Cuadernos del CIMBAGE ISSN: Facultad de Ciencias Económicas Argentina

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1 Cuadernos del CIMBAGE ISSN: Facultad de Cencas Económcas Argentna García, María del Carmen; Koegel, Llana; Rapell, Cecla UNA APLICACIÓN DE MODELOS MULTIVARIADOS PARA DATOS LONGITUDINALES: EVALUACIÓN DEL COMPORTAMIENTO DE INDICADORES DEL MERCADO LABORAL Cuadernos del CIMBAGE, núm 4, 0, pp -6 Facultad de Cencas Económcas Buenos Ares, Argentna Dsponble en: Cómo ctar el artículo Número completo Más nformacón del artículo Págna de la revsta en redalycorg Sstema de Informacón Centífca Red de Revstas Centífcas de Amérca Latna, el Carbe, España y Portugal Proyecto académco sn fnes de lucro, desarrollado bajo la ncatva de acceso aberto

2 Cuadernos del CIMBAGE Nº 4 (0) -6 UNA APLICACIÓN DE MODELOS MULTIVARIADOS PARA DATOS LONGITUDINALES: EVALUACIÓN DEL COMPORTAMIENTO DE INDICADORES DEL MERCADO LABORAL María del Carmen García, Llana Koegel, Cecla Rapell Insttuto de Investgacones Teórcas y Aplcadas de la Escuela de Estadístca Facultad de Cencas Económcas y Estadístca Unversdad Naconal de Rosaro Bvard Oroño 6, º Pso-Rosaro-000-Argentna mgarcía@fceconunreduar, lkoegel@fceconunreduar, crapell@rosarogovar Recbdo 4 de novembre de 0, aceptado 4 de febrero de 0 Resumen En nvestgacones socales frecuentemente se realzan medcones de múltples varables respuestas a lo largo del tempo a dos o más grupos de undades La modelacón conjunta de varas varables respuestas es convenente en muchas stuacones sobre la modelacón de las msmas en forma separada Los datos longtudnales multvarados surgen cuando un conjunto de dferentes respuestas se mde repetdamente en el tempo sobre una msma undad Resulta de nterés para tales datos conocer cómo la evolucón de una respuesta está relaconada con la evolucón de otra respuesta y/o cómo la asocacón entre las dstntas respuestas evolucona con el tempo Para modelar tanto la correlacón entre las medcones repetdas de una varable respuesta dada como la correlacón entre las medcones de todas las respuestas en una determnada ocasón, se propuseron dferentes estrategas de modelacón conjunta de varables Una de ellas consste en ajustar un modelo con una estructura de covarancas especal usando la notacón producto Kronecker ; la otra es modelar ntroducendo efectos aleatoros, es decr, usando un modelo mxto En este trabajo se presenta una aplcacón de la metodología para el ajuste de modelos multvarados con el objetvo de explcar la evolucón conjunta de las varables tasas de actvdad y desocupacón, para varos aglomerados de la Repúblca Argentna durante el tercer trmestre 006 y el cuarto trmestre 008 Palabras clave: datos longtudnales multvarados, modelos mxtos, tasa de desocupacón, tasa de actvdad

3 García et al /Cuadernos del CIMBAGE Nº 4 (0) -6 AN APPLICATION OF MULTIVARIATE MODELS FOR LONGITUDINAL DATA: THE PERFORMANCE ANALYSIS OF LABOUR MARKET INDICATORS María del Carmen García, Llana Koegel, Cecla Rapell Insttuto de Investgacones Teórcas y Aplcadas de la Escuela de Estadístca Facultad de Cencas Económcas y Estadístca Unversdad Naconal de Rosaro Bvard Oroño 6, º Pso-Rosaro-000-Argentna mgarcía@fceconunreduar, lkoegel@fceconunreduar, crapell@rosarogovar Receved November 4 th 0, accepted February 4 th 0 Abstract Measurements of multple varable responses over tme to two or more groups of unts are frequently carred out n socal researches In many stuatons, the jont modelng of several varable responses s more convenent than the modelng of responses separately Multvarate longtudnal data arse when a set of dfferent responses s measured repeatedly over tme on the same unt It s of nterest to such data to know how the evoluton of a response s related to the evoluton of another response and/or how the assocaton between the dfferent responses evolves over tme Dfferent strateges of jont modelng of varables were proposed to model both the correlaton between repeated measurements of a gven varable response and the correlaton between measurements of all responses on a partcular occason One of these strateges conssts of adjustng a model wth a specal covarance structure usng the "Kronecker product" notaton Another strategy s to model by ntroducng random effects, e by usng a mxed model Ths paper presents an applcaton of the methodology for the adjustment of multvarate models, wth the purpose of explanng the jont evoluton of the actvty and unemployment rate varables for varous agglomerates of the Argentne Republc durng the thrd quarter of 006 and the fourth quarter of 008 Keywords: multvarate longtudnal data, mxed models, unemployment rate, actvty rate

4 García et al / Cuadernos del CIMBAGE Nº 4 (0) -6 3 INTRODUCCIÓN En nvestgacones socales resulta frecuente realzar medcones de múltples varables respuestas a lo largo del tempo a dos o más grupos de undades La modelacón conjunta de los perfles longtudnales multvarados, en muchas stuacones, es necesara o tene ventajas adconales sobre la modelacón de las dferentes respuestas en forma separada Los datos longtudnales multvarados surgen cuando un conjunto de dferentes respuestas sobre la msma undad se mde repetdamente en el tempo Resulta de nterés para tales datos conocer cómo la evolucón de una respuesta está relaconada con la evolucón de otra respuesta y/o cómo la asocacón entre las dstntas respuestas evolucona con el tempo El análss de ese tpo de datos, comparado con el análss longtudnal unvarado, resulta más complcado debdo a la exstenca de correlacón tanto entre las meddas tomadas en dferentes tempos como entre las varables respuestas Varos autores proponen dferentes estrategas para la modelacón conjunta de varables Una de ellas consste en ajustar un modelo con una estructura de covarancas especal usando la notacón producto Kronecker y la otra, en modelar ntroducendo efectos aleatoros; es decr, usando un modelo mxto Ambos métodos, medante un enfoque algo dferente, permten modelar la correlacón entre las medcones repetdas de una varable respuesta dada y la correlacón entre las medcones de todas las respuestas en una determnada ocasón En este trabajo se presenta una aplcacón de la metodología para el ajuste de modelos multvarados con el objetvo de explcar la evolucón conjunta de las varables tasa de actvdad y desocupacón, a partr de nformacón sumnstrada por la Encuesta Permanente de Hogares relevada por el Insttuto Naconal de Estadístca y Censos (INDEC), para dferentes aglomerados desde el tercer trmestre de 006 hasta el cuarto de 008 MODELOS CONJUNTOS PARA DATOS LONGITUDINALES MULTIVARIADOS Se consdera para cada undad p varables respuestas meddas en n ocasones (j=,, n ) La matrz de las respuestas de la undad es p Y = [ Y, Y,, Y ] p dmensón n x y = [ ε, ε, ε ], =,,N, donde cada, k Y, k=,,p, es de ε es la matrz de errores

5 4 García et al /Cuadernos del CIMBAGE Nº 4 (0) -6 aleatoros de dmensón n x p Al utlzar el operador vec, que coloca en fla los elementos de una matrz, se obtene el vector pn x ' ' y [ ] p' = vec( Y ) = Y, Y,, Y y e = vec( ε ), donde ε tene p columnas, sendo la k-ésma el error de la k-ésma característca Se presentan dos modelos que se pueden utlzar para analzar datos longtudnales multvarados Modelos con matrz de covarancas producto Kronecker Este modelo permte especfcar la matrz de covarancas del error dentro de cada undad de estudo, y así examnar las correlacones ntra y entre varables El modelo lneal para el vector pn x de las respuestas de la undad, * y = X β + e, () * X es una matrz bloque dagonal Cada uno de los p bloques contene las matrces Xk de dmensón (pn x q), de las varables explcatvas para cada una de las p varables respuestas, k=,, p β es un vector (q x ) de parámetros denomnados efectos fjos e es el vector de errores aleatoros, que se supone ndependente, y normalmente dstrbudo con meda cero y matrz de covarancas Ω Entonces, d * y ~ N ( X β, Ω) () pn La estmacón de Ω no es posble cuando el número de undades es menor o gual a pn Para evtar este problema, se asume alguna estructura de covaranca para Ω Esta matrz se puede expresar medante la notacón denomnada producto Kronecker, sendo la forma de la msma, Ω pnxpn = V Σ, pxp nxn donde V y Σ son matrces defndas postvas y es el producto drecto La matrz V representa la matrz de covarancas entre todas las varables respuestas de una undad en una ocasón dada Esta matrz se supone que no depende de una ocasón partcular y es la msma para todas las ocasones La matrz Σ representa la matrz de covarancas entre las medcones repetdas realzadas sobre una

6 García et al / Cuadernos del CIMBAGE Nº 4 (0) -6 5 undad y una varable respuesta, que tene la msma estructura para todas las varables Supone que para todas las varables respuestas la estructura de correlacón entre las medcones repetdas es la msma, y que la covaranca entre todas las respuestas no depende del tempo y es constante para todas las ocasones La matrz Σ, para una varable respuesta dada, puede tener cualquer estructura ncluso ser no estructurada Las dos estructuras más utlzadas son smetría compuesta (SC), que asume que todas las medcones repetdas están equcorrelaconadas, no dependendo de la separacón entre las ocasones de medda; o autorregresva de orden (AR()) para la cual la correlacón dsmnuye cuando aumenta la separacón entre las ocasones Este modelo presenta varas lmtacones: una correlacón común ntra varable para las dferentes varables, una correlacón constante ntra varable para varables meddas en la msma ocasón y ocasones de medda equespacadas Modelos con efectos aleatoros: Modelo lneal mxto multvarado Se modela la asocacón entre las dstntas respuestas utlzando efectos aleatoros En lugar de modelar la varacón dentro de una undad como en los modelos con sólo efectos fjos, los modelos mxtos asumen que los coefcentes de regresón son una muestra aleatora de alguna poblacón y permten modelar varacones entre undades Estos modelos descrben la evolucón meda de una respuesta determnada utlzando una funcón de tempo y se ntroducen los llamados efectos aleatoros para representar las desvacones específcas de la undad de esta evolucón promedo En un enfoque común de modelado utlzando modelos mxtos se suponen efectos aleatoros para cada respuesta e mponendo una dstrbucón multvarada sobre los msmos, las dferentes varables están asocadas Este enfoque tene muchas ventajas y es aplcable en una ampla varedad de stuacones La expresón del modelo mxto multvarado (Shah, Lard y Schoenfeld, 997) para la undad es de la forma donde * * y = X β + Z γ + e, =,,N, () * * X y Z son matrces bloque dagonal Cada uno de los p bloques contene las matrces X k y Z k, de dmensón (pn x q) y (pn x r)

7 6 García et al /Cuadernos del CIMBAGE Nº 4 (0) -6 respectvamente, de las varables explcatvas para cada una de las p varables respuestas, k=,, p β es un vector (q x ) de parámetros denomnados efectos fjos γ es un vector (r x ) cuyas componentes se denomnan efectos aleatoros e es una matrz (pn x pn ) de errores dentro de cada undad Generalmente se asume que, d ~ pn d ~ r e N ( 0, R ) y γ N ( 0, D) Además, se supone que sendo e dos undades dstntas, las componentes de error están no correlaconadas y no asocadas con los efectos aleatoros, cov( e, e' ) = 0, cov( γ, γ ') = 0 y cov( e, γ ) = 0 La matrz de covarancas D contene tanto la covaranca entre los efectos aleatoros dentro de una respuesta dada como la covaranca entre los efectos aleatoros de las dstntas varables respuestas La matrz R tene una estructura específca para reflejar la correlacón entre las medcones repetdas S no se hacen supuestos sobre la forma de la estructura de covarancas para cada fla y columna de ε, los parámetros de covarancas de R serán numerosos para ser estmados correctamente Además, s se sospecha la exstenca de una estructura, utlzarla conduce a una estmacón e nferenca más efcente Generalmente se consdera que los vectores flas de ε son ndependentes y tenen dstrbucón ( 0, Σ), sendo Σ pxp una matrz con estructura arbtrara En este caso, la Var(e) tene estructura Σ I, con I una matrz dentdad de dmensón n La ndependenca de las flas mplca que cada columna de ε se dstrbuya normalmente con meda 0 y matrz de covarancas σ kk I, para k=,,p La estmacón de los parámetros β y σ y los elementos de D y Ω se realza mnmzando la funcón objetvo, menos dos veces el logartmo de la funcón de verosmltud (l=- log(l), sendo L la funcón de verosmltud) medante el algortmo de Newton-Raphson N p 3 APLICACIÓN En este trabajo se presenta una aplcacón de la metodología para evaluar el comportamento del mercado laboral a partr de nformacón

8 García et al / Cuadernos del CIMBAGE Nº 4 (0) -6 7 sumnstrada por la Encuesta Permanente de Hogares (EPH) relevada por el INDEC La nformacón relatva a los dferentes aglomerados relevada medante esa encuesta ofrece mportantes ventajas para el análss empírco de varables regstradas en la msma En este trabajo, resulta de nterés la modelacón conjunta de las varables tasa de actvdad (ACT) y tasa de desocupacón (DES) en el período tercer trmestre de 006 hasta el cuarto trmestre de 008 La tasa de actvdad se defne como el cocente entre la poblacón económcamente actva (personas que trabajan y personas que buscan trabajo) y la poblacón total, mentras que la de desocupacón es el cocente entre la poblacón que busca trabajo y la económcamente actva Se agruparon algunos de los aglomerados de acuerdo al número de habtantes: Grupo A (los aglomerados con más de habtantes) consttudo por Cudad Autónoma de Buenos Ares, Partdos del Gran Buenos Ares, Gran Mendoza, Gran Tucumán- Tafí Vejo, Gran Córdoba, Gran La Plata, Gran Rosaro, Mar del Plata-Batán Grupo B (los aglomerados con menos de habtantes) consttudo por San Lus- El Chorrllo, Bahía Blanca-Cerr, Gran Paraná, Gran Santa Fe, Río Cuarto, San Ncolás-Vlla Consttucón, Comodoro Rvadava-Rada Tll y Ushuaa-Río Grande Las respuestas se smbolzan Y = tasa de actvdad e Y = tasa de desocupacón Resulta de nterés conocer cómo evolucona con el tempo la asocacón entre las varables ACT y DES, y cómo están asocadas las evolucones de esas varables Los perfles promedo de las varables se presentan en el sguente gráfco: Respuesta Tempo ACT DES Gráfco 3 Perfles promedo para las varables tasas de actvdad y de desocupacón

9 8 García et al /Cuadernos del CIMBAGE Nº 4 (0) -6 En el grafco se observa que la trayectora de ambas varables es lneal y presenta un comportamento smlar en el tempo Los gráfcos 3 y 33 muestran el comportamento de las varables en los grupos de aglomerados Grupo A Grupo B Respuesta Respuesta Tempo ACT DES Tempo ACT DES Gráfco 3 Perfles ndvduales para las varables tasas de actvdad y de desocupacón por grupo Grupo A Grupo B Respuesta Respuesta Tempo ACT DES Tempo ACT DES Gráfco 33 Perfles promedo para las varables tasas de actvdad y de desocupacón por grupo La evolucón de cada respuesta se modela como una funcón lneal del tempo, permtendo que la ordenada y la tasa de cambo dferan entre varables y grupos Se evaluaron tres modelos: con estructura de covaranca usando la notacón producto Kronecker (modelo ) y con covaranca nducda por los efectos aleatoros en dos formulacones, unvarada (modelo 3) y bvarada (modelo ) El modelo 3 consdera a las dos varables respuestas ndependentes La comparacón entre los modelos se realza usando el crtero de nformacón de Akake (AIC),

10 García et al / Cuadernos del CIMBAGE Nº 4 (0) -6 9 que penalza el logartmo de la verosmltud ( log Lˆ ) restando el número de parámetros de cada modelo (s), AIC = loglˆ + s Modelo El modelo utlzado para las tasas de actvdad y de desocupacón del aglomerado en la ocasón j tene la expresón, Grupo A Y β β t ε 0 = + + j j j Y β β t ε = + + j 0 j j ε d Se supone, e = ~ N 0 ( 0, Ω) ε Los parámetros del modelo representan,,β0,β β 0 0, 0 Grupo B Y β β t ε 0 = + + j j j Y β β t ε 0 = + +, β las ordenadas de las varables ACT y DES para cada grupo,β,β, β β las pendentes de las varables ACT y DES para cada grupo Se ajusta el modelo propuesto, usando el procedmento MIXED del software SAS, utlzando dos estructuras de covaranca para Ω: arbtrara (UN) para V y smetría compuesta y autorregresva para Σ, cuya notacón es Ω=UN@CS y Ω=UN@AR() A partr del valor del crtero de Akake (AIC) (73 vs 04), se elge la prmera cuya forma estmada es j j j

11 0 García et al /Cuadernos del CIMBAGE Nº 4 (0) -6 ρˆ ρˆ σˆ σˆ Ωˆ = Vˆ Σˆ = Y Y Y σˆ σˆ Y Y Y ρˆ ρˆ Ωˆ = ρˆ ρˆ ρˆ ρˆ ρˆ El modelo supone que las dos varables comparten una correlacón común entre las medcones repetdas dada por Σ y las correlacones σ Y Y entre las varables ρ* = son las msmas en cada ocasón σ σ Y Y Los datos no muestran una fuerte correlacón postva entre las varables en cada ocasón ρ ˆ * = 0 44 La correlacón entre dos medcones consecutvas para las varables ACT y DES es ρ ˆ = Los parámetros estmados y la sgnfcacón de los msmos se presentan en la Tabla 3 Parámetro Varable Grupo Estmacón t Student p=pr> t β 0 ACT A <000 β 0 ACT B <000 β 0 DES A <000 β 0 DES B <0000 β ACT A β ACT B β DES A <000 β DES B Tabla 3 Estmacón y sgnfcacón de los parámetros

12 García et al / Cuadernos del CIMBAGE Nº 4 (0) -6 En ambos grupos el cambo promedo de las varables decrece levemente con el tempo, excepto en el Grupo B, donde el cambo promedo de la tasa de actvdad ncrementa en el tempo El coefcente correspondente a la tasa de desocupacón para el Grupo A es el únco que resulta sgnfcatvo (p<000) Tanto la tasa de desocupacón como la de actvdad se mantenen estables en el perodo estudado De esto se nfere que los grandes aglomerados (Grupo A) tenen una dsmnucón en la tasa de desocupacón que no fue acompañada de una varacón de la tasa de actvdad Sn embargo, en los pequeños aglomerados ambas se mantuveron estables Se comprueba que las pendentes de cada varable para ambos grupos son las msmas Exste evdenca para rechazar esa hpótess ( χ OBS = 0, p=00063) Modelo Se plantea el msmo modelo anteror para la parte meda Para modelar la covaranca se ntroducen efectos aleatoros El vector de los efectos fjos descrbe la evolucón promedo de las varables y el vector de los efectos aleatoros descrbe cómo el perfl del aglomerado se desvía del perfl promedo El modelo utlzado para la tasa de actvdad y tasa de desocupacón del aglomerado en la ocasón j tene la expresón Y Y Grupo A Grupo B j = β0 + β tj + γ0 + γ tj + εj Yj = β0 + β tj + γ0 + γ tj + εj j = β0 + β tj + γ0 + γ tj + εj Yj β0 + β tj + γ0 + γ tj + εj 0 γ 0, γ, γ, γ son efectos aleatoros para cada varable =,

13 García et al /Cuadernos del CIMBAGE Nº 4 (0) -6 Se supone que e 0 γ ε d γ d = ~ N0( 0, R), γ ~ N (, ) = ε 4 0 D, R= σ I, γ 0 γ σ σ σ σ γ 0 γ 0 γ γ 0 γ0 γ 0 γ σ σ σ σ = γγ γ γγ0 γγ D 0 σ σ σ σ γ γ γ γ γ γ γ σ σ σ σ γγ 0 γγ γγ0 γ La evolucón de cada respuesta se modela como una funcón lneal del tempo medante un modelo cuya pendente refleja el cambo promedo de la varable en el tempo Se obtuvo la sguente estmacón de σ, σˆ = 907 La matrz de covaranca de los efectos aleatoros (D) muestra cómo la evolucón de la varable ACT está asocada con la evolucón de la varable DES Los valores de las correlacones obtendos a partr de la matrz D se resumen en la sguente tabla Se observa: Ordenada ACT Ordenada ACT Pendente ACT Pendente ACT -075 Ordenada DES Ordenada DES Pendente DES Pendente DES Tabla 3 Matrz de correlacones estmada del modelo Una alta correlacón negatva entre la ordenada y pendente de la tasa de actvdad, ρˆ = 0 75 Los aglomerados que al γ γ 0 comenzo del estudo tenen una tasa de actvdad alta presentan en el tempo fuertes dsmnucones de la tasa de actvdad promedo Una alta correlacón negatva entre la ordenada de la tasa de actvdad y la pendente de la tasa de desocupacón,

14 ρˆ García et al / Cuadernos del CIMBAGE Nº 4 (0) -6 3 γ γ 0 = 0869 Cuando la tasa de actvdad es alta al comenzo del estudo, en promedo la tasa de desocupacón tene un fuerte descenso en el tempo Una alta correlacón entre las pendentes de las dos varables ndca fuerte correlacón entre las evolucones de ambas varables Ordenada y pendente de desocupacón correlaconadas negatvamente, ρˆ = γ γ 0 La tabla sguente presenta la estmacón de los parámetros y la sgnfcacón de los msmos Parámetro Varable Grupo Estmacón t Student p=pr> t β 0 ACT A <000 β 0 ACT B <000 β 0 DES A <000 β 0 DES B <000 β ACT A β ACT B β DES A <000 β DES B Tabla 33 Estmacón y sgnfcacón de los parámetros El patrón de cambo promedo de ambas varables decrece con el tempo para los dos grupos de aglomerados excepto en el Grupo B, donde el cambo promedo de la tasa de actvdad aumenta Esos cambos resultan no sgnfcatvos salvo para la tasa de desocupacón del Grupo A Se realzan pruebas de hpótess para comprobar s exsten dferencas entre grupos y pendentes, consderando un nvel de sgnfcacón de 005 Se comprueba que la evolucón de las respuestas no tene el msmo comportamento en los dos grupos ( χ OBS = 76, p=0065) y, además, las dos varables del Grupo A no tenen el msmo comportamento ( χ = 540, p=000) OBS

15 4 García et al /Cuadernos del CIMBAGE Nº 4 (0) -6 Modelo 3 Se ajusta el modelo consderando que las dos varables respuestas están no correlaconadas El modelo y los supuestos expresados de una forma alternatva pero equvalente al anteror son Y Y e = X β + Z γ = X β + Z + γ e + e ~ N0(0, σ I 0 ) e ~ N0(0, σ I e e 0 γ ~ N( 0, D ) γ ~ N( 0, D ), donde los parámetros fueron defndos en () e [ ] ' ), y = Y,Y el vector de respuesta para el aglomerado =,,N sendo n =0 la dmensón de cada subsector En este modelo, cada aglomerado varía no sólo en su nvel de respuesta al comenzo del estudo sno tambén en térmnos de cambos de sus respuestas en el tempo La estmacón del msmo para cada grupo es Ŷ Ŷ AIC = 69 Grupo A Grupo B = t Ŷ = t = t Ŷ t =, La comparacón entre los modelos mxtos unvarado y bvarado (AIC=69 vs 556) muestra la ventaja de consderar una asocacón entre las dos varables Además, se puede observar que el modelo mxto fue mejor que el modelo que ncluye una estructura de smetría compuesta, modelada medante la notacón producto de Kronecker (AIC = 556 vs 73) El examen de resduos para comprobar el cumplmento de los supuestos muestra que el modelo mxto provee un ajuste adecuado del patrón de cambo de las respuestas en el tempo 4 CONSIDERACIONES FINALES En este trabajo, se consdera el problema de modelar la evolucón de varas varables respuestas en el tempo Se utlzan dos estrategas que

16 García et al / Cuadernos del CIMBAGE Nº 4 (0) -6 5 dferen en la caracterzacón de la estructura de covaranca Los modelos con estructura de covaranca producto Kronecker posbltan examnar las correlacones entre y dentro de las varables Sn embargo, presenta varas lmtacones: una correlacón común ntra varable para las dferentes varables y una correlacón constante ntra varable para varables meddas en la msma En la modelacón conjunta medante un modelo mxto multvarado, ambas trayectoras están vnculadas a través de la dstrbucón conjunta de los efectos aleatoros Los modelos con coefcentes aleatoros permten examnar correlacones entre las trayectoras de las varables en el tempo y obtener la evolucón de esas varables respuestas Con este enfoque, se pueden manejar datos no equespacados, varas varables respuestas y datos perddos En la aplcacón del ajuste de los modelos y su comparacón se puede conclur que: El modelo con estructura de covaranca producto Kronecker no muestra una fuerte correlacón postva entre las varables en cada ocasón, pero sí entre dos medcones consecutvas para ACT y DES Del análss se puede nferr que los grandes aglomerados tenen una dsmnucón en la tasa de desocupacón que no fue acompañada de una varacón de la tasa de actvdad Sn embargo, en los pequeños aglomerados ambas se mantenen estables El modelo mxto permte estmar la matrz de correlacones entre las pendentes ndvduales para cada varable y, de esta manera, determnar cómo la evolucón de la varable ACT está asocada con la evolucón de la DES Para estos datos se obtene una fuerte correlacón entre las evolucones de ambas varables Se observa que aquellos aglomerados con tasa de actvdad alta al comenzo del estudo presentan un patrón de cambo en la msma que dsmnuye en el tempo Además, cuando la tasa de actvdad es alta al comenzo del estudo, el cambo promedo de la tasa de desocupacón dsmnuye en el tempo Se comprueba que las dos varables en cada grupo tenen dferente comportamento Para este conjunto de datos el uso del modelo mxto resulta preferble a los otros modelos consderados

17 6 García et al /Cuadernos del CIMBAGE Nº 4 (0) -6 BIBLIOGRAFÍA Feuws, S; Verbeke, G (004) Jont modelng of multvarate longtudnal profles: ptfalls of the random-effects approach Statstcal n Medcne, vol 3, pp Galeck, A T (994) General class of covarance structures for two or more repeated factors n longtudnal data analyss Communcaton Statststcs-Theory Meth, vol 3, pp305-9 Lttell, R C; Mllken, GA; Stroup, WW; Wolfnger, RD (996) SAS System for Mxed Models, SAS Insttute, Cary, NC Nak, D R; Rao, S (00) Analyss of multvarate repeated Measures Data wth a Kronecker Product Structured Covarance Matrx Journal of Appled Statstcs, vol 8, pp9-05 SAS/IML Software: Usage and Reference Verson 6 (990) SAS Insttute Inc, Carry, NC Shah, A; Lard, N; Schoenfeld, D (997) A random-effects model for multple characterstcs wth possbly mssng data Journal of the Amercan Statstcal Assocaton, vol 9, pp775-9 Sy, J P; Taylor, J M; Cumberland, W G (997) A stochastc model for the analyss of bvarate longtudnal AIDS data Bometrcs, vol 53, pp54-55 Thébaut, R; Jacqmn-Gadda, H; Chêne, G; Leport, C; Commenges, D (00) Bvarate lnear mxed models usng SAS proc MIXED Computer Methods and Programmes n Bomedcne, vol 69, pp49-56