Repaso de probabilidades y estadística. Introducción

Transcripción

1 Repaso de probabldades y estadístca Itroduccó El campo de la estadístca tee que ver co la recoplacó, aálss y uso de datos para tomar decsoes y resolver problemas. Cuado se recbe formacó e forma de datos es ecesaro obteer algua coclusó a partr de la formacó coteda e ellos. Las téccas estadístcas puede emplearse para descrbr y compreder la varabldad de los datos. La varabldad es el resultado de cambos e las codcoes bajo las que se hace las observacoes. Por ejemplo, la medcó obteda a partr de ua escala puede depeder del lugar del pael e que se coloque el objeto que se ha de medr. El muestreo també puede ser causa de varabldad. Por ejemplo, supógase que u lote de 5000 crcutos tegrados cotee exactamete 50 crcutos defectuosos. S se speccoa los 5000 dspostvos, y el proceso de speccó o tee error e la speccó o medcó, etoces se ecotrará 50 crcutos defectuosos. Pero supogamos que se seleccoa ua muestra de 00 dspostvos; es probable que alguo de los dspostvos e la muestra esté defectuoso. Se espera que la muestra cotega alrededor de u % de crcutos defectuosos (ya que el lote cotee 50/ = % de artículos defectuosos). Pero esta catdad puede ser 0%, % o 5% de crcutos defectuosos, depededo de los dspostvos específcos cotedos e la muestra. Por lo tato el proceso de muestreo troduce certa varabldad e los resultados observados e el setdo que la proporcó de udades defectuosas puede cambar de la proporcó real a éstas. El campo de la estadístca y la probabldad cosste e métodos tato para descrbr y modelar la varabldad, como para tomar decsoes e preseca de ésta. E la estadístca ferecal lo que se desea hacer es tomar ua decsó acerca de ua poblacó e partcular. El térmo poblacó se refere a la recoleccó de medcoes de todos los elemetos del uverso co respecto al cual se quere obteer coclusoes o tomar decsoes. Por ejemplo, la poblacó puede ser el lote de 5000 crcutos tegrados del ejemplo ateror. Supogamos que el fabrcate está teresado e la gaaca del trasstor de u crcuto e partcular de cada uo de los dspostvos. Los dsttos veles que puede teer la gaaca del trasstor puede cosderarse como la poblacó de terés. Por lo tato cada valor de la poblacó es ua medcó umérca, como 5.0 o 5.4; e este caso los datos so varables o datos umércos. Es posble que el fabrcate esté teresado e determar s el dspostvo produce o o ua gaaca que cumpla co algú requsto de dseño. E este caso la poblacó se cosdera formada por datos de atrbuto, e los que a cada dspostvo se le asga el valor de uo s la udad o satsface el requsto de dseño, y cero s cumple co él. E la mayoría de las aplcacoes de la estadístca, los datos dspobles cosste de ua muestra de la poblacó de terés. Esta muestra es u subcojuto de observacoes seleccoadas de ua poblacó. E el ejemplo de los crcutos tegrados, supogamos que la muestra está formada por cco dspostvos seleccoados de u lote de Las gaacas del trasstor observadas e estos dspostvos so 5.0, 5.4, 5.3, 5.9 y El terés puede cetrarse e cuestoes como: la formacó coteda e la muestra lleva a la coclusó de que la gaaca del trasstor es meor que 5.50?, o cuáta cofaza puede teerse e que la gaaca del trasstor se

2 ecuetre e el tervalo que va de 5.00 a 5.50?. Los métodos de la estadístca ferecal se emplea para dar respuesta a estas pregutas y a otras del msmo tpo. Los métodos para resumr y orgazar datos se deoma estadístca descrptva. La mayor parte del uso modero de la estadístca se drge más haca la fereca que a la descrpcó. Por ejemplo, u geero que dseña u uevo crcuto de computadora fabrcará ua muestra (prototpo) de ellos, y etoces querrá obteer coclusoes sobre la forma e que estos dspostvos fucoará ua vez que se produzca a gra escala. Ates de estudar las téccas de la estadístca ferecal, veremos los coceptos báscos de la probabldad. El coocmeto de este tema costtuye la base que permte compreder la forma e que se desarrolla las téccas de la fereca estadístca y la toma de decsoes, por qué fucoa, y cómo puede presetarse e terpretarse de maera correcta las coclusoes obtedas co estos procedmetos. La probabldad es el leguaje y la fudametacó matemátca de la estadístca ferecal. S se mde la correte que crcula por u alambre de cobre delgado, lo que se está hacedo es u expermeto. S embargo, al repetr la medcó durate varos días los resultados que se obtee so u poco dferetes debdo a pequeñas varacoes e las varables que o está cotroladas e el expermeto, como so los cambos e la temperatura ambete, lgeras varacoes e el strumeto de medcó y pequeñas mpurezas e la composcó químca del alambre e dsttas partes, además de las varacoes e la fuete de correte. E cosecueca, se dce que este expermeto (como muchos otros) tee u compoete aleatoro. E alguos casos las varacoes aleatoras observadas so ta pequeñas e relacó co las metas del expermeto, que puede gorarse. S embargo, la varacó cas sempre está presete y su magtud puede llegar a ser ta mportate a tal grado, que las coclusoes del expermeto sea o muy evdetes. S mportar co cuáto cudado se dseñe y se realce u expermeto, sempre se tedrá varacoes. Se quere compreder, cuatfcar y modelar el tpo de varacoes que a meudo se ecuetra e la práctca. Cuado se corpora la varacó e el aálss, sempre puede obteerse coclusoes fudametales de los resultados que o se valde por la varacó. Expermetos aleatoros La Teoría de Probabldades estuda los llamados expermetos aleatoros. Ejemplos cláscos de expermetos aleatoros so los juegos de azar: a) trar u dado y observar el úmero e la cara de arrba. b) trar ua moeda. c) lazar ua moeda cuatro veces y cotar el úmero total de caras obtedas. d) lazar ua moeda cuatro veces y observar la sucesó de caras y cecas obtedas. e) realzar ua medcó. Smbolzamos co a u expermeto aleatoro. U expermeto aleatoro tee las sguetes característcas:

3 -Se lo puede repetr bajo las msmas codcoes tatas veces como se desee. - No se puede predecr co exacttud el resultado de dcho expermeto, pero se puede decr cuáles so los posbles resultados del msmo. 3- A medda que el expermeto se repte, los resultados dvduales parece ocurrr e forma aparetemete caprchosa. Pero s el expermeto se repte u gra úmero de veces, y regstramos la proporcó de veces que ocurre u determado resultado, veremos que esa proporcó tede a establzarse e u valor determado a medda que aumeta el úmero de veces que se repte el expermeto. Por ejemplo, cosderemos el expermeto de lazar u dado y observar el úmero de la cara superor. Supogamos que tramos el dado N veces, y sea el úmero de veces que sale el úmero 5 e los N tros del dado. Etoces es la proporcó de veces que sale el úmero 5 e N los N tros. S el dado es ormal a medda que N aumeta, N tede a establzarse e u úmero que es /6. 4- El resultado está determado por factores que o se puede cotrolar aú coocdos los msmos. A veces sucede que u expermeto o es aleatoro estrctamete, pero resulta mucho más secllo estudarlo como s fuera aleatoro. Por ejemplo, s tramos ua moeda y observamos qué lado queda haca arrba, el resultado sería predecble coocedo e forma precsa las velocdades cales de traslacó y rotacó, y las elastcdades de los materales del pso y de la moeda. Pero la precsó co la que se ecesta coocer estos datos es cas mposble de obteer e la realdad, por lo que es más coveete tratar al expermeto como aleatoro. U expermeto aleatoro es aquel que proporcoa dferetes resultados au cuado se repta sempre de la msma maera. El cojuto de los posbles resultados de u expermeto aleatoro recbe el ombre de espaco muestral del expermeto. El espaco muestral se deota co la letra S. Por ejemplo, a) S : trar u dado y observar el úmero e la cara de arrba, etoces podemos tomar como espaco muestral a S,,3,4,5,6 b) S : trar ua moeda, etoces S c, s c) S : lazar ua moeda tres veces y cotar el úmero total de caras obtedas etoces podemos cosderar S 0,,,3 d) S : lazar ua moeda tres veces y observar la sucesó de caras y cecas obtedas, etoces S c, c, c;( c, c, s);( c, s, c);( s, c, c);( c, s, s);( s, s, c);( s, c, s);( s, s, s) e) S : trar u dado las veces ecesaras hasta que sale u 6 por prmera vez, y cotar el úmero de tros realzados, etoces S,,3,4,... N, dode N es el cojuto de los úmeros aturales. 3

4 f) S : medr el tempo de vda de ua lamparta eléctrca, etoces t R, t 0 S dode R es el cojuto de los úmeros reales. g) Las lecturas e las mras graduadas puede tomar cualquer valor detro del rago de la msma. h) Las lecturas e los lmbos o círculos graduados de los strumetos topográfcos. Observacoes: - La eleccó de S o es úca, depede de lo que se quera observar del expermeto aleatoro. - El espaco muestral puede ser u cojuto fto, o fto. A su vez s es fto puede ser fto umerable o o umerable. E e) el cojuto S es fto umerable, e f) el cojuto S es fto o umerable. Se llama eveto o suceso a todo subcojuto del espaco muestral. Por ejemplo, A pues A S. Podemos expresar al eveto A co palabras de la sguete maera A: sale u úmero par a) E el expermeto dado e el ejemplo a), u eveto de S sería,4,6 També,,3 B es u eveto al que podemos expresar verbalmete como B: sale u úmero meor o gual que 3 b) E el expermeto dado e el ejemplo d), u eveto de S sería C c, c, c;( c, c, s);( c, s, c);( s, c, c), el que e palabras se puede expresar como C: sale por lo meos dos caras c) E el expermeto dado e el ejemplo f), u eveto de S sería D: la lamparta D t R; t 00 dura más de 00 horas, e otacó de cojutos Iterpretacoes de la probabldad Es útl cuatfcar la posbldad de que se presete u resultado de u expermeto aleatoro. La probabldad de u resultado puede terpretarse como el valor límte de la proporcó de veces que el resultado aparece e N repetcoes del expermeto aleatoro, a medda que N crece s cota algua. Por ejemplo, s se asga ua probabldad de 0.5 al resultado ua lamparta dura más de 00 hs, esto pude terpretarse como ua mplcacó de que, s se mde el tempo de vda de muchas lampartas, (co las msmas característcas), aproxmadamete el 5% de ellas durará más de 00 hs. Este ejemplo proporcoa ua terpretacó de frecueca relatva para la probabldad. Dado u eveto A asocado a u expermeto aleatoro. Supogamos que se repte veces el expermeto, y aotamos al úmero de veces que ocurre A e la repetcoes de. Se A defe la frecueca relatva de A, y se smbolza f A, al cocete proporcó de veces que ocurre A e las repetcoes de. La frecueca relatva f tee las sguetes propedades: A A. Es decr que f A es la 4

5 - 0 f A - f A s y solo s A ocurre cada vez e las repetcoes 3- f 0 s y solo s A o ocurre uca e las repetcoes A 4- S A y B so dos evetos mutuamete excluyetes etoces f A B f A f B Las probabldades de u expermeto aleatoro a meudo se asga sobre la base de u modelo razoable del sstema que se estuda. U efoque es asgar las probabldades co base e el cocepto de resultados gualmete probables. Cada vez que u espaco muestral esté formado por posbles resultados gualmete probables, la probabldad de cada uo de ellos será /. A meudo es ecesaro asgar probabldades a evetos que está compuestos de varos resultados dvduales del msmo espaco muestral. Para u espaco muestral dscreto, la probabldad de u eveto E aotada P(E), puede defrse como la suma de las probabldades de los resultados de E. Idepedeca de evetos Dados dos evetos A y B, puede ocurrr que saber que A ocurró modfca la probabldad de ocurreca de B. Cuado ocurre que saber que A ocurró o modfca la probabldad de ocurreca de B se dce que A y B so evetos depedetes. Se puede probar que A y B so depedetes s y solos P( A B) P( A) P( B) Varables aleatoras E muchos casos es deseable asgar u valor umérco a cada resultado de u expermeto aleatoro. Esta asgacó se llama varable aleatora. Por ejemplo, supogamos que u geero eléctrco tee ses resstores e la mao. Tres de ellos tee etqueta de 0 Ω y los otros tres tee etqueta de 0 Ω. El geero quere coectar u resstor de 0 Ω y u resstor de 0Ω e sere, para crear ua ressteca de 30 Ω. Ahora supogamos que e efecto los tres resstores etquetados co 0 Ω tee las resstecas reales de 9, 0 y Ω y que los tres resstores etquetados co 0 Ω tee las resstecas reales de 9, 0 y Ω. El proceso para seleccoar u resstor de cada tpo es u expermeto cuyo espaco muestral costa de ueve resultados gualmete probables: resultado probabldad (9,9) /9 (9,0) /9 (9,) /9 5

6 (0,0) /9 (0,0) /9 (0,) /9 (,9) /9 (,0) /9 (,) /9 Ahora lo que es mportate para el geero de este expermeto es la suma de las dos resstecas, e vez de sus valores dvduales. Etoces se asga a cada resultado u úmero gual a la suma de las dos resstecas seleccoadas. Esta asgacó se represeta por la letra y se preseta e la sguete tabla resultado probabldad (9,9) 8 /9 (9,0) 9 /9 (9,) 30 /9 (0,0) 9 /9 (0,0) 30 /9 (0,) 3 /9 (,9) 30 /9 (,0) 3 /9 (,) 3 /9 La fucó que asga u valor umérco a cada resultado e el espaco muestral es ua varable aleatora. E topografía ua varable aleatora puede ser: la catdad de veces que etra el metro patró etre dos marcas fjas o o. Se acostumbra aotar a las varables aleatoras co letras mayúsculas. Las letras, Y y Z se usa co más frecueca. Se puede calcular las probabldades para las varables aleatoras de ua maera obva. E el ejemplo ateror, el eveto = 9 correspode co el eveto {(9,0), (0,9)} del espaco muestral. Por lo tato ( ),*( ) ( )+- Hacemos ua lsta de los valores posbles de la varable aleatora (v.a) y determamos la probabldad de cada uo de ellos: P( = x) 8 /9 9 /9 30 3/9 3 /9 3 /9 La tabla ateror cotee toda la formacó ecesara para calcular cualquer probabldad que cosdere a la v.a.. Es de destacar la smetría de la dstrbucó. El cojuto de valores posbles de ua v.a. se llama rago. 6

7 Las varables aleatoras se clasfca segú su rago. Sea es ua v.a. co rago R. S R es u cojuto fto o fto umerable etoces se dce que es ua v.a. dscreta. S R es u cojuto fto o umerable (por ejemplo todos los úmeros reales de u tervalo) etoces es ua v.a. cotua. Esta clasfcacó va más allá de la forma umérca que adopta sus resultados y se refere a la aturaleza del proceso. Los resultados umércos está sujetos a las posbldades del medo de captura de datos es decr la precsó de los strumetos y métodos empleados. E Topografía las observacoes so varables aleatoras cotuas. Varables aleatoras dscretas Sea ua v.a. dscreta..aotamos su rago como R x, x,, x fto de elemetos, y aotamos x, x, umerable. s el rago es u cojuto R s el rago es u cojuto fto A cada x se le asga u úmero p( x) P( x ). Estos úmeros debe satsfacer las codcoes sguetes a) ( x ) 0 para todo p b) p ( ) x La fucó p (x) que ates se defó, se llama fucó de probabldad o de frecueca de la v.a.. El cojuto de pares ( x, p( x )),,... es la dstrbucó de probabldad de. Por ejemplo -Se tra ua moeda ormal tres veces, sea la v.a. : úmero de caras obtedas R 0,,,3 Etoces Para hallar la dstrbucó de probabldad de supogamos que la probabldad de salr cara es 0.5 etoces P ( 0) P s, s, s 8 c, s, s; s, c, s; s, s, c P ( ) P c, c, s; s, c, c; c, s, c P ( ) P P ( 3) P c, c, c 8 Se puede presetar la dstrbucó de probabldad de e ua tabla de la sguete forma x 0 3 p(x) /8 3/8 3/8 /8 7

8 U gráfco de la dstrbucó de probabldad de sería. Observe su smetría. -Se tra u dado ormal. Sea : úmero que queda e la cara superor Etoces R,,3,4,5,6 La fucó de dstrbucó de es x p(x) /6 /6 /6 /6 /6 /6 A estas dstrbucoes se las deoma uformes ya que e todo su rago de ocurreca la probabldad es costate. Al error de lectura e los strumetos dgtales se los suele modelzar estadístcamete co esta dstrbucó de probabldades. Fucó de dstrbucó acumulada Sea ua v.a. co rago F.d.a de ) como E el caso de ser ua v.a. dscreta R. Se defe la fucó de dstrbucó acumulada de (abrevamos F ( x) P( x) x () F( x) P( x) x x p( x ) x Volvedo al ejemplo ateror, la F.d.a. de es 8

9 9 3 s 3 s 8 7 s 0 s 8 0 s 0 ) ( 3 s 3 s s s 8 0 s 0 ) ( x x x x x x F x x x x x x F La gráfca de la F.d.a. de es Observacó: la F.d.a. de es ua fucó escaloada, los putos de salto cocde co los putos del rago de, y la magtud del salto e x es gual a ) ( x P Esperaza de ua varable aleatora dscreta Ejemplos: - Sea la v.a. : úmero que queda e la cara de arrba al trar u dado ormal,,3,4,5,6 R Etoces 6 ) ( ) ( x x xp E 6) ( 6 5) ( 5 4) ( 4 3) ( 3 ) ( ) ( P P P P P P Sea ua v.a. dscreta co rago. La esperaza, valor medo o valor esperado de, lo aotamos, y se defe como La sumatora se hace sobre todos los posbles valores de Otra otacó usual es o

10 Se tra ua moeda ormal tres veces, sea la v.a. : úmero de caras obtedas Etoces R 0,,,3 Calculamos la esperaza de E ( ) xp( x) x0 Observacoes: - La esperaza de ua v.a. o tee que cocdr ecesaramete co algú valor del rago de la varable - E el ejemplo dode el rago es fto y equprobable, la esperaza de cocde co el promedo de los valores del rago de 3- Se puede terpretar a la esperaza de ua v.a. como u promedo pesado o poderado de los valores del rago de la varable, dode el peso de cada x es la probabldad P( x ) 4- Otra terpretacó que se puede hacer de la esperaza es la sguete: cosderemos el ejemplo, supogamos que tramos el dado muchas veces, N veces, y etoces obteemos ua secueca de N valores x, x,..., xn dode cada x es u úmero atural del al 6. Supogamos además que hacemos u promedo de esos N valores, y s llamamos al úmero de veces que sale el úmero teemos que x x... xn N N P( ) P( N N N )... 6 P( 6) E( ) Es decr s promedamos los N valores meddos de, ese promedo tede a E() cuado N, pues P( ) cuado N es grade. N Esta últma forma de ver la esperaza o valor esperado es la que adoptamos cuado promedamos dsttas observacoes. x x... x N x N Más adelate veremos más propedades del promedo. Esperaza de ua fucó A veces mporta hallar la esperaza de ua fucó de y o de msma. Veamos u ejemplo. U structor de escrtura técca ha solctado que certo reporte sea etregado a la semaa sguete, agregado la restrccó de que cualquer reporte que sobrepase las cuatro págas será rechazado. 0

11 Sea : úmero de págas del reporte de certo estudate seleccoado al azar Supogamos que tega la sguete dstrbucó de probabldad x 3 4 p(x) Supoga que el structor tarda mutos calfcado u trabajo que cosste e págas. Claramete es otra varable aleatora. Cuál será su esperaza?, es decr a qué es gual E? Para calcular la esperaza de ua v.a. se ecesta coocer su fucó de dstrbucó de probabldad, por lo tato habría que hallar prevamete la dstrbucó de probabldad de la v.a. Y. Está claro que s el rago de es R,,3,4 etoces el rago de Y será R Y,, 3, 4. Además P ( Y ) P( ) 0.0 P ( Y ) P( ) 0.9 P ( Y 3) P( 3) 0.35 P ( Y 4) P( 4) 0.45 Por lo tato E Y P( Y ) P( Y ) 3 P( Y 3) 4 P( Y P ( ) P( ) 3 P( 3) 4 P( 4).7849 O sea E( Y) xp( x) x Lo vsto e este ejemplo se puede geeralzar e el sguete 4) Teorema: S es ua v.a. dscreta co rago R y dstrbucó de probabldad p(x), etoces la esperaza de cualquer fucó h() es gual a Ejemplo: U egoco de computadoras ha comprado tres computadoras de certo tpo a $500 cada ua y las vederá a $000 cada ua. El fabrcate ha aceptado volver a comprar e $00 cualquer computadora que o se haya veddo e u tempo especfcado. Sea : úmero de computadoras veddas, y supogamos que la dstrbucó de probabldad de es x 0 3 p(x)

12 S cosderamos la v.a. Y: utldad obteda, etoces Y es ua fucó de, es decr Y h( ) Específcamete Y (3 ) La utldad esperada, es decr la E (Y ) será E ( Y) 3 800x 900 x0 P( x) P( 0) P( ) P( ) P( 3) ( 900) 0. ( 00) $700 Notar que aplcado propedades de la otacó se puede platear E ( Y) 3 800x 900P( x) 800 xp( x) 900 x0 3 x0 y calculado la esperaza de, se llega al msmo resultado 3 x0 P( x) 800E( ) 900 Propedades de la esperaza E el ejemplo ateror teemos que Y es ua fucó leal de, es decr úmeros reales. E este caso vale etoces la sguete propedad E( a b) ae( ) b La demostracó sgue los msmos pasos que e el ejemplo ateror Y a b co a y b E( a ax bp( x) a xp( x) bp( x) ae( b b) ) x x x E( ) Ejemplo: E el ejemplo ateror dode Y Drectamete calculamos E ( Y) 800E( ) 900 Y E ( ) E cosecueca E ( Y) 800E( )

13 Observacoes: - Para cualquer costate a, E( a ) ae( ) - Para cualquer costate b, E( b) E( ) b Ejemplo: S poseo el valor esperado de dos cotas, PfA y PfB el desvel esperado será E( PfB PfA) PfB PfA Varaza de ua varable aleatora La esperaza de ua v.a. mde dóde está cetrada la dstrbucó de probabldad. Pero supogamos el sguete ejemplo Sea e Y dos varables aleatoras co dstrbucoes dadas por x - p(x) y p(y) Es fácl verfcar que E ( ) E( Y) 0, pero los valores que toma la v.a. Y está más alejados de su esperaza que los valores de. Y Se busca ua medda que refleje este hecho, se defe etoces la varaza de ua v.a. Sea ua v.a. dscreta co rago R, fucó de dstrbucó de probabldad p(x) y esperaza E() μ, Etoces la varaza de, que aotamos V() σ o σ es La desvacó estádar de es σ V() 3

14 Observacoes: - La varaza de ua v.a. uca es egatva - La catdad h ( ) es el cuadrado de la desvacó de desde su meda, y la varaza de es la esperaza de la desvacó al cuadrado. S la mayor parte de la dstrbucó de probabldad está cerca de, etoces será relatvamete pequeña. S hay valores de la varable alejados de que tega alta probabldad, etoces será grade. 3- está expresado e las udades de medda de al cuadrado, metras que está expresada e las msmas udades de medda que. Ejemplo: E el caso de las varables aleatoras e Y ombradas aterormete, V ( ) y V ( Y) y 00 Otra forma de escrbr la varaza de ua v.a., que faclta los cálculos es V ( ) x p( x) x x p( x) x p( x) xp( x) xr xr xr ( ) E( ) E( ) E( ) E Por lo tato V ( ) E( ) Y xr xr p( x) Propedades de la varaza Las propedades de la varaza de ua v.a. so cosecueca de las propedades de la esperaza de ua v.a. S es ua v.a. dscreta co rago R y dstrbucó de probabldad p(x), etoces la varaza de cualquer fucó h() es gual a S h() es ua fucó leal, etoces Observacoes: - V( a ) a V( ) - V( b) V( ) Ejemplo: h( x) E( h( )) V ( h( )) p( x) xr V( a b) a V( ) y a b V( a b) a 4

15 E u ejemplo ateror dode : úmero de computadoras veddas y Y: utldad obteda, la V(Y) sería V( Y) 800 V( ) Necestamos calcular V() V ( ) E( ) Sabemos ya que E( ) Calculamos E ( ) E cosecueca V ( Y) 800 V( ) 800 E( ) Varables aleatoras dscretas mportates Dstrbucó bomal Sea u expermeto aleatoro. Sea A u eveto asocado a y aotamos P( A) p. Supogamos u expermeto aleatoro 0 que cumple los sguetes requstos: - se realza repetcoes depedetes de, dode se fja de atemao. - las repetcoes so détcas, y e cada repetcó de observamos s ocurre A o o ocurre A (cuado A ocurre se dce que se obtuvo u éxto, caso cotraro se obtuvo u fracaso ) 3- la probabldad de éxto es costate de ua repetcó a otra de, y es gual a p. Se dce etoces que 0 es u expermeto bomal Ejemplos: - Se tra ua moeda 4 veces e forma sucesva e depedete, y observamos e cada tro s sale cara o o sale cara. Etoces este es u expermeto bomal pues: sería el expermeto trar ua moeda A sería el eveto sale cara se repte e forma sucesva e depedete = 4 veces P( A) p es la msma e cada tro. - Se tee ua ura co 5 bolllas blacas y 5 verdes. Se extrae al azar co reemplazo tres bolllas y se observa s la bollla extraída es blaca. Etoces este es u expermeto bomal pues: sería el expermeto extraer al azar ua bollla de la ura A sería el eveto se extrae bollla blaca se repte e forma sucesva e depedete = 3 veces 5 3 P ( A) es la msma e cada extraccó. 0 4 El muestreo co reemplazo mplca que las codcoes bajo las que se realza el expermeto o se altera e cada repetcó. Es lo que debería suceder cuado realzamos uestras observacoes. 5

16 Los factores que determa los resultados,auque o cotrolables, debería estar presetes e cada medcó. Ua forma de ver el expermeto bomal es o e fucó de colores o fguras so de sgos co que ocurre u determado feómeo, por ejemplo la cocdeca de dos marcas o señales. E uestro caso los extremos de ua cta co el objeto a medr o cualquer stuacó smlar. La varable aleatora bomal y su dstrbucó E la mayoría de los expermetos bomales, teresa el úmero total de éxtos, más que saber exactamete cuáles repetcoes produjero los éxtos Sea la v.a. : úmero de éxtos e las repetcoes de Etoces se dce que es ua v.a. bomal Veamos cuál es la dstrbucó de probabldad de, para esto prmero tomamos u caso cocreto: el ejemplo ateror e el que se tra ua moeda 4 veces. Supogamos que la probabldad de cara es ¾ Aquí el rago de sería R 0,,,3,4 Para facltar la otacó escrbmos A :" sale cara e el ésmo tro",,3, 4 Por lo tato C C C C C C C C P ( 0) P A A A3 A4 P( A ) P( A ) P( A3 ) P( A4 ) por depedeca Para calcular la P ( ) pesamos que hay cuatro casos posbles e los que se puede obteer exactamete ua cara, que la cara salga e el º tro, o e el º o e el 3º o e el 4º tro. Notar que teemos cuatro casos y eso es gual a la catdad de formas e que podemos elegr etre los 4 4 4! tros uo de ellos e el cual sale cara, es decr teemos 4 casos dferetes.!3! P( P P ) C C C C C C C C C A A A3 A4 PA A A3 A4 PA A A3 A4 C C C A A A A Cada térmo es gual a 3 p( p) por lo tato P( ) 4p( p) 3 4 4! Aálogamete, para calcular P ( ) teemos 6!! exactamete dos caras, por lo tato casos e los que sale 4 P( ) P p C C C C A A A A PA A A A p ( ) Pesado de la msma forma los otros casos se llega a 6

17 7 ) ( 3 4 3) ( 3 p p P ; 4 4) ( p P E geeral co u argumeto aálogo teemos que R,,,, 0 y k -p) ( p k k P -k k 0,,,..., ) ( Notacó: dcamos que es ua v.a. bomal co parámetros y p co el símbolo ), ( ~ p B Dado que los úmeros ) ( k P correspode a la dstrbucó de ua v.a., automátcamete cumple que ) ( 0 k k P De todas formas se podría hacer ua verfcacó algebraca utlzado la fórmula del bomo de Newto ) ( ) ( 0 0 k k k k p p p p k k P Ejemplos: - E el ejemplo ateror e el que se tra ua moeda 4 veces, calcular la probabldad de obteer: a) exactamete ua cara b) al meos ua cara c) a lo sumo ua cara Solucó: a) teemos que la v.a. : úmero de caras obtedo es ) (4,0.5 B se pde ) ( 3 3 P b) la probabldad de obteer al meos ua cara es k k k k P P P P P ) ( 3) ( ) ( ) ( ) ( Pero más fácl es hacer ) ( ) ( P P c) la probabldad de obteer a lo sumo ua cara es

18 P ( ) P( 0) P( 4 ) Observacó: s ~ B(, p) para calcular P( k) e geeral se debe hacer P( k) k 0 P( ) P( 0) P( ) P( k) Notar que P( k) es la F.d.a. de evaluada e k, es decr F( k) P( k) Exste tablas de la fucó de dstrbucó acumulada de la bomal para dferetes valores de y p Cosultado estas tablas se puede obteer drectamete el resultado del cso c) buscado para =4 y p = 0.5 Además cosultado las tablas podemos evaluar P( k) hacedo P ( k) F( k) F( k ) k,,..., - Supogamos que el 0% de todos los ejemplares de u texto e partcular falla e ua prueba de ressteca a la ecuaderacó. Se seleccoa 5 ejemplares al azar. Sea la v.a. : úmero de ejemplares que falla e la prueba etre los 5 seleccoados a) cuál es la probabldad de que a lo sumo 8 falle e la prueba? b) cuál es la probabldad de que exactamete 8 falle e la prueba? c) cuál es la probabldad de que al meos 8 falle e la prueba? Solucó: a) Teemos que ~ B(5,0.) P( 8) 8 k0 P( k) F(8) por tabla de la F.d.a. b) P ( 8) F(8) F(7) por tabla de la F.d.a. c) P ( 8) P( 7) F(7) por tabla de la F.d.a. Observacoes: - S ~ B(, p) etoces la v.a. toma sólo dos valores 0 y co probabldades p y -p es decr podemos escrbr 8

19 s al ejecutar ocurre éxto P( ) P( A) p C 0 caso cotraro P( 0) P( A ) p E este caso se dce que tee dstrbucó de Beroull E el caso de ser ~ B(, p) se dce que se tee esayos de Beroull - A cotuacó se muestra cómo varía la forma de la dstrbucó a medda que p aumeta mateedo fjo e 5. Se grafca la dstrbucó de frecueca para p = 0.0; 0., 0.5, 0.7 y Observar que para p = 0.5 la dstrbucó de frecueca es smétrca. 0,8 p = 0,0 = 5 0,6 0,4 0, ,3 0,5 0, p = 0, = 5 0,5 0, 0, , 0,6 p = 0,5 = 5 0, 0,08 0,

20 0,4 0, 0,6 p = 0,7 = 5 0, 0,08 0, ,8 p = 0,995 = 5 0,6 0,4 0, Esperaza y varaza Más ejemplos de aplcacó de la dstrbucó Bomal ) S la probabldad de cometer determado error e ua medda es 0.5, cuál es la probabldad de que e 0 medcoes se obtega 8 que posea dcho error? =0 ; p=0,5 ; z= 8 P(z=8) =. / Iterpretacó: s estas 0 medcoes ( el trabajo) se realzara 00 veces, e promedo, 9 de esos cojutos tedría z=8. 0

21 ) Para el caso ateror cuál es la probabldad de que todas las medcoes tega ese error. P(z=0) =. / 3) Que gua tega ese error. P(z=0) =. / 4) S e u cojuto de medcoes la probabldad de o sobrepasar u determado error es del 5% calcular la probabldad de que cada 4 medcoes realzadas gua sobrepase dcho error. =4 ; p=0,5 ; z= 0 P(z=0) =. / Ejemplos de usos e agrmesura específcamete ) cotrolo dos ctas poédolas apareadas. Debería ecotrar tatas dferecas postvas como egatvas. Puedo evaluar la probabldad de ecotrar los r resultados ecotrados. La dea es que ua baja probabldad os permta sosteer que exste ua dfereca sstemátca etre ambas. També puede aplcarse a dos mras. ) tego ua red de allos de velacó. Debería teer tatos cerres postvos como egatvos. Sólo cueto la catdad de sgos postvos s fjarme e la magtud de los desvíos. Varables aleatoras cotuas E la seccó ateror se cosderaro varables aleatoras dscretas, o sea varables aleatoras cuyo rago es u cojuto fto o fto umerable. Pero hay varables aleatoras cuyo rago so todos los úmeros reales de u tervalo dado, (es decr es u cojuto fto o umerable). Ejemplos de varables cotuas podría ser : tempo que tarda e llegar u colectvo a ua parada Y: tempo de vda de u fusble Z: Desvel etre dos putos T: Dstaca etre dos putos Recordemos que las observacoes topográfcas y geodéscas se toma como varables aleatoras cotuas Como ahora los valores de ua v.a. cotua o so cotables o se puede hablar del -ésmo valor de la v.a. y por lo tato p x ) P( x ) perde su sgfcado. Lo que se hace es susttur la (, x fucó p (x) defda sólo para x,..., por ua fucó f (x) defda para todos los valores x del rago de. Por lo tato se da la sguete defcó de v.a. cotua.

22 Sea ua v.a. Decmos que es cotua s exste ua fucó o egatva f, defda sobre todos x,, tal que para cualquer cojuto B de úmeros reales los reales P ( B) f ( x) dx B O sea que la probabldad de que tome valores e B se obtee al tegrar la fucó f sobre el cojuto B. A la fucó f la llamamos fucó desdad de probabldad (f.d.p.). Observacoes: - Como debe tomar algú valor real, etoces debe cumplrse que P ( ) f ( x) dx - S B es el tervalo real a b x R; a x b, etoces P ( B) P( a b) f ( x) dx Notar que e este caso la probabldad de que tome valores e el tervalo a, b es el área bajo f etre a y b 3- S e la observacó ateror a b etoces a a P ( a) f ( x) dx 0 b a Es decr la probabldad que ua v.a. cotua tome algú valor fjado es cero. Por lo tato, para ua v.a. cotua P( a b) P( a b) P( a b) P( a b b) f ( x) dx a Fucó de dstrbucó acumulada Sea ua v.a. cotua. Se defe la fucó de dstrbucó acumulada de (abrevamos F.d.a de ) como F ( x) P( x) x

23 S tee f.d.p. f(x) etoces Además F( x) P( x) x f ( t) dt x b b P( a b) f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx F( b) F( a) a a Observacó: S es ua v.a. co f.d.p. f(x) y fucó de dstrbucó acumulada F (x) etoces x df( x) d f ( t) dt f ( x) dx dx dode F (x) sea dervable Es decr, se puede obteer la fucó de desdad de a partr de su F.d.a. El coocmeto de qué fucó de desdad descrbe el comportameto de las observacoes topográfcas os permtrá evaluar los ragos o tervalos de ocurrecas de las msmas co su correspodete probabldad. Del msmo modo co las coordeadas o cotas que se derve de aquellas. Esperaza de ua varable aleatora cotua Para ua v.a. dscreta la E ( ) se defó como la suma de los x p x ). S es ua v.a. cotua co f.d.p. f(x), se defe E ( ) susttuyedo la sumatora por tegracó y p x ) por f(x). ( ( La esperaza de ua v.a. cotua co f.d.p. f(x) se defe como A meudo se desea calcular la esperaza de ua fucó de, Y = h(), esto se puede hacer hallado prevamete la desdad de Y y luego calcular E(Y) aplcado la defcó ateror. Otra forma de calcular E(Y) s hallar la desdad de Y está dada por el sguete 3

24 Teorema: S es ua v.a. cotua co f.d.p. f(x) y h() es cualquer fucó de, etoces De la msma forma que e el caso dscreto, s h( x) ax b, es decr s h es ua fucó leal, aplcado las propedades de lealdad de la tegral teemos E( a b) ae( ) b Varaza de ua varable aleatora cotua Sea ua v.a. cotua co f.d.p. f(x) y sea E() μ, etoces la varaza de es La terpretacó de la varaza de ua v.a. cotua es la msma que para el caso dscreto. Además sgue valedo la gualdad V ( ) E Pues e la demostracó hecha para el caso dscreto s susttuye las sumatoras por tegrales. Por la msma razó, també vale que V( a b) a V( ) y ab a Varables aleatoras cotuas mportates Dstrbucó ormal o gaussaa Sea ua v.a. Decmos que tee dstrbucó ormal co parámetros y s su f.d.p. es de la forma 4

25 f ( x) e x x Dode R y 0 Notacó: ~ N, Para darse ua dea de la forma de la gráfca otar que: - f (x) es smétrca alrededor de, es decr f ( x) f ( x) para todo x - lm f ( x) 0 (eje x asítota horzotal) x d 3- S plateamos f ( x) 0 dx x. Se pude verfcar que e x la fucó tee u máxmo absoluto, f ( ) d 4- S plateamos f ( x) 0 x. Se puede verfcar que e x y e dx x la fucó tee dos putos de flexó, y además e el tervalo, la fucó es cócava haca abajo y fuera de ese tervalo es cócava haca arrba La gráfca de f (x) tee forma de campaa Observacó: Cuado varía la gráfca de la fucó se traslada, es u parámetro de poscó. Cuado aumeta, la gráfca se achata, cuado dsmuye la gráfca se hace más putaguda, se dce que es u parámetro de escala o dspersó. E las sguetes fguras vemos cómo varía la gráfca de f(x) co la varacó de los parámetros 5

26 Se puede probar que f(x) es ua f.d.p. es decr que a) f ( x) 0 para todo x b) f ( x) dx Que a) es certa se ve e la gráfca; para probar b) es ecesaro recurrr al cálculo e dos varables (o lo demostramos). S 0 y etoces se dce que tee dstrbucó ormal estádar. Se aota ~ N0, E este caso la f.d.p. se smbolza co (x), es decr 6

27 ( x) e x x E este caso la gráfca de la desdad es smétrca co respecto al orge. La F.d.a. de ua v.a. ormal estádar se aota (x) ( x) P( x) x e t dt Esta tegral o puede expresarse e térmos de fucoes elemetales, por lo tato se calcula (x) para valores específcos de x medate ua aproxmacó umérca. Esto ya está hecho, exste tablas de la fucó de dstrbucó acumulada de la ormal estádar para valores de x que oscla e geeral etre -4 y 4, pues para valores de x meores que -4, ( x ) 0, y para valores de x mayores que 4, ( x ) Notar que como la (x) es smétrca co respecto al orge etoces ( x) P( x) P( x) P( x) ( x) Por ejemplo, s ~ N0, a) P (.6) (.6) x 0 x etoces utlzado la tabla de la F.d.a. de b) P (.6) P(.6) (.6) c) P (.37) P(.37) (.37) d) P ( ) P( 0.37) P(.5) (0.37) (.5) (.5) ( ) ( 0.37) e) Para qué valor x se cumple que P ( x x) 0. 95? Teemos que P ( x x) ( x) ( x) ( x) ( ( x)) ( x) 0.90 Por lo tato ( x ) 0.95 ( x)

28 Observamos e la tabla de la F.d.a. que x. 96, pues (.96) Para los csos a), b) y c) se grafca las regoes correspodetes a) b).6.6 c) Ua propedad mportate de la dstrbucó ormal es que s ~ N, etoces la v.a. Y a b co a y b úmeros reales, a 0, tee també dstrbucó ormal pero co parámetros a b y a, es decr ~ N, a b ~ N(a b, a ) () Ua cosecueca mportate del resultado ateror es que s ~ N(, ) etoces Y ~ N(0,) () Notar que Y se pude escrbr como Y es decr claramete Y es ua fucó leal de Por lo tato aplcamos el resultado () co a y b y llegamos a (). 8

29 S ~ N, etoces la F.d.a. de es F( x) P( x) x e t F(x) o puede expresarse e térmos de fucoes elemetales y sólo hay tablas de la F.d.a. de la ormal estádar. Para calcular F(x) procedemos de la sguete forma dt F ( x) P( x) P x PY x x Y ~ N 0, Ejemplos: - S ~ N3,9 etoces a) P ( 5) P b) P ( 0) P ( ) () c) P 3 6 P 3 6 P P () Hay dos veles máquas para cortar corchos destados para usarse e botellas de vo. La prmera produce corchos co dámetros que está ormalmete dstrbudos co meda de 3 cm y desvacó estádar de 0. cm. La seguda máqua produce corchos co dámetros que tee ua dstrbucó ormal co meda de 3.04 cm y desvacó estádar de 0.0 cm. Los corchos aceptables tee dámetros etre.9 cm y 3. cm. Cuál máqua tee más probabldad de producr u corcho aceptable? Solucó: Sea las varables aleatoras : dámetro de u corcho producdo por la máqua Y: dámetro de u corcho producdo por la máqua Etoces ~ N3,0. y Y ~ N3.04,0.0 9

30 Calculamos cuál es la probabldad que la máqua produzca u corcho aceptable P(.9 3.) P () ( ) () Aálogamete para la máqua Y P(.9 Y 3.) P (3) ( 7) Etoces es más probable que la máqua produzca corchos aceptables. 3- Supógase que la ressteca a romperse (e Kgr) de fbras de yute está descrta por ua v.a. cotua ormalmete dstrbuda co μ E 65 Kgr y σ V 9 (Kgr). supoedo además que ua muestra de esta fbra se cosdera defectuosa s 6. Cuál es la probabldad de que ua fbra elegda al azar sea defectuosa? Solucó: Deseamos coocer P P puesto que Z N 0,. Etoces 3 P 6. De la tabla teemos Es decr P P P Observacó: Uo puede pesar e objetar el usar ua dstrbucó ormal estádar para descrbr a la v.a. que represeta la ressteca a romperse de la fbra ya que ésta es, obvamete, ua catdad o egatva, metras que ua v.a. ormalmete dstrbuda puede tomar valores que varía etre y. S embargo al modelar el problema co ua ormal estádar (que aparetemete debería ser valdada como modelo por lo señalado) vemos que les estamos asgado al suceso 0 ua probabldad práctcamete ula (ver també la fgura sguete): P 0 P , 30

31 ,5 f(x),0 0, = x [Kgr] Vemos que el feómeo estudado se modela estadístcamete medate ua ecuacó del tpo F( x) P( x) x e t dt Pero luego, para su resolucó realzamos el cambo de varable que coduce a la dstrbucó estadarzada ( x) P( x) x e t dt E casos como estos se justfca usar la dstrbucó ormal para modelar stuacoes e que la varable aleatora cosderada puede tomar, por su sgfcado, sólo valores postvos, aú cuado la ormal permta tomar valores tato postvos como egatvos por cuato la probabldad de que la v.a. tome valores egatvos es práctcamete ula. La dstrbucó ormal explca cómo se dstrbuye la ocurreca de u feómeo determado e toro a u valor más probable o cetral más allá de los valores e sí msmos. Esperaza y varaza de ua varable aleatora co dstrbucó ormal Sea etoces y Dstrbucoes de probabldad cojuta Aterormete se estudaro dstrbucoes de probabldad para ua sola varable aleatora. S embargo, a meudo es útl defr e u expermeto aleatoro más de ua varable aleatora. Por ejemplo, e la clasfcacó de señales trasmtdas y recbdas, cada ua de ellas puede clasfcarse como de baja, meda o alta caldad. Icluso puede defrse ua v.a. gual al úmero de señales de alta caldad recbdas, y otra v.a. Y gual al úmero de señales de baja caldad recbdas. E otro ejemplo, la v.a. cotua puede deotar la logtud de ua peza moldeada por yeccó, y la v.a. cotua Y puede ser el acho de la peza. Por ejemplo, s las especfcacoes 3

32 para e Y so (.95 a 3.05) y (7.60 a 7.80) mlímetros, respectvamete, etoces se puede teer terés e la probabldad de que ua peza cumpla co ambas especfcacoes, o sea P(.95 < < 3.05 y 7.60 < Y < 7.80). E geeral s e Y so dos varables aleatoras dscretas, la dstrbucó de probabldad que defe el comportameto smultáeo de éstas se cooce como dstrbucó de probabldad cojuta, que se aota p(x,y). E el caso cotuo se tee la fucó de desdad cojuta que se aota f(x,y). Idepedeca E alguos expermetos aleatoros, el coocmeto de los valores de o camba gua de las probabldades asocadas co los valores de Y. Se dce etoces que las varables e Y so depedetes. Por ejemplo dos muestreos co reposcó posee esa cualdad. E topografía asummos que las dsttas observacoes ( expermetos aleatoros) so depedetes. Luego veremos que los valores calculados a partr de ellas, o lo será. Nos refermos a desveles y cotas. Covaraza y correlacó Cuado se defe dos o más varables aleatoras e u espaco de probabldad, es útl descrbr la forma e que varía jutas; esto es, resulta útl teer ua medda de la relacó que exste etre las varables. Ua medda comú de la relacó que exste etre dos varables aleatoras es la covaraza. La covaraza etre las varables aleatoras e Y deotada por cov(,y) o σ Y es cov( Y) E,( μ )(Y μ Y )- E(Y) μ μ Y La covaraza está defda por la msma expresó para varables aleatoras dscretas o cotuas. S e Y so varables aleatoras depedetes, etoces. Este parámetro de dspersó cojuta será tedo e cueta al preparar las observacoes para el ajuste de la red e lo que llamaremos el modelado estadístco del trabajo. Coefcete de correlacó leal. E realdad más que la covaraza aquí os teresa cosderar ua catdad relacoada co y que segú veremos os dará formacó sobre el grado de asocacó que exste etre e Y. Más cocretamete os cotará s exste algú grado de relacó leal etre e Y. Esa catdad es el coefcete de correlacó leal. 3 σ Y

33 E el msmo setdo e que podemos teer ua dea aproxmada sobre la probabldad de u suceso A s repetmos el expermeto y cosderamos las ocurrecas de A e las repetcoes, así podemos teer també ua prmera dea sobre la exsteca de ua relacó fucoal, específcamete ua relacó leal, etre e Y s cosderamos u dagrama de dspersó. Cosste e dbujar pares de valores x, y j meddos de la varable aleatora,y e u sstema de coordeadas. E la fgura mostramos dversas stuacoes posbles. y y y (x y ) 0 x 0 x a b c x De la fgura a se deducría que etre e Y o hay gú tpo de relacó fucoal. La fgura b sugere la posbldad de que exsta ua relacó fucoal que correspode a ua parábola. La fgura c, por su parte, sugere ua relacó leal etre e Y. Este últmo es el comportameto que os teresa caracterzar. Co ese f defmos el coefcete de correlacó leal como sgue: Sea ua varable aleatora bdmesoal. Defmos el coefcete de correlacó leal etre e Y como E cosecueca: ρ Y E.Y EY V V. Y Y. E.E Y V V. Y E E. Daremos ua sere de propedades de sgfcado. ρ Y que os permtrá establecer más cocretamete su 33

34 Propedad S e Y so varables aleatoras depedetes etoces. Propedad : Propedad 3 : S, etoces co probabldad es dode a y b so costates. Propedad 4 : S e Y so dos varables aleatoras tales que Y = a + b, dode a y b so costates, etoces. S es y s es. La extesó de ua dstrbucó ormal a dos varables aleatoras da orge a la mportate dstrbucó de probabldad bdmesoal ( o bvarada ). Dstrbucó ormal bvarada La fucó de desdad de probabldad de ua dstrbucó ormal bvarada es ( ), ( ) (. / ( )( ). / ) para y parámetros 34

35 La gráfca de la fucó de desdad tee el sguete aspecto: ) ) Puede demostrarse los sguetes resultados: S e Y tee dstrbucó ormal bvarada co parámetros μ μ Y σ σ Y ρ etoces ~N(μ σ ) y Y~N(μ Y σ Y ) S e Y tee dstrbucó ormal bvarada co parámetros μ μ Y σ σ Y ρ etoces la correlacó etre e Y es ρ 35

36 S e Y tee dstrbucó ormal bvarada co parámetros μ μ Y σ σ Y ρ y ρ = 0 etoces e Y so depedetes E alguos casos, se tee defdas más de dos varables aleatoras e u expermeto aleatoro. Por ejemplo, supogamos que, e uo de los ejemplos aterores, la caldad de cada bt recbdo se clasfca e cuatro clases: excelete, buea, aceptable o pobre aotadas respectvamete E, B, A y P. Cosderamos las varables aleatoras,, 3 y 4 que dca el úmero de bts que so E, B, A y P respectvamete, e ua trasmsó de 0 bts. Aquí el terés está e la dstrbucó cojuta de cuatro varables aleatoras. La dstrbucó de probabldad cojuta estará especfcada por ua fucó de cuatro varables p(x,x, x 3, x 4 ) = P( = x, = x, 3 = x 3, 4 = x 4 ). Dado que cada uo de los 0 bts clasfcados cae e ua de las cuatro clases, sólo los valores de x,x, x 3 y x 4 que suma 0 recbe ua probabldad postva. E geeral s,,, so varables aleatoras dscretas etoces se tedrá ua fucó de dstrbucó cojuta especfcada por ua fucó de varables p(x,x, x 3,, x ) E el caso de ser las varables aleatoras cotuas, se tedrá ua fucó de desdad de probabldad cojuta f(x,x, x 3,, x ). La ocó de depedeca se geeralza al caso de más de dos varables aleatoras. E el caso de las redes altmétrcas os ecotraremos co u vector de observacoes co los desveles que tegre la red. Cada desvel estará acompañado por ua varaza estmada segú la caldad del strumetal o método empleado. Como se djo ates se supodrá que la determacó de u desvel e ada afecta a los demás. S es ua v.a. -dmesoal = (,,, ) su esperaza es la matrz Y su matrz de varazas-covarazas es E() = [E( ), E( ),,E( )] ( ) ( ) co { ( ) ( ) Para uestro caso las matrces de varaza covaraza de las observacoes será matrces dagoales co los térmos ( ) La matrz de varazas-covarazas puede expresarse como 36

37 o como ( ),( ( )) ( ( ))- ( ), - ( ( )) ( ) Alguas propedades de terés: ) S Y = A+ B dode A y B so dos matrces de costates de dmesó y respectvamete etoces E(Y) = E() A + B y V(Y) = A T. V(). A ) V() es ua matrz smétrca y semdefda postva, sedo defda postva s y solo s o exste gua combacó leal etre las varables,,, 3) E el caso partcular de ser A ua matrz columa de ( ) etoces, es decr Y es ua varable aleatora combacó leal de las varables,,, Por lo tato ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y V(Y) = A T. V(). A = ( ) ( ) ( ) S las varables so depedetes etoces ( ) por lo tato V(Y) = ( ) Dstrbuco ormal -dmesoal La v.a. -dmesoal = (,,, ) sgue ua dstrbucó ormal -dmesoal de parámetros ( ) y ( ), matrz smétrca y defda postva, s su fucó de desdad es ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] para. Se aota ~ ( ) 37

38 S es ua matrz fla de ceros y es la matrz detdad, resulta la dstrbucó ormal - dmesoal estádar, ~ ( ), que es la dstrbucó cojuta de varables,,, ormales estádar e depedetes. Las varables ~ ( ) y ~ ( ) se relacoa co la expresó Y = A + µ, dode A es ua matrz cuadrada de orde o sgular tal que Además ( ) y ( ) Alguos resultados mportates: ) S es ua v.a. ormal -dmesoal, la v.a. formada por cualquer subcojuto de k varables de las cales, sgue ua dstrbucó ormal k-dmesoal. E partcular, cada ua de sus compoetes es ormal udmesoal. ) S,,, so varables aleatoras tales que ~ ( ) y además so depedetes etoces = (,,, ) sgue ua dstrbucó ormal -dmesoal de parámetros ( ) y ( ). 3) S,,, so varables aleatoras depedetes, etoces está correlacoadas, o cumplédose, e geeral, el resultado recíproco. Pero para varables ormales -dmesoales, ambos coceptos so equvaletes. Es decr, las compoetes de la v.a. ormal -dmesoal,,,, so depedetes s y solo s está correlacoadas. 4) Sea ua v.a. -dmesoal, co esperaza y matrz de varazas-covarazas smétrca y defda postva. La v.a. sgue ua dstrbucó ormal -dmesoal s y solo s cualquer combacó leal de sus compoetes sgue ua dstrbucó ormal udmesoal. E partcular se tee el mportate resultado: S so varables aleatoras depedetes dode para todo etoces la v.a., llamada promedo muestral, tee dstrbucó ormal co meda y varaza 38

39 Aplcacó. Propagacó de errores La medcó es fudametal e el trabajo de vestgacó y de produccó. Frecuetemete se realza cálculos co catdades meddas. Por ejemplo al calcular el área de u rectágulo se multplca su logtud y acho. Cualquer procedmeto de medcó tee errores, també llamados certdumbres, por cosguete, e geeral los valores meddos so algo dferetes de los valores reales. Cuado se realza u cálculo co medcoes, los errores e éstas produce u error e el valor calculado. Se dce que el error se propaga de las medcoes al valor calculado. S se tee certo coocmeto co respecto al tamaño de los errores e las medcoes, como e la logtud y acho de u rectágulo, exste métodos para coocer la magtud del error e ua catdad calculada como el área. E uestro caso los errores e las puterías, los errores o certdumbres e el sstema de horzotalzacó del vel se trasladará a la lectura e las mras. Éstas se propagará a los desveles e cada estacó y a su vez estos últmos formará el desvel completo para u tramo etre dos marcas fjas e dode se propagará los errores dvduales. Falmete los errores o certdumbres acumulados e los desveles se propagará e las cotas deftvas de la red. Error de medcó Ua geóloga pesa ua roca e ua balaza. Toma cco medcoes y obtee los sguetes datos e gramos: Todas las medcoes so dferetes y es probable que gua sea gual a la masa real de la roca. A la dfereca etre u valor meddo y el valor real se lo llama error e el valor meddo. Por ejemplo supogamos que las medcoes de la roca se leía e ua marca e ua escala. S la balaza o estaba calbrada adecuadamete, cada medcó estará lejos de su valor real e certa catdad fja. Por lo tato ua calbracó mperfecta aporta errores de la msma magtud e cada medcó. La terpolacó etre las marcas de graduacó de la escala es otra fuete de error. La magtud del error debda a la terpolacó quzá varíe etre medcoes y es probable que sea postvo para alguas medcoes y egatvo para otras. Es razoable supoer que a largo plazo el promedo de los errores por terpolacó será gual a cero. E geeral, el error de ua medcó lo tegra el error sstemátco o sesgo, y el error aleatoro. El prmero preseta la parte del error que es gual,o está fucoalmete determada, para cada medcó, el segudo varía e forma aleatora etre medcoes y, e promedo, será gual a cero e el largo plazo. Alguas fuetes de error cotrbuye co ambos tpos de error, el sesgo y el error aleatoro. Cualquer medcó se puede cosderar como la suma del valor real más las cotrbucoes de cada uo de los dos compoetes de error: valor meddo = valor real + sesgo + error aleatoro error= sesgo + error aleatoro Como parte del error es aleatoro, es adecuado utlzar u modelo estadístco para estudar los errores de medcó. Los sesgos se asoca a modelos fucoales. Por ejemplo los errores por curvatura y refraccó y la flueca del error del vel. Se modela cada valor meddo como ua varable aleatora, tomada de ua poblacó de medcoes posbles. La meda µ de la poblacó 39

40 represeta esa parte de la medcó que es gual para toda medcó. Por lo tato µ es la suma del valor real más el sesgo. El estudo de los modelos fucoales es lo que va a permtr que esta compoete sstemátca sea lo meor posble. La desvacó estádar σ de la poblacó represeta la desvacó estádar del error aleatoro. Ésta represeta la varacó debda al hecho de que cada medcó tee u valor dferete por su error aleatoro. Itutvamete σ costtuye el tamaño de u error aleatoro estádar( desvacó estádar). Se tee terés e dos aspectos del proceso de medcó. El prmero es su exacttud. Ésta la determa el sesgo, que es la dfereca etre la meda µ de la medcó y el valor real de ésta últma. Etre más pequeño es el sesgo, más exacto será el proceso de medcó. S la meda µ es gual al valor real, el sesgo será gual a cero, e este caso al proceso de medcó se le llama o sesgado. El otro aspecto de terés e el proceso de medcó es la precsó. Ésta costtuye el grado co que tede a cocdr las medcoes repetdas de la msma catdad. S las medcoes repetdas resulta cercaas etre sí todo el tempo, la precsó es alta. S so muy dspersas, la precsó es baja. Por lo tato la precsó se determa medate la desvacó estádar σ del proceso de medcó. Co frecueca se llama a σ certdumbre aleatora del proceso de medcó. De ahora e adelate se supodrá que el sesgo es desprecable y etoces se descrbrá las medcoes e la forma Valor meddo ± σ dode σ represeta la certdumbre e el proceso que produjo el valor meddo. A meudo se suma costates a las medcoes, se multplca medcoes por costates, o se suma dos o más medcoes. Veremos cómo se afecta las certdumbres debdo a esas operacoes artmétcas. Puesto que las medcoes so varables aleatoras y las certdumbres so desvacoes estádar de estas varables aleatoras, los resultados que se usa para calcular las desvacoes estádar de combacoes leales de varables aleatoras se puede aplcar para calcular las certdumbres e combacoes leales de las medcoes. Los resultados para varables aleatoras depedetes se aplca a las medcoes depedetes S es ua medcó y a es ua costate, etoces σ a a σ S,,, so medcoes depedetes y a a a so costates, etoces σ a a a a V( ) a σ Ejemplo El rado de u círculo mde 3.0 ± 0. cm. Calcule la crcufereca y determe la certdumbre de la crcufereca. 40

41 Solucó Sea R el rado del círculo. El valor meddo de R es de 3.0 cm y la certdumbre es la desvacó estádar de esta medcó, que es La crcufereca está dada por. La certdumbre e C es la desvacó estádar de C. Etoces La crcufereca es 8.84 ± 0.63 cm ( ) Ejemplo U topógrafo mde el perímetro de u terreo rectagular. Toma meddas de dos lados adyacetes, 50. ± 0.05 m y 75. ± 0.08 m. Estas medcoes so depedetes. Estme el perímetro del terreo y determe la certdumbre e la estmacó. Solucó Aotamos = 50. y Y = 75. las dos medcoes. El perímetro se estma como P = + Y = m y la certdumbre e P es ( ) ( ) = 0.9 m El perímetro es ± 0.9 m Medcoes repetdas Ua de las mejores maeras de reducr y/o verfcar la certdumbre es tomar varas medcoes depedetes y determar el promedo de ellas. S se realza muchas medcoes depedetes de la msma catdad, etoces el promedo de éstas tee la msma meda de cada medcó dvdual, pero la desvacó estádar se reduce e u factor gual a la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. E otras palabras, el promedo de varas medcoes repetdas tee la msma exacttud y es más precso que cualquer úca medcó. Ejemplo Supogamos que e el ejemplo ateror el presupuesto para este proyecto es sufcete para hacer 4 medcoes más. Cada lado ya se ha meddo ua vez. U geero sugere asgar las uevas medcoes a cada lado equtatvamete, por lo que éste será meddo ocho veces. U segudo geero sugere hacer las 4 medcoes e el lado más largo, ya que ese lado se mde co certdumbre más grade. Estme la certdumbre e el perímetro bajo cada pla. Co cuál pla se obtee la certdumbre más pequeña? Solucó Co el prmer pla, sea el promedo de las ocho medcoes del lado más corto y sea el promedo de las ocho medcoes del lado más largo. El perímetro se estmará co. La certdumbre e el perímetro co el prmer pla es 4

42 ( ) ( ) ( ) ( ) Co el segudo pla, el perímetro se estmará co, dode es ua sola medcó del lado más corto y es el promedo de las 5 medcoes del lado más largo. La certdumbre del perímetro co el segudo pla es ( ) ( ) ( ) ( ) El prmer pla es mejor. Combacoes leales de medcoes depedetes Supogamos que e Y so medcoes co certdumbres y y se desea calcular la certdumbre de e la suma + Y. S e Y so depedetes la catdad que mde la relacó etre los errores aleatoros e e Y es la covaraza. E la práctca cuado las medcoes so depedetes sucede co frecueca el caso de que o se cooce la covaraza. E estos casos se puede establecer u límte superor a la certdumbre de ua combacó leal de las medcoes. S,,, so medcoes y a a a so costates, etoces σ a a a a La expresó del lado derecho de la desgualdad es ua estmacó coservadora de la certdumbre de Ejemplo U topógrafo está mdedo el perímetro de u terreo rectagular. Mde los lados adyacetes, de 50. ± 0.05 m y 75. ± 0.08 m. Estas medcoes o so ecesaramete depedetes. Determe co ua estmacó coservadora la certdumbre del perímetro del terreo. Solucó Aotamos = 50. y = 75. las dos medcoes. El perímetro se estma como P = + = m y la certdumbre e P es ( ) ( ) La certdumbre e el perímetro o es mayor que 0.6 m. σ 4

43 Icertdumbres para fucoes de ua medcó Los ejemplos que se ha vsto hasta ahora mplca calcular certdumbres e fucoes leales de medcoes. E muchos casos se desea estmar la certdumbre de ua fucó o leal de la medcó. El tpo de problema que se desea resolver es: dada ua varable aleatora, co desvacó estádar coocda y dada ua fucó h(), cómo se calcula la desvacó estádar?. S h es ua fucó leal, los métodos presetados aterormete so aplcables. S h o es leal, se puede aproxmar, multplcado por el valor absoluto de la dervada dh/d. La aproxmacó es buea s es pequeña. S es ua medda cuya certdumbre σ es pequeña y s h es ua fucó de, etoces E la práctca, se evalúa la dervada d σ d dh d σ e la medcó observada. La ecuacó ateror se cooce como la fórmula de la propagacó de error. Ejemplo El rado R de u círculo mde 5.00 ± 0.0 cm. Estme el área del círculo y determe la certdumbre. Solucó El área A está dada por. La estmacó aproxmada de A es Ahora y La certdumbre de A será Se estma el área del círculo co 78.5 ± 0.3 cm ( )( ) Icertdumbres para fucoes de varas medcoes. Co frecueca se ecesta estmar ua catdad como ua fucó de varas medcoes. S,,, so medcoes depedetes cuyas certdumbres σ σ σ, so pequeñas y s h = h(,,, ) es ua fucó de,,, etoces σ ( h ) σ E la práctca se evalúa las dervadas parcales 43 e el puto (,,, )

44 La ecuacó ateror represeta la fórmula de propagacó de errores multvarada. Ejemplo U desvel se calcula co la suma de desveles de la msma precsó, determada esta por σ= ±0.00m. Cómo calculo la certdumbre o desvacó estádar del desvel? Solucó La estmacó del desvel es la suma de los desveles parcales. Para calcular calcula las dervadas parcales de h h h prmero se h h h h Como ( h h ) ( h ) h La desvacó estádar del desvel calculado sería h ± m Icertdumbre para fucoes de medcoes depedetes. S,,, so medcoes cuyas certdumbres σ σ σ, so pequeñas y s h = h(,,, ) es ua fucó de,,, etoces σ h σ E la práctca se evalúa las dervadas parcales e el puto (,,, ) La desgualdad es válda e cas todas las stuacoes práctcas; e prcpo puede fallar s alguas dervadas parcales de h so muy grades. 44

45 45 Teorema Cetral del Límte Se ha vsto que la suma de u úmero fto de varables aleatoras depedetes que está ormalmete dstrbudas es ua varable aleatora també ormalmete dstrbuda. Esta propedad reproductva o es exclusva de la dstrbucó ormal. E efecto, por ejemplo, ya vmos que exste varables aleatoras dscretas que la cumple, es el caso de la Posso y la Bomal. E realdad, la propedad que le da a la dstrbucó ormal el lugar prvlegado que ocupa etre todas las dstrbucoes es el hecho de que la suma de u úmero muy grade, rgurosamete u úmero fto umerable, de varables aleatoras depedetes co dstrbucoes arbtraras (o ecesaramete ormales) es ua varable aleatora que tee, aproxmadamete, ua dstrbucó ormal. Este es, esecalmete, el cotedo del Dem.) s demostracó Observacoes: - Notar que E E S E y V V S V Por lo tato S Z es la v.a. S estadarzada - Notar que P z S P z S P, por lo tato també se puede eucar el Teorema cetral del límte de la sguete forma Teorema cetral del límte (T.C.L.): Sea varables aleatoras depedetes co y para todo, es decr depedetes détcamete dstrbudas Sea la v.a. y sea. Etoces, esto es

46 Sea varables aleatoras depedetes co y para todo, es decr depedetes détcamete dstrbudas Sea la v.a. promedo muestral y sea. Etoces, esto es Dode Z es el promedo muestral estadarzado 3- Auque e muchos casos el T.C.L. fucoa be para valores de pequeños, e partcular dode la poblacó es cotua y smétrca, e otras stuacoes se requere valores de más grades, depededo de la forma de la dstrbucó de las. E muchos casos de terés práctco, s 30, la aproxmacó ormal será satsfactora s mportar cómo sea la forma de la dstrbucó de las. S 30, el T.C.L. fucoa s la dstrbucó de las o está muy alejada de ua dstrbucó ormal 4- Para terpretar el sgfcado del T.C.L., se geera (por computadora) valores de ua v.a. expoecal co parámetro 0. 5, y se calcula el promedo de esos valores. Esto se repte 000 veces, por lo tato teemos 000 valores de la v.a.. Hacemos u hstograma de frecuecas de, esto es, tomamos u tervalo ( a, b) dode cae todos los valores de, y lo subdvdmos e tervalos más chcos de gual logtud. La frecueca de cada subtervalo es la catdad de valores de que cae e dcho subtervalo. Se grafca estas frecuecas obteédose los gráfcos sguetes que se puede cosderar ua aproxmacó a la verdadera dstrbucó de. Se observa que a medda que aumeta el valor de los gráfcos se va hacedo más smétrcos, parecédose a la gráfca de ua dstrbucó ormal = =