Capı tulo 7. DISENO DE MUESTREO

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1 Capı tulo 7. DISENO DE MUESTREO El dseño de fuentes de nformacón es el tercer paso de una nvestgacón econométrca. El nvestgador debe dstngur dos tpos de fuentes de nformacón que puede aplcar a su trabajo econométrco; las fuentes de nformacón prmara y las fuentes de nformacón secundara. Las prmeras justfcan el estudo de las técncas de muestreo. Hasta aquí el nvestgador conoce qué problema debe nvestgar y cómo plantear su tabla de datos. Debe tener en cuenta que se trata de un problema económco que para nvestgarlo debe fundamentarse en la teoría de la nferenca estadístca desarrollada en los capítulos anterores. Generalmente, el nvestgador posee datos de fuentes de nformacón secundara, que debe recolectar, procesar y organzar como se verá en la cuarta parte de este lbro. S el nvestgador no cuenta con nformacón secundara para su trabajo, deberá realzar un relevamento aplcando los métodos y tpos de muestreo que se desarrollan en este capítulo Fuentes secundaras de nformacón El proceso de nvestgacón econométrca, que permte la modelzacón empírca de los fenómenos económcos observados, no es un smple proceso de ajuste que se realza de forma automátca dada una teoría y un conjunto de números, sno que consttuye el nstrumento que permte el progresvo aumento en la acumulacón de conocmento sobre la realdad económca. No obstante, explcan Espasa y Cancelo (1993) es certo que, sendo la Economía una cenca para explcar una realdad que se va observando contnuamente, el trabajo empírco no se toma en sero en la profesón véase la queja unánme que sobre ete punto hacen Hendry, Leamer y Porer et al (1990), seccón 2.2 n mucho menos consttuye el camno por el que mayortaramente los economstas van acumulando opnones. Las razones pueden ser muchas, como la dscrepanca entre la teoría de cómo hacer el trabajo empírco y el tpo de trabajo empírco que realmente se hace; o tambén, porque no se dspone de patrones claros para juzgar el trabajo empírco (p.p ). Así, elevar la dsertacón de la metodología econométrca a un nvel en el que haya patrones, sobre los cuales se pueda conclur que un determnado trabajo empírco está ben hecho y es convenente, consttuye uno de los prncpales objetvos de este lbro y de los economstas cuanttatvos de la actualdad. En cuenta de ello, el trabajo económco más sóldo es el que se basa en la correcta aplcacón del proceso de nvestgacón econométrca, el cual aparece respaldado por los datos. Estos, en general, se encuentran en fuentes secundaras de nformacón, la cual deberá ser chequeada antes de ser aplcada. Un buen chequeo de la nformacón provenente de fuentes

2 248 secundaras debe nclur un análss pormenorzado de las varables que se ncluyen, tendenca, ntegracón, ploteo, entre otros. Con frecuenca, el nvestgador parte de la dea de que una encuesta es la únca manera de recolectar datos para un proceso de nvestgacón econométrca. En realdad, solo debe utlzarse una encuesta, y por lo tanto un dseño de nformacón prmara basado en un dseño de muestreo, s los datos no pueden recolectarse empleando fuentes de nformacón más efcentes. En consecuenca, el prmer paso en el dseño de las fuentes de nformacón consste en determnar s los datos ya exsten. Los datos secundaros se pueden defnr como aquellos datos publcados que se recolectaron con propóstos dstntos de las necesdades específcas de la nvestgacón econométrca que se está desarrollando. Esta nformacón secundara puede provenr de dos fuentes prncpales. Las fuentes sndcalzadas y las fuentes bblográfcas. Las prmeras son provstas por empresas que se dedcan al relevamento y sstematzacón de bases de datos a requermento de clentes; estas fuentes son caras y raramente se usan en un trabajo econométrco. Las bblográfcas ncluyen un conjunto de dvulgacones que crculan públcamente; a sobremanera luego de la cultura web. La prncpal ventaja de los datos secundaros es el ahorro de tempo y dnero en comparacón con las fuentes de datos prmaros. Por supuesto, habrá que ver el grado en que estos datos se ajustan a las necesdades de nformacón del proyecto y la exacttud de los msmos. Organzacón y homogenezacón de los datos. Puesto que los datos secundaros se recolectan con propóstos dferentes a los del proyecto de nvestgacón que se está llevando a cabo, rara vez satsfarán adecuadamente las necesdades del msmo. Esto da lugar a que deban realzarse ajustes, los que están nfluencados por los sguentes factores: Las undades de medcón La dmensón geográfca que mden La actualdad de la publcacón Con respecto a las undades de medcón, al trabajar con datos reales provenentes de fuentes secundaras o del contexto económco, es habtual en Econometría tener varables meddas con dferente perodcdad. Por ejemplo, el PBI meddo en forma trmestral y el Índce de Precos meddo mensualmente. Al ncorporarlas en un modelo econométrco donde la undad de observacón es el tempo, las varables deben referr a la msma undad de tempo. Por ejemplo, hay stuacones en las que es necesaro contar con el dato del PBI meddo en forma mensual. Para esto es necesaro construr la sere mensual a partr de los datos trmestrales.

3 249 Un crtero que permte construr la sere mensual supone que las varacones dentro del trmestre se producrán de manera constante. Los pasos a segur conssten en obtener el coefcente de varacón trmestral y, a este convertrlo en su equvalente mensual. Luego, se asgna el valor de un trmestre al últmo mes del trmestre y se le aplca a este el coefcente de actualzacón mensual para obtener el mes sguente. Ejemplo. La Fgura 7.1 muestra el PBI meddo en mllones de pesos correntes entre el prmer trmestre de 1998 y el cuarto trmestre de Para convertr la sere en datos mensuales se hará lo sguente: 1) Se le asgna al últmo mes del trmestre el valor del trmestre (Fgura 7.2) 2) Se calcula la varacón entre dos trmestres (Fgura 7.3) juno 98 = marzo = ) Se calcula la varacón mensual a partr de la trmestral (Fgura 7.3) 1/ 3 ( ) = ) Se calculan los valores del PBI mensual (Fgura 7.4) 98 = = = = = = Perodo PBI 1998 I II III IV I II III IV NOTA: PBI a precos de mercado en mllones de pesos correntes. FUENTE: Mnstero de Economía de la Nacón. Fgura 7.1. PBI trmestral Perodo PBI 1998 Marzo Juno Setembre Dcembre Marzo Juno Setembre Dcembre NOTA: PBI a precos de mercado en mllones de pesos correntes. FUENTE: Elaboracón propa. Calculado a partr de datos del Mnstero de Economía de la Nacón. Fgura 7.2. PBI mensual

4 250 Perodo PBI Varacón trmestral Varacón mensual 1998 Marzo Juno Setembre Dcembre Marzo Juno Setembre Dcembre NOTA: PBI a precos de mercado en mllones de pesos correntes. Varacones expresadas en tanto por uno. FUENTE: Elaboracón propa en base a datos de PBI del Mnstero de Economía de la Nacón. Fgura 7.3. Tasas de varacón del PBI Perodo PBI trmestral Varacón trmestral Varacón mensual PBI mensual 1998 Marzo 282, Abrl Mayo Juno 312, Julo Agosto Setembre 305, Octubre Novembre Dcembre 295, Enero Febrero Marzo 270, Abrl Mayo Juno 288, Julo Agosto Setembre 285, Octubre Novembre NOTA: PBI a precos de mercado en mllones de pesos correntes. Varacones en tanto por uno. FUENTE: Elaboracón propa en base a datos trmestrales sumnstrados por el Mnstero de Economía de la Nacón. Fgura 7.4. Cálculo de PBI mensual a partr del PBI anual

5 251 Ejemplo. La Fgura 7.5 tene nformacón sobe el Indce de Precos al Consumdor del Gran Buenos Ares, elaborado por el INDEC en forma mensual; para transformarlo en trmestral, una alternatva es calcular el promedo de los índces de tres meses. Año Mes IPC mensual Año Trmestre IPC trmestral I II III IV NOTA: Indce de Precos al consumdor del Gran Buenos Ares. Nvel general sere base 1999=100 FUENTE: Elaboracón propa en base a datos del INDEC. Fgura 7.5. Cálculo del Indce de Precos trmestral a partr del mensual Problema de exacttud Una sera lmtacón de los datos secundaros tene que ver con la dfcultad de evaluar la exacttud, lo cual tene que con ver con s los datos son exactos para el propósto de la nvestgacón que se está realzando. Para evaluar la exacttud habrá que chequear: Fuente Propósto de la publcacón Evdenca relaconada con la caldad Una regla fundamental en la utlzacón de datos secundaros es la obtencón drectamente de la fuente orgnal y no de la fuente adqurda. Esta últma es la que obtene los datos de una fuente orgnal y los sstematza en una base de datos. Esto tene que ver con que la fuente orgnal muestra con detalle el proceso de recoleccón y análss de los datos; además, es más detallada y de mayor exacttud que la fuente adqurda. Los errores de transcrpcón, la falta de

6 252 reproduccón de los pes de tabla y de otros comentaros textuales, pueden nflur en la exacttud de los datos. El segundo crtero que debe tenerse en cuenta en la determnacón de la exacttud de los datos secundaros es la evaluacón del propósto de la publcacón. Son sospechosas las publcacones realzadas por una fuente, gubernamental o no, que desea poner énfass a su favor ante stuacones comprometdas, o bajo condcones que sugeren una controversa, o una forma que revela un ntento forzado haca la franqueza, o para poner en controversa deduccones de otros datos. La evdenca relaconada con la caldad tene que ver con los detalles del dseño de la nvestgacón. Cuando no se revelan los detalles puede ocurrr que la organzacón que relevó los datos prmaros tene algo que ocultar. El nvestgador tene que poder evaluar puntos de la nvestgacón orgnal tales como: el plan de muestreo, el procedmento de recoleccón de datos, las técncas de elaboracón de cuestonaros y los procedmentos de análss de datos. Fuentes gubernamentales de datos La mayor fuente de datos estadístcos son los estados naconales y, en menor medda, la de los estados provncales. En consecuenca, la nvestgacón econométrca requere un completo conocmento de los datos del goberno en el espaco de referenca del estudo. En general, la ofcna de censos de los nsttutos de estadístca ofcales son las fuentes de datos secundaros más mportantes. Están dsponbles tambén datos de los mnsteros o de los bancos centrales. Hoy en día, en nternet se pueden encontrar todo tpo de datos económcos para realzar nvestgacones adecuadas. Los datos de censos económcos, por ejemplo, están dsponbles a dferentes nveles de desagregacón. Los datos de censos poblaconales ncluyen nveles que van desde la nacón hasta poblacones menos mportantes. Además de las fuentes gubernamentales, exsten numerosas publcacones que contenen datos aplcables a un amplo número de modelos econométrcos ELEMENTOS DE MUESTREO El dseño de muestreo es una de las formas que el nvestgador posee para realzar la nvestgacón econométrca por medo de fuentes de nformacón prmara. Otras formas de llevar a cabo el dseño de estas fuentes son: la observacón drecta, examnar una stuacón sn modfcarla; la expermentacón, construr una stuacón controlada por el nvetgador;

7 253 el estudo de huellas o rastros, observacón dferda de determnadas consecuencas del fenómeno analzado. Estas formas de dseño no son taxatvas, exsten otras como las hstoras de vda, el análss de contendo, medda de acttudes, evaluacón de programas y smulacón por computadora. Muestreo aparece en el tercer paso de una nvestgacón estadístca y es aquella teoría que establece los procedmentos que permten generalzar sobre la poblacón a través del estudo de una parte de la msma; es decr, a través del estudo de la muestra. Cada observacón, o elemento tomado de la poblacón, contene certa cantdad de nformacón acerca del parámetro o parámetros de nterés. Ya que la nformacón cuesta dnero, el nvestgador debe determnar cuánta nformacón debe comprar: poca nformacón mpedrá realzar buenas estmacones; mentras que, mucha nformacón ocasona un desplfarro de dnero. La cantdad de nformacón depende del número de elementos muestreados y de la cantdad de varacón de los datos, ambos fenómenos pueden ser controlados a través del dseño de la encuesta y el tamaño de la muestra. Esta ntroduccón a los métodos estadístcos para la seleccón de muestras aleatoras en marcos poblaconales determnados, no se dedca al estudo de métodos específcos de muestreo; sno que trata de elaborar cuáles serán los objetvos de la aplcacón de metodologías estadístcas a problemas de nvestgacón. Consttuyen las respuestas al porqué, cómo y dónde, algunas razones y motvacones para usar buenos métodos de muestreo, una vsón panorámca de los problemas báscos y de los métodos para resolverlos, y una ndcacón de la manera que el concepto de muestreo de poblacones cabe dentro de los métodos de muestra y dentro de la búsqueda general de conocmento centífco. El dseño de muestra tene dos aspectos: un proceso de seleccón, que consste en la regla y operacones medante las cuales se ncluyen en la muestra algunos membros de la poblacón, y un proceso de estmacón para calcular los estadístcos de la muestra, que son estmacones muestrales de los parámetros (valores) de la poblacón. En la teoría del muestreo son mportantes las sguentes defncones: Elemento: objeto sobre el cual se toman las medcones. Poblacón: conjunto de elementos acerca de los cuales se desea hacer alguna nferenca, es el unverso de referenca. Undades de muestreo: conjunto no superpuesto de elementos de la poblacón que cubren la poblacón completa. S ben en el estudo necesto encuestar ndvduos, es certo que un hogar sgnfca un conjunto de ndvduos (es decr un conjunto de elementos) y el proceso de selecconar hogares, y dentro de los hogares selecconar el elemento, puede resultar más efcente sempre y cuando la persona no sea

8 254 encuestada dos veces. Es posble que el número de elementos y el número de undades de muestreo concdan, esto es así cuando se muestrean ndvduos en lugar de hogares. Marco: es una lsta de undades de muestreo. La seleccón del elemento (ndvduo) puede hacerse drectamente del marco, esto es s se poseen lstas de ndvduos. Tambén pueden darse marcos múltples: prmero selecconando vvendas y dentro de las vvendas ndvduos. Muestra: conjunto de undades selecconadas de un marco o de varos marcos. De la muestra se obtendrán los datos objeto de la nvestgacón que se utlzará para descrbr la poblacón y realzar estmacones sobre ella. Ejemplo. Una mportante frma ndustral almentca quere conocer la proporcón de habtantes de certa poblacón que han consumdo una nueva línea de polvos para helados de recente aparcón en el mercado. Elemento será la persona que habta en esa poblacón y que fue selecconada por algún método de muestreo para que respondera acerca de su conocmento o no del producto. Poblacón son todos los habtantes de la poblacón que superen un certo límte de edad a defnr por el nvestgador. Perez Lopez (2005) manfesta que Al hablar de métodos de muestreo nos refermos al conjunto de técncas estadístcas que estudan la forma de selecconar una muestra lo sufcentemente representatva de una poblacón cuya nformacón permta nferr las propedades o característcas de toda la poblacón cometendo un error medble y acotable. A partr de la muestra, selecconada medante un determnado método de muestreo, se estman las característcas poblaconales (meda, total, proporcón, etc) con un error cuantfcable y controlable. Las estmacones se realzan a través de funcones matemátcas de la muestra, denomnadas estmadores, que se converten en varables aleatoras al consderar la varabldad de las muestras. Los errores se cuantfcan medante varanzas, desvacones típcas o errores cuadrátcos medos de los estmadores, que mden la precsón de estos. La metodología que permte nferr resultados, predccones y generalzacones sobre la poblacón estadístca, basándose en la nformacón contenda en las muestras representatvas prevamente elegdas por métodos de muestreo formales, se denomna nferenca estadístca Seleccón de Muestras El muestreo estuda los métodos para selecconar y observar una parte de la poblacón con el fn de hacer nferencas acerca de toda la poblacón. Una muestra puede tener varas ventajas sobre un censo completo:

9 255 a) economía; b) rapdez y oportundad; c) posbldad de hacerse (s la observacón es destructva, el empleo de un censo no es práctco); d) caldad y precsón (en algunas stuacones, no hay dnero sufcente para pagar el personal adestrado y los supervsores necesaros para realzar un buen censo, o aun para obtener una muestra grande). Los censos completos poseen ventajas especales en algunas stuacones: a) se pueden obtener datos para undades pequeñas; b) la aceptacón públca es más fácl de alcanzar para datos completos; c) la colaboracón y la respuesta del públco se pueden obtener más fáclmente. Crteros del dseño de la muestra 1) Orentacón haca la meta. El dseño completo, tanto en la seleccón como en la estmacón, debe orentarse a los objetvos de la nvestgacón, hechos a la medda del dseño de la encuesta y ajustados a las condcones de la encuesta. 2) La medbldad es una característca de los dseños que permte calcular, a partr de la propa muestra, estmacones váldas o aproxmacones de su varabldad de muestreo. Esto se suele expresar en las encuestas con los errores estándares, pero a veces, pueden utlzarse otras expresones de la funcón de verosmltud o de la dstrbucón de muestreo. Esta es la base necesara para la nferenca estadístca que srve como puente, centífco y objetvo, entre el resultado de la muestra y el valor desconocdo de la poblacón. 3) La practcdad se refere a los problemas que deben resolverse para llevar a cabo el dseño esencalmente como se propuso. Una muestra probablístca no puede crearse por suposcón, n estará dada, como sucede en los problemas teórcos. El método de los muestreadores de cuota a sus entrevstadores: "vayan y obtengan una muestra aleatora", es sumamente mpráctco; n el entrevstador n el que lo envía pueden hacerlo. Se requere de cudado para traducr el modelo de seleccón teórco a un conjunto de nstruccones de ofcna y campo. Estas nstruccones deben ser smples, claras, práctcas y completas. Por ejemplo, para dentfcar un segmento de muestra, no se le debe pedr al entrevstador que localce una línea marcada arbtraramente en un mapa; sus deberes deben confnarse a localzar calles y dreccones.

10 256 4) La economía se refere a cumplr los objetvos de la encuesta con un costo mínmo y al grado en que se alcanza este objetvo. En líneas generales, hay dos formas de obtener una muestra: de manera nformal y casual, o ben, de manera probablístca Muestras nformales y casuales Las muestras no probablístcas consttuyen un problema en la nferenca pues no hay una manera de estmar qué tan representatvas son esas muestras selecconadas. Los procedmentos usados en este tpo de muestreo son: - muestras de juco: el entrevstador seleccona a cualquer sujeto que desee. - muestras de cuotas: son muestras de jucos pero con preva asgnacón de cuotas por sexo, edad, clase socal, raza, entre otros, que tratan de smular característcas conocdas de la poblacón. - trozo de pastel: en este caso el entrevstador no ntervene en el proceso de seleccón pues consste en una autoseleccón, personas que responden a un cupón, que concurren a un centro de exhbcón, el públco de un teatro en partcular, por ejemplo. Los peatones pueden ser nterrogados en cuanto a sus opnones de un nuevo producto. S la respuesta de todos en la poblacón es unforme, todos ellos lo odan o lo aman, tal enfoque puede ser satsfactoro Muestras Probablístca Todos los membros de la poblacón tenen una probabldad conocda de estar en la muestra. Una muestra probablístca tene las ventajas de: - permtr al nvestgador demostrar la representatvdad de la muestra. - permtr un planteamento explícto en cuanto a la cantdad de varacón que será ntroducda, porque se usa una muestra en lugar de un censo de la poblacón. - hacer posble la dentfcacón más explícta de las probables desvacones.

11 257 El objetvo de un muestreo probablístco es hacer una nferenca acerca de la poblacón con base en la nformacón contenda en la muestra. Exsten dos factores que pueden afectar la nformacón contenda en la muestra: - El tamaño de la muestra - La cantdad de varacón en los datos (que puede ser controlada por el método de seleccón de una muestra) Las undades de muestreo contenen los elementos y se usan para selecconarlos en la muestra. En el muestreo de elementos, cada undad de muestreo contene solamente un elemento; pero en el muestreo de conglomerados cualquer undad de muestreo, llamada conglomerado, puede contener varos elementos. Ejemplo. Una muestra de estudantes se puede obtener de una muestra de aulas; o una muestra de vvendas de una muestra de manzanas de la cudad. Una msma encuesta puede usar dferentes clases de undades de muestreo; en muestreo poletápco se usa una jerarquía de undades de muestreo o conglomerados, de manera que el elemento pertenezca úncamente a una undad de muestreo en cada etapa. Ejemplo. Puede tomarse una muestra de los habtantes de una Regón al selecconar sucesvamente los muncpos, las manzanas, las vvendas y, fnalmente, las personas. Las undades de lstado se usan para dentfcar y selecconar undades de muestreo a partr de lstas. A veces se necestan procedmentos detallados para convertr lstados en undades de muestreo, como por ejemplo, para convertr un lstado de dreccones en vvendas y hogares. Los problemas pueden ser seros s los elementos no se dentfcan unívocamente con los lstados. Por ejemplo, una muestra de famlas tomada de los lstados de teléfonos puede nvolucrar seras dfcultades. Entre los métodos de seleccón de una muestra probablístca se encuentran: 1) Muestreo aleatoro smple 2) Muestreo sstemátco 3) Muestreo estratfcado 4) Muestreo por conglomerados

12 258 5) Muestreo por etapas múltples Muestreo Aleatoro Smple El muestreo aleatoro smple es un enfoque en el cual cada membro de la poblacón, y por tanto cada muestra posble, tene una probabldad gual de ser selecconado. Las muestras aleatoras smples pueden ser selecconadas medante el uso de una tabla de números aleatoros. La manera de hacer nferencas es estmar certos parámetros de la poblacón utlzando la nformacón de la muestra. Frecuentemente, el objetvo es estmar una meda poblaconal (parámetro µ) o un total poblaconal (parámetro τ ); otras veces se requere estmar la proporcón poblaconal (parámetro π). Para lograr la estmacón se usa el promedo muestral (estadístco µˆ ), el estmador del total poblaconal (estadístco τˆ) y la proporcón muestral (estadístco πˆ o p ), donde: sendo, N, tamaño de la poblacón n, tamaño de la muestra x, datos muestrales, = 1,..., n ==!"# ; ˆ τ = N ˆ µ ; $ En el muestreo aleatoro smple, el tamaño de la muestra -es decr, la cantdad de observacones necesaras para estmar un parámetro poblaconal con un límte para el error de estmacón (asumr un resgo determnado de cometer dcho error)- vene dado por n = z 2 e σ 2 2 Muestreo Sstemátco Consste en esparcr sstemátcamente la muestra a lo largo de la lsta de membros de la poblacón. S la poblacón tene ndvduos y se desea un tamaño de muestra de 1.000, cada décma persona es selecconada para la muestra.

13 259 Aunque en cas todos los ejemplos práctcos tal procedmento generaría una muestra equvalente a una muestra aleatora smple, el nvestgador debe estar conscente de las regulardades dentro de la lsta. Se debe hallar prmero la frecuenca de extraccón de elementos, es decr, cada cuántos elementos se extrae uno. Esto se logra hacendo N = n K Para determnar cuál es el prmer elemento de la muestra, se seleccona de una tabla de números aleatoros un valor nferor a K. A este elemento se lo denomna arranque aleatoro (a). El segundo ndvduo será el a+k, el tercero a+k+k y así sucesvamente. La ventaja de este método de seleccón es su practcdad; la desventaja surge a partr de la determnacón de los elementos a y K, donde algunas undades de observacón pasan a tener probabldad certa de ser selecconadas y otras probabldad nula. Muestreo Estratfcado. En el muestreo aleatoro smple, una muestra aleatora se seleccona de una lsta, o de un marco muestral, que representa a la poblacón. Al desarrollar un plan de muestreo, es aconsejable buscar subgrupos naturales que sean más homogéneos que la poblacón total. Tales subgrupos se denomnan estratos. Este tpo de muestreo es convenente cuando la poblacón o unverso puede ser dvddo en categorías estratos o grupos que reúnen certo nterés analítco y que por razones teórcas y empírcas presentan dferencas entre ellos. 1) La estratfcacón puede producr un límte más pequeño para el error de estmacón que el que se generaría por una muestra aleatora del msmo tamaño. Este resultado es partcularmente certo s las medcones dentro de los estratos son homogéneas. 2) El costo por observacón en la encuesta puede ser reducdo medante la estratfcacón de los elementos de la poblacón en grupos convenentes. 3) Se pueden obtener estmacones de los parámetros poblaconales para subgrupos de la poblacón. Los subgrupos deben ser entonces estratos dentfcables.

14 260 Ejemplo. Se necesta nformacón sobre las acttudes de los estudantes haca una nueva nstalacón atlétca dentro de la Unversdad. Se conoce que exsten tres grupos de estudantes con característcas dferencadas: A) los que vven en resdencas estudantles tenen acttudes muy homogéneas haca la nstalacón propuesta, la varacón o la varanza en sus acttudes es muy pequeña. B) resdentes en la cudad, son menos homogéneos. C) resdentes fuera de la cudad, varían amplamente en sus opnones. En tal stuacón, en lugar de permtr que la muestra provenga de la totaldad de los tres grupos aleatoramente, será más prudente tomar un menor número de membros del grupo de resdentes y extraer más del grupo ajeno al campo. Se partcona la lsta de los estudantes en los tres grupos y se extrae una muestra aleatora smple de cada uno de los tres grupos. Una muestra estratfcada puede ser 1) Proporconal, donde la fraccón de muestreo es gual en cada estrato de la muestra que la exstente en la poblacón 2) No proporconal La estmacón de la meda de la poblacón, en el muestreo estratfcado, es un promedo ponderado de las medas de las muestras encontradas en cada estrato: µ X = π x donde, x = la meda de la muestra para el estrato π = la proporcón de la poblacón en el estrato Ejemplo. El propósto de la nvestgacón es estudar el rendmento escolar según sea su extraccón de clase socal. Para ello, el nvestgador se stúa en una escuela a la cual concurren 500 alumnos y de los cuales le nforman la composcón de clase socal en la Fgura 7.6. Poblacón Muestra Clases socales Elementos Proporconal No proporconal Alta Meda Baja Total Fgura 7.6. Composcón de clase socal S se quere que el tamaño de la muestra sea del 10% de la poblacón se aplca esa fraccón de muestreo a cada estrato, dando lugar a un muestreo proporconal. Ahora ben en el estrato Clase Alta solo se tenen 5 casos y, puede ocurrr, que no alcancen para realzar certas estmacones. S

15 261 se establece que se necestan 25 casos en cada clase para poder realzar el estudo se está en presenca del muestreo no proporconal, donde el tamaño muestral es de 75 y los resultados a obtener dentro de cada estrato se deben ponderar por el peso del estrato en la poblacón. En el caso del muestreo proporconal esto no ocurre porque es autoponderado. Cómo se determna la mejor aplcacón del presupuesto de muestreo a dversos estratos? Este problema clásco de muestreo fue soluconado en 1935 por Jerzy Neyman, a partr de la sguente expresón: n = π σ / π σ / c c n donde, n = el tamaño de la muestra para el estrato π = la proporcón de la poblacón en el estrato σ = la desvacón estándar de la poblacón en el estrato c = el costo de una entrevsta en el estrato Σ = la suma a lo largo de todos los estratos n = tamaño de la muestra Ejemplo. La Fgura 7.7 presenta nformacón de la encuesta sobre el uso mensual de las cajeros automátcos. La poblacón se encuentra estratfcada por ngreso. El segmento de ngresos altos tene la varacón más alta y el costo de entrevsta más alto. Los estratos de ngresos medos y bajos tenen el msmo costo de entrevsta, pero dferen con respecto a la desvacón estándar del uso de los procesadores bancaros. Estrato () Proporcón (π ) Desvacón estándar (σ ) Costo (c ) entrevsta π σ / Bajo Medo Alto Fgura 7.7. Uso de cajeros automátcos Para asgnar 1000 casos entre los dferentes estratos, se tene en cuenta la %& ' ( ' )* ',=0.34 y se calcula: -./0 = & '( ' )* ' %& ' ( ' )* ', 1000= =177 c n

16 '0 = & '( ' )* ' %& ' ( ' )* ', 1000= = = & '( ' )* ' %& ' ( ' )* ', 1000= =235 Las cantdades muestrales de la últma columna, presentan la dvsón de la muestra de personas en los tres estratos. Al estrato de ngresos altos le corresponden 235 personas que representan el 23.5% de la muestra; sn embargo, la proporcón de personas de altos ngresos en la poblacón es de 20.0%. S se hubera selecconado una muestra aleatora smple de tamaño 1000, 200 personas pertenecerían al estrato de altos ngresos y no sería un número sufcente para estmar los parámetros en la poblacón. La dsponbldad presupuestara determna, en alguna medda, el tamaño de la muestra. Este es ajustado haca arrba hasta que alcanza el límte presupuestal, de modo que el presupuesto debe ser calculado como: Presupuesto = Σ c n Conocdo el tamaño de la muestra, se determna el error muestral y se decde s es excesvo o no. La fórmula del error muestral es: Error muestral = z σ x donde, σ x = π n 2 σ 2 S el error muestral es excesvo se debe amplar el presupuesto, lo que permte tomar un tamaño de muestra mayor; de no ser posble el proyecto debe desecharse. Muestreo De Conglomerados En el muestreo de conglomerados, la poblacón se dvde nuevamente en subgrupos. En esta técnca se seleccona una muestra aleatora de subgrupos y todos los membros de los subgrupos forman parte de la muestra. Este método es útl cuando se pueden dentfcar aquellos subgrupos que sean representatvos de la totaldad de la poblacón. Ejemplo. Se tomó una muestra de estudantes unverstaros de segundo año, que cursaban estadístca en todas las facultades de Argentna, para estudar la prevencón del SIDA. Se contaba en ese momento con 200 comsones de estadístca, cada una de las cuales tenía, en promedo, 30 estudantes.

17 263 El muestreo utlzado fue el de conglomerados: se selecconaron 15 comsones y, dentro en ellas, la totaldad de los alumnos. De modo que el tamaño de muestra fue de 450 alumnos. S se hubera decddo tomar una muestra aleatora smple reunendo 450 alumnos en el total de 200 cursos de estadístca, el costo sería sgnfcatvamente mayor. La gran pregunta, desde luego, es s los cursos son representatvos de la poblacón y la respuesta es no necesaramente. S los cursos de las áreas de ngresos superores tenen dferentes opnones acerca de la prevencón del SIDA, que los cursos con estudantes de ngresos más bajos, el supuesto que fundamenta al enfoque, no se mantendría. La gran ventaja del muestreo de conglomerados es que su costo es más bajo. Los subgrupos o conglomerados son selecconados de modo que, el costo para obtener la nformacón deseada dentro del conglomerado, sea mucho más pequeño que s se obtuvera una muestra aleatora smple. Dseños De Etapas Múltples S se usan otros dseños muestrales, la lógca para generar el tamaño óptmo de la muestra aún se mantendrá; sn embargo, la fórmula puede complcarse. Ejemplo. En un dseño por áreas, el prmer paso puede ser el de selecconar comundades al azar. De este modo, el procedmento puede ser escoger porcones de rados censales, luego manzanas y fnalmente famlas. En tal dseño, la expresón para determnar el error estándar de X se vuelve sumamente compleja. La stuacón consste en repetr la totaldad del plan de muestreo y obtener dos, tres o cuatro estmacones ndependentes de X. Estas dferentes estmacones pueden ser usadas para estmar el error estándar de X. Formalmente, el dseño en etapas múltples bajo el supuesto que se conocen los tamaños de las undades prmaras, parte de consderar una poblacón de ndvduos (llamadas undades secundaras) de tamaño N repartda en M undades prmaras. Para k = 1,, M, sea N k el tamaño de la undad prmara k, N k se supone conocdo : 9;< 8 9 =8 Sea Y una varable real de nterés. Se denota =, el total, la meda y la varanza de Y sobre la poblacón; = 9, 9 ( el total, la meda y la varazna de Y sobre la undad prmara k (k= 1,, M). Se plantea la meda y la varanza del total para cada undad prmara de la sguente manera:

18 264 A = < : = : 9;< 9 y A = < : B= : 9;< 9 A Se tene entonces que Por lo tanto, estmar se reduce a estmar A. = E 8 A Para ello se consdera una muestra aleatora smple E de probabldades guales sn remplazo de undades prmaras. Luego, en cada undad prmara de la muestra, FG E, se toma una muestra aleatora smple de probabldades guales sn remplazo de 9 ndvduos. Se denotan 9 H la meda y la varanza corregda de Y sobre esta muestra. Se estma entonces A medante Donde = 9 =8 9 9 Y se deduce el estmador de : A = 1 I= 9 9J: = E 8 1 I= 9 9J: Es un estmador nsesgado de cuya varanza se estma sn sesgo medante: Donde: A = < B= 9 2V< 9J: LMB D= E@ O1 E P+ 1 E 9 9 S1 9 TU R 8 9 9J: Ejemplo. Supóngase que se consdera una poblacón de habtantes (N) repartda en 3000 muncpos (M). Sea ϒ el consumo de un certo producto en dcembre de Se extrae una muestra aleatora smple con probabldades guales sn remplazo de 30 muncpos, luego, para la extraccón de las undades secundaras se estudan dos métodos: Prmer método. En cada uno de los muncpos de la muestra, se extrae una muestra aleatora smple de habtantes con probabldades guales sn remplazo con una tasa de muestreo constante gual a 1/100. El número de undades secundaras encuestadas en cada muncpo es entonces aleatoro y su esperanza es gual a 10. Segundo método. En cada uno de los muncpos de la muestra se extrae una muestra aleatora smple con probabldades guales sn remplazo de 10 habtantes. (Aunque es útl a los fnes práctcos, este procedmento no es el mejor, ya que no se mantene constante la probabldad de un muncpo a otro y la probabldad de ser elegdo para un ndvduo es dferente).

19 265 1 METODO 2 METODO N k y k sk N N 2 k y k 3 k y k nk 2 ( N s ) 1 ( ) k n k k 10 6 N k s k / Fgura 7.8. Seleccón de muncpos En las tres prmeras columnas de la Fgura 7.8 se regstran los resultados sobre las 30 muestras. Las demás columnas srven para el cálculo de µˆ y LB D Se tene

20 266 M 1 ˆµ = N m k M N y k k con M N 1 = 3 10 Las tasas de muestreo del prmer nvel y del segundo nvel son desprecables, pues se obtene: 2 2 M s Vˆ τ 1 ( ˆ) µ = + 2 N m Mm Con n N / s k ( N ) k = k para el prmer método y 10 k n k n k = para el segundo. Se tene 2 sτ m 1 1 m 1 m ( N y ) 1 m 2 = k k k M k M N k y k 2 En este ejemplo se obtenen los msmos resultados con los dos métodos porque el segundo térmno es desprecable: Prmer método ˆ µ = V ( ˆ) µ = 29 1 ( ) ˆ Segundo método ˆ µ = V ( ˆ µ ) = 29 1 ( ) ˆ Vˆ ( ˆ) µ = 1697 Vˆ ( ˆ) µ = 1697 pues el ntervalo de confanza al 95% de µˆ es déntco para cada uno de los dos métodos. ( ) µ ˆ µ ± 1.96 Vˆ ˆ 624 ± 81 [ 543 ; 705] Ejemplo 2. Se trata de un país de habtantes dstrbudos en 4000 muncpos de acuerdo a la Fgura 7.9. Se decde consttur una muestra de habtantes; es decr, una tasa de muestreo de 1/10.000, utlzando, en cada categoría de muncpos, un muestreo betápco. Este consste en una muestra de muncpos, luego muestra de habtantes en los muncpos extraídos, de tal manera que cada habtante tenga la msma probabldad gual a 1/ de pertenecer a la muestra. Se puede procesar según dos métodos. Prmer Método

21 267 Se realza un muestreo aleatoro estratfcado proporconal de muncpos con una tasa unforme de 1/100, luego, en los muncpos extraídos, un muestreo aleatoro smple de un habtante para cada 100 habtantes. Se obtene entonces para cada muestra de muncpos: m1 = 30 m 2 = 7 m = 3 3 y, en promedo, para cada muncpo de la muestra de cada categoría: n1 = 10 n 2 = 60 n = lo que da, como prevsto, para cada categoría, un número medo de habtantes en la muestra de: 300, 420 y 1500 respectvamente Con este método, los tamaños de las muestras de habtantes son aleatoros y el manejo del trabajo de los encuestadores se vuelve dfícl. Además el número de puntos de encuesta, que corresponden aquí al número de muncpos de la muestra, es débl: solamente 40. MUNICIPIOS DE MENOS DE 2000 HABITANTES 3000 MUNICIPIOS HABITANTES MUNICIPIOS DE 2000 A HABITANES 700 MUNICIPIOS HABITANTES MUNICIPIOS DE MAS DE HABITANTES 300 MUNICIPIOS HABITANTES (MEDIA: HAB.) (MEDIA: HAB.) (MEDIA: HAB.) Fgura 7.9. Dstrbucón de muncpos en la poblacón Segundo Método Se decde encuestar a 10 habtantes por muncpo de la muestra, lo que, cuando se toma en cuenta la duracón del cuestonaro, corresponde a un día de trabajo de un encuestador. Hay pues que consttur una muestra de 222 muncpos. Se consttuye esta muestra de muncpos con probabldades desguales, proporconales al tamaño del muncpo. Se obtene entonces, para la muestra de muncpos: m1 = 30 m 2 = 42 m = y, como tenemos que encuestar 10 habtantes por muncpo de la muestra, al fnal tenemos, tal como prevsto: 300, 420 y 1500 habtantes encuestados en cada categoría Con este método, se faclta la gestón del trabajo de los encuestadores y el número de puntos de encuestas crece (222). Para un muncpo, su probabldad de pertenecer a la muestra de muncpos es la msma dentro de una categoría pero dstnta de una categoría a otra.

22 268 Tenemos π = 1/ 100 para la prmera categoría, π = 6/ 100 para la segunda y π = 50/ 100 para la tercera. De hecho se trató, en el ejemplo anteror, de estmar la meda de ϒ sobre el prmer estrato; se obtuvo, con cualquera de los dos métodos: ˆ µ = 624 Vˆ ( ˆ) µ = 1697 Se trata ahora de estmar µ utlzando el estmador de estratfcacón. Se supone que los resultados sobre los tres estratos son los de la Fgura Se obtene pues, para el conjunto (últma columna): N ˆ µ ˆ µ = k 2 k N Nk V ˆ( ˆ) µ = Vˆ ( ˆ µ k ) N Prmer estrato Segundo estrato Tercer estrato Conjunto N k N k / N 30/222 42/ /222 1 µˆ k V ˆ( ˆ µ k ) Fgura Muestreo de muncpos Pues la estmacón de µ por ntervalo de confanza al 95%: ( ) µ ˆ µ ± 1.96 Vˆ ˆ 744 ± 35 [ 709 ; 779] Se realzó aquí un muestreo de 3 etapas. Como se trata de una estratfcacón a la prmera etapa, al fnal se tene, en cada estrato, un muestreo betápco: una muestra de muncpos, luego, en cada muncpo de la muestra, una muestra de habtantes.

23 269 CASOS DE ESTUDIO, PREGUNTAS Y PROBLEMAS Caso 7.1: Cooperatva de Almentos J.L, Gerente General de una Cooperatva de Almentos, se do cuenta recentemente que había perddo contacto con los patrones de compra de los membros de la cooperatva. Smplemente. la cooperatva parecía mucho más grande ahora en comparacón con los prmeros años. El Gerente se preguntaba s podría hacer uso de algún tpo de dato que estuvese a su alcance con el propósto de amplar su comprensón de los hábtos de compra de los membros. Esperaba poder utlzar este conocmento para planfcar mejor la mezcla y el volumen de artículos que la cooperatva ofrecía. J.L. y un pequeño grupo de voluntaros fundaron la cooperatva en Esta cooperatva había aumentado de dez membros ncales en enero de 1974 a 500 membros en setembre de La empresa estaba localzada en una veja bodega del noroeste de Mlán, Mchgan. Mlán era una comundad de 7500 personas localzada en el sureste de Mchgan, aproxmadamente a 40 mllas al suroeste de Detrot. La cooperatva obtuvo sus membros de una gran cantdad de comundades alrededor del Mlán, ncluyendo Ann Arbor y Monroe. Antecedentes. El objetvo de la cooperatva era proveer productos almentcos de alta caldad a un preco por debajo de los que se ofrecían en los supermercados locales. Para este objetvo, la cooperatva utlzaba las cajas de empaque como estanterías, solctaba la colaboracón de los msmos compradores para que marcaran sus precos en los artículos, vendía sólo las mejores marcas del mercado y, por lo general, no ofrecía los "lujos" relaconados con los supermercados tradconales. Para poder comprar en la cooperatva, las personas tenían que ser socos. La cuota de aflacón era de $25 anuales. Cualquer gananca obtenda por la cooperatva durante un año, se devolvía a los socos en forma de crédto para sus compras. J.l. estaba convencda de que los socos compraban la mayor parte de sus almentos en la cooperatva. Preocupacones de J.L. durante los prmeros años de la cooperatva. J.L. se sentía orgullosa de conocer a todos sus membros. Había gastado una cantdad consderable de tempo en la tenda y sentía que conocía lo que las personas compraban y cuánto dnero estaban gastando. A medda que crecó el número de socos, sus deberes admnstratvos la mantenían más tempo en la ofcna. Por tanto, ya no podía decr que conocía a todos los socos, n que tenía dea de sus patrones de gastos. Deseaba conocer mejor estos aspectos de su negoco y pensó que tal vez parte de los datos que se habían recolectado con anterordad sobre los membros podrían proporconarle respuestas.

24 270 Datos dsponbles En juno de 1990 se utlzó un cuestonaro para recolectar datos sobre los socos. Durante ese mes todos los membros vneron a la cooperatva por lo menos una vez. Por tanto exstían datos sobre cada uno de los socos. Los datos consstían en las característcas demográfcas de los membros y en sus gastos semanales en almentos. Los datos se encontraban en las tarjetas que los socos habían llenado en el momento de la entrevsta. J.L. tenía estas tarjetas en un archvador en su ofcna. A contnuacón se encuentra una descrpcón del contendo de las tarjetas. Los valores reales de las tarjetas se hallan tabulados en las págnas sguentes. Con el propósto de poder conocer mejor a los socos, J.L. quere saber ncalmente el promedo semanal de gastos en almentos, puesto que no dspone de demasado tempo, quere hacer esto sn tener que mrar las qunentas tarjetas. Sn embargo, tambén desea asegurarse de que el promedo que calcule sea exacto. Para esto contrata a un consultor y este le recomenda realzar una muestra probablístca sobre las 500 tarjetas que se encuentran tabuladas en la tabla. Las tarjetas tenen la sguente nformacón: Descrpcón de las varables A = número de dentfcacón de la undad famlar; B = gastos reales semanales en almentos C = número de personas en la undad famlar; = una persona 2 = dos personas 3 = tres personas 4 = cuatro personas 5 = cnco personas 6 = ses personas 7 = sete personas 8 = ocho personas 9 = nueve personas D = ngreso famlar anual real E = educacón del jefe del hogar; = menos del 8 grado 2 = entre los grados 9 y 11 3 = con título en secundara 4 = algunos años de educacón secundara 5 = con título unverstaro F = edad actual del jefe del hogar

25 271 G = gasto semanal en almentos, codfcados en 7 categorías; = menos de $ 15 2 = $ 15 a $ = $ 30 a $ = $ 45 a $ = $ 60 a $ = $ 75 a $ = $90 ó más H = algún nño menor de 6 años en el hogar; = no 2 = sí I = algún hjo entre 6 y 18 años en el hogar; = no 2 = sí J = ngreso anual famlar, codfcado en ses categorías; = menos de $ = $ $ = $ $ = $ $ = $ $ = $ ó más K = edad del jefe del hogar, codfcado en sete categorías; = menos de 25 2 = = = = = = 75 ó más Se le pde: 1) Seleccone una muestra aleatora smple de tamaño 50. Construya la tabla con las observacones selecconadas. Calcule los estadístcos que permtan descrbr la nformacón. 2) Seleccone una muestra sstemátca de tamaño 50. Construya la tabla con las observacones selecconadas. Calcule los estadístcos que permtan descrbr la nformacón.

26 272 3) Seleccone una muestra estratfcada proporconal según la presenca de nños menores de 6 años en el hogar de tamaño 25. Construya la tabla con las observacones selecconadas. Calcule los estadístcos que permtan descrbr la nformacón. 4) Seleccone una muestra estratfcada no proporconal según la presenca de nños menores de 6 años en el hogar donde cada estrato sea de tamaño 25. Construya la tabla con las observacones selecconadas. Calcule los estadístcos que permtan descrbr la nformacón. A B C D E F G H I J K Tabla extraída de Knnear, T. Taylor, J. Investgacón de Mercados. Un enfoque aplcado. Mc.Graw Hll Puedes bajar de la web el archvo Cooperatva de Almentos.xls Problemas Problema 1. En una compañía se quere determnar los gastos médcos famlares anuales promedo de los empleados. La gerenca de la compañía quere tener 95% de confanza de que el promedo de la muestra está correcto con aproxmacón ±$50 de los gastos famlares reales.

27 273 Un estudo ploto ndca que la desvacón estándar se puede estmar en $1400. Qué tan grande es el tamaño de la muestra necesaro? Problema 2. Se desea estmar la suma promedo de ventas con aproxmacón de ±$100 con 99% de confanza y se supone que la desvacón estándar es de $200, qué tamaño de muestra se necesta? Problema 3. Un grupo de estudo quere estmar la facturacón mensual promedo por luz eléctrca en el mes de julo en una cudad grande. En base a estudos efectuados en otras cudades se supone que la desvacón estándar es de $20. El grupo querría estmar la facturacón promedo de julo con aproxmacón ±$5 del promedo real con 99% de confanza Qué tamaño de muestra se necesta? Bblografía Berenson, Mark y Levne, Danel. Estadístca Básca En Admnstracón. Méxco: Prentce Hall, Estadístca Para Admnstracón Y Economía. Conceptos Y Aplcacones. Méxco: Mc. Graw Hll, Danel, W. Boestadístca, Base Para El Análss De Las Cencas De La Salud. Méxco: Edtoral Lmussa, Dxon, W.J. y Massey, F.J. Introducton to Statstcal Analyss. Nueva York: Mc Graw Hll, Espasa, Anton y Cancelo, José. Métodos Cuanttatvos Para El Análss De La Coyuntura. Madrd: Alanza Edtoral SA, Hernández Samper, R.; Fernández Collado, C. y Baptsta Luco, P. Metodología De La Investgacón. Méxco: McGraw Hll, Kazmer, L y Daz Mata, A. Estaístca Aplcada a La Admnstracón Y a La Economía. Méxco: McGraw Hll, Knnear, T.y Taylor, J. Investgacón De Mercado. Un Enfoque Aplcado. McGraw Hll, Padua, J. Técncas De Investgacón Aplcadas a Las Cencas Socales. Méxco: Fondo de Cultura Económca, Perez Lopez, César. Muestreo Estadístco. Conceptos Y Problemas Resueltos. España: Edtoral Pearson Prentce Hall, 2005.

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