Tema III. Distribuciones discretas y continuas Distribuciones discretas. Variables aleatorias discretas.

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1 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. Tema III Distribucioes discretas y cotiuas E este tema aalizaremos dos imortates temas de la iferecia estadística: las distribucioes discretas y las distribucioes cotiuas. Las distribucioes discretas so aquellas e las que la variable aleatoria uede ude tomar u úmero determiado de valores. or ejemlo, el úmero de trabajadores e cada uo de los deartametos de u cetro comercial o el úmero de automóviles esamblados or día e la lata Ford de Hermosillo. Las distribucioes cotiuas so aquellas que la variable aleatoria uede tomar u úmero ifiito de osibles valores. or ejemlo, el eso romedio de las bolsas de kg de café meicao ara eortació uede tomar ua ifiidad de valores e u itervalo 0.995kg, 0.996kg., 09965kg., kg., kg,,.00 kg,.005 kg,.00 kg., etc.. Como se mecioó e el tema II, ua tabla, gráfico o eresió matemática que dé las robabilidades co que ua variable aleatoria toma diferetes valores, se llama distribució de la variable aleatoria. La iferecia estadística se relacioa co las coclusioes que se uede sacar acerca de ua oblació de observacioes basádose e ua muestra de observacioes. Etoces iterviee las robabilidades e el roceso de la selecció de la muestra; e este caso se desea saber algo sobre ua distribució co base e ua muestra aleatoria de esa distribució. De tal maera vemos que trabajamos co muestras aleatorias de ua oblació que es más grade que la muestra obteida; tal muestra aleatoria aislada o es más que ua de muchas muestras diferetes que se habría odido obteer mediate el roceso de selecció. Este coceto es realmete imortate e estadística. 3.. Distribucioes discretas. Muchas cuestioes de robabilidad, de gra imortacia ara los geretes, comrede resultados aleatorios uméricos. or ejemlo, el úmero de asajeros que o hace uso de ua reservació e ua líea aérea es de suma imortacia al fijar las olíticas de la emresa e lo relativo a este asecto. El úmero de asajeros que o se reseta es aleatorio, varía de u vuelo a otro, como de u día a otro e el mismo vuelo. El úmero de asajeros que o toma el vuelo es ua variable umérica, y hablar del úmero romedio de asajeros que o se resetaro tiee u setido muy claro. El coceto de variable aleatoria es la idea cetral ara eteder los resultados uméricos aleatorios. Variables aleatorias discretas. ara defiir el coceto de variable aleatoria discreta, os basaremos e el siguiete roblema: Suoga que se laza dos dados sobre ua mesa y uestro objetivo es obteer la robabilidad de que la suma de los utos e los dados sea o 7. Si suoemos que todos los resultados observados al tirar los dados so equirobables tiee la misma osibilidad de salir etoces el esacio de muestra del eerimeto, co resultados osibles es 73

2 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. TABLA 3. ESACIO DE MUESTRA DEL LANZAMIENTO DE DOS DADOS. D a d o D a d o ,,, 3, 4, 5, 6,,, 3, 4,5, 6 3 3, 3, 3, 3 3, 4 3, 5 3, 6 4 4, 4, 4, 3 4, 4 4, 5 4, 6 5 5, 5, 5, 3 5, 4 5,5 5, 6 6 6, 6, 6, 3 6, 4 6, 5 6, 6 Como uestro iterés es la suma de los utos observados, si obteemos el resultado 4,3 le asigamos el valor 7, el cual corresode a la suma de 4 y 3. odemos calcular la robabilidad de que la suma sea igual a 7 cotado todos los resultados dode la suma es 7 y dividiedo este valor etre el úmero de casos osibles. El eveto de que la suma es 7 cotiee 6 resultados, 6,, 5, 3, 4, 4, 3, 5,, 6, or lo tato, la robabilidad de obteer la suma de 7 es 6 6. odemos reetir el roceso ara cada uo de los resultados y obteer la tabla siguiete: TABLA 3.. DISTRIBUCIÓN DE ROBABILIDAD DE LA SUMA OBSERVADA EN EL LANZAMIENTO DE DOS DADOS. Resultado robabilidad Hemos ecotrado la distribució de robabilidad de los valores osibles de la suma al lazar dos dados si D rereseta el resultado observado e el dado y D el resultado que se obtiee e el dado, odemos eresar el valor que os iteresa así: = D + D. Ates de lazar los dados, o se sabe qué valores se observará ara D y D, or lo tato tamoco se sabe el valor ara. El valor que tomará uede variar de tirada e tirada sujeto a la distribució esecificada e la tabla 3.. Así es ua variable, que asume u úmero fiito de valores sujeto a ua distribució de robabilidad. Este es u ejemlo de ua variable aleatoria discreta. Otros ejemlos so las variables D y D. E geeral, si S es u esacio de muestra co ua medida de robabilidad, se defie ua variable aleatoria como ua fució que asiga u úmero real a cada uo de los elemetos de S. Es decir, es ua fució cuyo domiio es el esacio de muestra S y su rago es el cojuto de los úmeros reales, e la otació usual : S. Así, or ejemlo = 7 se iterretará como el eveto de que se observó el resultado 7 al tirar los dos dados, esto es el eveto, 6,, 5, 3, 4, 4, 3, 5,, 6, ocurrió. or lo tato, vemos que = 7 =, 6,, 5, 3, 4, 4, 3, 5,, 6, = 6 6. Nótese que o obstate de que es ua fució, usualmete o se escribe el argumeto de la fució, es decir, si s es u elemeto del esacio de muestra S, e lugar de escribir s, sólo escribimos. Es comú deotar las variables aleatorias or letras mayúsculas y los valores que uede tomar or letras miúsculas. E este caso, la variable uede asumir u valor de etre u cojuto fiito de valores osibles. Cualquier variable que ueda tomar u úmero fiito de valores decimos que es ua variable aleatoria discreta. Tambié so variables aleatorias discretas aquellas que uede asumir u úmero muy grade o ifiito de valores que otecialmete odría ser cotados, tal como el úmero de latas de atú roducidas or la emresa Guayme, el úmero de clietes que ha comrado e las tiedas Mazo desde su aertura, el úmero de estrellas e el firmameto, el úmero de hojas e los árboles, el úmero de graos de area e Bahía de Kio etc. 74

3 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. Ejercicio 3.. Dé 6 ejemlos de variables aleatorias discretas. Idique cuáles uede tomar u úmero fiito de valores distitos y cuáles u úmero ifiito de valores. Ejercicio 3.. Dé 3 ejemlos de variables aleatorias que o sea discretas. E la tabla 3. observamos que a cada valor osible de, le asigamos u úmero corresodiete a su robabilidad. De esta forma odemos defiir otra fució: f, ara cada úmero e el camo de valores de la variable. Esta fució se llama fució de robabilidad o distribució de robabilidad de la variable. ara el ejemlo que estamos tratado de la suma e el lazamieto de dos dados, los valores de esta fució está dados e la tabla 3.3, la cual odemos rescribir utilizado los cocetos estudiados. TABLA 3.3. DISTRIBUCIÓN DE ROBABILIDAD DE LA SUMA OBSERVADA EN EL LANZAMIENTO DE DOS DADOS f Ejercicio 3.3. Eamie la tabla 3.3 y usa la defiició de f ara deducir alguas roiedades de esta fució. odemos observar que f uca adquiere u valor meor que cero. Esto se debe a que f rereseta ua robabilidad, la cual uca uede ser egativa. De igual maera f uca uede ser mayor que. Si sumamos todos los valores que uede tomar f obteemos, debido a que estamos sumado las robabilidades de que la variable aleatoria tome uo de los valores establecidos. or defiició, la fució de robabilidad tiee las siguietes características:. f 0 ara todo valor e el domiio.. f dode la sumatoria se etiede sobre todos los valores e el domiio de f. Ejercicio 3.4. Verifica que la fució domiio y su camo de valores. f es ua fució de robabilidad ara =,, 3, 4, 5. Idique su 5 Ejercicio 3.5. Cosidera el lazamieto de 4 moedas al aire. Defia la variable aleatoria Y como el úmero de sellos observados. Costruya la fució de robabilidad de Y. Ejercicio 3.6. Cosidera el lazamieto de dos dados al aire. Defia la variable aleatoria como la diferecia de los utos observados e los dados. Costruya la fució de robabilidad de. Los valores de la fució de robabilidad, ara el caso sumar los resultados al lazar dos dados, se uede reresetar e ua gráfica como lo muestra la Figura3.. 75

4 = Notas de Estadística Alicada a la Admiistració, Cotaduría, Iformática Admiistrativa I y Negocios y Comercio Iteracioales. Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de Valor observado de la variable Figura 3.. Histograma de robabilidad de. La robabilidad de observar u valor articular de la variable aleatoria, or ejemlo = 4 está dado or la altura de la 3 barra sobre el 4, es decir De maera similar, e lugar de asociar la altura de la barra 4 co la robabilidad, odemos ver que el área de la barra sobre el 4 es , ya que la altura de la 3 barra es de y su acho es. Utilizar el área de las barras ara reresetar la robabilidad es muy útil ara eteder la oció de robabilidad a otras variables. Ejercicio 3.7. Ecuetre las siguietes robabilidades: =, < 5, 6, 4.5 y = 7.3 ara el ejemlo aterior. odemos usar el histograma de robabilidad ara calcular robabilidades tal como 5. Vemos que 5.= = ó = 3 ó = 4 ó =5 = = + = 3 + = 4 + = 5, ya que los evetos dode =, = 3, = 4 y = 5 so disjutos o ajeos, se tiee que 5.= 3 4 0, que se obtiee sumado las áreas de las barras que está sobre el 5 y a su izquierda. Se debe ser muy cuidadoso co las desigualdades ya que 5.= 0 5 8, mietras que < 5 = 6 6. Si etedemos la idea de robabilidades acumulativas, odemos defiir otra fució artiedo de la distribució de robabilidad. Si es ua variable aleatoria discreta, defiimos la fució de distribució de o fució acumulativa de de la maera siguiete: F = = t f t ara Ejercicio 3.8. Calcule la fució de distribució acumulativa de la suma de los utos de dos dados. Ejercicio 3.9. Use las roiedades de la fució de robabilidad ara ecotrar alguas roiedades de la fució de distribució acumulativa. La tabla 3.4 reseta la fució de distribució acumulativa del resultado observado al tirar dos dados. 76

5 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. TABLA 3.4. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA DEL TOTAL OBSERVADO AL TIRAR DOS DADOS F De esa tabla odemos deducir alguas roiedades. or ejemlo, observamos que F4 F5, es decir si el valor e que se evalúa la fució es mayor, el valor de la fució tambié será mayor. Ejercicio 3.0. Esta roiedad es siemre cierta? Eamie que sucede co = 5, = 6 y co A esar de que el valor de la fució de la distribució acumulativa ara = 5.7 o está icluida etre los valores e la tabla, odemos utilizar la defiició ara obteerlo F =, así F5.7 = 5.7. Cuado escribimos esta última robabilidad os regutamos cuál es la robabilidad de observar que el total de utos de dos dados es meor o igual que 5.7? or la aturaleza del eerimeto, vemos que o es osible observar valores distitos a, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, or esta razó los resultados que uede observarse y que so meores o iguales a 5.7 so, 3, 4, 5, se tiee que, F5.7 = 5.7 = F5 = Esto demuestra que la roiedad que habíamos visto ates, e la que establecimos que si a y b so dos úmeros reales co a b etoces Fa Fb o siemre es cierta. La que si es cierta es que si teemos dos úmeros reales a y b, tal que a b etoces Fa Fb. or la defiició de robabilidad y or esta roiedad, vemos que el valor más grade que uede teer F es y el valor más equeño de esta fució es 0. Hagamos u resume de las roiedades ecotradas.. F- = 0. F = 3. Si a y b so úmeros reales a b, etoces Fa Fb. Esto sigifica, e el leguaje matemático, que F es ua fució o decreciete. 4. F es ua fució cotiua or la derecha: si a es u úmero real, etoces F F a a Figura 3.. Gráfica de la fució de distribució acumulativa del total de utos al tirar dos dados. 77

6 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. La gráfica de F arece ua escalera tal y como se muestra e la Figura3.. odemos observar la razó or la cual esta gráfica debe ser de esta maera si eamiamos los valores de la fució de distribució e u itervalo tal como [6, 7]. Vemos que F6 = 5 si escogemos u úmero mayor que 6, ero meor que 7, teemos que F = 5. Si embargo, 7 al evaluar la fució e = 7 vemos que F7 =, or esta razó la gráfica muestra u salto e ese uto. Tambié odemos otar que el tamaño del salto e = 6 os dice la robabilidad de = 7. ara valores de etre 6 y 7 si icluir el 7 teemos que F = 5, como habíamos visto y luego F7 =, así el tamaño del salto e = 6 es 5 6 = 7 = Este último valor es la robabilidad de que el total de utos e dos dados, sea igual a 7, es decir, Visto de otra maera, = 7 = 7 7. Esto es igual a 7 6 = 5 6. E geeral, el tamaño del salto de la fució de distribució e u valor articular, os da la robabilidad de que la variable aleatoria sea igual a ese valor. Ejercicio 3.. Utilice la fució de distribució ara ecotrar = Valor eserado de variables aleatorias discretas. Sea ua variable aleatoria co fució de robabilidad f, etoces el valor eserado de es E f. Ilustremos esta fórmula mediate dos ejemlos. Ejemlo 3.. Si es el úmero de utos obteidos al lazar u dado de seis caras, obteemos el valor eserado de la variable aleatoria Y. La fució de robabilidad de es f 6 si,, 3, 4, 5, 6. La fució de robabilidad de y, 4, 9,6, 5, así Y es etoces f y 6 si, E Y 6 E Y Ejemlo 3.. Si es ua variable aleatoria que tiee fució de robabilidad f 6 si, -, 0,,, 3 y Y. La fució de robabilidad de Y es f y 6 si y, 4 y f y 6 si y 0, 9. Etoces E Y Esta ecuació la odemos rescribir como:

7 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de Y E Y Y Y Y ó ó A través de estos ejemlos, e visualiza que o es ecesario calcular la fució de robabilidad de Y, sólo se tiee que usar la fució de robabilidad de y los valores obteidos al alicar la fució. g Y Esto es cierto aú e el caso e que la fució o es uo a uo. Esto coduce al teorema siguiete cuya rueba se omite. Nota. Todas las demostracioes de los teoremas se omitirá, or o estar detro de los itereses de este teto. Teorema 3.. Si es ua v. a. discreta y f es su fució de liealidad, g Y es ua fució a valores reales, es decir, Y es ua variable aleatoria, etoces su valor eserado es f g g E Y E. E articular se uede utilizar este teorema e el caso esecial e que la fució g es lieal, es decir, b a g Y dode., b a Así se obtiee b a b a b a E Y E. b ae b a Este resultado os lleva al siguiete teorema. Teorema 3.. Si a y b so costates reales y b a g es ua fució a valores reales, etoces. b ae b a E Corolario 3.. Si a es ua costate real, etoces. ae a E Corolario 3.. Si b es ua costate real, etoces. b b E Teorema 3.3. Si c c c,,, so costates reales, y,,,, g g g so fucioes reales de, etoces i i i i i i g E c g c E

8 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. Eiste casos eseciales de la fució g las cuales requiere más ateció. E uestro caso, os iteresa el comortamieto de E g cuado g r r ara r = 0,,, 3,.... La eresió E se cooce como el r r errésimo mometo de alrededor del orige de la variable aleatoria. Se tiee que E f. El rimer mometo E se cooce como la media oblacioal de la variable aleatoria y se idica usualmete or la letra griega se lee mu, E. Otros mometos os ermite describir la forma de la distribució de. El errésimo mometo de alrededor de la media es r r E f, ara r = 0,,,... El segudo mometo alrededor de la media es de gra iterés e estadística y se cooce como la variaza oblacioal de la variable. La variaza se deota a meudo mediate la letra griega sigma miúscula elevada al cuadrado: E E. E Su raíz cuadrada ositiva,, se cooce como la desviació estádar oblacioal de. Frecuetemete es más fácil calcular la variaza a artir del rimer y segudo mometo alrededor del orige. Teorema 3.4. Var E E E. Teorema 3.5. Si es ua variable aleatoria co variaza, etoces Var a b a Var a. La variaza es u valor muy útil ara estudiar la distribució de ua variable aleatoria. E articular, os ofrece iformació sobre la robabilidad de observar valores etremos de. Esta relació se establece e el siguiete teorema. Teorema 3.6. Teorema de Chebyshev. Si es ua variable aleatoria co variaza etoces ara cualquier costate ositiva k, se tiee que. k k y media, 3... Distribucioes discretas más comues. E el estudio de las variables aleatorias, or lo geeral os iteresa las robabilidades de que ueda tomar diversos valores osibles, es decir, sus distribucioes de robabilidad, e esta secció se mecioa las más imortates. 80

9 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. Distribució uiforme discreta. La variable aleatoria tiee ua distribució uiforme discreta si su fució de robabilidad está dada or f k f ara,,, k, i j, si i j. Dode, k k E i i y k k i i k Las alicacioes de las variables aleatorias distribuidas uiformemete se ecuetra e el desarrollo de las loterías y otras formas de juegos de azar; e la geeració de úmeros aleatorios ara eerimetos de igeiería o de simulació y e la evaluació de robabilidades revias de ua ersoa e relació co el resultado de algú eveto futuro ara la toma de decisioes. Ejemlo 3.0. La robabilidad de que e el lazamieto de u dado legal aarezca u 5 es 6 y, es la misma que la robabilidad de obteer u 3, o u 7, o u, etc. Ejercicio 3.. El úmero de roductos emaquetados or u trabajador e ua hora oscila etre 0 a 8 uidades y se iesa que está distribuidos uiformemete. Cuál es la robabilidad de que se emaquete etre y 5 roductos e ua hora determiada? Distribució Beroulli A esta distribució tambié se le cooce como biomial uto. Si ua variable aleatoria discreta sólo tiee dos valores osibles, como sucede or ejemlo e eerimetos e los que sólo eiste dos resultados osibles, fracaso o éito, se le asiga 0 a fracaso y a éito; si le llamamos a la robabilidad de éito, la robabilidad de fracaso es -, que geeralmete se le llama q, or lo que la desidad de es: f q, 0, Esta fució se uede resumir de la maera siguiete: = 0 de otro modo. f - - ara 0, Cualquier variable aleatoria discreta, cuya desidad se ajuste a esta atró, se dirá que se distribuye Beroulli, co arámetro, deotádose esto or: ~ Ber 8

10 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. Ejemlo 3... La robabilidad de que u resuto cliete elegido aleatoriamete realice ua comra es 0.0. or lo tato, la robabilidad de que el cliete elegido o realice la comra será de 0.0 = Distribució Biomial. La distribució biomial es ua distribució de robabilidad discreta, alicable cada vez que suoga que u roceso de muestreo coforma u roceso de Beroulli. U roceso de Beroulli es u roceso de muestreo e el cual: i Hay dos resultados osibles mutuamete ecluyetes e cada esayo u observació. Estos resultados obteidos se deomia éito y fracaso. ii La serie de esayos u observacioes costituye eveto ideedietes. iii La robabilidad de éito, desigada or, ermaece costate de esayo a esayo. Es decir, el roceso es estacioario E ua distribució Biomial, se realiza reeticioes ideedietes de u eerimeto de Beroulli. La variable rereseta el úmero de éitos obteidos e las reeticioes. Nos regutamos sobre la robabilidad de obteer éitos e las reeticioes, así, la fució de robabilidad es: C f k,,,,. y. Ejemlo 3.. Suoga que u lote de 300 fusibles eléctricos cotiee 5% defectuosos. Determie la robabilidad de que se ueda ecotrar al meos u fusible defectuoso e ua muestra de cico fusibles. Solució. Es ertiete suoer que, úmero de fusibles defectuosos observados, tega aroimadamete ua distribució biomial debido a que el lote es grade. Así 5 al meos uo defectuoso = 0 q obsérvese que eiste ua robabilidad bastate grade de obteer al meos uo defectuoso, auque la muestra sea relativamete equeña. 5 Ejercicio 3.3. Muchos jefes se da cueta de que alguas ersoas que cotrataro o so lo que retede ser. Detectar ersoas que solicita u trabajo y que falsifica la iformació e su solicitud ha geerado u uevo egocio: agecias ivestigadoras de atecedetes. Ua revista acioal, otificó sobre este roblema mecioado que ua agecia, e u eriodo de dos meses, ecotró que el 35% de los atecedetes eamiados había sido alterados. Suógase que usted ha cotratado la semaa asada a cico uevos emleados y que la robabilidad de que u emleado haya falsificado la iformació e su solicitud de trabajo es Cuál es la robabilidad de que al meos ua de las cico solicitudes haya sido falsificada? 8

11 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de Distribució Geométrica. Se efectúa tatas reeticioes ideedietes de u eerimeto de Beroulli como sea ecesarias ara obteer el rimer éito. Si la robabilidad de éito es, la de fracaso es -, etoces la fució de robabilidad de, el úmero de reeticioes hasta observar el rimer éito es:,,,, 3 f Su valor eserado es E y su variaza es igual a Y V. Ua variable aleatoria geométrica o tiee memoria, es decir: : m m Utilizado la defiició de robabilidad codicioal obteemos:. / /, m m m Ahora obteemos el deomiador: 0 Así teemos que m m m /,. m m Ejemlo 3.3. Suoga que la robabilidad de que u motor falle durate cualquier eriodo de ua hora es a Ecuetre la robabilidad de que dicho motor fucioe bie durate horas. b Halle la media y la desviació estádar de Y. Solució. a Sea el úmero de itervalos de ua hora hasta la rimera falla, etoces

12 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. de fucioar bie or dos horas = 3 y 3 y Como, de fucioar bie or dos horas = y3 = q b Se tiee que la media = E y su variaza es igual a V. Así que E 50, esto sigifica que se tedrá que eserar muchas horas hasta que ocurra la rimera falla. or oto lado, V,450, etoces la desviació estádar de Y es, Ejercicio 3.4. Se suoe que el 30% de los asirates ara cierto trabajo idustrial tiee u etreamieto avazado de rogramació comutacioal. Los asirates so etrevistados, uo tras otro, y so seleccioados al azar del cojuto de asirates. a Determie la robabilidad de que se ecuetre el rimer asirate co u etreamieto avazado e rogramació e la quita etrevista. b Cuál es el úmero eserado de asirates que hay que etrevistar ara ecotrar el rimer asirate co u etreamieto avazado e rogramació? Distribució Biomial Negativa. E esta distribució se hace tatas reeticioes ideedietes de u eerimeto de Beroulli como sea ecesarias ara obteer k éitos. Si la robabilidad de éito es, la de fracaso es - y la fució de robabilidad de Y, el úmero de reeticioes ecesarias hasta observar k éitos es: f, k C k k k, k, k, k, k k La media de es E y la variaza es V Y. 84

13 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. Ejemlo 3.4. U estudio geológico idica que u ozo eloratorio, erforado e ua regió articular, debería maar etróleo co ua robabilidad de 0.0. a Ecuetre la robabilidad de que el tercer ecuetro de etróleo ocurra e el quito ozo que se erfora. b Halle la media y la desviació estádar. Solució. a Sea Y el úmero de la rueba e la cual ocurre el tercer descubrimieto de etróleo, suoiedo erforacioes ideedietes co ua robabilidad de 0. de ecotrar etróleo e cualquier aso. Etoces es razoable suoer que Y tiee ua distribució biomial egativa co 0.. Así 4 3 Y k k k 3 b Como la media de Y es E Y y la variaza es V Y, se tiee que Esto idica que se esera erforar 5 ozos ates de que emae etróleo de alguo de ellos y 3 0. or lo que Ejercicio 3.5. Se alica aálisis a los obreros de ua emresa que fabrica material aislate, a fi de detectar la eistecia de asbesto e sus ulmoes. La fábrica tiee que madar tres obreros, co idicacioes ositivas de asbesto, a u cetro médico ara realizar más ruebas. Si el 40% de los trabajadores tiee idicacioes ositivas de asbesto e los ulmoes, a Ecuetre la robabilidad de que se tega que eamiar a diez oerarios ara ecotrar tres ositivos. b Si cada rueba cuesta 00 esos, obtega el valor eserado y la variaza del costo total de la realizació de las ruebas ecesarias ara localizar tres emleados ositivos. Distribució hiergeométrica. E esta distribució se tiee ua oblació fiita de N elemetos de los cuales k so de u tio digamos éitos y N - k so fracasos. Seleccioamos elemetos si reemlazo de la oblació de N. Nos iteresa la robabilidad de obteer éitos etre los elemetos seleccioados. La fució de robabilidad de Y, el úmero de éitos obteidos etre los elemetos seleccioados está dada or: k C C N C N k f, N, k, ara 0,,,, ; k, N k. La media de, o valor eserado es: k N k N N N k E y la variaza de es. N 85

14 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. Ejemlo 3.5. U roblema imortate que efreta los jefes de ersoal y otras ersoas ecargadas de la selecció de los mejores de u cojuto fiito de elemetos se describe mediate la situació siguiete. Se seleccioa 0 ersoas ara u trabajo de u gruo de 0 igeieros co doctorado. a Cuál es la robabilidad de que el gruo de los 0 igeieros seleccioados icluya a los cico mejores del gruo de 0? b Ecuetre la media y la variaza ara el gruo de los 0 igeieros. Solució. a ara este ejemlo N 0, 0 y k 5, es decir, hay solamete cico e el cojuto de los 5 mejores igeieros y osotros buscamos la robabilidad de que 5, siedo el úmero de los mejores etre los 0 seleccioados. Etoces , k b Dado que la media de Y es E y la variaza N k N k N, etoces N N 5 0 E Y.5 esto sigifica que e el gruo seleccioado de 0 igeieros, se esera que o 3 de ellos sea de ,500 los mejores. Como , etoces ,600 Ejercicio 3.6. U roducto idustrial articular se embarca e lotes de 50. La rueba ara determiar si el artículo es defectuoso es costosa y or lo tato el roductor seleccioa ua muestra de su roducció e lugar de usar u la de isecció al 00%. U royecto de muestreo elaborado ara miimizar el úmero de artículos defectuosos surtidos a los cosumidores eige u muestreo de 0 artículos de cada lote y el rechazo del lote si se ecuetra más de dos artículos defectuosos. E el caso de ser rechazados el lote, se rueba cada artículo de éste. Si u lote cotiee 6 artículos defectuosos, Cuál es la robabilidad de que sea rechazado? Cuál es el úmero eserado de defectuosos e la muestra de tamaño 0? Cuál es la variaza del úmero de defectuosos e la muestra de tamaño 0? Distribució de oisso. E esta distribució se observa evetos a través del tiemo o esacio co las siguietes roiedades; la robabilidad de observar u eveto e ua uidad de tiemo o esacio t es t ara algú 0. La robabilidad de observar dos o más evetos simultáeamete es muy equeña. A los rocesos que ocurre e u esectro cotiuo de tiemo y esacio se le deomia roceso de oisso; es similar al roceso de Beroulli visto e la secció 3..3 eceto que los evetos sucede e u esectro cotiuo e vez de ocurrir e esayos u observacioes fijas. U ejemlo de tal roceso es la llegada de ersoas a la cola de ua vetailla bacaria. Tal como e el roceso de Beroulli, se suoe que los evetos so ideedietes y que el roceso es estacioario. Sea la variable aleatoria que os dice el úmero de evetos observados e u itervalo de tiemo o de esacio de logitud t, etoces su fució de robabilidad viee dada or: 86

15 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. f e t t, t, = 0,,,... 0! La media de es E t y su variaza es t. E el caso articular cuado el eriodo de tiemo y esacio es t digamos mes, ua semaa, u metro, u kilómetro, etc se tiee que f e, = 0,,,... 0! La media de es E y su variaza es. Ejemlo 3.6. El romedio mesual de accidetes e ua fábrica resulta ser igual a 3. Durate el mes asado hubo 6 accidetes. Cosideraría este úmero demasiado alto muy oco robable si es todavía 3 e idicador de u aumeto e la media? Solució. El úmero de accidetes tedría osiblemete ua distribució de robabilidad de oisso co 3. La robabilidad de que sea de 6 es e! e! Así, Además, se tiee que 3, 3 y Ua regla emírica idica que hay que eserar que Y tome valores e el itervalo Obsérvese que co ua alta robabilidad.. El úmero de accidetes observado = 6, o se ecuetra a más de de, ero está cerca de la frotera. or lo tato, el resultado observado o es muy imrobable, ero uede teer la suficiete imrobabilidad ara justificar ua ivestigació. Ejercicio 3.7. E u almacé articular, los clietes llega al mostrador de caja de acuerdo a ua distribució de oisso co u romedio de 7 or hora. E ua hora determiada, Cuál es la robabilidad de que: a o llegue más de tres clietes? b Llegue al meos dos clietes? c Llegue eactamete 5 clietes? 87

16 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de Distribucioes cotiuas Surge esacios de muestra cotiuos siemre que se maeja catidades que se mide e escala cotiua or ejemlo cuado medimos la velocidad de fabricació de u roducto, el eso eto de u aquete de comida, la ureza de u roducto, la catidad de alcohol que cotiee ua bebida o el tiemo de duració de u artículo eléctrico. E casos como éstos eiste cotiuidades de osibilidades y e la ráctica lo que realmete iteresa so robabilidades asociadas co itervalos o regioes, o úmeros o utos idividuales de u esacio de muestra. or ejemlo odríamos desear coocer la robabilidad de que u tio dado de maquiaria emaque etre 500 y 600 roductos or hora o eactamete o que u aquete de comida cogelada ese más de 750 gramos o eactamete gramos E esta secció cooceremos las distribucioes de robabilidad de las variables cotiuas más comues así como sus fucioes de desidad las cuales so modelos teóricos ara la distribució de frecuecias de ua oblació de medicioes. Variables aleatorias cotiuas. El tio de variable aleatoria que toma cualquier valor e u itervalo se llama variable cotiua, or ejemlo, el tiemo de roducció de u roducto e u roceso de esamblaje y el tiemo de duració de ua lavadora. El itervalo sobre el cual se defie estas dos variables es la arte ositiva de la líea de los úmeros reales. Esto o sigifica que al observar suficietes lavadoras, se observaría e algú mometo cada úmero real ositivo como al meos u resultado. No obstate, lo imortate es que o uede descartarse algú úmero real como u osible resultado de ua observació de la durabilidad de ua lavadora. Forma de las distribucioes cotiuas. La distribució de robabilidad de ua variable aleatoria discreta siemre se uede obteer asigado ua robabilidad ositiva a cada uo de los osibles valores que uede tomar la variable. Naturalmete se tiee que estar seguro de que la suma de las robabilidades asigadas sea siemre igual a. Desafortuadamete, la distribució de robabilidad de ua variable aleatoria cotiua o uede establecerse de la misma maera. Es matemáticamete imosible asigar robabilidades diferetes de cero a todos los utos de u itervalo real y al mismo tiemo satisfacer el requisito de que la suma de robabilidades de los distitos valores osibles tiee que ser. or lo que se debe desarrollar u método diferete ara describir la distribució de robabilidad ara ua variable aleatoria cotiua. ara obteer ua defiició formal de ua variable aleatoria cotiua debemos defiir rimero ua fució de distribució o fució de distribució acumulativa. Defiició 3.. Sea Y cualquier variable aleatoria. La fució de distribució de Y, deotada or Fy está dada or Fy = Y y, ara y. La aturaleza de ua fució de distribució asociada a ua variable aleatoria se utiliza ara determiar si la variable aleatoria es cotiua o discreta. Las fucioes de distribució de variables aleatorias discretas siemre so fucioes escaloadas, uesto que la fució de distribució acumulativa solamete se icremeta e u cojuto umerable de utos. 88

17 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. Como la fució de distribució asociada a cualquier variable aleatoria se defie tal que F y Y y, es claro que e la ráctica Y F tiee que ser cero. Si se cosidera dos valores y y, etoces Y y Y. Es decir, F y F ; esto sigifica que la fució Fy es ua fució moótoa, o y y decreciete. Además, es claro que Y F. Estas tres características defie las roiedades de cualquier fució de distribució. Defiició 3.. Sea Y ua variable aleatoria co ua fució de distribució Fy. Se dice que Y es cotiua si Fy es cotiua, ara y. Defiició 3.3. Sea Fy la fució de distribució de ua variable cotiua Y. Etoces f y, dado or df y f y F y dy siemre y cuado eista la derivada, se deomia la fució de desidad de robabilidad ara la variable aleatoria Y. De las defiicioes 3. y 3.3 se deduce que Fy se uede escribir como F y y f t dt e dode f y es la fució de desidad de robabilidad y t se utiliza como la variable ara la itegració. La reresetació gráfica de esta relació etre la fució de distribució y la fució de desidad está dada e la figura 3.3. Como la fució Fy ara cualquier variable aleatoria tiee ciertas roiedades, tambié las fucioes de desidad tedrá alguas roiedades corresodietes. Como Fy es ua fució o decreciete, la derivada f y uca es egativa. Además, se sabe que F y or esto, que f t dt. f y F y0 y 0 y Figura

18 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. Valor eserado de variables aleatorias cotiuas. E esta secció veremos cómo se calcula las medias, las variazas y desviacioes estádar de las variables aleatorias cotiuas y de esta maera la obteció las medidas uméricas descritivas de sus fucioes de desidad. Defiició 3.4. El valor eserado de ua variable aleatoria cotiua es E Y yf y dy siemre que eista la itegral. La variaza y la desviació estádar odemos ecotrarla mediate la relació E V Y E Y Y 3... Distribucioes cotiuas más comues. Varias distribucioes de robabilidad cotiua esecíficas so alicables a ua gra variedad de variables cotiuas bajo circustacias desigadas. or lo tato se ha rearado tablas de robabilidad ara alguas de estas distribucioes cotiuas ara que el estadístico o se vea ivolucrado e la itegració de áreas bajo curvas de robabilidad. Las distribucioes de robabilidad cotiua esecíficas descritas e esta secció so las distribucioes de robabilidad más comues. Distribució uiforme. Sea y ua variable aleatoria cotiua cuya desidad sea ua costate detro de u itervalo a, b o imorta si es abierto o cerrado, etoces su fució desidad será: f y b a, a y b = 0 de otra maera Así, cualquier variable aleatoria cotiua y, cuya desidad se ajuste a este atró, se dirá que se distribuye uiforme, co arámetros a y b, deotádose esto: La media y la variaza viee dadas or las fórmulas Media Y ~ U a, b. a b y Variaza a b 90

19 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. Ejercicio 3.8. Ivestigue cómo so las gráficas de las distribucioes de robabilidad uiformes de ua variable aleatoria cotiua Ejemlo 3.7: el recio medio del kilo de aguacate durate el róimo año se estima que uede oscilar etre 0 y 5 esos. odría ser, or tato, de esos., o de.5 esos., o de.56 esos., o de.95 esos, etc. Hay ifiitas osibilidades, todas ellas co la misma robabilidad. Solució. Su fució de desidad, os ermite coocer la robabilidad que tiee cada uto del itervalo, e el ejemlo, b : es el etremo suerior del itervalo, 5 esos; a :es el etremo iferior del itervalo, 0 esos. or lo tato, la fució de distribució es: f y Es decir, que el valor fial esté etre 0 esos. y esos. tiee u 0% de robabilidad, que esté etre y, otro 0%, etc. El valor medio de esta distribució se calcula: E y a b E el ejemlo: 5 0 E y. 5 or lo tato, el recio medio eserado del aguacate ara el róimo año es de.5 esos. Ejercicio 3.9. El volume de reciitacioes estimado ara el róimo año e la ciudad de Hermosillo va a oscilar etre 40 y 50 litros or metro cuadrado. Calcular la fució de distribució y la reciitació media eserada: Distribució ormal. Sea y ua variable aleatoria cotiua co desidad: f y e y, y. Así, cualquier variable aleatoria cotiua y, cuya desidad se ajuste a este atró, se dirá que se distribuye ormal, co arámetros y, deotádose esto: Y ~ N,. La distribució ormal es muy imortate e la ivestigació, or eso coviee mecioar sus características: 9

20 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0.. Tiee forma de camaa. Es simétrica co resecto a la media 3. La media, la moda y la mediaa coicide 4. La - < y < + = La - < y < + = La - 3 < y < + 3 = Fue desarrollada or Carl F.Gauss Distribució ormal estádar. Sea y ua variable aleatoria cotiua tal que Y ~ N, y sea Z= -, etoces: Z ~ N0, De lo aterior deducimos que Z es u caso articular de la Distribució Normal. Nota: Cualquier variable que siga la distribució ormal se uede trasformar a ua Z; dada esta cualidad, esto ha traído como resultado que se uede efectuar comaracioes etre variables ormales, auque tega distitos arámetros. La Tabla I trae la itegral a la derecha ara cualquier valor de Z ositivo los egativos se evita, or la simetría, ya que la media de la distribució es cero. Ejemlo 3.9. Sea Z ua variable aleatoria ormal co media 0 y desviació estádar. Determiar a Z. b Z. c 0 Z. 73. Solució. a Se rocede hacia abajo e la rimera columa z e la Tabla I, y se lee el área frete al valor z =.0. Esta área, deotada or el símbolo Az, es Az =.0 = Etoces Z b E la arte a se determió que A = AZ =.0 = Como la fució de desidad es simétrica co resecto a la media, 0, teemos que A = A = 0.08 y se tiee etoces que c Obsérvese que 0 Z A Z A A e dode A.73 se obtiee al roceder hacia abajo e la columa z de la Tabla I hasta la hilera ".7" y desués se va a la arte suerior de la tabla hasta la columa marcada "0.03", e dode se lee A.73 = Etoces 0 Z

21 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. Ejemlo 3.0. Los resultados de u eame de admisió e u colegio de bachilleres de la localidad tiee ua distribució ormal co media 75 y desviació estádar 0. Qué fracció de resultados queda etre 80 y 90? Solució. z rereseta la distacia de la media de ua distribució ormal eresada e uidades de la desviació estádar. Así, y - z Etoces la fracció buscada de la oblació está dada or el área etre z 0. 5 y z Se tiee que A A0. 5 A Ejercicio 3... Utilice la Tabla I ara ecotrar las robabilidades siguietes ara ua variable aleatoria ormal estádar Z. a 0 Z. b 0. 9 Z 0 c 0. 3 Z. 56 d 0. Z 0. e. 56 Z 0. Ejercicio 3... Se observó durate u largo eriodo que la catidad semaal gastada e el mateimieto y e las rearacioes e cierta fabrica tiee aroimadamete ua distribució ormal co ua media de 4 mil esos y ua desviació estádar de 00 esos. Si el resuuesto ara la róima semaa es de 4 mil 500 esos, a Cuál es la robabilidad de que los costos reales sea mayores que la catidad resuuestada? b De cuáto tedría que ser el resuuesto ara rearacioes semaales y mateimieto, ara que la catidad resuuestada solamete se rebasara co ua robabilidad de 0.? Distribució logormal. Sea Y ua variable aleatoria cotiua, se dice que la variable tiee ua distribució log-ormal si l Y tiee ua distribució ormal. el símbolo l idica logaritmo atural.. E este caso Y o debe ser egativo. La ecuació de la fució de desidad logormal es f y l y e y, 0 e cualquier otro y 0 93

22 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. Así, cualquier variable aleatoria cotiua y, cuya desidad se ajuste a este atró, se dirá que se distribuye logaritmo ormal o simlemete logormal, co arámetros y, deotádose: Y ~ LN,. Ya que ly es ua fució moótoa de y, Y y ly ly ly E dode tiee ua distribució ormal co media y variaza La distribució logormal se usa co frecuecia e las ciecias biológicas y físicas como modelo de magitudes, de volume de eso, de diversas catidades, tales como artículas de carbó molido, cultivos, coloias de bacterias y aimales idividuales. Ejercicio 3.. Si Y tiee distribució log-ormal co 4 y, a Y 4 y b Y 8, ecuetre, Distribució gamma. Sea y ua variable aleatoria cotiua co desidad: y f y y e 0 y,, 0 e dode = 0 e cualquier otro uto. y y e dy. La catidad se cooce como la fució gamma. La itegració directa da que 0. La itegració or artes idica ara cualquier y que!, ara u úmero etero. Si o es u úmero etero, es imosible ecotrar la atiderivada del itegrado de la eresió c d y y e dy 0 c d y or lo tato es imosible ecotrar las áreas bajo la fució de desidad tio gamma mediate la itegració directa. ara estos casos, se hace ua aroimació mediate las sumas de robabilidades de oisso. Cualquier variable aleatoria cotiua y, cuya desidad se ajuste a este atró, se dirá que se distribuye gamma, co arámetros y, deotádose esto: y ~ G,. La media y la variaza viee dadas or las fórmulas: Media y Variaza 94

23 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. La fució de desidad Gamma ara el caso esecial se deomia fució de desidad eoecial y e muchas ocasioes es útil e los modelos de duració de comoetes eléctricos. Ejercicio 3.3. Ivestigue cómo so las graficas de las Distribucioes Gamma ara distitos valores de y. Ejemlo 3.. Los igresos auales de los jefes de familia e cierta secció de la ciudad de Hermosillo tiee aroimadamete ua distribució gamma co 000 y 5. Determie la media y la variaza de estos igresos. Eseraría ecotrar muchos igresos sueriores a $ 8,000 e esta área de la ciudad? Solució. La media de los igresos es, 0005 $ 5, 000, mietras que la variaza es,000 5 = $5,000. De la variaza se obtiee la desviació estádar igual a $58. or lo que la resuesta a la reguta es o, es decir, la robabilidad de ecotrar igresos sueriores a 8 mil esos e esta secció de Hermosillo es rácticamete ula. Ejercicio.3.4. El tiemo semaal Y e horas durate el que cierta máquia idustrial o fucioa, tiee aroimadamete ua distribució gamma co 3 y. La érdida, e esos ara la oeració idustrial debido a esta baja, está dada or L 300Y 0Y. Calcule el valor eserado y la variaza de L. Distribució Beta. Sea ua variable aleatoria cotiua co desidad f y y = 0 e cualquier otro uto.. y 0 y Cualquier variable aleatoria cotiua y, cuya desidad se ajusta a este atró, se dirá que se distribuye beta, co arámetros y, deotádose esto: y ~ B, NOTA: Si y ~ B, se uede demostrar que y ~ U 0,. La media y la variaza ara esta distribució viee dadas or las fórmulas E Y y V Y. Ejercicio 3.5. Ivestigue cómo so las graficas de las Distribucioes Beta. 95

24 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. Ejemlo 3.. U distribuidor mayorista de gasolia disoe de taques de almaceaje que cotiee ua catidad fija de gasolia y que llea cada lues. La roorció de esta reserva que se vede durate la semaa es de sumo iterés ara el distribuidor. Mediate observacioes durate muchas semaas se ecotró que se odría reresetar el modelo de esta roorció mediate ua distribució beta co 4 y. Ecotrar la robabilidad de que el mayorista veda al meos 90% de su reserva durate ua semaa dada. Solució. Sea Y la roorció vedida durate la semaa, etoces Y así, f y 4 y 4 3 = 0 e cualquier otro uto. y 0 y Y f y dy y y y y dy Este resultado idica que o es muy robable que como míimo se veda el 90% de la reserva e ua semaa dada. Ejercicio 3.6. Durate u turo de 8 horas, la roorció, Y, del tiemo que ua máquia de estamado e lámia metálica o está fucioado or mateimieto o rearació, tiee ua distribució beta co y. Es decir, y, f y 0, 0 y, e cualquier otro uto. El costo e miles de esos or tiemo de iactividad, debido a roducció erdida y costos de mateimieto y de searació, esta dado or C,000,000Y 40Y Halle la media y la variaza de C. Distribució t de Studet. Z Si T, dode Y ~ v etoces la desidad de y será: Y v 96

25 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. f y v v y v v Se ha demostrado que si se tiee ua variable ormal, y se toma ua muestra de tamaño v +, se calcula la media de la muestra y la S variaza de la muestra, etoces: y / y s s / tedrá ua desidad como la aterior, co v grados de libertad. Así, cualquier variable aleatoria cotiua y, cuya desidad se ajuste a este atró, se dirá que se distribuye t, co v grados de libertad, es decir, co arámetro v, deotádose esto: Y ~ tv La Tabla II trae los valores de y ara alguos valores usuales de f y dy y, ara alguos valores de. Ejercicio 3.7. Ivestigue cómo so las graficas de las Distribucioes t de Studet ara distitos gados de libertad. Ejemlo 3.3. La resistecia a la tesió ara cierto tio de alambre de úas se distribuye ormalmete co ua media descoocida y ua variaza descoocida. Se seleccioaro al azar 6 segmetos de alambre de u rollo grade y se midió Y i, la resistecia a la tesió ara el segmeto i, e dode i =,,..., 6. La media de la oblació y la variaza se uede estimar or Y y S, resectivamete. Ya que Y, Y uede ser estimada or S Obtega la robabilidad aroimada de que Y esté a lo más a de la verdadera media oblacioal. Solució. Se desea ecotrar S S Y Y S T e dode T tiee ua distribució t co - = 5 grados de libertad e este caso. Observado la tabla II, vemos que el área a la derecha de.05 es or lo tato, S. 97

26 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de T y la robabilidad de que Y esté detro de dos desviacioes estádar estimadas de será u oco meor que Obsérvese que si se coociera la robabilidad de que Y tome u valor que difiera a lo más e Y de estará dada or Y Y Z Distribució Ji cuadrada. Si ua variable aleatoria cotiua Y ~ G,, e dode es u etero ositivo, etoces se dice que se distribuye ji cuadrada co grados de libertad, deotádose esto: Y ~ la fució: La desidad ara este tio de variables viee dada or f e 0 La Tabla III trae los valores de y ara alguos valores usuales de y varios valores de. La distribució desemeña u ael imortate cuado se desea hacer ua iferecia co resecto a la variaza de la oblació basada e ua muestra aleatoria tiemo. U bue estimador de Y, Y, Y es la variaza de la muestra tomada de ua oblació ormal. esto se aalizará a su S Y i Y i El teorema siguiete os da la distribució de robabilidad ara ua fució del estadístico S. Teorema 3.. Sea Y, Y, Y ua muestra elegida al azar de ua variable aleatoria que sigue ua distribució ormal co media y variaza. Etoces ~ i Y i Y S 98

27 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. tiee ua distribució co grados de libertad. Y y S so variables aleatorias ideedietes. Teorema 3. Cochra. Sea,, ~ N variables aleatorias ideedietes. Etoces, N i ~, i i ~ i y i i so variables aleatorias ideedietes. Ejercicio 3.8. Ivestigue cómo so las graficas de las Distribucioes ara distitos grados de libertad. Ejemlo 3.4. Ua máquia embotelladora de refrescos uede regularse de tal maera que llee u romedio de ozas or botella. Se ha observado que las ozas del coteido que vacía la máquia embotelladora tiee ua distribució ormal co. Suógase que se desea obteer ua muestra aleatoria de 0 botellas y medir el coteido e cada botella. Si se utiliza estas 0 observacioes ara calcular de valores que icluyera a Solució. Observemos que S, odría ser útil esecificar u itervalo S co ua alta robabilidad. Ecotrar los úmeros b y b tales que b S b b S b S b b Ya que S, e cosecuecia S odemos utilizar la tabla III ara ecotrar los úmeros y a tiee ua distribució co grados de libertad. a tales que a S a u método ara hacerlo es ecotrar el valor a que limita u área de 0.05 de la cola derecha y u valor a que limita u área de 0.05 de la cola izquierda 0.95 de área a la derecha. Ya que hay 9 grados de libertad, la tabla III os da a y a Así debemos teer 99

28 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. O sea b b b 9 a a b b b b 0. 9 y b De dode se deduce que sise desea teer u itervalo que icluya a S co ua robabilidad de 0.90, uo de tales itervalos es 0.9,.880. Obsérvese que este itervalo es demasiado grade. Distribució F de Fisher. U Sea m, siedo U y V dos variables ji cuadrada co m y grados de libertad, resectivamete. Etoces la V desidad de será: f m m, 0 m = 0, de otra maera. m m m Así, cualquier variable aleatoria cotiua, cuya desidad se ajuste a este atró, se dirá que se distribuye F, co arámetros m y co m y grados de libertad deotádose esto: ~ Fm,. La fució de desidad ara variables aleatorias co la distribució F es u miembro de la familia de las distribucioes beta y es muy utilizada e las ruebas de Aálisis de Variaza ANDEVA. m Ejercicio 3.9. Ivestigue cómo es la grafica de la Distribució F de Fisher ara cualesquiera grados de libertad m y. Cosiderado uevamete las muestras aleatorias ideedietes de distribucioes ormales, sabemos que 00

29 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. tiee ua distribució F co U m V m S S m S S m grados de libertad del umerador y grados de libertad del deomiador. Ejemlo 3.5. Si tomamos dos muestras ideedietes de tamaño 6 y 0 de dos oblacioes ormales co la misma variaza oblacioal, ecuetre el úmero b tal que S S b 0.95 Solució. Como, 0 y las variazas oblacioales so iguales, etoces 6 S S S S tiee ua distribució F co 5 grados de libertad del umerador y m 9 grados de libertad del deomiador. Tambié S S b S S b or lo tato, se desea ecotrar el úmero b que limita u área a la derecha de 0.05 bajo la fució de desidad F co 5 grados de libertad del umerador y 9 grados de libertad del deomiador. Al buscar e la columa 5 y el regló 9 e la Tabla IV, vemos que el valor aroiado ara b es Obsérvese que aú cuado las variazas oblacioales so iguales, la robabilidad de que la razó de las variazas de las muestras eceda a 3.48 es aú de 0.05 suoiedo tamaños de muestras de, 0. 6 Si Y es ua variable aleatoria que tiee ua distribució F co grados de libertad del umerador y grados de libertad del deomiador, U tedrá ua distribució F co grados de libertad del umerador y grados de Y U libertad del deomiador. Además, U k. Use estos hechos ara resolver el Ejercicio U U k Ejercicio Sea S la variaza de la muestra de ua muestra aleatoria de 0 valores de lcl50 ara cobre y sea S la variaza de la muestra de ua muestra aleatoria de 8 valores de lcl50 ara lomo, habiedo utilizado e ambas muestras la misma esecie de eces. Suógase que la variaza oblacioal ara las medicioes co resecto al 0

30 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. cobre es el doble de la variaza oblacioal corresodiete ara las medicioes co resecto al lomo. Ecuetre dos úmeros a y b tales que suoiedo que S y S so ideedietes. S a S b

31 Dr. Fracisco Javier Taia Moreo. Marzo de 0. Tabla I. Area bajo la desidad de la distribució ormal estádar a la izquierda de Z. Z ~ N0, Z z z