SESIÓN 1 1. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES. VECTORES Y VALORES PROPIOS 2. VALOR PROPIO DOMINANTE. ESTUDIO DE LA TENDENCIA

Transcripción

1 SESIÓN DIGONLIZCIÓN DE MTRICES VECTORES Y VLORES PROPIOS VLOR PROPIO DOMINNTE ESTUDIO DE L TENDENCI

2 DIGONLIZCIÓN DE MTRICES VECTORES Y VLORES PROPIOS Numeroo moelo mtemátio e fenómeno nturle pueen eriire omo un euión mtriil en l que pree l poteni e iert mtriz, Pr el etuio e et poteni,, e funmentl el nálii e lo etore y lore propio e l mtriz Ejemplo : Se pretene relizr el etuio e l ontminión e iert región en l que e etán prouieno ertio inutrile Se hn lifio lo terreno en utro niele e ontminión: Terreno límpio Terreno on niel e ontminión meio Terreno on niel e ontminión lto Se omprue que l eoluión e l ontminión e un ño pr otro e jut lo iguiente to: C ño e ontmin un % e lo terreno limpio e l iguiente mner: o El % on un niel e ontminión meio o El % on un niel e ontminión lto nulmente el % e lo terreno on niel e ontminión mei pn tener ontminión lt nte et ituión, l utorie emprenen un pln e reuperión e l zon ontmin El pln tú iretmente ore lo terreno má ontmino oniguieno, por un lo, limpir totlmente el % e lo terreno on ontminión lt, y por otro, reuir l ontminión e otro % e zon e lt ontminión que p ontminión mei El territorio etuio tiene un extenión e hetáre e iniilmente to ell etn limpi Se trt e reoler l iguiente uetione: Etuir l itriuión e terreno ontmino p un nti onret e ño Por ejemplo, intentemo etuir lo que uee lo iez ño Etuir l teneni po un número ufiientemente grne e ño SOLUCIÓN: Comenzmo reumieno lo to el prolem en l iguiente tl e mio nul: limpio ontminión mei ontminión lt lo terreno limpio pn : % % % lo terreno e ontminión mei pn % % : lo terreno e ontminión lt pn : % % % Llmremo: y en generl, terrenonoontmino en el ño iniil terreno on ontminión mei en el ño iniil terreno on ontminión lt en el ño iniil terrenonoontmino en el ño terreno on ontminión mei en el ño terreno on ontminión lt en el ño terrenonoontmino en el ño terreno on ontminión mei en el ño terreno on ontminión lt en el ño,

3 En prinipio onoemo lo to olmente en el ño iniil en el que too lo terreno etn limpio ) y no hí terreno ontmino, ) No onoemo lo to pr lo ño ueio Sin emrgo, poemo empler l informión proporion por el etuio e mio e porentje e un ño otro pr euir lo que uee en el ño Si ummo l olumn e l tl nterior que orreponen terreno limpio y ontmino, otenremo l nti e ello que hy l ño iguiente, y ): limpio lo terreno limpio ) pn : % e lo terreno on ontminión mei ) pn : lo terreno on ontminión lt ) pn : Sum e olumn Ditriuión en el ño iguiente, e eir, en el ño,, % e ontminión mei % e % e % e ontminión lt % e % e % e En efiniti, hemo reuio el prolem l iguiente onjunto e euione En reli, i onoemo lo to pr el ño, y ), el mimo rzonmiento permite, nuemente on l yu e l tl e porentje e mio, otener l informión pr el ño iguiente ño ) Eto e, poremo lulr,, ): lo terreno limpio ) pn : lo terreno e ontminión mei ) pn : lo terreno e ontminión lt ) pn : Sum e olumn Ditriuión en el ño iguiente, e eir, en el ño,, limpio ontminión ontminión mei lt % e % e % e % e % e % e % e % e Tenemo hor el iguiente onjunto e euione: L uetión e que mo grupo e euione, l oteni pr el ño y el ño, e pueen exprer e form mtriil el iguiente moo:

4 Llmemo l mtriz: Vemo que, onoio lo to e un ño poemo otener lo el iguiente multiplino por l mtriz Por tnto, o que onoemo lo to el ño iniil ño,,, ) poremo lulr lo el ño en l form: prtir e lo to el ño hemo poio otener lo el ño No preguntmo hor i erá poile tmién otener lo e ño ueio el ño,, et) Pree lro que poremo herlo reiterno repeti ee el mimo proeo Conoio lo to el ño, plino l igule mtriile nteriore, otenremo lo el ño multiplino nuemente por l mtriz : 9 6 Porímo her otenio lo to pr el ño iretmente, in neei e lulr primero lo el ño? L repuet e firmti Pr ello t plir l fórmul mtriile que hemo reuro nte omo igue: 9 6 Por tnto, pr otener l informión orreponiente l eguno ño multipliremo lo to iniile por hor, e poile relizr lo álulo pr el terer ño utilizno l mim téni: o tmién iretmente: 9 E eir, lulmo l ituión en el terer ño multiplino por lo to el ño iniil Pree lro que reiterno el proeo poremo otener lo to e ulquier ño e o form iferente: prtir e lo to el ño nterior ño -) meinte

5 prtir e lo to iniile ño ) meinte L egun e et euione e l que tiene pr nootro myor importni Mtriz e trniión: número e ño trnurrio: Ditriuión lo ño en el ño ) Ditriuión iniil en el ño ) En et euión que lro que el omportmiento e l ontminión en ño ueio etá etermino por l poteni E má, en el álulo e et poteni e mtrie e entr to l ifiult e ete prolem Por otro lo, l euión mtriil e áli pr ulquier itriuión iniil e terreno ontmino y no olmente pr l que imo l prinipio el plntemiento,, ) Será ufiiente on r, y lo lore eeo Se uele llmr l etor,, ), etor iniil Si enotmo,, ) l etor que reume l itriuión en el ño, l euione mtriile nteriore pueen reriire en l form:,, Ejeriio Clulr l itriuión e terreno limpio y ontmino urnte lo primero ño Clulr l itriuión e terreno limpio y ontmino pr too lo ño ht el ño Relizr lo prto y uponieno que l itriuión iniil e l ontminión e limpio ontminión mei ontminión lt h h h Relizr lo prto y uponieno que l itriuión iniil e l ontminión e limpio ontminión mei ontminión lt h h 6 h Relizr lo prto y uponieno que l itriuión iniil e l ontminión e limpio ontminión mei ontminión lt h h h Po ño otener l itriuión e terreno ontmino expre en porentje pr et itriuión y l e lo ejeriio, y Comprr lo reulto otenio NOT: Pr relizr lo ejeriio,, y, ée en l eión nterior l intruión Tle Pr un mejor preentión e lo reulto otenio on Tle poemo plir l intruione MtrixForm o TleForm Vlore y etore propio Vemo en el ejemplo nterior que en muh oione erá neerio efetur álulo el tipo: Poteni e un mtriz ur:

6 Prouto e l poteni e un mtriz por un etor: En prtiulr el eguno e eto álulo e e grn importni y que tl y omo hemo ito en el ejemplo: o erá l mtriz e trniión e un períoo e tiempo l iguiente o erá el número e períoo trnurrio o erá el etor e itriuión iniil hitulmente e le enot omo ) En generl eto álulo y ) erán omplio De heho, poo que l mtriz e e oren uperior e prátimente impoile relizrlo mno Exiten in emrgo o ituione en l que eto álulo í on ftile: Cuno el etor e un etor propio e l mtriz, el álulo e inmeito Si iponemo e un igonlizión e, el álulo e e puee relizr fáilmente Reoremo lo onepto e etor y lor propio y e igonlizión: DEFINICIÓN: D un mtriz ur e oren n, : o Vlor propio e l mtriz e ulquier número Ñ pr el que poemo enontrr un n etor Ñ no nulo tl que o Vetor propio e l mtriz oio l lor propio e ulquier etor,, pr el ul o Digonlizr l mtriz onite en enontrr un mtriz C regulr y un mtriz D igonl tl que C - C D Entone iremo que D e l igonlizión e y que C igonliz o que C e l mtriz e po En l iguiente propie, tl y omo nte hemo omento, e pone e mnifieto que en el o e que onozmo lo lore y etore propio o e que tengmo l igonlizión e l mtriz, lo álulo on poteni e implifin extrorinrimente PROPIEDD: Se un mtriz ur e oren n n o Si Ñ e un etor propio e oio l lor propio Ñ, entone, o L poteni e puee lulr meinte l fórmul: CD C - L propie nterior e l le pr el álulo on poteni e mtrie Vée que l otenión e que reuio l álulo e l poteni e un número, y pr l poteni erá ufiiente lulr l poteni e un mtriz igonl, D, lo que y no entrñ ifiult lgun pr lulr l poteni e un mtriz igonl t eler l exponente eeo too lo elemento e l igonl prinipl) En too lo o intentremo lulr lo lore y etore propio o igonlizr l mtriz ontinuión repmo el métoo e igonlizión que y ee er onoio e l prte teóri e l igntur: PROCESO DE CÁLCULO DE VLORES, VECTORES PROPIOS Y DE DIGONLIZCIÓN: Reormo ontinuión el métoo hitul pr el álulo e lo lore y etore propio e un mtriz ur e oren n: Llmmo polinomio rterítio e l mtriz l eterminnte I n Lo lore propio e l mtriz on l oluione rele e l euión rteríti I n Lo etore propio oio l lor propio e luln reolieno el item uy euión mtriil iene por

7 x x I n ) M x n n Si oneguimo un e e Ñ form por lo etore propio,,, n uno e ello repetimente oio lo lore propio,, n, entone, l mtriz e po, C, e otiene ponieno lo etore propio en olumn y l igonlizión, D, e otiene ponieno en igonl lo lore propio E eir, C L n ) y D O n Si ien poemo empler l filie que ofree MTHEMTIC pr reprouir lo punto nteriore tl y omo hrímo mno, el progrm pone nuetr ipoiión omno que permiten lulr el polinomio rterítio y lo lore y etore propio e form iret Eto omno on lo iguiente: Comno: Comno ChrteritiPolynomil pr el álulo e polinomio rterítio e un mtriz ur Sintxi: ChrteritiPolynomil[,] Reulto: Proporion el polinomio rterítio e l mtriz ur expreno iho polinomio en término e l rile Comno: Comno Eigenlue pr el álulo e lo lore propio e un mtriz Sintxi: Eigenlue[] Reulto: Proporion lo lore propio e l mtriz onto on u multiplii E eir, el número e ee que pree repetio un mimo lor propio e igul u multiplii lgeri Comno: Comno Eigenetor pr el álulo e lo etore propio e un mtriz Sintxi: Eigenetor[] Reulto: Proporion lo etore propio e l mtriz Lo etore propio e orenn en el mimo oren que lo lore propio proporiono por Eigenlue[] e mner que etor etá oio l lor propio que e enuentr en l mim poiión en l lit que gener Eigenlue[] L priión e un etor propio nulo ini que el lor propio orreponiente ree e etore propio Et últim iruntni inirá iretmente que l mtriz no e igonlizle

8 Ejemplo : ) Clulr lo etore y lore propio e l mtriz Digonlizr l 6 mtriz Pr ello empleremo l intruione Eigenlue y Eigenetor: In[]: ; 6 In[]: Eigenlue[] Out[] {,,,} lmenmo l mtriz en l rile L intruión proporion lo iguiente lore propio: on multiplii y que pree o ee) on multiplii pree un ol ez) on multiplii pree un ol ez) In[]: Eigenetor[] Out[] {{,,,}, {-,,,}, {-,,,}, {-,-,,}} primer etor propio oio l primer lor propio eguno etor propio oio l eguno lor propio terer etor propio oio l terer lor propio urto etor propio oio l urto lor propio In[]: MtrixForm[Eigenetor[]] Out[]//MtrixForm El reulto e Eigenetor[] puee ere por omo l mtriz oteni l poner en fil lo etore propio e Semo que l mtriz e po e otiene ponieno lo etore propio en olumn y no en fil Poemo empler l intruión Trnpoe pr mir fil por olumn y otener l mtriz e po In[]: Trnpoe[Eigenetor[]] Out[] {{,-,-,-},{,,,-},{,,,},{,,,}} In[6]: MtrixForm[%] Out[6]//MtrixForm Puee ere que Trnpoe[Eigenetor[]] proporion l mtriz e po In[]: DigonlMtrix[Eigenlue[]] Out[] {{,,,},{,,,},{,,,},{,,,}} In[8]: MtrixForm[%] Out[8]//MtrixForm In[9]: $PotMtrixForm Ponieno en igonl lo lore propio otenemo l igonlizión D Pr ello poemo plir l intruión DigonlMtrix l lit e lore propio

9 Out[9]//MtrixForm MtrixForm In[]: Out[]//MtrixForm Poemo hor ompror que lo etore proporiono por Eigenetor on relmente etore propio Promo, omo ejemplo, on el primero y on el último: e etor propio oio e etor propio oio 8 In[]: - - Out[]//MtrixForm - -8 In[]: Inere[] Poemo ompror tmién que, efetimente, l mtrie y lul nte permiten igonlizr l mtriz Pr ello, ompromo que l lulr el prouto - otenemo omo reulto l igonlizión Por tnto relmente e tiene que - Out[]//MtrixForm Un ez que hemo lulo lo lore y etore propio y l igonlizión e l mtriz, hy ier operione on poteni que poemo relizr in ifiultn inluo mno Por ejemplo: Pueto que el etor,,,) e un etor propio oio l lor propio, plino l propiee nte it tenemo que Por ejemplo, Pueto que el etor -,-,,) e un etor propio oio l lor propio, tenemo que 8 Por ejemplo,

10 Poemo lulr ulquier poteni e l mtriz empleno l igonlizión oteni Por ejemplo, pr efeturemo E fáil ompror on MTHEMTIC que too reto reulto on orreto y que on el progrm poemo lulr iretmente l poteni e un mtriz meinte MtrixPower: In[]: MtrixPower[,] Out[]//MtrixForm True In[]: MtrixPower[,] Out[]//MtrixForm True In[]: MtrixPower[,] MtrixPower[,]Inere[] Out[]//MtrixForm True ) Pr l mtriz el ejemplo nterior, lulr Otener un fórmul genéri pr No enontrmo on el prolem e que,,,) no e ninguno e lo etore propio que onoemo pr l mtriz En tl o, no poemo relizr el álulo que e no pie e l mim form que lo hiimo en el ejemplo nterior pr,,,) ó -,-,,) que i er etore propio Sin emrgo, poemo intentr exprer,,,) omo ominión linel e lo etore propio que onoemo y luego proehr que lo álulo on eto etore propio on enillo Pr ello hemo e enontrr lo oefiiente,, α β γ y tle que δ,,),,,,),,,),,,),,,) δ γ β α In[]: Sole[{,,,} α{,,,}β{-,,,}γ{-,,,}δ{-,-,,}] Out[]//MtrixForm {{β,γ, α,δ -}}

11 E eir, tenemo que,,),,,,),,,),,,),,,) plino hor l propiee el prouto e mtrie repeto l um e etore y repeto l prouto por un número poemo euir que y en generl, pr ulquier, hor ien, emo que el álulo e enillo iempre que e un etor propio Como en el miemro ereho e et últim igul too lo etore que preen on etore propio, e fáil onluir que y, en generl, ) Pr l mtriz e lo ejemplo y lulr pr un etor genério En ete o no enontrmo on l ifiult e que eonoemo quién e el etor Solmente emo que e un etor e Ñ y por tnto erá e l form w z y x El prolem etá en que l eonoer lo lore e x, y, z, w, en prinipio, no poremo plir l mim téni el ejeriio nterior en el que lulámo l eompoiión el etor en funión e lo etore propio e l mtriz En u lugr, lulremo iretmente y luego multipliremo el reulto por Pr lulr plimo l fórmul - omo igue:

12 hor poemo efetur el prouto e por el etor, w z y x w )z )y )x )w )z )y )x )z )y )x )w )z )y )x Vée que hor, poemo relizr el álulo pr ulquier poteni,, y ulquier etor,, in má que r, x, y, z, w lo lore euo Por ejemplo, pr relizr el álulo el ejeriio nterior,,,)) tomremo, x, y, z, w : ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) E fáil ompror que ete reulto oinie on el otenio en el ejemplo nterior t relizr lo álulo que queron inio en tl ejeriio) Diponemo, por tnto, e o form e efetur operione el tipo Si onoemo el lor el etor erá má enillo plir l téni el ejemplo nterior Si eonoemo el etor el métoo que homo uo en ete ejemplo puee er má euo ) Clulr lo etore y lore propio e l mtriz Digonlizr l mtriz Proeemo omo nte utilizno lo omno e MTHEMTIC:

13 In[]: $Pot In[]: ; In[]: Eigenlue[] Out[] {,,} In[]: Eigenetor[] Out[] {{,,},{,,},{,,}} Otenemo un únio lor propio: on multiplii pree ee) Otenemo tmién un únio etor propio,,) oio l lor propio Pueto que l mtriz no tiene má etore propio, el progrm omplet l lit ñieno el etor,,) Ello ini que l mtriz no e igonlizle In[]: MtrixPower[,] Out[] True per e que l mtriz no e igonlizle poemo relizr álulo on lo etore y lore propio que hemo poio lulr quí ompromo que l er,,) un etor propio oio, e puee lulr hieno Ejeriio Clulr lo lore y etore propio y l igonlizión e l mtriz Clulr Clulr Como hrímo eto álulo mno un ez onoio lo lore y etore propio? Clulr lo lore y etore propio e l mtriz el ejemplo iniil e l eión Otener l itriuión e terreno ontmino po ño reuéree que en el ejemplo e ini l ituión iniil en l que too lo terreno etn limpio) Vlor propio ominnte Etuio e l teneni Cuno l mtriz e l mtriz e trniión e ierto fenómeno e un períoo l iguiente y el etor erie l ituión iniil el fenómeno, entone emo que etermin l ituión po períoo Ete mimo equem e el que imo en el ejemplo iniil e l eión En eto o etuir lo que ueerá p un nti onret e períoo pr un lor onreto e ) e importnte pero, en generl, erá e myor interé etuir i el fenómeno en uetión muetr lgun teneni en el futuro p un nti ufiientemente grne e períoo Por ejemplo en el ejemplo iniil poemo preguntrno i en el futuro el niel e ontminión reerá inefinimente o i e etnrá en ierto porentje límite El etuio e l ituión uno el número e períoo,, e ez má grne equile relizr el álulo lim El reulto e ete álulo ontituye un moelo el omportmiento el fenómeno que poemo eperr en el futuro E eir, e l teneni e futuro Pr lulr lim erá funmentl onoer lo lore y etore propio e l mtriz En onreto erá neerio onoer uál e el lor propio má grne l que llmremo lor propio ominnte L efiniión prei e lor propio ominnte e l iguiente:

14 DEFINICIÓN: D un mtriz ur, iremo que el lor propio e el lor propio ominnte e i e el que tiene el myor lor oluto e too lo lore propio Ejemplo : 8 o Lo lore propio e l mtriz on, y El myor lor propio 6 e í que ete erá el lor propio ominnte 8 o L mtriz tiene lo iguiente lore propio:, y El lor 8 6 propio on myor lor oluto e el lor oluto e e ) í que el lor propio ominnte e 8 6 o Lo lore propio e on, y Lo lore propio y 6 tienen el mimo lor oluto ) El myor lor oluto e omprtio por o lore propio itinto Por tnto no hy ningún lor propio que teng lor oluto uperior too lo emá y tiene lor oluto uperior o igul too lo emá, pero no e ufiiente que e myor o igul, ee er myor etritmente) y l mtriz no tiene lor propio ominnte Supongmo que l mtriz tiene un lor propio ominnte y upongmo tmién que onoemo lo emá lore propio e l mtriz,,, umimo que eto último lore propio no tiene que er itinto, uno e repite tnt ee omo orrepon u multiplii lgeri) r Llmemo,,, lo etore propio oio l lor propio ominnte, Llmemo l etor propio oio, l etor propio oio, et Si no pien que lulemo pr ierto etor iniil, y imo en ejemplo nteriore que poemo exprer omo ominión linel e lo etore propio e l mtriz y luego el álulo e l poteni erá enillo Pongmo que l expreión e, r r α α L α α α L α Entone, r r α α L α α α L α r α α L α α α L α r r r α α L α α α hor ien, omo e el lor propio ominnte tenremo que y por tnto, >, >,, > <, <,, < y emo que i un número,, umple que < entone, lim L α Como oneueni,

15 lim α α r r L α α lim α lim r r lim α α L α L α lim E eir, el límite e otiene tomno l prte e l eompoiión e en l que interienen lo etore propio oio l lor propio ominnte,, y eliminno l prte que orrepone lo otro lore propio: r r α α L α α α L α prte que orrepone prte eliminr Po un número ufiientemente grne e ño el lor e erá muy preio l lor que otenemo l her el límite uno í que e mner proxim tenemo r r α α L α o lo que e lo mimo r r α α α ) L L tre fórmul reur no permiten lulr el lor límite y etimr el reulto e uno e ufiientemente grne Ejemplo : Terminemo hor el etuio el ejemplo que imo l omienzo e et eión Pr etuir l itriuión e ontminión po ño tenremo que relizr el álulo one y Si lulmo lo lore y etore propio e, eto on: Vlore propio Vetore propio orreponiente,,),88888,) 9 ) 89 ),,,) 989,989,),),,) E eiente que el lor propio ominnte e Pr lulr expreremo el etor omo ominión linel e lo etore propio E fáil er que lo oefiiente e l ominión on 9 6 ) 6 9 ) 6 lor propio ominnte reto e lorepropio Si plimo l fórmul oteni en et eión, 9 9 lim Vemo que l itriuión límite que poemo eperr en el futuro etá etermin por el etor 9 9,,) o lo que e lo mimo: 9

16 Terreno limpio Contminión mei Contminión lt Vlor límite Expreión en porentje 9 689% 689 h 9 6% % Deuimo e et mner lo porentje e ontminión que tenremo po un número ufiientemente grne e ño Ejeriio Etuir l teneni e futuro en el o en que l itriuión iniil e ontminión e limpio ontminión mei ontminión lt h h h Relizr el etuio e l teneni uno lo to iniile on: limpio ontminión mei ontminión lt h h 6 h Clulr l teneni e futuro pr l iguiente itriuión iniil limpio ontminión mei ontminión lt h h h Comprr lo porentje otenio en lo tre primero ejeriio Clulr un itriuión iniil etle E eir, un ipoiión e terreno limpio y ontmino que no mie e un ño l iguiente Otener lo porentje orreponiente et itriuión y omprr on lo ejeriio nteriore Supongmo que un griultor tiene un polión e plnt on un iert itriuión e tre tipo e genotipo y Se ee iniir un progrm e ultio en el que to l plnt e l polión en feun por plnt on genotipo Plnter un moelo mtemátio pr ete prolem y etuir l teneni e futuro tr ueio rue