Derivación e integración numérica

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1 Métodos Numércos/Aálss Numérco/ Cálculo umérco Dervacó e tegracó umérca Bblograía: Métodos Numércos G. Pacce Edtoral EUDENE Aalss Numerco Burde ad Fares- Edtoral Sudamercaa 996. Métodos Numércos para geeros. Capra Caale. Ed. Mc Graw Hll. ta. Edcó. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA Polomo de terpolacó es aplcable para la resolucó de problemas de derecacó, e geeral el cálculo de dervadas, e partcular. Dada ua tabla de valores de la ucó () para dversos valores de, se puede determar el polomo de terpolacó que, satsacedo a los valores dados, represete co certo grado de apromacó a (). De acuerdo a lo ateror, es posble calcular, de maera más o meos precsa, la dervada '(), de la ucó e cuestó. Se puede allar e geeral por úca vez, las dervadas sucesvas de la órmula de terpolacó aplcarlas a cada caso partcular.

2 DERIVACION MEDIANTE FORMULAS DE INTERPOLACION La metodología descrpta mplca el uso de cualquera de las órmulas de terpolacó ates estudadas. Se desarrolla u caso partcular. La órmula de NEWTON-GREGORY Ascedete, e la cual se a eco la trasormacó u, para acltar su uso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u u u u! ( ) ( )( ) u u u Κ (8.)! DERIVACION MEDIANTE FORMULAS DE INTERPOLACION () Dervado respecto de la varable u, se obtee: u u 6u 6 ( u) ( ) ( ) ( ) Κ para ; vale decr, para u, resulta la ecuacó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Κ (8.)

3 DERIVACION MEDIANTE FORMULAS DE INTERPOLACION () Aálogamete, para la dervada seguda se obtee la epresó: 6u 8 u ( u ) ( ) ( )( u ) ( ) Κ para ; o sea, acedo u, resulta la ecuacó: ( ) ( ) ( ) ( ) Κ (8.) Este procedmeto puede ser terado tatas veces como se eceste, para obteer dervadas de maor orde. DERIVACION MEDIANTE FORMULAS DE INTERPOLACION () S se parte de la órmula de NEWTON-GREGORY Descedete o, de las de GAUSS, LAGRANGE, BESSEL, etc., se ecotrara, uevas órmulas de dervacó para cada caso e partcular, las que, orecerá maor o meor precsó segú la poscó relatva del valor de la varable para el cual se desea calcular las dervadas

4 DERIVACION MEDIANTE FORMULAS DE INTERPOLACION () La aplcacó de détco crtero para la órmula de NEWTON- GREGORY Descedete: u ( ) ( ) ( ) ( u ) u ( ) ( u )( u ) u u!! da como resultado dervado co respecto a u e gualado a cero: ( ) ( ) ( ) ( ) Κ como así també: ( ) ( ) ( ) ( ) Κ (8.) (8.) ( ) Κ Itroduccó a la tegracó umérca ETSII-UPM Plateameto del problema Se trata de evaluar la tegral deda de ua ucó medate u sumatoro de valores de esa ucó e certos putos llamados odos, multplcados por uos coecetes de poderacó llamados pesos: b a ( ) d w ( ) w w... w Esta epresó mplca la susttucó de u sumatoro to (la tegral) por u sumatoro to, por lo que se producrá u error de trucameto. Se llama grado de precsó de la órmula de tegracó al mámo grado de los polomos que so tegrados eactamete por dca órmula. Para deducr las órmulas de tegracó umérca la ucó () se suele susttur por el polomo de terpolacó p () () realzar la tegracó eacta de este polomo. S u polomo de grado es tegrado eactamete es de esperar que el error e la tegracó umérca de la ucó () depeda de la dervada de orde () de dca ucó e u puto perteecete al tervalo de tegracó. La tegracó umérca es u proceso más estable precso que la dervacó umérca vsta prevamete.

5 Fórmulas de Newto-Cotes (/) ETSII-UPM Se basa e el polomo de terpolacó de Newto co argumetos gualmete espacados (órmula de derecas tas). Alguas órmulas de Newto-Cotes: Regla trapezodal ( ) d ( ) err ( ζ ) ( v) Regla de Smpso ( ) d ( ) err ( ζ ) ( v) Regla de Smpso ( ) d ( ) err ( ζ ) Regla de Boole ( ) ( v) d ( 7 7 ) err ( ζ ) 9 Observacoes: E estas órmulas se supoe k k. Los errores depede de potecas elevadas de. La órmula de Smpso tee ua alta relacó precsó/coste. No se suele utlzar órmulas de orde mu grade porque aparece coecetes egatvos que da lugar a problemas umércos. Fórmulas de Newto-Cotes (/) ETSII-UPM El cálculo de los errores de las restates órmulas de Newto-Cotes es bastate laboroso o se clue e estas trasparecas. Iterpretacó gráca de la regla trapezodal las dos reglas de Smpso: E ( ξ ) v E ( ξ ) 9 v E ( ξ ) 8

6 INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Problemátca cal. Detro del campo aalítco, perteecete a la matemátca pura, se descooce la prmtva de la maor parte de las ucoes que ella estuda o s esta se cooce, su aplcacó es larga compleja, para utlzarla co proveco e la resolucó de ua tegral. Icluso, es posble que se descoozca la epresó aalítca de la ucó sobre la cual se desea tegrar. Cosecuetemete, e térmos geerales, es posble asegurar que la gra maoría de los problemas que se preseta e la práctca, carece de solucó detro del campo aalítco. INTEGRACIÓN NUMÉRICA () Resumedo, la mposbldad, o la coveeca, de la aplcacó de métodos tradcoales está dada, udametalmete, por : I.- Que o se coozca gua prmtva de aquella ucó que es ecesaro tegrar, II.- Que aú coocédose ua ucó prmtva, su aplcacó resulte ecesvamete compleja o etesa, III.- Que, drectamete, se descoozca la epresó aalítca de la ucó que debe ser tegrada.

7 INTRODUCCION Cuado el problema e cuestó cosste e calcular la tegral deda de ua determada ucó (), dada por: b a ( ) I d (8.9) se cooce ua ucó F(), prmtva de (), es decr, F' () (), se aplca la regla de BARROW : I b a ( ) d F( b) F( a) (8.) INTRODUCCION () Cuado o se cooce gua prmtva de la ucó, resulta ecesaro apelar a métodos de cálculo apromados. Igual proceder debe adoptarse s, aú coocédose ua prmtva, resulta poco práctco aplcarla, por su complejdad. E ocasoes se cueta solamete co ua tabla de alguos de sus valores, proveete de resultados epermetales; e cuo caso, tampoco es posble aplcar la regla de BARROW. Cosderado que la tegral dada por (8.9) equvale a determar el valor del área bajo la curva de la ucó (), es posble desarrollar dversos métodos apromados para lograr dco objetvo.

8 FORMULA DE LOS TRAPECIOS Supógase coocdos los valores ; ;...; deducdos de la ucó (), coocda, que cumple co la codcó: k - k- para k ; ;... ; Ua prmera apromacó al valor del área a calcular, lmtada por los putos ; A ; A ;... ; A ; se obtee cosderado la suma de las áreas de los trapecos scrptos e cada ua de las superces parcales lmtadas por los putos, ; A ; A ; ; A ; A ; ; A - ; A ; FORMULA DE LOS TRAPECIOS () Fgura 8.. A A- A ( ) A A Y Y Y Y- X X X X - Y X

9 FORMULA DE LOS TRAPECIOS () E cosecueca, resulta: área ( ; A ; A ; ) / ( ) área ( ; A ; A ; ) / ( ) área ( - ; A - ; A ; ) / ( - ) Sumado las epresoes de las áreas así obtedas, resulta ( ) d ( ) Κ (8.) FORMULA DE LOS TRAPECIOS () La órmula de los trapecos tee ua precsó sucetemete buea cuado se trata de aplcarla a determacoes que o requera ua apromacó de orde elevado. E el caso de aberse susttudo la curva, dada por la ucó cotua (), medate la polgoal scrpta, descrpta medate los putos dados o calculados, el modelo realzado puede clascarse como ua Dscretzacó; o satsace pleamete cuado se trata de obteer gra precsó.

10 FORMULA DE SIMPSON () Basado e la utlzacó de segmetos de parábola para apromar los arcos de curva, e lugar de emplear segmetos de recta;es decr utlzar curvas e lugar de ua polgoal, se obtee ua maor precsó e el cálculo de tegrales dedas. Prmeramete se cosderará el caso de la parábola de segudo grado, a partr del que se deducrá la epresó aalítca de la órmula de SIMPSON. FORMULA DE SIMPSON () El prmer paso cosste e determar el área compredda etre el eje de las, la parábola de eje vertcal que pasa por los tres prmeros putos dados sus ordeadas etremas. Llamado A ; A ; A a los putos mecoados supoedo que tee abscsas equdstates; es decr, que: - - Cosderado, además que, acedo pasar el eje por el puto termedo A o se perde geeraldad (ver gura 8.).

11 FORMULA DE SIMPSON () A Y A Fgura 8. A Y Y X X Y X FORMULA DE SIMPSON () Dadas estas codcoes teedo e cueta que, e geeral, la parábola de segudo grado es: a b c pero, como debe pasar por los tres putos A ; A ; A, es posble escrbr: a b c a (-) b (-) c a - b c a b c c a b c a b c a b c

12 FORMULA DE SIMPSON () Sumado restado la prmera la últma de estas epresoes, drectamete de la seguda, se obtee los sguetes valores: ; ; c b a Valores que será empleados para reemplazarlos e la epresó de la tegral FORMULA DE SIMPSON (6) Por otra parte, del aálss sabemos que la epresó aalítca del área buscada vale: ( ) c a c b a d c b a d I Reemplazado e esta últma los valores de a c aterormete obtedos, resulta: ( ) ( ) 6 I El coocmeto de tres ordeadas es sucete para determar el área lmtada por el arco de parábola cuadrátca que pasa por los putos correspodetes.

13 FORMULA DE SIMPSON (7) E el caso de que la curva se ecuetre descrpta medate ua tabla compuesta de putos A ; A ;...; A, sedo u úmero par co abscsas ; ;...; equdstates, es posble aplcar la metodología epuesta, cada tres putos (A ; A ; A ); (A ; A ; A ); etc., de este modo, obteer la epresó: I ( ) ( ) Κ ( ) ( ) d FORMULA DE SIMPSON (8) De dode, cosderado a los operadores E, P, I co détco sgcado al establecdo e el puto ateror, se obtee: I ( ) d ( E I P) (8.) Esta últma epresó es la coocda e mportate FORMULA DE SIMPSON, mu utlzada para determacoes epedtvas.

14 REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON () Como es ácl aprecar, la órmula de SIMPSON, solo es válda utlzable e el caso e que se aa subdvddo el tervalo de tegracó e u úmero de rajas tal, que la catdad de putos resultates; vale decr, los que descrbe la curva (), sea mpar. Esto sucede cuado el úmero de rajas aluddo es par. El msmo Smpso a desarrollado ua órmula utlzable e el caso que el úmero de rajas sea mpar. REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON () Fgura 8. A Y A A A Y Y Y Y H H H H

15 REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON () La deduccó de la correspodete órmula es smlar a la realzada para la de SIMPSON, ecepto que, para la determacó de las áreas parcales, es ecesaro utlzar parábolas de tercer grado que coecte cuatro putos cosecutvos de la curva e cuestó. La orma geeral de la ecuacó de tercer grado represetada por ua parábola cúbca es: a b c d (8.) REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON () Para determar los valores de los parámetros a; b; c; d es ecesaro mpoer a la epresó (8.), la codcó que pase por los cuatro putos A ; A ; A ; A ubcar el eje de las como se dca e la gura 8., lo cual o ace perder geeraldad al razoameto; co ello el tervalo de tegracó resulta:

16 REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON () Se puede calcular el área buscada medate la epresó: I ( a b c d ) a d b c d a. b. c d a. b. c d de dode: I. b..d REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON (6) Y, realzado las operacoes dcadas, resulta: b I d (8.) Para calcular los valores de las costates que tervee e el cálculo es ecesaro acer: a b c d a b c d a b c d a b c d

17 REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON (7) Resolvedo, por cualquer método, el cojuto de ecuacoes smultáeas reemplazado sus valores e la epresó (8.): ( ) ( ) I de lo que, e detva, resulta: I 8 [ 9( ) ( )] ( ) d ( ) que es la epresó aalítca de la deomada REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON. (8.6) REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON (8) Al qutarle tres rajas a ua zocacó dada por ua catdad mpar de ellas, da como resultado ua catdad par, a la que puede aplcarse la órmula de SIMPSON a estudada. Por ejemplo, s se estuvera rete al problema de calcular el área subdvdda e 7 rajas, la REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON se podría utlzar para apromar el área bajo la curva ocupada por las tres prmeras rajas. El área bajo las rajas restates, luego de ser calculada medate la órmula de Smpso, se sumaría a la de las tres aterores.

18 FORMULA DE EULER-MACLAURIN Medate el agregado de térmos complemetaros que corrge otras órmulas elemetales como la de los TRAPECIOS o SIMPSON, es posble obteer u s úmero de epresoes elemetales de órmulas de tegracó. Ua de las más comues es la que muestra a cotuacó. La msma propoe adcoar ua sere de térmos a la órmula de los TRAPECIOS, aumetado de este modo, su precsó. ( ) d ( Κ ) FORMULA DE EULER-MACLAURIN () Cosdérese que F() es ua prmtva de (); vale decr que, F ()(), del msmo modo que, F () (); etc. Aplcado la órmula del desarrollo e sere de TAYLOR a la ucó prmtva F, resulta: F!! ( ) F( ) F ( ) F ( ) F ( ) Κ

19 FORMULA DE EULER-MACLAURIN () Traspoedo el prmer térmo del segudo membro, al prmer membro tomado, sucesvamete, ; ;...; -, resulta: Μ F!! ( ) F( ) ( ) ( ) ( ) Κ o F ( ) F( ) ( ) ( ) ( ) Κ!! Μ Μ F Μ! Μ! ( ) F( ) ( ) ( ) ( ) Κ FORMULA DE EULER-MACLAURIN () La suma membro a membro de estas ecuacoes da como resultado e el prmer membro F( )-F( ), pero, como F() es ua prmtva de (), es lícto aplcar la Regla de BARROW al prmer membro, sedo:! ( ) d ( ) ( ) ( ) Κ! (8.7)

20 FORMULA DE EULER-MACLAURIN () Epresoes aálogas a la ateror se obtee cosderado, sucesvamete, las ucoes (); (); etc., resultado: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Κ! d (8.8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Κ! d (8.9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Κ! IV d (8.) FORMULA DE EULER-MACLAURIN (6) Sumado a la epresó (8.7) la (8.8) multplcada por C ; la (8.9) multplcada por C ; la (8.) multplcada por C, etc., se obtee: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] Κ C C C d ( ) ( ) ( )!!! C C C ( ) Κ!!! C C C (**)

21 FORMULA DE EULER-MACLAURIN (7) Es ecesaro determar aora, los valores que debe tomar los coecetes C de modo que se aule los corcetes que gura e el segudo membro. E cosecueca, se obtee:! C C C!! C C C C C!!! C C C C C!!!! C 7 FORMULA DE EULER-MACLAURIN (8) Así sguedo se calcula los demás coecetes. Susttuedo estos valores e la últma epresó de la tegral (**), sacado actor comú, se obtee la FORMULA DE EULER- MACLAURIN: ( ) d ( ) ( ) Κ ( ) ( ) [ ] 7 [ ( ) ( )] ( ) ( ) Fórmula de los trapecos V V [ ( ) ( )] Κ (8.)

22 FORMULA DE GREGORY Ua órmula que utlza solamete los valores de la ucó de las correspodetes derecas sucesvas, terores al tervalo ( ; ) es la deomada FORMULA DE GREGORY, la cual será deducda a partr de la a estudada epresó de EULER- MACLAURYN. FORMULA DE GREGORY () S e la ctada órmula, las dervadas so reemplazadas por las epresoes correspodetes e térmos de las derecas; que so: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Κ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Κ

23 FORMULA DE GREGORY () ( ) ( ) ( ) ( ) Κ 7 ( ) ( ) ( ) ( ) Κ 7 ( ) ( ) ( ) Κ 6 V ( ) ( ) ( ) Κ V 6 FORMULA DE GREGORY () Resulta la FORMULA de GREGORY: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d Κ ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] Κ De lo que resulta la órmula de trapecos a la que se adcoa térmos de correccó e ucó de las tablas de derecas ates calculadas

24 METODOS COMBINADOS E alguas ocasoes resulta teresate combar alguos de los métodos aalzados aterormete para resolver satsactoramete alguos problemas. Supogamos dada () e u tervalo (a,b) Cerrado, sobre el cual se desea obteer la tegral de dca ucó. Supógase també que se dspoe de segmetos de recta. Ua opcó sera aplcar el método de Trapecos. No obstate debdo al eorme error por Trucameto resulta acosejable combar las reglas de Smpso de / /8 para atacar el problema. Así la regla de Smpso / sera aplcada a los dos eros segmetos ( putos ) metras que para los otros segmetos restates se recurre a la regla de Smpso /8. Así se obtee ua estmacó del error de tercer orde para todo el tervalo. METODOS COMBINADOS Ejercco: Aplcar esta dea para calcular la tegral de la ucó: () 8 6. sobre el tervalo (.,.) co segmetos sobre dco tervalo. Eectuar u aálss comparatvo aalzar el error aplcado dsttos métodos. Ejercco: Aplcar a u ej. practco ormulas de trapecos, Euler Mac Laur Gregor, comparar resultados etraer coclusoes.