INFERENCIA ESTADÍSTICA

Transcripción

1 IC INFERENCIA ETADÍTICA INTERVALO DE CONFIANZA IC I Geeralidades Cuado se estima u parámetro e forma putual, geeralmete, pero o siempre, el resultado de la estimació es simplemete u úmero, o teiédose igua idea de la fiabilidad de la estimació. La estimació por itervalos de cofiaza solucioa este problema ya que la respuesta que da este método es u itervalo detro del cual se decreta que está el parámetro es decir ua aproximació del mismo), juto co ua medida de la cofiabilidad del decreto. A cotiuació se aalizará diversos casos e los que se usa la estimació de parámetros por el método de los itervalos de cofiaza. IC II Itervalo de cofiaza para el valor medio de ua variable aleatoria correspodiete a ua distribució cualquiera de probabilidad e el caso de dispoerse de ua muestra grade IC II. a. El hecho de aalizar ua muestra de tamaño de ua població homogéea equivale a efectuar repeticioes idepedietes de u mismo experimeto aleatorio, supoiédose que existe permaecia estadística a lo largo de todos ellos. upógase que a los resultados a obteer e las repeticioes,..., se les asocie respectivamete las variables aleatorias,...,. Evidetemete, todas estas variables será idepedietes y tedrá u mismo valor medio m y ua misma desviació típica. upógase que m sea descoocido y que, por el mometo sea coocido. E el caso de que sea grade, por el teorema de Lideberg se tiee ver [5] de BNP VII) que: [] es aproximadamete ormal m, ). Por lo tato: m m) [] será aproximadamete ormal 0, ), y e lo que sigue se la cosiderará como tal. b. Usado la tabla de la F. de D. ormal 0, ) búsquese u úmero α tal que:

2 IC P α < m) < α) 0,95 [3] y etoces resultara que: Es decir que: α α P m 0,95 P α m + α 0,95 [4] E palabras, esta expresió dice lo siguiete: Existe u probabilidad igual a 0,95 de que el valor que asuma al efectuarse repeticioes del experimeto sea tal que el valor de m esté detro del itervalo: α + α Etoces se defie que: i se obtiee u valor observado x, ua estimació de m cosiste e el itervalo de cofiaza: co u grado de cofiabilidad igual a 0,95 ó 95%). x α x + α [5] c. Observació ª muy importate): Notar que o puede decirse que exista ua probabilidad 0,95 de que el valor de m esté detro del itervalo idicado e [5]. Los límites de este itervalo so úmeros fijos y m tambié es u úmero fijo y, etoces, m está o o está detro de dicho itervalo, o pudiedo hablarse de ua probabilidad. La iterpretació de u itervalo de cofiaza es la siguiete: La probabilidad de que la afirmació El valor de m está detro del itervalo de cofiaza cosiderado sea cierta es igual a 0,95. upógase que se efectúe 0 6 tadas de realizacioes del experimeto cada ua. Cada tada dará u valor observado x propio, obteiédose así 0 6 valores observados x,..., x 6 que, seguramete, será todos distitos etre sí. Como cada uo de esos valores 0 observados determia u itervalo de cofiaza, se obtedrá etoces 0 6 itervalos de cofiaza todos distitos etre sí. El valor de m estará, aproximadamete, detro del 95% de dichos itervalos. d. Observació ª: La logitud del itervalo de cofiaza idicado e [5] es:

3 IC 3 α l x + α x α [6] Al aumetar esta logitud dismiuye, aumetado así la precisió de la estimació. e. Observació 3ª: E el problema se supuso que se coocía la desviació típica de la F. de D. de la variable. Es bastate raro que e la práctica ocurra que se coozca la desviació típica de ua variable y o se coozca su valor medio. Lo usual es que o se coozca iguo de los dos parámetros. i se quiere coservar la pureza de lo visto hasta ahora, se tedrá que el método de estimació por itervalos de cofiaza o pasa de la categoría de especulació teórica. A fi de dar importacia práctica al método, para poder estimar por itervalos al valor medio, el úico camio que queda abierto es estimar previamete a. E vista a lo idicado e [7] de IE IV parece lógico tomar: ) xi x) [7] i y usado esta estimació e lugar del verdadero, se podrá salvar el método, si bie a costa de algo de su pureza. Por lo tato el itervalo de cofiaza resultate habrá que tomarlo ligeramete a beeficio de ivetario. Esto o es precisamete ua situació ideal, pero desgraciadamete o hay alterativa. IC II. Aplicació a. E tiros de dado saliero 5400 ases. e pide hallar u itervalo de cofiaza para la probabilidad de sacar u as e u úico tiro de dado. e pide u grado de cofiabilidad igual a 0,95. b. ea la variable aleatoria asociada a u tiro de dado. e dirá que si sale u as y que 0 si o sale u as. Llamado p a la probabilidad descoocida) de sacar u as e u tiro de dado, se tiee que: m p Co lo que resulta que el problema de estimar la probabilidad se reduce al problema de estimar el valor medio m. c. egú arriba idicado, se efectuará pruebas, a las cuales se les asocia las variables,..., Como la catidad de pruebas es grade, se tiee que la variable: i i

4 IC 4 tedrá ua distribució aproximadamete ormal. Cabe etoces usar el procedimieto idicado e el párrafo IC II.. d. Dado que el grado de cofiabilidad es de 0,95, se buscará u valor α tal que para ua cierta variable ormal 0, ),, se tega que: Esto implica que: P α α) 0,95 P < -α > α) 0,95 0,05 P < -α) + P > α) 0,05 Como tiee ua F. de D. ormal 0, ), se tiee que P < - α) P > α), y por lo tato: P > α) 0,05 P > α) 0,05 P < α) 0,05 0,975 edo a la tabla de la F. de D. ormal 0, ) se obtiee etoces que: α,96 Notar que hizo las veces de variable aleatoria muda ). e. Como, segú los datos del problema, de las variables, 5400 asumiero el valor, y los restates asumiero el valor 0, es decir que 5400 valores x i so iguales a y los restates so iguales a 0, se tiee los siguietes valores observados: x xi , i ˆ xi x) , 09) , 09) 0, i f. egú idicado e [5] u itervalo de cofiaza del valor m cofiabilidad 0,95 será: co u grado de x α x + α E el problema e estudio, se cooce los valores de x, α y respectivamete 0,09,963 y 60000), pero o se cooce el verdadero valor de. ) i e vez de dicho valor se usa el valor observado 0, 86 se obtedrá u itervalo de cofiaza:

5 IC 5 0,09,96 0, ,09 +,96 0, Efectuado las operacioes idicadas, se llega a que para la estimació de p se obtiee u itervalo de cofiaza: 0,0877 0,099) co u grado de cofiabilidad que sería de 0,95 si el valor estimado de la desviació típica coicidiera co el valor verdadero. El hecho de o poder garatizar que esto ocurra dismiuye algo de cofiabilidad del resultado pero, desgraciadamete, o se sabe e que medida. IC III Itervalo de cofiaza para el valor medio de ua variable aleatoria correspodiete a ua distribució ormal IC III. a. Teóricamete la muestra puede ser grade o chica, es decir que las repeticioes del experimeto puede ser muchas o pocas, pero siempre las variables aleatorias correspodietes debe ser ormales, idepedietes y co u mismo valor medio m y ua misma variaza. b. ea,..., las variables aleatorias correspodietes a las repeticioes ª,..., ª del experimeto. ea: i i ) [] i i Etoces, por las codicioes impuestas e a. y por lo idicado e [5] de JtF IV se tiee que: m T tiee ua distribució t de tudet co grados de libertad. [] c. upógase que se desee hallar u itervalo de cofiaza co ua cofiabilidad igual a 0,95 del valor medio mecioado e a. mediate la ejecució de experimetos idepedietes. 0,95 Usado la tabla de la distribució t para α 0, 05 y, hállese el valor t 0,05 correspodiete. e tiee etoces que: P T > t 0,05 ) 0,05 PT t 0,05 ) 0,975 [3] y,

6 IC 6 P T < t 0,05 ) PT > t 0,05 ) 0,05 [4] y etoces por [3] y [4] resulta que: Ver [4] de JtF IV P t 0,05 < T t 0,05 ) 0,975 0,05 0,95 y por []: P t0,05 < m < t0,05 ) 0,95 De dode resulta que:. t0,05. t0,05 P < m < + 0,95 Es decir que existe ua probabilidad igual a 0,95 de que el valor que asuma al efectuarse repeticioes del experimeto esté detro del itervalo:. t0,05. + t0,05 [5] i se obtiee valores observados x y s se tiee que u itervalo de cofiaza etre ifiitos posibles) para la estimació de m co ua cofiabilidad e 0,95 es: s. x t0,05 s. x + t0,05 [6] d. Observació ª. Aáloga a la observació hecha e c. de IC II.. e. Observació ª. La logitud del itervalo de cofiaza idicado e [6] es: s t0,05 l. Como para u cierto valor de α el valor de t α, dismiuye al aumetar ver tabla de figura JtF II.b) y por otra parte aumeta, se tiee que al aumetar la logitud dismiuye, es decir que la precisió aumeta. f. Muy a meudo el método de estimació de u valor medio recié desarrollado se lo supoe relacioado úicamete co el caso de muestras chicas. Eso es eteramete falso. Este método sirve tato para el caso de muestras chicas como de muestras grades, estado su uso limitado úicamete por el alcace de la tabulació de la distribució t de que se dispoga. Pero por otra parte, e el caso de muestras chicas éste es el úico método dispoible, a codició de que se cumpla los requisitos idicados e a.

7 IC 7 g. ya que se habla de muestras chicas, vale teer e cueta lo expresado por M. J. Moroey e su libro Hechos y Estadísticas : E la vida diaria muy a meudo tomamos decisioes e base a la evidecia obteida a partir de muestras pequeñas. La práctica de hacer juicios ligeros sobre ua primera evidecia es u hábito isidioso que a meudo trasladamos a cuestioes dode sí es importate que estemos equivocados o o. La evidecia de las muestras pequeñas puede ser muy traicioera. IC III. Aplicació ea ua fábrica de alambre para resistecias eléctricas. e sabe que la resistecia por metro sigue ua ley ormal m, ), siedo m y descoocidas. e hiciero 0 medicioes sobre otras tatas muestras de m tomadas al azar obteiédose valores x 0,48 y s,9. e pide hallar u itervalo de cofiaza para el valor medio m co ua cofiabilidad igual a 0,90. 0,9 Para α 0, 05 y 9, de la tabla de la fució t se obtiee t 0,05 9,833, y etoces segú [6] se obtiee el itervalo de cofiaza:,9,833 0,48 9,9,833 0,48 + 9,69 9,7) IC IV Itervalo de cofiaza para la diferecia de los valores medios correspodietes a dos distribucioes ormales distitas pero que tiee la misma variaza a. ea dos experimetos aleatorios distitos a los cuales correspode respectivamete las variables e, ambas ormales pero co la misma variaza. upógase que se efectúe x repeticioes del primer experimeto y y del segudo. b. egú idicado e [8] de JtF IV se tiee que la variable: x + y ) T ) m m) xx + y y) + x y) tiee ua distribució t de tudet co x + y grados de libertad. Etoces, por u procedimieto aálogo al idicado e c. IC III. se llega a que u itervalo de cofiaza para m m co ua cofiabilidad igual a 0,95 está dado por:

8 IC 8 x y) + + xs ys x y ) x y t 0,05 x + y ) x y) + + ) + + xs ys x y ) x y t0,05 x + y ) x y x + y ) siedo x, y, s x y s y los valores observados. IC V Itervalo de cofiaza para la variaza de ua distribució ormal a. ea u experimeto aleatorio al cual correspode ua variable aleatoria que sea ormal m, ), siedo m y por el mometo descoocidas. upógase que se efectúe repeticioes de dicho experimeto, y que e base a los resultados obteidos se pretede hallar u itervalo de cofiaza para la variaza co u grado de cofiabilidad de, digamos, 0,95. b. Iteresa pues hallar dos úmeros α y α tales que: Es decir que debe ser: Pα α ) 0,95 [] α α P 0,95 P 0,95 α α P 0,95 α α Esto se cumplirá si, por ejemplo: º) P > α 0,05 [] y además º) P < α 0,05 P α 0,975 [3] Ahora bie, como segú se vio e JtF III libertad, por [] y [3] resulta que: tiee ua distribució χ co grados de

9 IC 9 α χ 0,05 y α χ 0,975 y por lo tato será: α Etoces, por []: χ 0,05 P χ 0,05 y α χ 0,975 χ 0,975 0,95 [4] Es decir que existe ua probabilidad igual a 0,95 de que el valor que asuma al efectuarse repeticioes del experimeto sea tal que el valor esté detro del itervalo: χ 0,05 χ 0,975 Etoces se defie que: i se obtiee u valor observado s, la estimació de cosiste e el itervalo de cofiaza: s s [5] χ 0,05 χ0,975 co ua cofiabilidad de 0,95. c. E el caso de itervalos de cofiaza de la variaza, muy a meudo iteresa u itervalo del tipo [0, l]. Evidetemete, e este caso el itervalo será: s 0 [6] χ 0,95 co ua cofiabilidad de 0,95. d. Observació ª: Aáloga a la observació c de IC II.. e. Observació ª: i bie todo lo atedicho es rigurosamete válido solo para el caso de ua distribució ormal, e el caso de ua distribució cualquiera y ua catidad muy grade de distribucioes del experimeto, el método recié idicado será aproximadamete válido.

10 IC 0 IC V. Aplicació ea el mismo caso idicado e IC III. y supógase que se desee hallar u itervalo de cofiaza para la variaza. Como es s,9 y 0, por [5] se tiee que u itervalo de cofiaza para co ua cofiabilidad de 0,95 será: 0,9) χ0,059 0,9) 6,64 χ 9,0 0,9759 6,64,70 [0,875 6,6] IC VI Itervalo de cofiaza para el cuociete de variazas de dos distribucioes ormales a. ea dos experimetos aleatorios distitos a los cuales correspode respectivamete las variables e ambas ormales. upógase que dichas variables tega variazas y respectivamete, las cuales so por el mometo descoocidas. upógase que se efectúe repeticioes del primer experimeto y repeticioes del segudo, y que e base a los resultados obteidos iterese hallar u itervalo de cofiaza para co u grado de cofiabilidad igual a 0,9. b. Iteresa pues hallar dos úmeros α y α tales que: P α α 0,9 [] Como: tiee ua distribució χ co grados de libertad. tiee ua distribució χ co grados de libertad. Por lo visto e JtF V se tiee que:

11 IC ) ) tiee ua distribució ) ) F y como: ) ) ) ) resulta que: tiee ua distribució ) ) F siedo ) ) c. Por [] se tiee que: 0,9 α α P [3] Esta expresió se cumple cuado: º) 05 0, > α P ) ) 0,05 f α º) 05 0, < α P 95 0, > α P ) ) 0,95 f α Etoces por []: [] Por teer ua distribució ) ) F [4]

12 IC Por [] y [4] P α α 0,9 P α 0, 9 α ) ) P f 0,95 ) ) f 0,05 ) ) ) ) 0,9 [5] Es decir que existe ua probabilidad igual a 0,9 de que los valores que asuma efectuarse de veces el primer experimeto y esté detro del itervalo: y al veces el segudo sea tales que el valor ) ) f0,95 ) ) ) ) f0,05 ) ) i se obtuviero valores observados s y s, u itervalo de cofiaza para cofiabilidad 0,9 será: [6] co ) s ) s f0,95 ) ) ) s ) s f0,05 ) ) [7] d. Aplicació. ea 0, y que se obtuvo s 5, y s 4, 7. De la tabla de la figura JtF III.b: f 0,05 0,90 f 0,95 0 f 0,95)0 f0,050,90 0,345 Por [4] de JtF V y por [7] resulta u itervalo de cofiaza para co cofiabilidad 0,9. 0 ) 4,7 0,345 0 ) 5, 0 ) 0 ) 4,7 5,,90 [0,3,6]

13 IC 3 Problemas sobre Itervalos de Cofiaza IC IC upoga que la variable aleatoria correspodiete al ivel de cotamiació del aire e u ambiete idustrial tiee ua F. de D. ormal. E 6 días tomados al azar se obtuvo ua media observada x 9. e pide: º. Hallar u itervalo de cofiaza para co certeza que 4. m co ua cofiabilidad de 0,95 si se supiera º. Hallar u itervalo de cofiaza para m co ua cofiabilidad de 0,95 si a priori se igorara el valor de pero se tuviera que s 5. 3º. Idicar durate cuatos días se debería medir el ivel de cotamiació si se desea que el error cometido e la estimació del valor medio de la cotamiació sea meor que 0,5 co ua cofiabilidad de 0,95. upoer que 4. E ua hiladería hay husos. e quiere estimar el porcetaje de husos iactivos co ua precisió del %, y co ese objeto se toma ua muestra al azar. Idicar el tamaño de dicha muestra si se desea asegurar que la cofiabilidad de la estimació sea de 0,95. IC 3 E dos ocasioes distitas se efectuaro medidas sistemáticas de la estatura de los cadidatos a igresar al profesorado de cultura física. Los resultados fuero: N x s Año cm 6 Año cm e pide hallar u itervalo de cofiaza para el aumeto de estatura media, co ua cofiabilidad de 0,95. IC 4 Ua fábrica ha llevado la cueta de la veta diaria de u uevo producto a lo largo de u mes. i es la variable correspodiete a dicha veta diaria, supógase que se obtuvo x 0 s. E base a estos datos, hallar u itervalo de cofiaza co cofiabilidad de 0,95 para la veta total correspodiete al próximo semestre 80 días). IC 5 A la catidad de fisioes de átomos radioactivos que ocurre e u cierto período correspode ua distribució de Poisso. i cosiderado 000 períodos se obtuvo x 0, se pide obteer u itervalo de cofiaza co cofiabilidad 0,95 para el parámetro λ de la distribució de Poisso atedicha. IC 6 upoga que a la logitud de las barras de acero de ua cierta producció correspode ua variable aleatoria cuya F. de D. sea ormal. upógase que se extraiga al azar 9 barras de dicha producció y que se obtega u valor s 84,5. e pide idicar u itervalo de cofiaza co ua cofiabilidad de 0,95 de la variaza de dicha producció. IC 7 A la logitud de los cables de acero de ua cierta producció se le asocia ua variable aleatoria que se supoe ormal. e toma ua muestra aleatoria de cables, obteiédose los siguietes resultados: 9, 9,7 9,8 0, 0,4 0 9,4 9,5 9,5 0,3 9,9 9,7

14 IC 4 e pide idicar itervalos de cofiaza co ua cofiabilidad de 0,95 para el valor medio y para la variaza de.