Unidad 2. Técnica de integración, Formas Indeterminadas e Integrales Impropias

Transcripción

1 Unidad Técnica de integración, Formas Indeterminadas e Integrales Impropias Gil Sandro Gómez //

2 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias Contenido Introducción.... Integración por Partes..... Método Taular Integrales Trigonométricas Método de Sustitución Trigonométrica Método de Fracciones Parciales....5 Funciones Racionales de Seno y Coseno Formas indeterminadas y Regla de L Hôpital Teorema del valor medio de Cauchy Teorema. Regla de L Hôpital Integrales Impropias... Biliografía... 7

3 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias Introducción Hemos llegado a la unidad de nuestro curso de Cálculo II, la misma es la parte central de la asig natura, porque nos are la puerta para entender los demás temas. En esta unidad vamos a ver los métodos o técnicas de integración. Entre los métodos que estudiaremos están: integración por partes, sustitución trigonométrica, integrales trigonométricas, fracciones parciales, funciones racionales de seno y coseno. En adición veremos las formas indeterminadas, que son resultados que otenemos cuando evaluamos un límite, pero no nos dic en si este eiste o no, luego analizaremos las integrales impropias. Es importante recordar que en esta unidad vamos a desarrollar lo que le llaman pensamiento divergente, que consiste en encontrar la solución de un prolema rompiendo las reglas eistentes. No hay que temer, es momento de aprender.

4 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias. Integración por Partes. La integración por partes surge del producto de una función trascendente y una algeraica, una inversa trigonométrica y una algérica, una trigonométrica y una algeraica, una trascendente y una trigonométrica, una inversa trigonométrica sola y una logarítmica sola. Teorema 9. Integración por partes. Sean u y v funciones de y tienen derivadas continuas, entonces, udv uv vdu c Demostración: Sea uv ~ () Derivamos la ep resión () : d( uv) udv vdu ~ () Despejando de () : udv d( uv) - vdu ~ () Integrando () tenemos que : udv duv - vdu c ~ (4) Q. E. D Nota: Cuando estamos frente a una integral por partes, es conveniente seleccionar como dv la parte más complicada, pero de más fácil integración y como u el resto. Luego iniciamos el proceso de integración cuantas veces sea necesario. Regla nemotécnica:. Logarítmica, inversa, algeraica, trigonométrica y eponencial : LIATE.. Irracionales, Logarítmicas, Potenciales, Eponenciales, Trigonométricas: I L P E T. Ejemplos. Resuelva las siguientes integrales:

5 . Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias e d Hacemos u Derivamos a u : du d dv e d e d uv vdu c d e d ~ ( ) Integramos a : e dv e d v Aplicando el métdo de int egración tenemos que : e e c 4 e e. e send Hacemos u sen Derivamos a u : du cos d dv e d ~ ( ) Integramos a ( ) : dv e d v e Aplicando el métdo de int egración tenemos que : e send e sen e cos d ~ ( c) Dado que la integral de la derecha es por parte, aplicamos el métdo de nuevo. e cos d e cos e send e cos e send ~ ( d) u cos du sen dv e d dv e dv v e 4

6 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias Como se puede osevar la integral original se repite, porque es cíclica, por tanto sustituímos a (d) en (c) e send e sen e cos e send c e send e send e sen e cos c e sen e cos e send c. Método Taular El método taular hace que las integrales por partes sean astantes sencillas, en especial en los casos que se tienen que aplicar varias veces. Esta versión particular fue desarrollada por Dan Rosen en la Universidad Hofstra. Procedimiento: Para calcular fgd, construimos una tala, en la que otenemos las funciones en la columna D por diferenciar repe tidamente la función f, y las en la columna I por integrar repetidamente la función g. Los signos van alternándose. Signos D I f g Df I ( g) D f I ( g) n D f n I ( g) Se continúa este proceso hasta que: La función a la izquierda se convierta en cero (en caso que sea un polinomio. El producto de las funciones en el último reglón se pueda integrar. 5

7 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias El producto de las funciones sea un múltiplo constante del producto de las funciones en el primer reglón. Este método funciona ien para las integrales del tipo: n n n a cos ad, senad, e d Ejemplo. Resuelva la integral dada utilizando el método taular. e d e e 6e 6e C Signos u y sus derivadas dv y sus int egrales e e e e e. Integrales Trigonométricas En el campo de la Física, Ingeniería y la Química nos encontramos con aplicaciones de integrales, cuyas funciones son trigonométricas. Las más usuales son de los tipos: m n m n sen cos d y sec tan d Integrales que contienen potencias de senos y cosenos. Si la potencia del seno es impar y positiva, conservar un factor seno y pasar los factores restantes a cosenos. Entonces, desarrollar e integrar. k n k m n k n k n sen cos d sen cos d sen cos send n sen cos send cos cos send. Si la potencia del coseno es impar y positiva, conservar un factor coseno y pasar los factores restantes a senos. Entonces, desarrollar e integrar. 6

8 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias k m m m n m k m k sen cos d sen cos d sen cos cos d cos cossen d sen sen cos d. Si las potencias de amos son pares y no negativas, usar repetidamente las identidades. cos cos sen y cos para convertir el integrando a potencias impares del coseno. Luego proceda como en el caso. Ejemplo 4. Calcule el integral dado. sen cos 5 Sacamos un factor coseno y lo otro lo convertimos en seno: sen cos cos d sen ( s en ) cos d ( sen cos sen cos ) d sen cos d sen cos d u du u du C Hacemos : d u sen du cos d k u u sen sen C 6 7 Ejemplo 5. Halle el integral dado sen cos d ~ () Aplicamos la identidad del ángulo duplo : cos cos sen ~ (),cos ~ () Sustituyendo () y () en () tenemos que : cos cos cos ( cos d d ) d ~ (4) 4 4 7

9 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias Utilizamos la identidad del ángulo duplo otra vez: cos 4 Sust. (5) en (4): cos ~ (5) ( cos4 cos4 cos4 ) 4 ( d 4 ) d 4 ( 4 ) d 4 cos4 4 ( 4 ) d 4 8 d 8 cos 4d 8 cos zdz sen 8 C Hacemos z 4 dz 4d De a hí que : d dz 4 Integrales que contienen potencias de secante y tangente Caso. Si la potencia de la secante es par y positi va, conservar un factor secante cuadrado y convertir los factores restantes en tangente. Entonces desarrollar e integrar. k n k n k n sec tan d (sec ) tan sec d ( tan ) tan sec d Caso. Si la potencia de la secante es impar y positiva, conservar un factor secante-tangente y convertir los factores restantes en secante. Entonces desarrollar e integrar. m k m k m k sec tan sec (tan ) sec tan sec (sec ) sec tan d d d Caso. Si no hay factores secantes y la potencia de la tangente es par y positiva, convertir un factor tangente cuadrado a secante cuadrado. Luego desarrollar y repetir si es necesario. n n tan tan n (tan ) tan (sec ) d d d Caso 4. Si la integral es de la forma positiva, usar la integración por partes. sec m d donde m es impar y Caso 5. Si ninguna de las cuatro guías aplica, intentar convertir el integrando en senos y cosenos. Ejemplo 6. Resuelva el siguiente integral. 4 tan sec d tan sec sec d tan ( tan )sec d 4 4 (tan sec tan sec ) d tan sec d tan sec d ~ ( a) 8

10 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias Hacemos : u tan du sec d ~ ( ) Sustituyendo ( ) en ( a) : u u tan tan u du u du C C tan tan tan sec d C 5 Ejemplo 7. Calcule el integral. tan sec tan sec sec tan (sec )sec sec tan 4 4 (sec sec tan sec sec tan ) d sec sec tan d sec tan sec d ~ ( a) Hacemos : u sec d d d du sec tan d ~ ( ) Sustituyendo ( ) en ( a) : u u sec sec u du u du C C 5 5 Integrales que contienen los productos seno -coseno de ángulos distintos. Las integrales que contienen los productos de ángulos diferentes ocurren en muchas aplicaciones. En tales casos utilizar las identidades de sumas y productos. senmsenn (cos[ m n] cos[ m n] ) senm cos n ( sen[ m n] s en[ m n] ) cos m cos n (cos[ m n] cos[ m n] ) Ejemplo 7. Encuentre la solución del siguiente integral. Método de Sustitución Trigonométrica Introducción. En algunas ocasiones nos vemos precisado a calcular el área de una circunferencia, una elipse, así como de otras figuras ge ométricas en las cuales nos encontramos con integrales que tienen una de las siguientes formas: 9

11 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias d,,,. a a d a d entre otras En cada caso, a. Para tener éito en este tipo de integrales, es necesario tener un uen manejo de las definiciones de las funciones trigonométricas, las identidades trigonométricas y del teorema de Pitágoras. Para una mayor comprensión del tema, haremos dos ejemplos que nos ayudarán en la asimilación de la técnica. Ejemplo 8. Encuentre la solución de los siguientes integrales:. 9 d Cuando vamos a determinar la solución de un integral, el primer paso que deemos de dar es ver si es posile encontrar su solución usando una de las fórmulas ásicas o si podemos realizar aplicar una identidad que nos permite resolver con suma facilidad. En este caso tenemos el integral de un cociente, pero no es posile efectuar la división, y si hacemos un u el denominador y lo derivamos no nos produce el numerador. Esto nos lleva a tener que aplicar la técnica de sustitución trigonométrica. Para esto nos auiliamos del teorema de Pitágoras, el cual nos 9 indica que el radical es un cateto, la hipotenusa es y el otro cateto es Como soporte de nuestro ejercicio diujamos un triángulo rectángulo. Hacemos: sen sen ~ Ahora diferenciamos a () y tenemos que: d cos ~ Procedemos a sustituir las epresiones () y () en ().

12 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias sen cosd 7sen cosd sen cosd 7 9 sen 9 9sen 9 sen 7 cos cos cos 9 9 cos sen d sen d sen d sen cos cos sen d 9 d d cos d sen C sen cos C ~ 4 4 Usando las identidades trigonométricas, sustituimos a, seno y coseno en la epresión (4). 9, arcsen sen, cos. 9 9 d arcsen C 9 d 4 Analicemos el caso. Oservamos que tenemos el integral de un cociente, pero no podemos aplicar la regla ásica para el integral de un cociente, u porque si hacemos Así que es necesario utilizar la técnica de sustitución trigonométrica. y derivamos no nos dá el numerador. Para este caso la función trigonométrica más sencilla que podemos utilizar es la tangente. tan tan ~, derivamos la epresión () y otenemos que: d sec d ~ (4)

13 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias Procedemos a realizar las sustituciones correspondientes en la epresión (): sec d sec d sec d sec d d C 4 tan 4 4tan 4 tan sec De la epresión () despejamos a : arctan y la solución es: d arctan C 4.4 Método de Fracciones Parciales Función racional: es una función que puede epresarse como el cociente de dos polinomios. Es decir, P ( ) R ( ) Q ( ) Donde P( ) y Q( ) son polinomios. El método de fracciones parciales es una técnica algeraica que descompone R ( ) en una suma de términos: P ( ) R( ) p( ) F( ) F( )... Fk ( ) Q ( ) donde p ( ) es un polinomio y F( ) es una epresión que puede integrarse con facilidad. Descomposición de N()/D() en fracciones simples. i. Dividir en caso impropio: Si N()/D() es una fracción impropia (es decir, si el grado de numerador es mayor o igual al grado del denominador), dividir el denominador para otener N ( ) N ( ) p ( ) D( ) D( ) Donde el grado de N ( ) es menor que el grado de D(). Entonces N se aplican los pasos, y 4 a la epresión racional ( ) D ( ).. Factorizar el denominador: Factorizar completamente el denominador en fracciones de los tipos ( ) m n p q y ( a c) donde a c es irreducile

14 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias. Factores lineales: Para cada factor lineal ( p q) m, la descomposición en fracciones simples dee incluir la suma siguiente de m fracciones. A A Am... m ( p q) ( p q) ( p q) 4. Factores cuadráticos: Para cada factor cuadrático ( a c) n, la descomposición en fracciones simples dee incluir la suma siguiente de n fracciones. B C B C Bn Cn... ( a c) ( a c) ( a c) n Factores lineales no repetidos Ejemplo 9. Encuentre la solución del siguiente integral 5 d Dado que no se puede resolver por una fórmula ásica, tenemos que aplicar la técnica de fracciones simples. Ahora procedemos a factorizar el denominador: - ( - )( ) 5 5 d d ( - )( ) Re escriimos el integral: 5 A B d d ~ ( ) ( - )( ) Multiplicamos () por ( -)( ): 5 A( ) B( ) 5 A A B B Aplicando A+B=- A-B=5 la teoría de los polinomios tenemos que: La solución del sistema es: A= y B=- Sustituyendo los valores de A y B en ():

15 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias d d ln ln C - Ejemplo. Factores lineales repetidos Encuentre la solución del integral indicado 4 d 4 4 Pr ocedemos a factorizar el denominador: ( 4 4) ( ) Tenemos que: 4 A B C d d ~ () 4 4 ( ) ( Multiplicamos la epresión () por ( ) : 4 A( ) B C( ) 4 A( 4 4) B C C 4 A 4A 4 A) B C C A C 4A B C 4A 4 La solución del sistema es: A=-, B= y C= Sustituyendo a A, B y C por sus valores en () tenemos que: d d d ( ) d ( ) ( 4 d ln ln C 4 4 Ejemplo. Factores cuadráticos no repetidos Resuelva el siguiente integral d Primero factorizamos el denominador: 4 ( )( ) 4 ( )( ) ( ) ( ) 4 4 A B C D d d ~ ( a) Multiplicamos 4 4 ( A B)( la epresión (a) por ( )( ) : ) ( C D)( ) 4 A A B B C C D D 4

16 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias A C 4 B D A C 4 B D La solución del sistema es: A=, B=, C=4 y D= Sustituyendo a A, B, C y D por sus valores en (a) 4 d d 5 d d 5ln ln C Ejemplo. Factores cuadráticos repetidos Evalúe el siguiente integral ( 4 4) d d 4 4 ( 4 4) ( A B C D) d d ~ ( a) Como el denominador es un polinomio que no tiene raíces reales, entonces tenemos: Multiplicamos por 4 la epresión (a): 4 4 ( A B)( 4) C D ~ ( ) Desarrollamos la epresión (): 4 4 A B 4A 4B C D Aplicando la teoría de los polinomios: A= B= 4A+C=4 4B+D=4 Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos que: A=, B=, C=4 y D= Sust. a A, B, C y D por sus valores en (a) tenemos que: d d arctan ( 4) d arctan ( 4) C 4 d d arctan C Funciones Racionales de Seno y Coseno Sustitución para funciones racionales de seno y coseno Para integrales que contienen funciones racionales de seno y coseno, la sustitución 5

17 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias sen z cos tan ~ ( a) hace que cos z z dz, sen y d z z z Demostración: Como cos () cos Despejando el cos tenemos que : cos cos z z z z z z cos z ( ) sec tan ( ) ( ) Aplicando la propiedad del seno dole: sen sen cos ~ ( ) Multiplicando la ec. ( ) por cos cos sen cos sen cos tan sen cos cos sec tan tan ~ ( c) Sustituyendo ( a) en ( c) : z sen z De la ecuación (a) tenemos: 6

18 ar tan z ~ ( d) Derivando ( d) : dz d z Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias Ejemplo. Calcule la siguiente integral d dz dz z z z z z dz sen z z z z dz z z ( z ) dz ( z ) dz ~ ( a) Hacemos u z ~ ( ), entonces tenemos que : du dz ~ ( c) Sustituyendo ( ) y ( c) en ( a) : u u du C u C C C u z d C C sen tan( ) tan( ).6 Formas indeterminadas y Regla de L Hôpital Las formas y son llamadas formas indeterminadas porque no garantizan que un límite eiste, ni indica lo que el límite es, si eiste..8 Teorema del valor medio de Cauchy Sean f y g funciones derivales en ( a, ) y continuas a,. Si g'( ) para todo ( a, ), entonces eiste un número c ( a, ) tal que f ( ) f ( a) f '( c) g( ) g( a) g '( c) 7

19 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias.9 Teorema. Regla de L Hôpital Sean f y g funciones derivales en un intervalo aierto ( a, ) que contiene a c, ecepto posilemente el propio c. Si el límite de f( ) g ( ) entonces, cuando tiende a c produce la forma indeterminada f ( ) f '( ) lim lim c g( ) c g '( ) Supuesto que el límite de la derecha eiste (o es infinito). Este resultado tamién aplica si el límite de f( ) g ( ), cuando tiende a c produce cualquiera de las formas indeter minadas,, o Las formas indeterminadas más comunes son:,,,,,,,, Ejemplo 4. Calcule el límite siguiente: lim e e e e sen sen Podemos oservar que la sustitución directa nos lleva a la forma indeterminada, esto nos permite aplicar la Regla de L'H pital: Derivamos el numerador y denominador de forma separada e e e e e e lim lim sen cos sen cos sen Como persiste la indeterminación, tenemos que utilizar el método de nuevo e e e e lim sen cos cos sen cos cos Ejemplo 5. Halle el límite siguiente: ô lim ( ) La sustitución directa nos lleva a una forma indeterminada, pero no nos permite aplicar el teorema de L'Hôpital, por lo que deemos realizar los ajustes necesarios 8

20 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias para epresar el límite como : o Sea y= lim ~ () Aplicamos logaritmo en (): ln lny= lim ~ () Ahora podemos utilizar el teorema de L'Hôpital lny= lim lim ln y Por el criterio de funciones inversas tenemos que: e lny y e Entonces lim Ejemplo 6. Determine el límite dado lim El c álculo directo nos dá una forma indeterminada, pero ésta no permite aplicar el método, deemos llevarlo a una de las formas o. y=lim Sea ~ ( a ) Aplicamos logaritmo en (a): lny=lim ln ~ ( ) Utilizando las propiedades de los logaritmos en (): lny= lim ln ln( ) De ln( ) ln ahí lim Ahora usamos el método: 9

21 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias lny lim lny Por e e y e lny definición de función inversa tenemos que: Entonces lim e Ejemplo 7. Encuentre el límite indicado: lim ln lim ln ln Re escriimos la epresión para que nos de una de las formas que nos permite usar la regla de L'Hôpital: ln ( ) ln ( ) lim lim ln ( )ln ( )ln Ahora aplicamos la regla: ln lim lim lim ( )ln ln ln () lim ln ln Utilizamos el método de nuevo: 4 4 4() lim lim ln ln ln

22 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias. Integrales Impropias Defin ición. Sea f ( ) d a, donde el intervalo de integración es infinito ( a o es ), o la función f :( a, ) no es acotada, se denomina integral impropia. Definición de infinitos. integrales impropias con lίmites de integración. Si f es continua en el int ervalo a,, entonces a f ( ) d lim f ( ) d a. Si f es continua en el int ervalo -,, entonces f ( ) d lim f ( ) d a a. Si f es continua en el int ervalo -,, entonces c c f ( ) d f ( ) d f ( ) d donde c es un número real cualquiera. En los primeros dos casos, la integral impropia converge si el l ímite eiste, en caso contrario, la integral impropia diverge. En el tercer caso, la integral impropia a la izquierda diverge si cualquiera de las integrales impropias a la derecha divergen. Integrales impropias con discontinuidades infinitas Definición de integrales impropias con disc ontinuidades infinitas.. Si f es continua en el int ervalo a, y tiene una discontinuidad inf inita en, entonces a f ( ) d lim f ( ) d c c a. Si f es continua en el int ervalo a, y tiene una discontinuidad inf inita en a, entonces a f ( ) d lim f ( ) d ca c

23 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias. Si f es continua en el int ervalo a,, ecepto para a lg ún c en a, en que f tiene una discontinuidad c f ( ) d f ( ) d f ( ) d a a c inf inita, entonces En los primeros dos casos, la integral impropia converge si el límite eiste, de otra forma, la integral impropia diverge. E n el tercer caso, la integral impropia en la izquierda diverge si algu na de las integrales impropias de la derecha diverge. Teorema. Un tipo especial de integral impropia. d p p diverge si p si Después de haer realizado un recorrido en la parte conce ptual, nos aocaremos hacer algunos ejemplos para verificar los conceptos aprendidos. Ejemplo 8. Determine si el integral dado es pertenece a las integrales impropias. Si la respuesta es afirmativa estalezca si converge. ln d De acuerdo a la definición de integral impropia, el integral dado es impropio, porque el límite superior es infinito. Pasemos pues, a encontrar la solución del integral. ln ln d lim d ln d El cálculo del integral lo hacemos aplicando el método de integr al por partes que haíamos estudiado previamente. Sea u ln y dv, tenemos que:

24 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias du d y dv d v Por comodidad traajaremos el integral como si fuera indefinido y luego hacemos uso de los límites de integración. ln d ln ln d ln d ln d ln no colocamos la constante de integración, porque esto lo hicimos con el ojetivo de sustituir el resultado para la evaluación. Ahora vamos a evaluar el resultado o tenido para saer si el integral converge. lim lim ln lim d d ln Evaluamos el resultado otenido para determinar si la integral converge ln ln ln ln ln ln lim d lim Como podemos oservar, en el primer término del resultado hay una forma indeterminada, por tal motivo tenemos que calcular de nuevo el límite usando la regla de L Hôpital. Les recordamos que sólo hay que calcular el término que está indeterminado. ln lim lim, tener el resultado definitivo. ln ln ln sumamos este resultado con el anterior para Como el límite de la derecha del integral eiste, decimos que el integral converge.

25 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias Ejemplo 9. Determine si el integral siguiente converge o diverge. d 6 El integral dado podemos realizarlo usando sustitución o sustitución trigonométrica, pero por asunto práctico es mej or hacerlo por sustitución. d d d lim d lim d a 6 6 Hemos divido el integral en dos partes, desde menos infinito hasta cero y desde cero hasta infinito. Tenemos que resolver amos integrales, pero como son iguales uscamos la solución de uno y luego evaluamos en cada límite de integración. 6 6 d d u 6 u du u Sea u du d 6, de ahí que du d lim 6 lim 6 a Para facilitar el cálculo evaluaremos la primera parte y después de la segunda. lim 6 d lim 6 lim 6 6 a lim 4 6 a a a a a a a Calculamos el límite de la epresión resultante a lim ~ ( ) a Evaluación de la segunda parte lim lim 6 lim 6 6 lim 6 4 d 6 4

26 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias lim ~ ( ) Sumamos las epresiones (*) y (**) para otener el resultado final. 4 4, el integral diverge. 6 Ejemplo. Halle el valor del siguiente integral tan d Aquí tenemos una integral definida que sus límites de integración son finitos, pero cuidado, que si la realizamos como si fuera una simple integral definida, pudiéramos estar dando una respuesta incorrecta. Es importante que cuando vayamos a calcular una integral definida evaluemos previamente la función integrando antes de comenzar el proceso de integración, para así saer si la misma está definida en el intervalo de integración. Primer paso. Evaluamos la función para saer si la misma está definida en el intervalo de integración. En f tan En f tan Como podemos oservar, la función no está definida en el límite superior. Tenemos que aplicar el concepto de integral impropia. Segundo paso. Calculamos la integral impropia. tan d lim ln cos lim ln cos ln cos lim ln cos ln lim lncos lim lncos lncos ln Como el límite de la derecha no converge, la integral diverge. Nota: este mismo caso puede suceder cuando sea que la función no está definida para el límite inferior. 5

27 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias Ejemplo. Halle el valor de la siguiente integral. 4 d Tal como hicimos en el ejemplo, es necesar io evaluar la función integrando antes de realizar el integral. Para Para f () 4 f 4 4 En amos etremos del intervalo de integración la función está definida. Recordando de nuestro curso de Cálculo I, una función e s continua en un intervalo, si es continua en cada punto del mismo. Igualamos a cero el denominador de la función, despejamos el valor de., como podemos darnos cuenta, este valor pertenece al intervalo,4. de integración. La función tiene un discontinuidad en Para hallar el valor de la integral dividimos en dos el intervalo de integración, es decir, desde el límite inferior hasta el punto donde la función tiene la discontinuidad y luego desde el punto de la discontinuidad hasta el límite superior. d 4 4 d d Ahora aplicamos el concepto de integral impropia a la epresión anterior. 4 lim d lim d a a Como podemos oservar, tenemos una integral elemental, que no requiere de técnica muy elaorada para dar su solución. Hagamos la sustitución siguiente: 6

28 Unidad : Técnicas de In tegració n, Formas Ind etermi nadas e In tegrale s Impropias u du d, si oservamos, la integral es inmediat a, sólo necesitamos multiplicar y dividir por - la función integrando. Entonces, tenemos que d d 4 lim lim a a 4 4 lim lim lim lim a a a Evaluemos el resultado otenido para saer si la integral converge o diverge. a a lim lim a a lim 8 lim 64 ~ * Ahora calculamos el límite a la función (*): a a lim 8 lim Por tanto, 4 d, la integral converge. a Biliografía. Larson, R., Hostetler, R. & Edwards, B. (). Cálculo Esencial. Méico: CENGAGE Learning.. Purcell, E., Varerg, D. & Rigdon, S. (7). Cálculo (9na edición). Méico: Pearson.. Edwards, C & Penney, D. (8). Cálculo con trascendentes tempranas (7ma edición). Méico: Pearso n. 4. Stewart, J. (8). Cálculo de una variale (6ta edición). Méico: CENGAGE Learning. 5. Thomas, G. (5). Cálculo una variale (ma edición). Méico: Pearson. 7