca entre la salda del sstema y p y la salda del modelo y m es utlzada en la retroalmentacón. La retroalmentacón es usada por el subsstema controlador que utlza un controlador relaconado con el nverso del sstema. El substema F es usualmente un fltro lneal que ntroduce robustez al sstema. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

47 47 CONTROL PREDICTIVO BASADO EN REDES NEURONALES En general, los controladores predctvos basado en redes neuronales presentan el sguente esquema básco: r Optmzador u Proceso y Predctor M y En este esquema, la obtencón de la ley de control con redes neuronales puede consderar alguna de las sguentes alternatvas:.- Determnar el modelo del sstema con una red neuronal. El modelo es usado para predecr las saldas futuras de la planta. Esto permte tratar con procesos no lneales..- Entrenar una red neuronal para que realce la msma tarea que un controlador predctvo. El entrenamento D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

48 48 se realza por smulacón fuera de línea. De este modo, se obtene un controlador más rápdo. 3.- Entrenar una red neuronal de forma que optmce un crtero. El modelo es evaluado tan solo en la fase de entrenamento del controlador. A contnuacón, se presentan algunas estrategas de control predctvo basado en redes neuronales Hunt (99) y r Optmzador u y m MR AA M r u Proceso y p C En este caso, una red neuronal (M) predce las respuestas futuras de la planta (y m ) sobre un horzonte de tempo. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

49 49 Las predccones almentan al optmzador de manera de optmzar el sguente crtero: J = N j= N δ(j) Nu r [ y (t + j) y (t + j/ t) ] + λ() [ u'(t + ) ] m = donde y r puede ser la respuesta de un modelo de referenca (trayectora de referenca). Una alternatva es entrenar una red neuronal C de manera de mtar la accón de control u. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

50 50 Arahal (997) GPC basado en respuesta lbre (red neuronal) y respuesta forzada. Modelo Neuronal e Resp. lbre - y l Resp. forzada Modelo Lneal u u Proceso y + Optmzador r Se propone dvdr la respuesta del sstema en lbre y forzada. La respuesta forzada es debdo a la señal de control, el resto se consdera respuesta lbre. ŷ(t + j) = ŷlbre (t + j) + ŷforzado (t + j) Para predecr la respuesta forzada se usará un modelo lneal. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

51 5 La predccón de la respuesta lbre se hará en base a un modelo neuronal, váldo para todo rango de operacón. El proceso de optmzacón puede resolverse analítcamente puesto que el modelo dependente de la señal de mando es lneal. u = (G T G + λi) G T ( w ŷ ) lbre A fn de obtener mejores resultados, el modelo usado para calcular la respuesta forzada se camba con el punto de operacón. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

52 5 Draeger (995) DMC basado en redes neuronales Se consdera el sguente modelo lneal respuesta al escalón: ŷ = G u + f + d con G es la matrz con coefcentes de la respuesta al escalón, f es agrupa los térmnos conocdos hasta t (respuesta lbre) y d es un vector de perturbacones. El vector de perturbacones será tal que una parte representará la no lnealdad del proceso y la otra parte consdera las nfluencas desconocdas. d = d + nl d * con d* = y ym Entonces, la accón de control está dada por: u = (G T G + λi) G T (r f d) D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

53 53 Modelo no lneal r f d nl DMC Proceso y - Modelo lneal Modelo no lneal y m - d* Modelo no lneal D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

54 54 PRINCIPIOS BÁSICOS DE SISTEMAS NEURO- DIFUSOS La prncpal razón de representar un sstema dfuso en térmnos de una red neuronal es utlzar la capacdad de aprendzaje de las redes para mejorar su funconamento. Sstema de nferenca dfusa neuronal adaptva (ANFIS). Modelo de Takag-Sgno. R : S x es A y x es B entonces y = f R : S x es A y x es B entonces y = f donde A y B son conjuntos dfusos y ( x) ( x) f ( x) = z x + z x + z 3 f ( x) = zx + zx + z3 Dado x = (x,x ) un valor numérco de la entrada, el mecansmo de nferenca dfusa produce: y * = A ( x) B( x ) f( x) + A( x) B( x ) f( x) A ( x ) B ( x ) + A ( x ) B ( x ) D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

55 55 A O x A O π O N O 3 f x x O 4 Σ y * B O 3 x O 4 π O N O 3 f O 4 B x x D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

56 56 La salda de la capa es: ( O,O,O,O ) = ( A ( x ),A ( x ),B ( x ),B ( )) 3 4 x La capa consste en neuronas dfusa, entonces sus saldas son: ( O,O ) = ( A ( x ) B ( x ), A ( x ) B ( )) x La capa 3 es un normalzador. Su salda es: ( O,O ) 3 = A 3 = O O + O O + O A( x) B( x ) ( x ) B ( x ) + A ( x ) B ( x ), O, A A ( ) ( ) x B x ( x ) ( ) + ( ) ( ) B x A x B x La salda de la capa 4 es: ( O,O ) = ( O f,o f ) 4 A = A 4 ( x) B ( x)( zx + zx + z3) ( x ) B ( x ) + A ( x ) B ( x ) 3 3 A, A ( x) B ( x)( zx + zx + z3) ( ) ( ) ( ) ( ) x B x + A x B x D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

57 57 La salda resultante es: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = + =, x B x A x B x A z x z x z x B x A z x z x z x B x A O O y * D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

58 58 Algortmo de Aprendzaje ANFIS En la estructura ANFIS, los parámetros de las premsas y consecuencas son los pesos. j Específcamente, las funcones de pertenenca A son parámetros determnados por el número fnto de parámetros a, b, c =, son los parámetros de las consecuencas. El algortmo de aprendzaje ANFIS consste en ajustar el conjunto de parámetros a partr de los datos muestreados k k k ( x,x ), k =,..., N ( ) y Se descrbe un método de aprendzaje de las funcones de pertenenca para las premsas y parámetros de las consecuencas. El conjunto de entrenamento está dado por : k k k donde x ( x,,x ) k k ((x, y ),,(x, y )) = n n R y Las reglas dfusas defndas son: k y R D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

59 59 k k n R : S es y y es entonces n j= x j k y = z x + z A x n j j donde A son funcones de pertenenca dfusas y z son números reales. k Sea O la salda desde el sstema dfuso correspondente k a la entrada x. Se consdera que el operador AND está dado por el producto, entonces el antecedente de la regla es: α k n = A j= Entonces, la salda del sstema es: j A k ( x ) j O k m n k α = j= = n = z j α x k k j + z 0 D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

60 60 ( ) = = = = = + = n n j k j j m n j 0 k j j n j j k x A z x z A O Se defne la medda del error para el patrón de entrenamento como: th k ( ) k k k y 0 E = donde es la salda del sstema dfuso correspondente al patrón de entrada e es la salda deseada,. k O k x k y K,, k = D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

61 6 Equvalenca de redes de funcones de base radales (RBFN) y sstemas dfusos Las redes de funcones de base radales (RBFN Radal Bass Functon Networks ) conssten en dos capas (Jang, 993). Los modelos dnámcos basados en las redes RBFN están dados por: y( t) = N( y( t ),, y( t ny), u( t ),, u( t nu)) donde N es una red neuronal como se muestra en la sguente fgura con n = ny + nu. y(t-) a. f a a f y(t-ny) f y(t) u(t-). f n u(t-nu) a n D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

62 6 La capa oculta esta compuesta por n undades radales totalmente conectadas al vector de entrada. Las funcones de transferenca de la capa oculta son smlares a una funcón de densdad gaussana, es decr: a = exp x r σ donde x = [ y( t ),, y( t ny), u( t ), u( t nu ] ) es el vector de entradas de la red, r son los centros de las undades radales, representan los anchos. σ La salda de la red está dada por: y(t) = n = f a donde f son los pesos de las undades radales. Un sstema sstema dfuso equvalente para dos entradas está dado por: S y(t-) es A y u(t-) es B entonces y(t) = f = c y(t ) + d u(t ) D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

63 63 Además, las funcones de pertenenca de las entradas para la regla son: ( y(t ) r ) µ A (y(t ) = exp σ ( u(t ) r ) µ B (u(t ) = exp σ Entonces, el grado de actvacón de la regla es: ω ( y(t ),u(t ) = µ A (y(t )) µ B = exp x r σ (u(t )) = a D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

64 64 Ejemplo Se tene una red neuronal de una capa, una entrada - una salda, cuya funcón de transferenca no lneal es una sgmode logarítmca. a) Dbuje un esquema que represente la red antes menconada, ndcando claramente: entradas, pesos, expresones para la salda y para la funcón NET. Consdere que no hay sesgos asocados a la red. b) Dados los sguentes valores para la entrada X = {-3.0;.0} y para la salda Y = {0.3; 0.6}, determne medante el algortmo de entrenamento denomnado backpropagaton, el peso asocado a dcha entrada. Consdere la tasa de aprendzaje es 0.9 y que ncalmente w es 0.. c) Compruebe la efectvdad de su entrenamento evaluando la salda de la red, para las entradas del punto b), utlzando el peso encontrado. Comente. Solucón a) x w y f D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

65 65 donde x es la entrada y es la salda w es el peso f es una funcón sgmode y= f( wx ) = net + b) Datos η = 0.9 w(0) = 0. e xw p x y º teracón (con prmer conjunto de patrones) o= f( wx) = f( ) = = e δ= ( ooy ) ( o) = ( ) ( ) = D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

66 66 w = ηδx= = w() = w() 0 + w = = º teracón (con segundo conjunto de patrones) o = f( w( ) x) = f( ) = + e = δ= ( ooy ) ( o) = ( ) ( ) = w 3 = ηδx= = c) w( ) = w( ) + w = = w* = D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.

67 67 o p p = f(wx ) p x y o = f(w * x ) = f( ) = o = f(w * x ) = f( ) = Entonces, los errores de estmacón son: e = y - o = = e = y - o = = Entonces, el error de ajuste es: e = = ( y ) - o = 0.00 Comentaro Se podría mejorar este peso resultante (w*), s se realzan más teracones con los msmos set de datos. Tambén se podría realzar de nuevo las teracones empezando con el x = e y = 0.6, lo cual podría mejora el resultado. D. Sáez, EL650 (007). ControlNeuronal: Fundamentos de Redes Neuronales. Dpto. Ing. Eléctrca, U.