MODELOS SEMIPARAMÉTRICOS PARA DATOS LONGITUDINALES: COMPORTAMIENTO DE LOS ESTIMADORES DE UN MODELO DE RE- GRESIÓN PARA MUESTRAS PEQUEÑAS

Transcripción

1 Servy, Elsa Garca, María del Carmen Var, Emlse Instuto de Investgacones Teórcas y Aplcadas, de la Escuela de Estadístca MODELOS SEMIPARAMÉTRICOS PARA DATOS LONGITUDINALES: COMPORTAMIENTO DE LOS ESTIMADORES DE UN MODELO DE RE- GRESIÓN PARA MUESTRAS PEQUEÑAS - INTRODUCCIÓN El análss de datos con meddas repetdas no gaussanos constuye un área de recente desarrollo dentro de la Estadístca Para el análss de datos multvarados con dstrbucones dstntas a la normal, los modelos lneales generalzados (MLG) fueron extenddos por Lang y Zeger (986) Estos autores suponen que la dstrbucón margnal de la varable respuesta sgue un modelo lneal generalzado (Mc Cullagh y Nelder, 983) y que la asocacón entre las observacones de cada ndvduo tene una estructura arbrara, que denomnan correlacón de trabajo Para estmar los parámetros de las dsrbucones margnales se utlza una versón multvarada de las ecuacones de estmacón generalzadas (GEE) Este enfoque es una extensón del método de quas -verosmlud (Wedderburn, 974; Mc Cullagh y Nelder, 989) a un escenaro de regresón multvarado Las propedades de los estmadores sólo se conocen asntótcamente, cuando el número de ndvduos es grande S el modelo de trabajo es dferente al que corresponde a los datos, los estmadores de los parámetros del predctor lneal son consstentes pero perden efcenca Este trabajo tene por objeto estudar el comportamento de los estmadores de los parámetros de un modelo de regresón para observacones longudnales con dstrbucón gamma multvarada, cuando se utlzan muestras de tamaño pequeño Este estudo se realza por smulacón medante la generacón de datos multvarados con margnales de tpo gamma

2 MODELOS LINEALES GENERALIZADOS PARA DATOS CON MEDIDAS REPETI- DAS O LONGITUDINALES Los conjuntos de datos longudnales están formados por observacones repetdas de una varable respuesta y realzadas sobre cada uno de varos ndvduos o undades Para realzar un análss correcto de estos datos se debe consderar la posble correlacón que aparece entre las meddas realzadas en cada sujeto Junto a la respuesta múltple se mde, generalmente, un conjunto de covarables Cuando la varable respuesta es gaussana, se dspone de un gran número de modelos Rao (965), Grzzle y Allen (969) y Hu (984) dscuteron métodos para modelar curvas de crecmento usando meddas repetdas de cada sujeto Harvlle (977) y Lard y Ware (98) desarrollaron modelos con efectos aleatoros Cuando la respuesta no es gaussana se dsponen de pocas técncas de análss, salvo para datos bnaros Stratell, Lard y Ware (984) y Anderson y Akn (985) desarrollaron un modelo logístco para este tpo de datos Este número lmado de modelos para datos longudnales no gaussanos se debe en parte a la falta de una clase de dstrbucones rcas, tal como la normal multvarada, para modelar las observacones repetdas de un conjunto de sujetos Por este motvo el análss maxmo verosíml no se ha desarrollado, excepto en los casos menconados anterormente En el contexto de regresón con una sola observacón por sujeto los modelos lneales para varables gaussanas se extenderon a otros tpos de respuestas, dando orgen a los modelos lneales generalzados, en adelante menconados como MLG, y la teoría quas - vesosíml (Mc Cullagh y Nelder, 983; Wedderburn, 974) El enfoque quas -vesosíml no necesa especfcar la dstrbucón de la varable respuesta, excepto los momentos de prmero y segundo orden Lang y Zeger (986) dervaron una metodología para datos longudnales dscretos y contnuos, proponendo un modelo de trabajo para representar la correlacón entre las meddas repetdas de cada ndvduo, que es una extensón del método de quas - verosmlud menconado El prncpal objetvo de estos estudos es analzar el efecto de las covarables sobre la varable respuesta Un conjunto de datos longudnales que comprende una varable repuesta y, y un vector de px covarables x, observado en los momentos t =,, n en los sujetos =,, K,

3 se pueden representar en una tabla, como la Tabla Tabla : Estructura básca de datos para estudos con dseño longudnal Indvduos Ocasones Varables respuesta Covarables y x x x p n y n x n x n x np y x x x p n y n x n x n x np K y K x K x K x Kp K n K y KnK x KnK x KnK x KnKp El vector Y = (y,,y n ) T de dmensón n x está constudo por las meddas repetdas de cada sujeto y X = (X,,X n ) T es una matrz n xp que contene las covarables para el - = ( p ésmo sujeto, donde X,x,x,,x ) (=,,K y t=,,n )

4 Exsten tres enfoques para el análss de los MLG para datos longudnales: los modelos margnales, los de efectos aleatoros y los de transcón, dependendo el uso de cada uno de ellos de los objetvos que se persgan en el estudo S el objetvo prncpal es modelar la esperanza margnal (respuesta promedo para las observacones que comparten los msmos valores de las covarables) como una funcón de las varables explcatvas, mentras que la correlacón entre las respuestas es de nterés secundaro, se puede utlzar para el análss de los datos un modelo margnal Estos modelos fueron propuestos por Lang y Zeger (986) Su enfoque para modelacón y estmacón ha sdo adoptado, modfcado y extenddo en varas formas y es todavía un área de nvestgacón actva Estos autores suponen que la dstrbucón margnal de la varable respuesta sgue un modelo lneal generalzado (McCullagh y Nelder, 983) y como modelo de asocacón entre las observacones de cada sujeto presuponen una estructura arbrara de correlacón de trabajo El modelo de trabajo para la asocacón puede ser dferente del que corresponde a los datos, pero, aún así, los estmadores de los parámetros del predctor lneal resultan consstentes Debdo a que el nterés está en modelar la esperanza margnal o la respuesta promedo, es natural poner más énfass en especfcar correctamente la estructura meda margnal que la estructura de covaranca Un modelo margnal tene los sguentes supuestos: a- La meda margnal de y está correctamente especfcada por () µ = E(y / X ) = h( X β), =,,K, t =,,n o X β = η =g ( ), µ donde, g es la funcón de enlace y X fue defndo anterormente A la expresón se la denomna el predctor lneal b- El supuesto de estructura meda se complementa con la especfcacón de la varanca de y como una funcón de µ, σ = Var(y ) = v( µ ) φ, =,, K t =,, n () donde v, es una funcón conocda Lang y Zeger (986) suponen que la dstrbucón margnal de y pertenece a la famla exponencal Luego v( µ ) está completamente determnada por el supuesto de esta famla Estos msmos autores, posterormente, no tenen en cuenta ese supuesto, sno que los X β

5 párrafos a y b descrben las formas asumdas por los dos prmeros momentos de la dstrbucón margnal, sn hacer referenca a la famla a la que pertenece la dstrbucón de y (Zeger y Lang, 986) c- Para explcar la dependenca entre las observacones dentro de las undades se ntroducen covarancas de trabajo, las que posblemente dependen de algún vector de parámetros desconocdo, α Lang y Zeger (986) suponen que la estructura de varanca es complementada medante la especfcacón de una matrz de correlacón de trabajo, R(α)={corr( y, y )}={c( µ,µ ;α)}, con funcón conocda c De esta manera la matrz de covaranca de trabajo Σ(β, α) depende de la varanca de las observacones ( σ ) y de R(α) La eleccón de la matrz de covaranca de trabajo será un compromso entre smplcdad y pérdda de efcenca debda a una especfcacón ncorrecta S la asocacón es sólo de nterés secundaro, será sufcente usar modelos de trabajo smples Varas eleccones para R(α) fueron sugerdas por Lang y Zeger (986) dentro del contexto de datos longudnales La especfcacón más smple es la de suponer que las observacones repetdas no están correlaconadas, es decr, R (α) = I, lo que conduce a las ecuacones de estmacón típcas de las observacones ndependentes Otra eleccón, denomnada smetría compuesta ( exchangeable ), es la que corresponde al modelo de gual correlacón, corr(y, y ) = α para todo t t S se dspone de sufcente cantdad de datos y los tempos de observacón son los msmos para todas las undades (lo que mplca que n = n) se puede dejar a R(α) sn especfcar y estmar los n(n-)/ correlacones (α tt = corr(y,y ), t, t =,,n) Esto conduce a un modelo con estructura de correlacón arbrara S las observacones repetdas para cada undad están correlaconadas de forma smlar a la de un proceso Gaussano autorregresvo, corr(y,y )= α, t, t =,,n, la expresón de la matrz de correlacón es R ( α) = α ( t t ) Esta estructura se denomna autorregresva S la correlacón entre las observacones repetdas es de orden m, es decr, α = α } = {corr(y,y )}, q =,,m, la matrz de correlacón R(α) es trdagonal con elementos { q + q

6 s q = 0 R = α t,t+ q q, q =,,,m 0 s q>m Esto es equvalente al modelo de m-dependenca Estmacón de los parámetros Para estmar los parámetros no se puede aplcar el método de Máxma Verosmlud porque no se conoce la dstrbucón conjunta de las observacones repetdas En su defecto se usa una versón multvarada de la "quas"-verosmlud denomnada Ecuacones de Estmacón Generalzadas (GEE) La expresón de estas ecuacones es smlar a las de quasscore, que aparecen en los modelos lneales generalzados, salvo por la presenca de otro parámetro que refleja la correlacón entre las meddas repetdas K Sβ( β, α) = X D ( β) Σ ( β, α)(y µ ) = 0, () sendo, = µ = ( µ,, µ ) y µ t=,,n, la meda margnal de y, defnda como en (), n Σ ( α, β) la matrz de covarancas de "trabajo" que explca la dependenca entre observacones de cada undad, cuya expresón vene dada por Σ ι ( α, β) = V = / A () R (α) A / /φ Esta matrz depende de A = dag {φv(µ )} = dag { σ,,σ = n }, matrz dagonal que contene la varanca de las observacones σ Var(y ) y de la matrz de correlacón de trabajo, R (α) que a su vez depende de un vector de parámetros desconocdo α, que mde la correlacón entre las meddas repetdas (Corr( y s,y ), s t =,,n ) y que se supone constante para todos los ndvduos D (β)= dag (D (β) ), donde D (β) = h η, sendo η = X β y µ h( ) = η

7 Esta matrz Σ (β,α) se denomna de trabajo pues no se espera que esté correctamente especfcada Será gual a la verdadera matrz de covarancas para las observacones de un ndvduo, Cov(Y ), s R ( α) es la verdadera matrz de correlacón de Y La estmacón de los parámetros de regresón (β) se realza alternando entre la resolucón de la ecuacón de estmacón generalzada para β y la estmacón consstente de los parámetros de correlacón S los parámetros de correlacón son desconocdos exsten dferentes métodos para estmarlos Lang y Zeger (986) usan el método de los momentos basados en los resduos de Pearson Este método puede conducr a estmadores consderablemente sesgados de α, lo cual es relatvamente poco mportante s sólo se está nteresado en la estmacón consstente de los efectos β Se pueden tener mejores estmadores de la correlacón entre las meddas repetdas (α) s las GEE para β se complementan por una segunda GEE para α, como proponen muchos autores Propedades de los estmadores Las propedades asntótcas para βˆ, como consstenca y normaldad, se pueden obtener de la teoría asntótca de los estmadores quas -verosímles para observacones ndependentes s el número de observacones repetdas por ndvduo (n, =,,K) es fjo y K (Lang y Zeger, 986) Para α fjo, se pueden obtener estmadores consstentes para β a partr de () usando el método de quas- score de Fsher Aún cuando α se reemplaza por un estmador consstente, bajo condcones de regulardad, βˆ es / K -consstente y asntótcamente normal (Lang y Zeger, 986) / K - con ˆ β ~ N( β, F VF ), () n F = X Σ D X, = D n V = X Σ Σ D X, = D cov ( Y )

8 () donde el símbolo denota evaluado en βˆ, αˆ La matrz de covarancas asntótca (V) se puede estmar consstentemente reemplazando β y α por sus estmacones y cov(y ) por µ )( Y ) ( Y µ resultando una matrz ndcada por Vˆ La matrz de covarancas estmada del vector de estmadores es n [ ˆ X Dˆ ˆ ( Y µ )( Y µ ) ˆ Dˆ X ] = Aˆ = cov( β ˆ) ~ Fˆ F (3) Este estmador (A) de la varanca se conoce con el nombre de estmador robusto o sandwch, para dferencarlo de otra varanca dsponble para el enfoque de la GEE denomnada nave (F) Esta últma varanca es consstente cuando tanto la meda y la covaranca están correctamente especfcadas Como, en general, la estructura de covaranca correcta se desconoce es preferble usar la varanca robusta cuando el número de ndvduos es grande En caso contraro, el estmador nave puede tener mejores propedades Para una matrz de trabajo de un modelo de ndependenca, las ecuacones de estmacón generalzadas tenen la forma de las ecuacones de score, como s las observacones fuesen ndependentes y nngún parámetro de asocacón tuvese que ser estmado Comparada con la matrz de covaranca Fˆ de un modelo de ndependenca, la matrz de covarancas ajustada ˆ ˆ ˆ F VF protege contra desvacones estándares falsas para los efectos estmados βˆ 3 Pruebas de hpótess Las pruebas para las hpótess lneales de la forma H 0 : Cβ = ξ son posbles a través de las estadístcas de score y Wald apropadamente modfcadas La estadístca de Wald modfcada es [ CAC ] ( Cβˆ ξ) w = ( C βˆ ξ) (3) La estadístca de Wald utlza como matrz de covarancas la matrz empírca ˆ ˆ ˆ ˆ A = F VF Esta estadístca tene dstrbucón líme Ch cuadrado con s (grados de lbertad)

9 En contraste con las pruebas para los modelos completamente especfcados, la estadístca del cocente de quas -verosmlud no es, en general, asntótcamente equvalente a las estadístcas de score o Wald modfcada y puede no tener una dstrbucón líme Chcuadrado 3 ESTUDIO DE SIMULACIÓN Este estudo se efectúa para varos conjuntos de datos longudnales, que poseen una dstrbucón gamma multvarada con estructura de correlacón entre las meddas repetdas que responde a un proceso autorregresvo de prmer orden La dferenca entre los conjuntos resde en el grado de la correlacón entre las meddas repetdas ( baja y alta) y en la cantdad de elementos que lo componen (K) En este caso se ntenta comprobar las propedades de los estmadores de los parámetros de un modelo de regresón cuando se utlzan muestras de tamaño pequeño y s una mala especfcacón de la matrz de correlacón de trabajo puede conducr a estmadores con comportamentos no satsfactoros 3 Generacón Gammas Se generan conjuntos de observacones con dstrbucón gamma multvaradas El algormo construdo para obtener muestras de varables con esta dstrbucón se utlza el método de Bustos (000) En el caso que nos ocupa, se consdera que cada elemento del vector aleatoro (es decr, cada y ) pertenece a una gamma con parámetros (µ, ν ), t=,, 3, 4 Para ejemplfcar cada elemento del vector a generar corresponde a una varable con dstrbucón Gamma, Y ~ G(µ,ν) cuya funcón de densdad se expresa como, f(y ) ν y µ ν e y,y > 0 µ Γ( ν) ν = ν Expresada en forma exponencal, como lo requeren los modelos lneales generalzados, y f(y, µ, φ) = exp ν ln( µ ) + ( νln( ν y ) ln y lnγ ( ν) ), µ

10 donde, a( φ ) = φ = ν, θ =, µ b ( θ ) = ln( θ) = ln( µ ), c(y)= [( ln( ν y) ln y ln Γ( ν) )] ν La esperanza y la varanca se obtenen como E(y) = b ( θ) = = µ, θ Var (y) = b ( θ) = ν µ, sendo v( µ ) = µ la funcón de varanca Así la funcón de enlace canónca es g ( µ ) = µ Se generan ses conjuntos de datos Cada conjunto smulado consta de K (0, 30 y 50) undades (o sujetos) para cada una de las cuales se regstran 4 medcones, sendo la estructura de correlacón entre dos observacones consecutvas la correspondente a un proceso autorregresvo de orden con coefcente ρ Para cada tamaño de muestra K se generan dos conjuntos dferentes que solo dferen en el grado de correlacón entre las medcones repetdas Los valores consderados en este estudo son ρ=0 y 08 La expresón de la matrz de correlacón es la sguente: 3 ρ ρ ρ ρ ρ ρ R ( ρ) = ρ ρ ρ 3 ρ ρ ρ Según el procedmento de Bustos (000), para generar n varables y con dstrbucón gamma multvarada [ α, γ ),( α, γ ),,( α, )] R( ρ ) se procede así: Γ (3) con matrz de correlacón ( n γ n Generar el vector = ( ξ, ξ,, ξ n )

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