Un plicción del Método Monte Crlo opciones nnciers de tipo europeo Mónic Aguirre Mstrnzo de junio de
Índice generl Índice generl 3. Introducción 5. Preliminres 7.. Conceptos Básicos de Procesos Estocásticos.......... 7.. Movimiento Brownino......................... Nots Histórics......................... Construcción del Movimiento Brownino........ 3..3. Propieddes del Movimiento Brownino......... 6.3. Integrl de Itô........................... 7.3.. Fórmul de Itô...................... 3.4. Ecuciones Diferenciles Estocástics.............. 34 3. Método Monte-Crlo 4 3.. Aplicción l Cálculo de Integrles............... 4 3.. Estimción del error....................... 45 3.3. Integrción Múltiple....................... 47 4. Vlución de opciones por Monte-Crlo 5 4.. Conceptos Finncieros...................... 5 4... Tipos de Opciones.................... 5 4... Estimción de l tendenci y voltilidd........ 53 4.. Vlución de opciones....................... 54 4... Opción Cll Europe................... 57 4... Opción Put Europe................... 63 4..3. Aplicción del Método Monte-Crlo l vlución de opciones Europes: Cll y Put.............. 64 3
4 ÍNDICE GENERAL 5. Conclusiones 69 6. Apéndice 7 6.. Apéndice : Procesos Estocásticos................ 7 6... Espcios L p........................ 7 6... Convergenci en L p.................... 73 6.. Apéndice : Método Monte-Crlo................ 74 6... Ley de los Grndes Números............... 74 6... Integrción Múltiple................... 74 6.3. Apéndice 3: Vlución de opciones por Monte-Crlo...... 74 6.3.. Simulción del Movimiento Brownino......... 74 6.3.. Método de Euler-Mruym en EDE lineles...... 75 6.3.3. Opción Cll Europe................... 76 6.3.4. Opción Put Europe................... 76 6.3.5. Aplicción del Método Monte-Crlo l vlución de un opción Europe................... 77 Bibliogrfí 79
Cpítulo Introducción En Finnzs los productos derivdos tienen un grn impcto en ls inversiones de hoy en dí. Ejemplos de ellos son los futuros, forwrds, opciones y swp, los cules son el conjunto de instrumentos nncieros, que requieren de lgún vlor de referenci, (vése []). De este conjunto de instrumentos nncieros el tem desrrollr es l vlución de opciones en el mercdo nnciero, sobre el cul existe un grn vriedd de contrtos de opciones: diviss, cciones, índices, futuros y exótics. Opciones que otorgn el derecho de elegir entre opciones de compr ó de vent. En prticulr el tipo de opciones en el que se enfoc est tesis es el de opciones europes. El objetivo centrl de est tesis es presentr l solución del problem de vlución de opciones en mercdos nncieros propuest por F. Blck y M. Scholes en 973 y es generlizd por R. Merton (973). El problem de l vlución es nlizdo desde el punto de vist probbilístico sí como desde el punto de vist de ls ecuciones diferenciles. Pr vlur un opción desde un punto de vist probbilístico. este problem se reduce l cálculo de un espernz de un función continu plicd un proceso estocástico. Generlmente no es fácil relizr los cálculos exctos pr dich espernz, pr ello es necesrio empler métodos numéricos. El método numérico en el que est bsdo este trbjo es el método Monte-Crlo, el cul consiste en proximr l espernz por medio de l medi muestrl de un muestr de vribles letoris independientes e idénticmente distribuids. El método Monte-Crlo inicilmente se utilizó pr evlur integrles múltiples de nids, hoy en dí es un método de interés pr en áre de nnzs 5
6 CAPÍTULO. INTRODUCCIÓN e inferenci estdístic. L herrmient que implement Monte-Crlo es l simulción pr l generción de números letorios en el intervlo en que se encuentr de nid l integrl. El mrco teórico de l vlución de opciones, est bsdo en l teorí de probbilidd, procesos estocásticos, proceso de Wiener, cálculo de Itô, movimiento Brownino geométrico, ecuciones diferenciles, cálculo diferencil e integrl y l derivción de l ecución diferencil de Blck-Scholes etc., todo esto necesrio pr conocer el precio de ls opciones europes de compr y vent, lo cul permite grntizr l compr o vent del derivdo l precio requerido por los inversionists (vése [],[6],[8],[3] y [4]). L tesis se encuentr estructurd de l siguiente form: En el segundo cpítulo se present los conceptos generles de l teorí de procesos estocásticos, sí mismo se esboz l construcción del Movimiento Brownino (MB). Además se incluyen lguns propieddes de dicho MB. En este mismo cpítulo, se present el cálculo de Itô, l fórmul de Itô y ecuciones diferenciles estocástics. En el tercer cpítulo se present l plicción sobre el método numérico en el que se bs est tesis es el Método Monte-Crlo, se explic el método pr evlur integrles de nids, tmbién se incluyen lgunos ejemplos en los cules se us Monte-Crlo, (vése [],[9]). En el curto cpítulo se present, los conceptos nncieros requeridos en est tesis, que son necesrios pr inicir el nálisis de l fórmul de Blck-Scholes (vése [7]). Teniendo dichs fórmuls se muestrn ejemplos, tomndo dtos históricos de l empres IBM: en este mismo cpítulo se plic el método Monte-Crlo en el cálculo numérico de integrles, se d el lgoritmo del método y se presentn ejemplos. En el quinto cpítulo se present ls conclusiones. Al nl de l tesis se nexn lgunos progrms que son utilizdos en el trnscurso de l mism, estos progrms fueron relizdos en Mtlb y Mthemtic, demás se incluye lgunos conceptos que se utilizron.
Cpítulo Preliminres.. Conceptos Básicos de Procesos Estocásticos En el desrrollo de l tesis se consider un espcio de probbilidd (; F; P ). Este modelo mtemático es usdo pr describir el comportmiento de experimentos letorios y est conformdo por espcio muestrl, el cul contiene todos los posibles resultdos de un experimento letorio, el segundo elemento es un colección no vcí F de subconjuntos de, con l estructur de -álgebr, los elementos de F se les llm eventos o conjuntos medibles. Finlmente, P : F! [; ] es un función llmd medid de probbilidd, l cul cumple ls siguientes propieddes: ) P () = ; P (;) =. b) P (A) ; pr culquier A F. c) Si A ; A ; ::: F, son jenos dos dos, es decir A i \A j = ;, pr i 6= j, entonces [ X P ( A n ) = P (A n ). (.) n= En muchos csos se tiene l intervención de diferentes espcios de probbilidd pr nlizr un mismo experimento letorio, en est situción es necesrio de nir un espcio común ellos. Este nuevo espcio es conocido como espcio de probbilidd producto, el cul tiene l informción de los 7 n=
8 CAPÍTULO. PRELIMINARES espcios básicos. Existen diferentes construcciones pr determinr el espcio producto, en este cso se ilustrrá l construcción pr cundo se tiene un colección no numerble de espcios de probbilidd. L rzón es debido que en el trnscurso del trbjo se usrá procesos tiempo continuo por ejemplo el Movimiento Brownino. De nición.. Se ( t ; F t ) un espcio medible, pr t sobre un conjunto de índices T. Se Q tt t el conjunto de tods ls funciones! = (!(t); t T ) tl que!(t) t ; pr cd t T. De nición.. Si t ; t ; :::; t n T y B n Q n i= t i ; se de ne l cilindro con bse B n en (t ; :::; t n ) como: B n (t ; :::; t n ) =! Q tt t : (!(t ); :::;!(t n )) B n : y se dice que el cilindro es medible si y solo si B n Q n i= F t i. Observción..3 Si pr tod t = ; entonces el conjunto de tods ls funciones de T sobre es Q tt t = T. Los cilindros medibles formn un álgebr, l igul que l unión nit de rectángulos medibles. L mínim álgebr sobre los cilindros medibles es denotdo por Q tt F t; y llmdo l álgebr producto de ls F t. Observción..4 Si t = S y F t = F pr todo t T; Q tt F t es denotdo por F T. El objetivo es construir un medid de probbilidd en el espcio medible (; Q tt F t): El enfoque es el siguiente. Se v = ft ; :::; t n g un subconjunto nito sobre T; donde t < t < :::: < t n. Supóngse que pr cd v se tiene un medid de probbilidd P v sobre Q n i= F t i ; P v (B) se represent como P! Q tt t : (!(t ); :::;!(t n )) B. L medid P v debe stisfcer un propiedd de consistenci, pr entender mejor este problem considérese el ejemplo siguiente. Se T el conjunto de enteros positivos, y t = R; F t = B(R) pr cd t T. Supóngse que P f;;3;4;5g (B 5 ) = P (! : (! ;! ;! 3 ;! 4 ;! 5 ) B 5 ) pr tod B 5 B(R 5 ). Entonces P (! : (! ;! 3 ) B ) = P (! : (! ;! ;! 3 ;! 4 ;! 5 ) R B R ) = P f;;3;4;5g (R B R );
.. CONCEPTOS BÁSICOS DE PROCESOS ESTOCÁSTICOS 9 donde B B(R ). Se esper que l fmili consistente de medids de probbilidd P v determiná un únic medid de probbilidd sobre Q tt F t. Ahor se formlizn los resultdos nteriores. Se ( Q n i= t i ; Q n i= F t i ) denotdo por ( v ; F v ) pr v = ft ; :::; t n g ; donde t < t < :::: < t n : Si u = ft i ; :::; t ik g es un subconjunto no vcío de v y y = (y(t ); :::; y(t n )) v ; l k-tupl (y(t i ); :::; y(t ik )) denotdo por y u. Similrmente si! = (!(t); t T ) Q tt t; l notción! v es usd pr (!(t ); :::;!(t n )). Si B F v el cilindro medible debe ser escrito como B(v). Si P v es l medid de probbilidd sobre F v, l proyección de P v es l medid de probbilidd u (P v ) sobre F u de nid por [ u (P v )] = P v fy v : y u Bg; donde B F u. Similrmente, si Q es un medid de probbilidd sobre Q tt F t; l proyección de Q sobre F v est de nid por donde B F v : [ v (Q)] (B) = Q! Q tt t :! v B = Q(B(v)); Teorem..5 (Medid Producto). Pr cd t sobre un conjunto rbitrrio de índices T; se t = R y F t = B(R). Se sume que pr cd subconjunto no vcío v nito de T; se d un medid de probbilidd P v sobre F v : Se supone que P v es consistente, es decir, u (P v ) = P u pr cd u v. Entonces existe un únic medid de probbilidd P F = Q tt F t, tl que v (P ) = P v ; pr todo v: L demostrción de este teorem puede consultrse en []. Un vez de nido el teorem de medid producto, pr un colección de espcios de probbilidd, se continurá de niendo el tipo de proceso estocástico en que se trbjrá en el trnscurso de l tesis. De nición..6 Se (; F; P ) un espcio de probbilidd y E un conjunto no vcío. Un proceso estocástico es un colección de vribles letoris fx(t) :! E; t T g, indexds por lgún conjunto T. El conjunto E recibe el nombre de espcio de estdos.
CAPÍTULO. PRELIMINARES Un proceso estocástico puede clsi crse como en el siguiente digrm Tiempo Discreto (T numerble) Continuo (T no numerble) Estdos Discreto (E numerble) Continuo (E no numerble) Tbl De est mner existen cutro tipos de procesos estocásticos (tiempo discreto con espcio de estdos discreto, tiempo continuo con espcio de estdos continuo, tiempo discreto con espcio de estdos continuo y tiempo continuo con espcio de estdos discreto). En este cpítulo se estudirá un proceso estocástico en tiempo continuo con espcio de estdos continuo. Se fx(t); t g, un proceso estocástico. Pr t < t < < t n, se de ne t ;t ;:::t n (A) = P f(x(t ); X(t ); :::; X(t n )) Ag; A B(R n ). L medid de probbilidd t ;t ;:::t n sobre R n ; es llmd un distribución mrginl de un proceso estocástico X(t): Obsérvese que pr culquier t < t < < t n, y culquier i n, P f(x(t ); :::; X(t i ); X(t i+ ); :::; X(t n )) A A g = P f(x(t ); X(t ); :::; X(t n )) A RA g; (.) donde A B(R i ) y A B(R n ). Cundo i =, l ecución (.) se convierte en P f(x(t ); :::; X(t n )) A g = P f(x(t ); :::; X(t n )) RA g: Similrmente, cundo i = n, l ecución (.) se convierte en P f(x(t ); :::; X(t n )) A g = P f(x(t ); :::; X(t n )) A Rg: Por lo tnto, se tiene l iguldd t ;:::t i ;t i+ ;:::t n (A A ) = t ;t ;:::t n (A RA ); (.3) donde i n, por tnto l fmili de distribuciones mrginles de un proceso estocástico X(t), stisfce l relción (.3).
.. CONCEPTOS BÁSICOS DE PROCESOS ESTOCÁSTICOS Consecuentemente supóngse que pr culquier t < t < < t n ; existe un medid de probbilidd t ;t ;:::t n sobre R n. L fmili de medids de probbilidd f t ;t ;:::t n : t < t < < t n ; n = ; ; :::g; se dice que stisfce l condición de consistenci si l ecución (.3) se cumple pr culquier t < t < < t n y A B(R i ), A B(R n ): Observción..7 L propiedd de consistenci en términos de l función de densidd, puede ser plnted de l form siguiente: Z f t ;:::;t i ;:::;;t n (x ; :::; x i ; :::; x n )dx i = f t ;:::;t i ;t i+ ;:::;t n (x ; :::; x i ; x i+ ; :::; x n ); (.4) y en términos de l distribución cumuld, puede ser plnted de l form siguiente: lim F t ;:::;t i ;:::;;t n (x ; :::; x i ; :::; x n ) = F t ;:::;t i ;t i+ ;:::;t n (x ; :::; x i ; x i+ ; :::; x n ): x i`! El teorem de extensión de Kolmogorov segur l existenci de un medid de probbilidd sobre un espcio de funciones R [;), que corresponden un fmili consistente de medids de probbilidd. En este cso el teorem se enunci usndo l fmili de funciones de distribución (vése [4]). Teorem..8 (Teorem de extensión de Kolmogorov). Se ff t ;t ;:::t n (x ; :::; x n )g con t i T R, t < t < < t n, n, un fmili de funciones de distribución de dimensión nit, l cul stisfce l condición de consistenci (.4). Entonces existe un espcio de probbilidd (; F; P ) y un proceso letorio X = f(t); t g tl que P f! : (t ) x ; :::; (t n ) x n g = F t ;t ;:::t n (x ; :::; x n ) : (.5) Obsérvese que l conclusión del teorem nterior grntiz l existenci de un espcio de probbilidd, lo cul es un consecuenci del teorem.., l importnci del teorem de Kolmogorov es que grntiz l existenci de un proceso estocástico. El siguiente teorem muestr un condición su ciente pr ver que un proceso estocástico tiene un relizción (versión) continu.
CAPÍTULO. PRELIMINARES Teorem..9 (Teorem de continuidd de Kolmogorov). Se X = fx(t); t g, un proceso estocástico que stisfce l siguiente condición: E jx(t) X(s)j K jt sj + ; pr todo t; s ; (.6) tl que pr todo T > existen constntes ; ; K >, entonces X tiene un relizción continu, esto es, existe tl que P ( ) = y pr cd!, X(t;!) es un función continu de t... Movimiento Brownino En est sección se trbjrá con un proceso estocástico tiempo continuo con espcio de estdos continuo llmdo Movimiento Brownino (MB).... Nots Histórics El proceso estocástico llmdo Movimiento Brownino o proceso de Wiener es un modelo utilizdo en diverss rms de l cienci y de grn importnci pr ls nnzs. El Movimiento Brownino fue construido principios del siglo XX y su nombre se tribuye l botánico inglés Robert Brown, que observó trvés del microscopio que pequeñísims prtículs, originds prtir de grnos de polen en suspensión en el gu, relizbn un movimiento riguroso e irregulr. En físic, tnto Einstein como Smoluchowski utilizron el Movimiento Brownino pr describir el movimiento de un molécul l chocr con otrs, esto quedo demostrdo con rigor mtemático en los ños 6 pr lgunos modelos sencillos. Antes de que el Movimiento Brownino se plicr trbjos en físic, en el ño de 9 Louis Bchelier construyó y plicó este proceso ls nnzs en su tesis doctorl. A pesr de que en su époc su tesis fue poco comprendid y ceptd, grcis estos trbjos Louis Bchelier es considerdo hoy en dí el precursor de ls Finnzs Cuntittivs Moderns. En 93 el mtemático Norbert Wiener, en sus trbjos entre 9 y 93 logr dr un modelo preciso y riguroso pr ls tryectoris de ls prtículs, siendo un función continu pero no diferencible en ningún punto, como l presentd por Weiertrss. Es por est rzón que menudo este proceso tmbién se le llm Proceso de Wiener y se denot por fw (t) : t g.
.. MOVIMIENTO BROWNIANO 3 Un specto teórico de interés en l teorí de procesos estocásticos es grntizr l existenci de este proceso. En prticulr pr los procesos de interés de est tesis se hrá un bosquejo de su construcción.... Construcción del Movimiento Brownino En est sección se mostrrá l existenci del Proceso de Wiener medinte el uso del teorem de extensión y de continuidd de Kolmogorov. Pr construir el Movimiento Brownino es necesrio determinr un fmili de distribuciones nits que stisfcen lguns propieddes que continución se presentn. Sen U = W (t ) N(; t ) U = W (t ) W (t ) N(; t t ); donde t > y t t > : Usndo el teorem de cmbio de vrible se obtiene l función de densidd conjunt pr ls vribles W (t ) y W (t ), f t ;t (u ; u ) = = p t e u t (u p (t t ) e u ) t t u p () t (t t ) e t + (u u ) t t. En el cso de n vribles se obtiene por inducción que l función de densidd conjunt está dd por f t ;:::;t n (u ; u ; :::; u n ) = u p ()n t (t t ) (t n t n ) e t + (u u ) +:::+ (un u n ) t t tn t n. Ahor, se veri crá que ls funciones nteriores stisfcen l propiedd de
4 CAPÍTULO. PRELIMINARES consistenci (cso n = ), Z f t ;t (x; y)dx = = = = = Z p t x p () t (t t ) e p (t t ) e p (t t ) e p (t t ) e p (t t ) e p (t t ) e Z y t t y t t y t t y t t + y t t t Z y t t dx e e z p t dz p Z e z dz p p x t dx = f t (y): En generl, pr t < t < < t n, n. Se demuestr por inducción que Z f t ;:::;t i ;:::;;t n (u ; :::; u i ; :::; u n )du i = f t ;:::;t i ;t i+ ;:::;t n (u ; :::; u i ; u i+ ; :::; u n ). De est form l fmili de distribuciones nits cumple l condición de consistenci, con el uso del Teorem de Extensión de Kolmogorov, se puede segurr que existe un espcio de probbilidd (; F; P ) y un proceso estocástico X = fu(t); t g tl que P f! : U(t ) u ; :::; U(t n ) u n g = F t ;:::;t n (u ; :::; u n ). A continución se probrá que el proceso cumple con ls propieddes que crcterizn l MB. Se sume que U() =. Se s t, entonces P fu(t) U(s) g = Z Z u p () s(t s) e s + (u u ) t s du du ;
.. MOVIMIENTO BROWNIANO 5 se hce el cmbio de vribles x = u, y = u P fu(t) U(s) g = = Z Z Z p (t u, el cul se obtiene x p () s(t s) e s) e y t s ; s + y t s dxdy sí se cumple otr propiedd l cul estblece que pr s t, se tiene que U(t) U(s) est distribuid normlmente con medi y vrinz t s. Pr t < t < < t n, n, por rgumentos similres l resultdo nterior, se puede mostrr que P fu(t ) ; U(t ) U (t ) ; :::; U(t n ) U (t n ) n g = P fu(t ) g P fu(t ) U (t ) g ; :::; P fu(t n ) U (t n ) n g ; esto implic que ls vribles letoris U(t ); U(t ) U (t ) ; :::; U(t n ) U (t n ) ; son independientes. Usndo el Teorem de continuidd de Kolmogorov, pr s t ; se demuestr que existen constntes positivs ; ; k, tles que E[jU(t) U(s)j ] k jt sj + ; en prticulr pr este proceso, se tomn los vlores de = 4, =, k = 3 y U(t) U(s) N(; t s) por lo que se cumple l desiguldd. De es mner el proceso estocástico X = fu(t); t g cumple l condición del teorem de continuidd. De est form existe un versión continu de U(t): X = fw (t); t g l cul es llmd Movimiento Brownino o Proceso de Wiener. Así l de nición forml del Movimiento Brownino es l siguiente: De nición.. Un movimiento Brownino o proceso de Wiener es un proceso estocástico fw (t) : t g; que cumple ls propieddes siguientes:. W () = (con probbilidd ).
6 CAPÍTULO. PRELIMINARES. Pr s < t T; l vrible letori dd por el incremento W (t) W (s) N(; t s); por tnto tmbién se puede rmr que W (t) W (s) p t sn(; ), donde N(; ) denot un vrible normlmente distribuid con medi cero y vrinz uno. 3. Pr s < t < u < v T, los incrementos W (t) W (s) y W (v) W (u) son independientes. 4. Ls tryectoris t! W (t) son continus...3. Propieddes del Movimiento Brownino Proposición.. (b) Cov(W (t); W (s)) = min fs; tg : (c) E[W (s) 4 ] = 3s, s. () W (t) es un proceso de Mrkov. Demostrción. () Sen < t < t < :::t n < t n+ ; y w ; w ; :::w n ; w n+ R, entonces P (W (t n+ ) = w n+ jw (t ) = w ; W (t ) = w ; :::; W (t n ) = w n ) = P (W (t ) = w ; W (t ) = w ; :::; W (t n ) = w n ; W (t n+ ) = w n+ ) P (W (t ) = w ; W (t ) = w ; :::; W (t n ) = w n ) = P (W (t ) = w ; :::; W (t n+ ) W (t n ) = w n+ w n ) P (W (t ) = w ; :::; W (t n ) W (t n ) = w n w n ) = W (t n+ ) W (t n ) = w n+ w n : Por otro ldo, se tiene que P (W (t n+ ) = w n+ jw (t n ) = w n ) = (W (t n) = w n ; W (t n+ ) = w n+ ) P (W (t n ) = w n ) = P (W (t n) W (t ) = w n w ; W (t n+ ) W (t n ) = w n+ w n ) P (W (t n ) W (t ) = w n w ) = P (W (t n+ ) W (t n ) = w n+ w n ):
.3. INTEGRAL DE ITÔ 7 Por lo tnto, W (t) es un proceso de Mrkov. (b) Como Cov(W (t); W (s)) = E[W (t)w (s)] E[W (t)]e[w (s)] y y que E[W (t)w (s)] = minfs; tg y E[W (t)] = E[W (s)] =, el resultdo se sigue. (c) Pr l prueb de este resultdo se us l función generdor de momentos de un distribución norml M x (t) = e t+ t ; con medi y vrinz s. Se hll el curto momento y evlundo en cero el resultdo se sigue. A continución se muestr un simulción del movimiento Brownino relizd en Mtlb, l cul consiste en hcer un discretizción del intervlo [; ] en N prtes con N N. Además de usr un generdor de números letorios (rnd), el cul produce números letorios independientes y distribuidos con un norml estándr. El progrm detlldo se muestr en Apéndice 3. En l Grá c. muestr l simulción de un tryectori Brownin con N = 5..3. Integrl de Itô Grá c. En está sección el objetivo es de nir l Integrl de Itô de un proceso estocástico ff(t;!) ; t T g respecto del Movimiento Brownino, es
8 CAPÍTULO. PRELIMINARES decir, un integrl de l form: Z T f(t;!)db(t): Pr construir l integrl de Itô, l ide principl es seguir tres psos: en el pso se de ne l integrl estocástic pr procesos estocásticos simples en L (P dt), en el pso se prueb un lem de proximción, utilizndo este lem y el pso, en el pso 3 se de ne l integrl estocástic pr un proceso estocástico generl en L (P dt). Se consider como elementos iniciles un espcio de probbilidd (; F; P ), un MB fb(t) : t T g y un ltrción nturl ff t g t que stisfce ls condiciones siguientes: ) Pr cd t [; T ], B(t) es dptdo, es decir, l función B(t) :! R es F t -medible. b) Pr culquier s t, l vrible letori B(t) B(s) es independiente de l -álgebr F s : En el trnscurso de l construcción se usrá l notción siguiente. Se L (P ) l espcio vectoril de vribles letoris X que son cudrdo integrbles, es decir, que cumplen l condición kxk L (P ) := (E jxj ) < L función X 7! kxk L (P ) de ne un norm en L (P ) y este espcio es completo respecto de est norm. En este trbjo se considern procesos en el intervlo [; T ] con T R, tmbién se denot por L (P dt) l espcio de Bnch de procesos fx(t) : t T g de nido por, L (P dt) = ( X(t) : L! Rj Z T = ) E jx(t)j < : Pso : Integrl pr procesos simples en L (P dt): Se = t < t < < t n < t n = T un prtición nit del intervlo [; T ]. Un proceso estocástico simple es un proceso de l form
.3. INTEGRAL DE ITÔ 9 f(t;!) = nx X i (!)I [ti ;t i )(t); i= donde X i es un vrible letori F ti -medible y E(Xi ) <. L expresión I [;b) (t) corresponde l función indicdor del intervlo [; b): Es decir I [;b) (t) = ; t [; b] ; t = [; b] en este cso se de ne l integrl nx I(f) = X i (B(t i ) B(t i )): (.7) i= Además, se tiene el siguiente lem. Lem.3. Supóngse que I(f) se encuentr de nid por l relción (.7). Entonces EI(f) = y E(jI(f)j ) = E(jf(t)j )dt: (.8) Demostrción. Pr cd i n en l ecución (.7), E[X i (B(t i ) B(t i ))] = E E[X i (B(t i ) B(t i )) j F ti ] = EfX i E[B(t i ) B(t i ) j F ti ]g = EfX i E[B(t i ) B(t i )]g = : por tnto, EI(f) =. Además, se tiene que nx ji(f)j = X i X j (B(t i ) B(t i ))(B(t j ) B(t j )): i;j= pr i 6= j; es decir, si i < j; EfX i X j (B(t i ) B(t i ))(B(t j ) B(t j ))g (.9) = EfE[X i X j (B(t i ) B(t i ))(B(t j ) B(t j )) j F tj ]g = EfX i X j (B(t i ) B(t i ))E[B(t j ) B(t j ) j F tj ]g = ;
CAPÍTULO. PRELIMINARES de lo cul se tiene que E[B(t j ) B(t j ) j F tj ] = E[B(t j ) B(t j )] =, por otr prte, pr i = j; se obtiene que E[X i (B(t i ) B(t i )) ] = EfE[X i (B(t i ) B(t i )) j F ti ]g De est form, E(jI(f)j ) = Por otro ldo, se tiene que E(jf(t)j )dt = = = = = = = = EfX i E[(B(t i ) B(t i )) ]g = EfX i (t i t i )g = (t i t i )E(X i ): nx (t i t i )E(Xi ): i= " nx E X i I [ti ;t i ](t)# dt i= " nx # E Xi I [ti ;t i ](t) dt i= i= nx E Xi I [ti ;t i ](t) dt nx I [ti ;t i ](t)e Xi dt i= nx E Xi i= I [ti nx E Xi (ti t i ) i= nx (t i t i )E Xi : i= Por lo tnto, l ecución (.8) es válid. ;t i ](t)dt Pso : Lem de Aproximción Como y se mostró en el pso, que está de nid l integrl estocástic pr procesos simples, hor toc probr en este lem l existenci de un
.3. INTEGRAL DE ITÔ sucesión procesos simples en L (P dt), pr que más posteriormente se pued de nir l integrl estocástic pr un proceso estocástico generl en L (P dt). Lem.3. Supóngse f L (P dt) entonces existe un sucesión ff n (t) : n g de procesos simples en L (P dt), tles que lim n! Efjf n (t) f(t)j gdt =. Demostrción. Cso : f continu en T R. Se A n = ft ; t ; :::; t n ; t n g; un prtición del intervlo [; b] T: Se de ne f n (t;!) = f(t i ;!); t i < t t i ; entonces ff n (t;!)g es un sucesión de procesos estocásticos dptdos simples. Por l continuidd de f se tiene que lim Efjf(t;!) f(s;!)j g =, t!s lo cul implic que pr cd t [; b]; Además, usndo l desiguldd se tiene lim Efjf(t;!) f n(t;!)j g = : (.) n! j j (jj + jj ); ; R; jf(t;!) f n (t;!)j (jf(t;!)j + jf n (t;!)j ) E(jf(t;!) f n (t;!)j ) (E(jf(t;!)j ) + E(jf n (t;!)j )) ( sup E jf(t;!)j + sup E jf n (t;!)j ) tb tb = 4 sup E jf(s;!)j < : (.) sb por ls ecuciones (.) y (.), se puede plicr el teorem de convergenci domind, sí se concluye que lim n! E jf(t;!) f n (t;!)j dt = :
CAPÍTULO. PRELIMINARES Cso : f cotd. Se g n (t;!) = Z n(t ) e T f(t T n ;!)dt: donde n, t [; T ],!. Obsérvese que se cumplen ls siguientes proposiciones: g n es dptd ff t g, y g n L (P dt) Z n(t ) E[jg n j ]dt = E e T T f(t n ;!)dt dt Z n(t )! E e t T f(t n ;!) dt dt! k fg n g son continus pr cd n ; u = t g n (t;!) = cundo t m! t se tiene que g n (t m ;!) = = E Z n(t ) Z t e (t Z tm e (tm Z T n ; du = I [;tm]e (tm R e t dt dt n ; u)n f(u;!)ndu; u)n f(u;!)ndu dt < +; u)n f(u;!)ndu; hciendo diferencis Z n(t ) f(t;!) g n (t;!) = f(t;!) e T T f t n ;! dt Z + Z n(t ) = f(t;!) e T e T T f t n ;! dt Z + = e f(t; T T!) f t n ;! dt;
.3. INTEGRAL DE ITÔ 3 donde f(t) es cero pr t < : jf(t; w) g n (t;!)j = por lo tnto, Z + Z + f(t;!) f(t;!) f f t t T n ;! e T dt T n ;! e T dt; kg n fk L (P dt) = = E jf(t;!) Z + Z + e T g n (t;!)j dt E t f(t;!) f E t f(t;!) f! T n ;! e T dt dt! T n ;! dt dt; como f es cotd entonces t f(t;!) f T n ;! dt! ; E jf(t;!) g n (t;!)j dt! ; n! ; como los fg n g son continus por el cso nterior, existe ff n g tl que kf n g n k L (P dt)! ; Efjf(t;!) g n (t;!)j gdt! ; entonces por () y por () kf n fk L (P dt) = kf n g n f + g n k kf n g n k + kg n fk ; kf n fk L (P dt) = E jf n fj dt! :
4 CAPÍTULO. PRELIMINARES Cso 3: Cso generl f L (P dt) Se f L (P dt) pr cd n N, se de ne f(t;!) jf(t;!)j n g n (t;!) = o.c. por el teorem de convergenci domind, E jf(t) g n (t)j dt! ; por otro ldo, pr cd n N se plic el cso y existe un ff n g tl que, kf n g n k L (P dt) n ; entonces de est form kf n fk L (P dt) kf n g n k + kg n fk ; kf n fk!. Pso 3. Integrl Estocástic pr f L (P dt): Ahor se usrá el pso y pso pr de nir l integrl estocástic, f(t)db(t); f L (P dt): Por el Lem de Aproximción existe un sucesión ff n g de procesos simples tl que lim n! kf n fk L (P dt) =. Pr cd n, I(f n ) est de nid por el pso. Entonces ki(f n ) I(f m )k L (P ) = E(jI(f n ) I(f m )j ) = E jf n cundo n! ; m!, en l relción nterior, f m j dt = kf n f m k L (P dt) ; lim lim E ji(f n! n) I(f m )j = lim lim kf n f m k m! n! m! lim kf n fk + lim kf n fk = ; n! m!
.3. INTEGRAL DE ITÔ 5 sí E ji(f n ) I(f m )j!, de lo cul, se concluye que fi(f n )g es un sucesión de Cuchy (vése Apéndice ) y como L (P ) es un espcio métrico completo, se tiene que lim I(f n) L (P ), n! por lo cul se de ne l integrl de Itô de f, como I(f n ) = lim n! I(f n ). L integrl de Itô stisfce ls siguientes proposiciones. () I((X + Y )) = I(X) + I(Y ): (b) E[I(X)] = : (c) ki(x)k L (P ) = kxk L (P dt) : (d) Sen X; Y L (P dt) E X(t)dB(t) Demostrción. () Se tiene que Y (t)db(t) = I(X) = lim n! I(X n ) y I(Y ) = lim n! I(Y n ): Por de nición de l integrl se tiene que I((X + Y )) = lim n! I((X n + Y n )) E[X(t)Y (t)]dt: = lim I(X n + Y n ) n! = lim I(X n + Y n ) n! = lim I(X n ) + lim I(Y n ) n! n! = I(X) + I(Y ):
6 CAPÍTULO. PRELIMINARES (c) Si B k denot l diferenci B(t k+ ) B(t k ) y t k = t k+ t k entonces ki(x)k L (P ) = E @ Xn X k (B(t k+ ) B(t k )) A k=! Xn = E X j X k B j B k = E = k= n! X (X k ) (B k ) k= Xn E(X k ) t k k= Z T = E = kxk : jx t j dt Est propiedd es llmd Isometrí de Itô. (d) Sen X; Y L (P dt) por demostrr que E X(t)dB(t) Y (t)db(t) = E[X(t)Y (t)]dt: Usndo (c) y desrrollndo mbos extremos de l identidd se tiene que ki(x + Y )k = kx + Y k ki(x) + I(Y )k L (P ) = kx + Y k L (P dt) E(I(X) + I(X)I(Y ) + I(Y ) ) = E(I(X) ) + E(I(X)I(Y )) + E(I(Y ) ) = ki(x)k + E(I(X)I(Y )) + ki(y )k = kxk + E[I(X)I(Y )] = E(XY )dt E(X + XY + Y )dt E(X ) + E(XY ) + E(Y )dt E(XY )dt + ky k
.3. INTEGRAL DE ITÔ 7 E X(t)dB(t) Y (t)db(t) = E[X(t)Y (t)]dt: Ejemplo.3.3 En este ejemplo se clcul l integrl estocástic. B(t)dB(t) = (B(b) B() ) (b ) (.) Se f(t) = B(t) y se plic el Pso, demás por el lem de proximción se n = f = t ; t ; :::; t n = bg un prtición de [; b], se de ne: f n (t) = B(t i ); t i < t t i, entonces donde, I(f n ) = B(t)dB(t) = lim n! X I(f n ), n= nx B(t i )(B(t i ) B(t i )); i= L n = R n = nx B(t i )(B(t i ) B(t i )); i= nx B(t i )(B(t i ) B(t i )); i= R n L n = nx (B(t i ) B(t i )) ; (.3) i= Se probrá que l vrición cudrátic tiende b ; cundo k n k = mx in jt i t i j tiende. Note que: nx (t i t i ) = b, i=
8 CAPÍTULO. PRELIMINARES y n = = nx nx (B(t i ) B(t i )) (t i t i ) i= i= nx (B(t i ) B(t i )) (t i t i )), i= donde, X i = (B(t i ) B(t i )) (t i t i )), entonces, n = = " nx " nx # X i# X j i= j= nx nx X i X j. i= j= Se sbe que, E(X i X j ) =, si i 6= j, y E(B(t) B(s)) 4 = 3 jt sj. Entonces, E[Xi ] = E(B(t i ) B(t i )) 4 (t i t i )(B(t i ) B(t i )) + (t i t i ) = E(B(t i ) B(t i )) 4 (t i t i )E(B(t i ) B(t i )) + (t i t i ) = 3(t i t i ) (t i t i ) + (t i t i ) = (t i t i ). Por lo tnto, nx E n = E[Xi ] = i= nx (t i t i )(t i t i ) i= k n k nx (t i t i ) = k n k jb j ; i=
.3. INTEGRAL DE ITÔ 9 R n + L n = = nx (B(t i ) + B(t i ))(B(t i )(B(t i ) B(t i )) i= nx (B(t i ) B(t i ) ) i= = (B(t ) B(t ) ) + (B(t ) B(t ) ) + + (B(t n ) B(t n ) ) + (B(t n ) B(t n ) ) = B(t n ) B(t ) Sumndo (.3) y (.4), se tiene que ( R n = = B(b) B() : (.4) B(b) B() + Restndo (.4) de (.3) se obtiene ) nx (B(t i ) B(t i )). nx R n + L n (R n + L n ) = L n = B(b) B() (B(t i ) B(t i )), es decir, Por otro ldo, cundo n! ; L n = ( i= i= ) nx B(b) B() (B(t i ) B(t i )). I(f n ) = i= B(t)dB(t) = lim n! I(f n ), nx B(t i )(B(t i ) B(t i )) i= = L n, lim L n = B(b) n! B() (b ).
3 CAPÍTULO. PRELIMINARES.3.. Fórmul de Itô Se requiere un regl pr diferencir expresiones de l form f(b(t)); donde f es un función diferencible. Si B(t) es diferencible entonces l regl de l cden ordinri estrí dd por: d dt f(b(t)) = f (B(t))B (t): L cul en notción diferencil deberí ser escrito de l form siguiente equivlentemente, df(b(t)) = f (B(t))B (t)dt f(b(t)) f(b()) = = f (B(t))dB(t); Z t f (B(u))dB(u): L fórmul nterior pr l integrl de Itô no es vlid, pr observr este hecho considere el siguiente ejemplo: f(x) = x, entonces B(b) B() = B(t)dB(t) = B(b) B(t)dB(t), B() ; y por el ejemplo (.) se puede observr que no es válid l fórmul nterior pr l integrl de Itô. Pr el cálculo de Itô, l regl de l cden present l form siguiente: f(b(b)) f(b()) = pr ; b R y f L (R): Si b = t; en l fórmul nterior f(b(t)) f(b()) = pr R, t [; b]. Z t f (B(t))dB(t) + f (B(s))dB(s) + Z t f (B(t))dt; f (B(s))ds; (.5)
.3. INTEGRAL DE ITÔ 3 Ejemplo.3.4 Se f(x) = x, se plic l fórmul de Itô en su form simple (.5). entonces B(b) B() = = B(s)dB(s) = Teorem.3.5 Se f L y f : R f(b(t)) f(b()) = Z t B(b) B(s)dB(s) + B(s)dB(s) + (b ds ); B() (b ).! R entonces f (B(s))dB(s) + Z t f (B(s))ds; t [; T ] R (T j). Demostrción. Usndo el teorem de Tylor plicdo f en x R, se tiene que f(x) = f(x ) + f (x )(x x ) + R(x); donde el residuo está ddo por R(x) = Z x x f ()(x equivlentemente, hciendo el cmbio de vrible )d; se tiene que u = x x x ; R(s) = = Z Z f (x + u(x))(x x u(x x ))(x x )du ( u)f (x + u(x x ))(x x ) du. Se = ft = ; :::; t n = tg un prtición de [; t]; entonces nx ff(b(t k )) f(b(t k ))g = f(b(t n )) f(b(t )); k=
3 CAPÍTULO. PRELIMINARES por otro ldo, usndo (.5) se tiene que nx ff(b(t k )) f(b(t k ))g = k= nx ff (B(t k ))(B(t k ) B(t k )) k= Z + ( u)f (B(t k ) + u(b(t k ) B(t k )))(B(t k ) B(t k )) dug. Se B(k) = B(t k ) B(t k ); entonces nx ff(b(t k )) f(b(t k ))g = k= nx f (B(t k ))B(k) + k= Z ( u)f (B(t k ) + ub(k)(b(k)) du; cundo n! f(b(t)) f(b()) = = = Z t Z t Z t Z Z t f (B(s))dB(s) + ( u) f (B(s))dsdu Z t Z f (B(s))dB(s) + f (B(s))ds ( u)du f (B(s))dB(s) + Z t f (B(s))ds. Observción.3.6 Si f : [; t]r! R es un función continu con derivds prciles continus: @f @t ; @f @x ; @ f @x ; en este cso l fórmul de Itô tiene l form siguiente: f(t; B(t)) f(; B()) = Z t @f (s; B(s))dB(s) + @x Z t @f @t + @ f ds. @x Teorem.3.7 Si fx(t) : t T g es un proceso de Itô como el de nido en (.5) y f : [; T ]R! R; es un función con ls crcterístics siguien-
.3. INTEGRAL DE ITÔ 33 tes: f(; X) C y f(t; ) C. Entonces Y (t) = f(t; X(t)), t, es tmbién un proceso de Itô y stisfce l siguiente ecución estocástic. dy (t) = f t (t; X(t))dt + f X (t; X(t))d(X(t)) + f XX(t; X(t))d(X(t)). Form Integrl f(t; X(t)) = f(; X()) + Z t f X (s; X(s))(s; X(s))dW (s) + Z t +f s (s; X(s))b(s; X(s)) + f XX(s; X(s))(s; X(s)) ]ds; [f t (s; X(s)) dx(t) = b(t; X(t))dt + (t; X(t))dW (t); d(x(t)) = (b(t; X(t))dt + (t; X(t))dW (t)) ; = (t; X(t)) dt; dy (t) = f t (t; X(t))dt + f X (t; X(t))dX(t) + f XX(t; X(t))d(X(t)) = f t (t; X(t))dt + f X (t; X(t))[b(t; X(t))dt + (t; X(t))dW (t)] + f XX(t; X(t))(t; X(t)) dt = f t (t; X(t))dt + f X (t; X(t))b(t; X(t))dt + f X (t; X(t))(t; X(t))dW (t) + f XX(t; X(t))(t; X(t)) dt = [f t (t; X(t)) + f X (t; X(t))b(t; X(t)) f XX(t; X(t))(t; X(t)) ]dt +f X (t; X(t))(t; X(t))dW (t) Y (t) = f(t; X(t)).
34 CAPÍTULO. PRELIMINARES.4. Ecuciones Diferenciles Estocástics Ls ecuciones diferenciles estocástics (EDE) son de grn importnci en ls áres plicds como biologí, químic y nnzs entre otrs. Ls EDE son usds en l práctic pr describir el movimiento de un sistem en función del tiempo, por ejemplo el cmbio de cpitl en un inversión riesgos. En est sección se estudin métodos pr simulr EDE numéricmente medinte el método de Euler-Mruym, pr ecuciones ordinris determinists. En prticulr se nliz l ecución diferencil estocástic del movimiento Brownino exponencil, l cul es usd en el modelo de Blck- Scholes pr modelr el movimiento del precio de un bien en el mercdo de vlores. En este cso se us el método de Euler-Mruym pr simulr l ecución diferencil estocástic del movimiento Brownino exponencil. Se (; F; P ) un espcio de probbilidd y B(t) el movimiento Brownino estándr con ltrción nturl ff t g, entonces ls ecuciones diferenciles estocástics son de l form siguiente: d (X(t)) = (t; X(t))dt + (t; X(t))dB(t); (.6) de nid pr t [; T ], donde X(t) es lgún proceso estocástico, donde (t; X(t)) : [; T ] R! R es el coe ciente de tendenci y (t; X(t)) : [; T ] R! R es el coe ciente de difusión. L condición inicil es lgun vrible letori X(), F t -medible e independiente del proceso Brownino B(t). Entonces ls ecuciones diferenciles estocástics se interpretn medinte l ecución siguiente: X(t) = X() + Z t (s; X(s))ds + Z t (s; X(s))dB(s). (.7) Si los coe cientes de tendenci y de difusión stisfcen:. L condición de Lipschitz j(t; x) (t; y)j + j(t; x) (t; y)j k jx yj.. L condición de crecimiento: j(t; x)j + j(t; x)j k( + jxj );
.4. ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCÁSTICAS 35 pr lgun k >, entonces existe un proceso estocástico X(t) dptdo, continuo y uniformemente cotdo en el espcio L (P ); esto es: sup E[Xt ] < ; tt demás es único y es solución de (.6) (vése [6]). Estos resultdos no estblecen l form de encontrr l solución de un ecución estocástic dd, por tl motivo l fórmul de Itô es útil pr hcer estos cálculos. Este resultdo estblece que si X(t) es un proceso de Itô ddo por (.6) y f(t; x) es un función de clse C en t y de clse C en x; entonces el proceso Y (t) = f(t; X(t)) es tmbién un proceso de Itô y stisfce l ecución dy (t) = f t (t; X(t))dt + f x (t; X(t))dX(t) + f xx(t; X(t)(dX(t)) ; (.8) l plicción de l ecución nterior (.8) hce uso de l siguiente tbl de multiplicción de Mcken, que tom l proceso X(t) = B(t). dt db(t) dt db(t) dt Tbl Ejemplo.4. En este ejemplo se dese clculr l siguiente integrl usndo l ecución (.8). Z t sdb(s) = tb(t) Z t B(s)ds. Se X(t) = B(t) y l función f(t; x) = tx entonces usndo (.8) se obtiene d(f(t; B(t))) = f t (t; B(t))dt + f x (t; B(t))dB(t) + f xx(t; B(t))(dB(t)) ; donde, f t (t; X(t)) = x; f x (t; X(t)) = t;
36 CAPÍTULO. PRELIMINARES por lo cul, se tiene que f xx (t; X(t)) = ; d(f(t; B(t))) = B(t)dt + tdb(t); integrndo: f(t; B(t)) = tb(t) = Z t Z t B(s)ds + B(s)ds + Z t Z t sdb(s) sdb(s); relizndo un despeje l ecución se obtiene el resultdo desedo Z t sdb(s) = tb(t) Z t B(s)ds. Ejemplo.4. (Movimiento Brownino Geométrico (MBE)) Supóngse que el proceso X(t) sigue un ley de movimiento dd por l ecución estocástic dx(t) = X(t)dt + X(t)dB(t); (.9) con condición inicil X() = x > ; donde y > son constntes. El uso de est ecución es útil en nnzs pr modelr el precio de lgunos bienes que osciln en los mercdos nncieros. Es posible resolver l ecución (.9) usndo el método de igulción de coe cientes, pr ello es necesrio encontrr l función f(t; B(t)) = X(t) que stisfg ls ecuciones siguientes: :f(t; x) = f t (t; x) + f xx(t; x) :f(t; x) = f x (t; x) De l segund ecución diferencil se tiene que f(t; x) = f x (t; x) entonces = @x; l integrr se obtiene @f(t;x) f(t;x) ln(f(t; x)) = x + f(t). Por lo tnto, l resolver l segund ecución diferencil se obtiene f(t; x) = e x+f(t) ;
.4. ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCÁSTICAS 37 l sustituir el resultdo nterior en l primer ecución diferencil se tiene que: = @f(t) @t entonces df(t) dt = ;esto es f(t) = X(t) = e + t+b(t). ; t por lo tnto: Proceso conocido como movimiento Brownino Geométrico y tmbién se le conoce como movimiento Brownino Exponencil. El método de Euler-Mruym Un Ecución Diferencil Estocástic (EDE) de l form dx(t) = f(x(t))dt + g(x(t))dw (t); X() = X(); t T; donde f y g son funciones y l condición inicil X() es un vrible letori. Est ecución puede ser descrit en form integrl como: X(t) = X() + Z t f(x(s))ds + Z t g(x(s))dw (s), t T; (.) se dese discretizr l ecución (.) en i subintervlos, es decir se tiene que X(t i ) = X(t i ) + Z ti t i f(x(s))ds + Z ti t i g(x(s))dw (s). (.) El método de Euler Mruym utiliz l siguiente proximción pr ls integrles de l form R b f(x)dx. Se f un función continu en un intervlo, por de nición se tiene que: f(x)dx = lim n! nx f(x i ) i x; (.) donde se consider l prtición = x < x < x < ::: < x n = b; con i x = x i x i pr i = ; ; :::; n; de est form l proximción pr l integrl es: nx f(x)dx f(x i ) i x; (.3) i= i=
38 CAPÍTULO. PRELIMINARES tomndo un i x su cientemente pequeño, f(x i tiene que el término ) f(x ). Por otro ldo se nx f(x i ) i x f(x ) i= nx i x i= = f(x ) [(x x ) + (x x ) + + (x n x n )] = f(x )(x n x ) = f(x )(b ). Este nálisis puede extenderse tmbién integrles estocástics, en prticulr pr ls integrles de l ecución (.), si se supone un prtición uniforme en l que b = t i t j = t; en l cul se us l proximción nterior, sí que l ecución (.) se reescribe de l siguiente mner X i = X i + f(x i )t + g(x i )(W (t i ) W (t i )). (.4) Ahor l plicr el método de Euler Mruym pr l ecución diferencil dx(t) = X(t)dt + X(t)dW (t); (.5) donde y son constntes reles; demás f(x) = X y g(x) = X, l solución nlític de l EDE est dd por X(t) = X()e ( )t+w (t). (.6) Lo que sigue es simulr l tryectori Brownin discret sobre el intervlo [; ], con t = 8 y se evlú en l solución (.6), est tryectori se visuliz en l grá c que prece en l Grá c.. Al plicr el método de EM se tom t = Rt con R = 4. El método requiere el incremento W (t i ) W (t i ), el cul est ddo por, W (t i ) W (t i ) = W (irt) W ((i )Rt) = irx j=ir R+ dw (j). Se muestr continución l simulción grá c de método Euler Mruym pr l solución de l ecución diferencil (.5) con X() =, = 7337 y = 38595. El progrm detlldo se encuentr en el Apéndice 3.
.4. ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCÁSTICAS 39 Grá c. En está sección se mostró l prte del cálculo estocástico que es necesrio pr continur el desrrollo de l tesis, y que es l bse teóric en l cul se fundment l fórmul de Blck-Scholes, resultdo importnte que consider el supuesto de que el precio subycente sigue el proceso generl de Itô. Por lo que continución se desrroll el método Monte-Crlo, el cul es necesrio y que constituye un herrmient muy útil que simpli crá vrios cálculos, en prticulr pr l vlución de opciones.
4 CAPÍTULO. PRELIMINARES
Cpítulo 3 Método Monte-Crlo El método Monte-Crlo es un procedimiento no determinístico que es usdo pr proximr integrles de nids, pr ls cules es difícil hllr su vlor excto. Dicho método dt de l décd de 94 (vése [],[3]) y se utilizó inicilmente pr evlur integrles múltiples de nids en físic mtemátic. Hoy en dí hy un resurgimiento de interés de este método, en prticulr en nnzs y en inferenci estdístic (vése []). Un herrmient pr implementr el método Monte Crlo es l simulción mtemátic. L simulción es usd pr generr números letorios en el intervlo sobre el cul se encuentr de nid l integrl y de est mner proximr l integrl medinte un sum. En generl, l simulción puede ser propid cundo existe un problem que es muy difícil de resolver. Ddo que ls simulciones proporcionn un estimción de un prámetro de interés, siempre existe un error que constituye un prte importnte en el nálisis. En prticulr en l sección 3. se presentrá un nálisis del error de estimción. A continución, se proporcion un descripción del método Monte Crlo. Supóngse que se dese clculr l siguiente integrl I = Z xf(x)dx. Usndo ls herrmients de teorí de probbiliddes se puede identi cr l integrl nterior con l espernz de un vrible letori, X, no negtiv y con densidd f, I = E f [X]. 4
4 CAPÍTULO 3. MÉTODO MONTE-CARLO Por l Ley de los Grndes Números (vése péndice ), se tiene que un buen estimdor de I es l medi ritmétic de un muestr nit de vribles letoris (X ; X ; :::X n ), independientes, con función de densidd común f, es decir, X = nx X i ; n i= entonces pr culquier >, P E[X] X >!, cundo n! :Por lo tnto se tiene que bi := M MX X i I. i= Además, b I es un estimdor insesgdo de I, es decir l E[ b I] = I, l vrinz de b I est dd por V r( b I) = V r f(x) M ; y l desvición estándr de l muestr del estdístico I es f ( b I) = f(i) p M. 3.. Aplicción l Cálculo de Integrles En está sección se hrá uso del método Monte-Crlo pr el cálculo de integrles, pr el cul se trnsformrá culquier integrl sobre un intervlo [; b]. Se G es un función continu, su vlor esperdo se puede estimr de l form siguiente Z G(x)dx M MX G(X i ). Pr trnsformr culquier integrl sobre un intervlo [; b] un integrl sobre un intervlo [; ] se hce el siguiente cmbio de vrible x = +(b )u i=
3.. APLICACIÓN AL CÁLCULO DE INTEGRALES 43 con dx = (b )du entonces G(x)dx = (b ) G( + (b )u)du (b ) M con u i vribles letoris uniformes en el intervlo [; ]. Similrmente, si se requiere evlur l integrl siguiente: Z se debe plicr l sustitución u = donde Z x+ G(x)dx = G(x)dx; MX G( + (b )u i ); i=, y se obtiene l identidd Z h(u)du; h(u) = G( u ) u. A continución se presentn lgunos ejemplos donde se ilustr l metodologí estudid. e x 5 R Ejemplo 3.. Considérese I = p 5 dx. Se usrá MC pr proximr l integrl, pr ello se trnsform el intervlo de integrción l intervlo [; ], medinte el cmbio de vrible I = = Z 5 p Z 5 p 5 M p e x dx e (5u) du MX i= e (5u i ) = 493 con un muestr de tmño M =, el resultdo no es bueno si se compr con el vlor excto de dich integrl, vlor excto 98758, pero si se increment l muestr M se observ que el vlor se proxim l vlor excto. M Aprox. Monte Crlo 493 99479 98643 987636
44 CAPÍTULO 3. MÉTODO MONTE-CARLO Tbl 3 El método Monte-Crlo es un método probbilístico en el cul el problem depende del tmño de l muestr, este método es plicble pr el cálculo de integrles probbilístics y determinístics, ests últims son pr ls integrles que no sen tn fáciles de clculr. A continución se ejempli cn lgunos de ellos. Ejemplo 3.. En este ejemplo se quiere clculr l siguiente integrl I = Z se trnsform l integrl l intervlo [; ] I = = 4 Z Z 4 M e x +x dx e x +x dx: e 4u +u du MX e 4u i +u i = 76 3774 con un muestr de tmño M =. Vlor excto 89 574. i= M Aprox. Monte Crlo 76 3774 86 6964 86 83 88 56 Tbl 4 l mejor proximción l vlor exto es cundo M es muy grnde. Ejemplo 3..3 En este ejemplo se muestr el cálculo de l integrl sobre intervlo [; ) I = Z e x dx;
3.. ESTIMACIÓN DEL ERROR 45 se trnsform l integrl l intervlo [; ] ; hciendo el cmbio de vrible siguiente I = = Z Z M e x dx e MX i= ( u) u u du e ( u i ) u i u i ; los resultdos que se obtiene l utilizr diferentes tmños de muestr de M M Aprox. Monte Crlo 4746 9 3868 545 Tbl 5 comprndo los diferentes resultdos que se obtiene utilizndo Monte Crlo con el vlor excto de l integrl 533, se observ que l mejor proximción es cundo el tmño de l muestr es grnde. Pr ver como se relcion el error M de l muestr, se verá lo siguiente. que se obtiene l elegir un tmño 3.. Estimción del error El teorem del Límite Centrl permite estimr el error que se comete l usr Monte-Crlo pr estimr l integrl. Se I = E[G(X)]; bi M = MX g(x i ); M i=
46 CAPÍTULO 3. MÉTODO MONTE-CARLO entonces es l desvición estándr de G(x); se tiene que estándr de I ~ M ; por lo tnto I P IM b k < p P (jz M j < k) = (k); M p M es l desvición donde Z M = (I I) ~ R p ; (k) = p k e z M dz y k se seleccion dependiendo de l probbilidd que se desee obtener. Por ejemplo si se dese que l probbilidd se 95 se seleccion k = 96. Así que el error que se comete l usr el método Monte-Crlo es proximdmente p M. Este resultdo permite estimr un intervlo de con nz de %: Pr esto se seleccion k de tl mner que (k) = : De está form, con probbilidd se puede segurr que el vlor excto de l integrl I está en el intervlo bi k p ; I b + k p. M M El método Monte-Crlo converge lentmente por lo que no es competitivo con otros métodos pr el cálculo de integrles en un vrible, pero pr el cálculo de integrles múltiples se vuelve un método muy e ciente (vése []). Ejemplo 3.. Pr el ejemplo 3.., en bse lo nterior, se clcul el error de estimción que se obtiene l usr Monte-Crlo, ms ún se muestr el intervlo de con nz en l que se puede segurr entre que vlores se encuentr el vlor excto de l integrl. Se dese que l probbilidd se = ;95 sí que se seleccion k = ;96 sí que el error que se comete l usr Monte-Crlo es de error = p ; M con diferentes vlores de M se tiene M p M ;95 ;3 ;95 ;3 Tbl 6 obsérvese que pr vlores grndes de M el error estándr se hce muy pequeño. Teniendo el vlor del error de estimción, esto permite obtener el
3.3. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE 47 intervlo de con nz de %: Pr ello se seleccion k de tl form que (k) = : De est mner podemos segurr que con probbilidd el vlor de l integrl exct se encuentr dentro del intervlo de con nz k bi p ; I b + k p ; M M usndo los diferentes vlores de M se tiene los siguientes intervlos de con- nz h M bi pk M ; I b i + p k M ( 9633; 33543) ( 9359; 535) ( 9675; 4763) ( 9875; 9935) Tbl 7 Por lo que el ejemplo nterior muestr que un ventj del uso del método Monte-Crlo es que se puede ver el vlor excto entre que vlores se encuentr. 3.3. Integrción Múltiple En est sección se mostrrá l integrción múltiple usndo método Monte- Crlo. El uso de números letorios pr l proximción de integrles, comienz hcer útil pr proximr integrles de dimensiones lts. Supóngse que G es un función de dimensión n; y se quiere clculr I = Z Z Z G(x ; x ; :::; x m )dx dx :::dx m. L clve que us Monte-Crlo pr estimr el vlor de I, rádic en el hecho de que I puede ser expresr medinte l espernz siguiente: I = E [G(U ; U ; :::U m )] ; donde U ; U ; :::; U m son vribles letoris independientes, que se distribuyen de mner uniforme en (; ): Por lo que si se gener k conjuntos independientes, cd uno consiste de m vribles letoris independientes distribuids
48 CAPÍTULO 3. MÉTODO MONTE-CARLO uniformemente. U ; :::; U m U ; :::; U m : : U k ; :::; U k m; entonces ls vribles letoris G(U i ; U i ; :::U i m); pr i = ; ; :::; k; son independientes e idénticmente distribuids con medi I, usndo nuevmente l ley de los grndes números pr estimr I, es decir, bi n = n nx G(U; i U; i :::Um). i i= Ejemplo 3.3. Un plicción pr integrles múltiples es el cálculo proximdo del vlor de. Se recuerd que el áre de un círculo de rdio r es r, y por lo tnto está ddo por el vlor de l integrl Z Z I fx +y <g(x; y)dxdy. Si X y Y son vribles letoris independientes idénticmente distribuids (v..i.i.d), uniformes en ( ; ); mbs con función de densidd f(x) = ; entonces su densidd conjunt será: Si U ; U U(; ); entonces f(x; y) = f(x)f(y) = 4. X = U Y = U ; veri cn X; Y U( ; ) y se de ne I = si X + Y o.c entonces E[I] = P X + Y = 4 ;
3.3. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE 49 por lo tnto se estim medinte l generción de un grn número de pres 4 de números letorios u ; u ;y l estimción ; por l frcción de prejs 4 pr los que (u ) + (u ) ; l estimción de medinte l generción de números letorios, se relizó generndo números de pres letorios y se utilizó el progrm Mthemtic pr desrrollr l estimción de lo cul se obtuvo lgunos resultdos numéricos con distintos vlores de M. L siguiente tbl muestr l proximción de. M Vlor 3 4 3 8 3 4 3 44 Tbl 8 el progrm detlldo se encuentr en el Apéndice.
5 CAPÍTULO 3. MÉTODO MONTE-CARLO
Cpítulo 4 Vlución de opciones por Monte-Crlo Un problem que frecuentemente se encuentr en nnzs es el cálculo de instrumentos nncieros cuyos rendimientos son letorios. Por ejemplo ls inversiones en l bols o los derivdos, cuyos rendimientos dependen del comportmiento de un cción o bien. L vlución de estos instrumentos se reduce l cálculo de un espernz de un función continu de un vrible letori. 4.. Conceptos Finncieros En est sección se inici de niendo lgunos conceptos nncieros, los cules se usrán posteriormente. En prticulr, este trbjo se enfoc opciones nnciers. Un derivdo es un contrto que depende de lgun mner del precio de uno o más ctivos subycentes. En nnzs, un opción es un derivdo, es decir, es un contrto estndrizdo en el cul el comprdor, medinte el pgo de l prim, dquiere del vendedor el derecho, pero no l obligción, de comprr o vender el bien subycente l precio pctdo K, en un tiempo determindo T (fech de expirción o fech de ejecución) y el vendedor se oblig vender o comprr, según correspond, el ctivo subycente l precio convenido. El comprdor puede ejercer dicho derecho, según se hy corddo en el contrto respectivo. A su vez pr que el contrto se justo pr ls dos prtes, quien compr 5
5 CAPÍTULO 4. VALUACIÓN DE OPCIONES POR MONTE-CARLO l opción le pg quien le suscribe un prim que le permitirá cubrirse contr futurs pérdids, debids fctores l cmbio de precio del ctivo subycente durnte l vigenci de l opción. En prticulr l prim que se pg l dquirir l opción es equivlente l vlor de l opción en el tiempo t = : Precio subycente es el precio ctul del bien subycente en el mercdo. El cmbio en el precio del bien subycente en el mercdo tiene in uenci mrcd en el precio de ls opciones debido que el ujo de efectivo depende directmente de l diferenci entre el precio subycente y el precio pctdo en los contrtos. Ts de interés libre de riesgo es el rendimiento que proporcion lgun inversión usente de riesgo. En México, los poseedores de Certi cdos de l Tesorerí (CETE) tienen un inversión libre de riesgo porque el gobierno mpr y d grntí del título los poseedores. 4... Tipos de Opciones Opciones vinill. Ests son el tipo de opciones básics, más comunes en el mercdo, en ls que dependen del tipo de derecho que se den, y son del tipo cll y put. Opción Europe, est opción se ejerce sólo en l fech de vencimineto. Opción Americn, este tipo de opciones pueden ejercerse en culquier instnte del periodo hábil comprendido entre el momento de negocir el contrto y l fech de vencimiento. Opciones exótics. Ests opciones tienen crcterístics especiles que son mucho más complejs que ls vinill. En muchos csos, pr l vlución se emple l generción de números letorios, en bse l método Monte- Crlo. Opción siátic, el cálculo del pgo (pyo ) depende de l medi del vlor del subycente en un periodo determindo. Opción con brrer, vlor. ests pierden vlor si el ctivo super o bj de Opción Lookbck, su pyo depende del máximo o mínimo vlor que hy tomdo el subycente.