MATERIALES DIDÁCTICOS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. POR EL GRUPO PI 1.

MATERIALES DIDÁCTICOS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. POR EL GRUPO PI 1. Este trbjo se centr en l resolución de problems y en el uso de mteriles didácticos. En primer lugr, describiremos cd uno de estos elementos y ls relciones que existen entre mbos. Seguidmente bsándonos en l importnci de ests relciones, describiremos el tller, y prticulrizremos en ls tres propuests y en l utilizción de lgunos mteriles pr l resolución de problems. Resolución de problems. Definiremos un problem como un situción dificultos pr l que debe drse un solución que no es evidente pr el individuo que se encuentr nte ell. Pr que l situción se considerd como problem, el individuo no debe conocer priori lgoritmos o métodos que permitn l obtención de l solución de mner inmedit. Considerremos como l resolución de un problem el proceso que comienz con l percepción del problem y finliz con l solución del mismo. L importnci de l resolución de problems en l enseñnz se pone de mnifiesto en los documentos curriculres normtivos que l considern como un objetivo principl de l educción mtemátic. El currículo espñol consider que l resolución de problems mtemáticos puede desrrollr un ctitud fvorble pr frontr problems de l vid cotidin. Además, l resolución de problems es un instrumento didáctico y que l reflexión que se llev cbo durnte l resolución de un problem yud l construcción de los conceptos, y estblecer relciones entre ellos (Junt de Andlucí, 00). Por ello se recomiend que l resolución de problems esté integrd en el proceso de enseñnzprendizje de mner hbitul y mostrndo especil énfsis en cd un de ls estrtegis de resolución desde diversos contextos mtemáticos. Además se destc como un objetivo generl reconocer y plnter situciones en ls que existn problems susceptibles de ser formuldos en términos mtemáticos, utilizr diferentes estrtegis pr resolverlos y nlizr los resultdos utilizndo los recursos propidos (Junt de Andlucí, 00). Desde un perspectiv interncionl, los Estándres del NCTM (1989, 000) recogen l resolución de problems como uno de los ejes del currículo de mtemátics y se hce hincpié 1 Los miembros del Grupo PI orgnizdores y responsbles del tller son: Mª Consuelo Cñds Sntigo, Frncisco Durán Cecero, Sndr Gllrdo Jiménez, Mnuel J. Mrtínez-Sntolll Mrtínez, Mrí Peñs Troyno, Miguel Villrrg Rico y José Luis Villegs Cstellnos. 1

en l necesidd de construir nuevo conocimiento mtemático trvés de l resolución de problems; resolver problems que surjn de ls mtemátics y en otros contextos; plicr y dptr un vriedd de estrtegis propids pr resolver problems; supervisr y reflexionr sobre los procesos de solución de problems mtemáticos (NCTM, 000, p. 5). Como hemos dicho, existe un problem siempre que queremos conseguir lgo y no sbemos cómo hcerlo, en cunto que, los métodos que tenemos nuestro lcnce no nos sirvn. Dicho de otro modo, tenemos un met más o menos clr y no existe un cmino inmedito y directo pr lcnzrl; por lo tnto nos vemos obligdos elegir un ví indirect, hcer un rodeo (Abrntes et l., 00) Hemos mrcdo por tnto un fse inicil del proceso (percepción de l situción problemátic) y un fse finl (generción de soluciones), pero cómo se produce el proceso intermedio, cómo buscmos estrtegis que nos permitn l generción de es solución. Un elemento de trbjo que nos puede permitir l búsqued de ests estrtegis son los trbjos sobre resolución de problems. En l litertur encontrmos estudios sobre estrtegis que yudn l lumno cundo éste tiene que enfrentrse un problem mtemático (Poly, 198; Mson, Burton y Stcey, 1988; Brndsford y Stein, 199). Ls fses de ests estrtegis nos pueden dr indicciones sobre como bordr un problem. Entre ls distints fses que encontrmos sobre resolución de problems en mtemátics podemos destcr ls siguientes (ver cudro 1). POLYA (198) Comprender el problem estbleciendo cuál es l met y los dtos y condiciones de prtid. Ider un pln de ctución que permit llegr l solución conectndo los dtos con l met. Llevr cbo el pln idedo previmente. Mirr trás pr comprobr el resultdo y revisr el procedimiento utilizdo. MASON, BURTON Y STACEY (1988) Abordje: Comprender el problem Concebir un pln Atque: Llevr cbo el pln Revisión: Reflexión sobre el proceso seguido. Revisión del pln BRANDSFORD Y STEIN (199) Identificción del problem Definición y representción del problem. Explorción de posibles estrtegis. Actución, fundd en un estrtegi. Logros. Observción y evlución de los efectos de nuestrs ctividdes Cudro 1: Fses de resolución de problems Pero l hbilidd pr resolver problems no sólo se dquiere resolviendo muchos problems ni conociendo ls distints fses de resolución, sino tomndo soltur y fmiliridd con un gm de técnics de resolución (heurístics). El buen resolutor de problems se crcteriz por: Conocimientos mtemáticos decudos los problems con los que se v enfrentr.

Conocimiento de diverss estrtegis. Deseo de resolver el problem, un vez que lo h ceptdo como tl, es decir que lo ve sequible pr él y le result interesnte de resolver (Abrntes et l., 00). Entre ls heurístics que se suelen considerr propids nos encontrmos ls siguientes: resolver un problem más sencillo, hcer un tbl, buscr puts, empezr desde trás, dr el problem por resuelto, generlizr, nálisis del problem, representción y orgnizción de l informción, inferenci, deducción, ensyo y error (fortuito, sistemático, dirigido), descomponer el problem en subproblems, reducción l bsurdo, búsqued de incoherencis, nálisis del cso más desfvorble, formulción de predicciones, torbellino de ides,... Mteriles Didácticos. Corit (1997) distingue entre recursos y mteriles didácticos, considerndo que los primeros no hn sido diseñdos específicmente con fines eductivos. En este tller hemos decidido englobr mbos términos en mteriles didácticos l considerr que los recursos se convierten en mteriles didácticos en el momento en que el profesor de mner consciente los utiliz en su ul con un finlidd didáctic. Entenderemos por mteriles didácticos todos los objetos usdos por el profesor o el lumno en el proceso de enseñnz y prendizje de ls mtemátics con el fin de logrr unos objetivos didácticos progrmdos. Es decir, quellos objetos que pueden yudr construir, entender o consolidr conceptos, ejercitr y reforzr procedimientos e incidir en ls ctitudes de los lumnos en ls diverss fses del prendizje. Pero debemos tener en cuent que en generl no existe un correspondenci biunívoc entre un mteril y un concepto, procedimiento o ctitud. Un mismo concepto h de trbjrse, en lo posible, con diversidd de mteriles y, recíprocmente, l myorí de los mteriles son utilizbles pr hcer ejercicios diversos (Alsin et l., 1988, p. 1). Alsin et l. (1988) relizn un clsificción no exclusiv de los mteriles tendiendo l funcionlidd distinguiendo entre: Mteriles dedicdos l comunicción visul. Mteriles pr dibujr. Mteriles pr leer. Mteriles pr hcer medids indirects o directs. Mteriles que son modelos. Mteriles pr l construcción de conceptos. Mteriles pr mostrr plicciones.

Mteriles pr resolver problems. Mteriles pr demostrciones y comprobciones. Vmos clsificr los mteriles didácticos tendiendo los siguientes criterios: 1. Tipo de mteril físico con el que está elbordo.. Nivel eductivo.. Concepto mtemático con el que permite trbjr. 4. Verstilidd, posibilidd de ser empledos pr estudir un myor o menor número de conceptos o propieddes mtemátics. 5. Estructurción didáctic o especificidd del mteril. En este tller utilizremos mteriles de crácter mnipultivo l considerr que éstos permiten un myor implicción del lumno en ls tres relizr en consonnci con un de ls crcterístics que se le tribuyen los mteriles: su crácter motivdor. L mnipulción constituye un modo de dr sentido l conocimiento mtemático (Segovi y Rico, 001, p. 86). El uso de mteriles tiene numeross ventjs como permitir myor independenci del lumno respecto l profesor, conectr ls mtemátics escolres con el entorno físico del lumno, fvorecer un clim de prticipción en el ul y el trbjo en equipo de los lumnos; y demás el mteril se convierte en un elemento que refuerz el conocimiento y el prendizje significtivo de los lumnos. Los mteriles didácticos y l resolución de problems se relcionn en el currículo donde encontrmos entre los objetivos generles de l Educción Secundri Obligtori elborr estrtegis personles pr l resolución de problems mtemáticos sencillos y de problems cotidinos, utilizndo distintos recursos y nlizndo l coherenci de los resultdos pr mejorrlos si fuer necesrio (Junt de Andlucí, 00). Los Mteriles Didácticos en l Resolución de Problems. Durnte l relizción del tller se presentn los problems y mteriles implicdos en l resolución de los mismos. A continución se relizn un serie de tres en ls que se pretende l mnipulción, construcción, observción, expresión de conjeturs y descubrimiento de distints relciones entre los conceptos implicdos y soluciones de los problems propuestos. L discusión y debte en grn grupo nos permitirá enriquecer y comunicr ls distints construcciones relizds l vez que se d lugr un espcio de crític sobre l vibilidd de ls tres, problems y mteriles presentdos. Objetivos del tller. 4

Proporcionr los docentes herrmients didáctics pr l enseñnz de ls mtemátics. Resolver problems con yud de mteriles didácticos Motivr los profesores pr que empleen mteriles en el ul pr los procesos de conceptulizción de sus lumnos. Fomentr l resolución de problems en el ul. Reforzr l ide de que hcer mtemátics equivle resolver problems. Proponer problems interesntes pr umentr el cudl de recursos disposición de cuntos sistn nuestro tller. Algunos de los mteriles que se pretendieron utilizr en el tller: MATERIAL DESCRIPCIÓN CARACTERÍSTICAS CONCEPTOS TRABAJADOS Rects y ángulos. Ppel Construcción de polígonos. Ppel de culquier color uniforme, 1.Ppel Clsificción de cudriláteros. ppel chrol, ppel vegetl,.todos los niveles Construcción de poliedros. crtulin pr poder doblr y pegr. 4.Alt Perpendiculridd. En ocsiones es necesri l gom 5.Bj Prlelismo. de pegr pr poder hcer modelos. Simetrís. Construcción de conceptos. Plillos y plstilin Plillos y grbnzos Geoplno Plillos y/o pjits de refrescos le longitudes inverss y bols de plstilin pr unir los extremos de los plillos/pjits. Tblero de mder o plástico de form cudrd de 5x5 cm en el que se encuentren distribuidos 5 clvos de cbez pln, clvdos prcilmente formndo un cudrícul. Elásticos de cucho de vrios colores. El número de clvos puede vrir: x, 4x4, nxn,... 1.Mder, plástico.secundri 4.Medi 5.Bj/Medi 1.Mder, plástico.todos los niveles 4.Alt 5.Alt Construcción de polígonos. Construcción de poliedros. Teorem de Euler. Segmentos. Polígonos. Polígonos semejntes. Descomposiciones de polígonos. Comprobciones del teorem de Pitágors. Geometrí del geoplno: Algoritmo pr el cálculo del áre en función del número de clvos que brc el polígono. Mps Corcho Pentominós Tngrm Mps de crreters, plnos urbnos. Corcho de emblr. Doce figurs distints formds cd un de ells por cinco cudrdos igules. Puzzle formdo por 7 piezs. 1.Ppel, plástico.secundri 4.Medi 5.Medi 1.Corcho.Secundri 4.Medi 5.Bj 1.Mder, plástico.secundri 4.Medi 5.Alt 1.Crtulin, Plástico Problems de recorridos mínimos, cminos posibles, distncis reles y en líne rect, escl del mp, etc. Averigur y comprr distncis en l líne rect entre poblciones. Estudir itinerrios posibles. Semejnz Montje de modelos Teorem de Pitágors. Áres equivlentes. Concvidd y convexidd. Descripción de figurs. Polígonos. Áres. Visulizción. Cretividd. 5

.Secundri 4.Alt 5.Bj Frcciones. Rdicles. Ls tres con ls que se trbjron estos mteriles fueron los siguientes: Tre 1: Construcción de polígonos utilizndo ppel. 1. Construye un cudrdo prtir de un trozo irregulr de ppel.. Construye un rectángulo de proporciones 1: ddo un folio A4.. Construye un rectángulo 1: prtir del construido nteriormente. 4. Construye un rectángulo ( 1 ) ddo un ppel cudrngulr. 5. Construye un rectángulo 1 ) (. 6. Construye un triángulo equilátero. 7. Construye un hexágono. Tre : Doblndo ppel 1. Cómo podrí dividirse un segmento ddo en n prtes igules doblndo ppel?. Cuántos dobleces quedrín mrcdos si doblses n veces un tir de ppel rectngulr (siempre por l mitd del myor ldo inicil)?. Qué polígonos regulres puedes construir doblndo ppel? Tre : Construcción de Poliedros 1. Construye l piez bse pr el tetredro, ditetredro, octedro e icosedro (ten en cuent que hy dos piezs simétrics).. Construye l piez bse pr el cubo.. Construye el tetredro. 4. Construye el cubo. Tened en cuent que trbjndo en grupo conseguiréis terminr ntes el poliedro. Propuests 1. Construye el di-tetredro.. Construye un octedro.. Construye un icosedro. 4. Construye un icosedro estrelldo. Tre 4: Áres y volúmenes de los poliedros construidos. Nombre Áre de un cr Áre totl Apotem Volumen Tetredro 4 6 1 1 6

Di-tetredro 6 4 6 1 6 Octedro 4 6 6 Icosedro 5 5 7 + 5 4 6 5 7+ 5 6 Hexedro Dodecedro 6 5 5+ 5 4 5 5 5 15 + 5 5 + 11 5 10 + 10 5 47 1 5 Tre 5: El teléfono. Pr l relizción de l presente tre se necesitn dos persons. Un de ells describirá un migo verblmente (simulción de conversción telefónic) un objeto y l otr, construirá, con plillos y plstilin, l figur descrit. Tre 6: Juegos de probbilidd 1. Lnzmiento de ddos: Clculr l probbilidd de obtener un número pr con un ddo construido en ppel.. Juego del río: (Jugr por prejs). Cd uno de los jugdores dispondrá de 1 fichs (construids por él). 7

Dibujndo en el centro de un folio dos línes prlels (que representrán un río) y cd ldo del río 1 csills numerds. Cd jugdor siturá sus fichs sobre ls csills que quiern, e incluso dejr csills vcís. Cd jugdor (en su turno) lnzrá dos ddos, sumrá los números de ls crs superiores y moverá l otro ldo del río ls fichs que se encuentren en l csill que teng ese número. Gnrá el primero que consig psr tods sus fichs l otro ldo del río. Tre 7: Perpendiculridd. 1. Cómo trzr ls lindes de un superficie cudrd en un terreno si sólo se dispone de un cuerd y un estc?. Cómo trzr en un terreno dos línes perpendiculres?. Cómo demostrr el teorem de Pitágors doblndo un ppel? 4. Cómo clculr lturs inccesibles? Tre 8: Cudrdos en un tblero de jedrez. Alguien me dijo un vez que 04 cudrdos hy en un jedrez. Estb bien rzondo? Tre 9: Geoplno 1 1. Determinr todos los segmentos posibles en un geoplno. 8

. Ordenr los segmentos por su longitud. Tre 10: Geoplno El cudrilátero construido en el geoplno tiene 16 5 uniddes cudrds de áre. El perímetro del cudrilátero ps por 9 puntos. En el interior podemos contr 1 puntos. Prueb construir otrs figurs en el geoplno e intent encontrr un relción entre el áre de un figur, el número de puntos que quedn sobre el perímetro y el número de puntos que quedn en el interior (Teorem de Pick). Tre 11: Plillos Cómo podrín unirse seis plillos de mner que se formen cutro triángulos? Tre 1: Cudriláteros Ddos los siguientes cudriláteros 1. Ordénlos en tres o cutro grupos de culquier modo dndo l norm que describe tu clsificción.. Orden tu conjunto de cudriláteros usndo un clsificción diferente. Tre 1: Tngrm Relizr ls siguientes ctividdes. Tome como referenci el tngrm dibujdo más rrib. 9

1. Escribe el nombre mtemático de tods ls piezs del tngrm.. Prctic con ls piezs relizndo los siguientes ejercicios:. Une F y G pr obtener un piez igul que C. b. Une F y G pr obtener un piez igul que D. c. Une F y G pr obtener un piez igul que E. d. Une F, G y D pr obtener un piez igul que A o B. e. Une F, G y C pr obtener un piez el doble que D.. Complet l siguiente tbl notndo en cd celdill qué frcción represent cd figur de l primer column respecto cd un de ls de l primer fil. Como pist te dmos l primer column resuelt: Piez A=B C D E F=G A 1 B 1 C 1/ D 1/ E 1/ F 1/ G 1/4 4. Sum tods ls frcciones de cd column y explic por qué sle ese número. 5. Es posible relizr ls siguientes tres. Demuestr tu respuest.. Form un cudrdo con un sol piez. b. Form un cudrdo con dos piezs. c. Form un cudrdo con tres piezs d. Form un cudrdo con cutro piezs. e. Form un con cinco piezs f. Form un cudrdo con seis piezs. g. Form un cudrdo con siete piezs. 6. Construye ls figurs siguientes: triángulo, rectángulo, trpecio isósceles, trpecio rectángulo, romboide, hexágono. Cundo lo hgs, dibuj ls piezs en tu libret. 7. Tomndo como áre unidd el cudrdo pequeño (FIGURA D) expres el áre de ls demás piezs (l tbl tienes que dibujrl en tu libret). FIGURA D A=B C E F=G 10

ÁREA 1 8. Hz lo mismo tomndo como unidd de áre el triángulo pequeño (FIGURAS F y G). FIGURA F=G A=B C D E ÁREA 9. Clcul el áre de cd piez tomndo como unidd un centímetro cudrdo. 10. Clc ls siguientes siluets en tu libret. Después trt de construirls con el tngrm. Cundo lo consigs, dibuj l disposición de ls piezs en su interior. Tre 1: Pentominós 1. Duplic tods ls piezs utilizndo cutro piezs de ls restntes.. Triplic tods ls piezs utilizndo nueve de ls restntes.. Construye todos los rectángulos posibles. 4. Cómo colocr ls fichs de un pentominó de mner que formen un pr de rectángulos de idéntic form y tmño? Alguns Conclusiones Inicimos l presentción de este tller con l convicción de que los mteriles pueden jugr un ppel importnte en l resolución de problems. Este tller refuerz est ide, y que se h observdo que los mteriles son uno de los medios que podemos utilizr y demás nos permiten convencernos de que: 11

L resolución de problems es un ctividd útil y motivdor pr l representción y l conceptulizción en ls clses de mtemátics. Existe un problem siempre que lgún obstáculo sepr l situción ctul de l desed. Resolver problems es objeto de prendizje. Con los mteriles hemos visto que l ser mnipulbles resultn entretenidos, lo cul hce posible un myor disposición por prte de los lumnos en ls clses. L visulizción de relciones entre objetos mtemáticos permite estblecer con myor clridd conceptos bstrctos que de otr mner serín más complejos. Aunque quí se hn empledo ciertos mteriles y ciertos problems, siempre existirá l posibilidd de utilizr nuevos mteriles pr resolver estos mismos problems, y otros problems distintos, pr resolver con nuevos mteriles. Se hn querido dr ides los profesores pr mostrr que el conocimiento mtemático puede ser construido y que ello depende, en prte, de ls posibiliddes de orgnizción y dptción por prte de cd profesor en cd clse. Los mteriles económicos resultn tn eficces como los comerciles. No hce flt un grn infrestructur escolr pr l utilizción de mteriles en el ul. Bibliogrfí ABRANTES, P. y OTROS (00) L resolución de problems en mtemátics. Brcelon: Gró ALSINA, C.; BURGUÉS, C. y FORTUNY, J.M. (1988) Mteriles pr construir l geometrí. Mdrid: Ed. Síntesis. BRANSFORD, J.D. y STEIN, B. S. (199) Solución idel de problems. Brcelon: Ed. Lbor CORIAT, M. (1997) Mteriles, recursos y ctividdes: un pnorm. En L. Rico (Ed.), L educción mtemátic en l Enseñnz Secundri (pp. 155-177). Brcelon: Horsori. JUNTA DE ANDALUCÍA (00). Decreto 148/00, de 14 de myo, por el que se modific el Decreto 106/199, de 9 de junio, por el que se estblecen ls enseñnzs correspondientes l Educción Secundri Obligtori en Andlucí. MASON, J.; BURTON, L. y STACEY, K. (1988) Pensr mtemáticmente. Brcelon: Ed. Lbor NCTM (000). Principles nd Stndrds for School Mthemtics. Reston, VA: NCTM 1

POLYA, G. (198) Cómo plnter y resolver problems. México: Ed. Trills SEGOVIA, I. y RICO, L. (001) Uniddes didáctics. Orgnizdores. En E. Cstro (Ed.), Didáctic de l mtemátic en l educción primri (pp. 8-104). Mdrid: Síntesis. 1