FCEyN - Estadístca para Quíca - do. cuat. 006 - Marta García Be Dstrbucó cojuta de varables aleatoras E uchos probleas práctcos, e el so expereto aleatoro, teresa estudar o sólo ua varable aleatora so dos o ás. Por ejeplo: Ejeplo : Se elge u hobre adulto al azar e ua cudad y se observa = peso,y=estatura. Ejeplo : se elge ua uestra de u eral y se le de su cotedo de herro por dos étodos dsttos. Sea = edcó obteda co el étodo, Y=de co el étodo. Ejeplo 3: Se elge u aluo al azar de er. año y se le preguta = ota e Mateátcas del curso de greso Y = úero de horas por seaa que trabaja fuera de la facultad. E cada uo de estos ejeplos se puede defr u espaco uestral S, ua fucó de probabldad P y dos varables aleatoras :S R, Y:S R, defdas e el so espaco S. Hasta ahora para cada v.a. os teresaba coocer su dstrbucó, o sea poder calcular P( B) para todo B R Co dos varables aleatoras os puede teresar coocer tabé la dstrbucó cojuta de las vs. as. e Y. Coocer la dstrbucó cojuta de e Y quere decr saber calcular P((,Y) B) para todo B R. E fora aáloga a coo se defe fucó de dstrbucó para ua sola v.a. se defe la fucó de dstrbucó cojuta de dos vs. as. Fucó de dstrbucó cojuta de dos varables aleatoras. Defcó Sea e Y dos vs. as. defdas e el so espaco de probabldad. Su fucó de dstrbucó cojuta es la fucó: F(x,y) = P( x, Y y ) = P(( x) (Y y)) Puede observarse que F:R R. Dstrbucó cojuta de dos varables aleatoras dscretas. Defcó de fucó de probabldad putual cojuta. Sea e Y dos vs. as. dscretas defdas e el so espaco uestral S. Su f.p.p. cojuta es: Puede observarse que p:r R p(x,y) = P(=x, Y=y) (x,y) R 55
FCEyN - Estadístca para Quíca - do. cuat. 006 - Marta García Be Ejeplo 4: Se tra 3 veces ua oeda equlbrada. Sea el úero de caras, Y el ro. de caras e las dos preras tradas. Evdeteete abas varables so dscretas, ya que I = {0,,,3}, I Y = {0,,} La sguete tabla da la f.p.p. cojuta de estas dos varables aleatoras (verfíquelo): y\x 0 3 Total 0 /8 /8 0 0 0 /8 /8 0 0 0 /8 /8 Total Propedades de las fucoes de probabldad putual cojuta de vs. as. So fucoes p:r R que cuple dos propedades: a) p(x,y) 0 para todo (x,y) R b) Σ Σ p(x,y) = x I y I Y Coocda la f.p.p. cojuta de e Y, se puede calcular P((,Y) B) del sguete odo: P((,Y) B) = Σ p(x,y) x I y I Y (x,y) B S coozco la f.p.p. cojuta de e Y, puedo calcular la f.p.p. de? Calcularla e el ejeplo 4. E geeral: p (x) = Σ p(x,y) y I Y p Y (y) = Σ p(x,y) x I U obre: la fucó p(x,y) se llaa coo djos f.p.p. cojuta de e Y. Las fucoes p y p Y se suele llaar "fucoes de probabldad putual argales", de dode vee ese obre? 56
FCEyN - Estadístca para Quíca - do. cuat. 006 - Marta García Be Dstrbucó cojuta cotua de dos varables aleatoras. E el caso de ua varable aleatora dos la sguete defcó. Defcó: Ua varable aleatora es cotua s exste ua fucó f:r R + tal que E fora slar defos: x F(x) = f(t)dt x R Defcó: Dos varables aleatoras e Y tee dstrbucó cojuta cotua s exste ua fucó f:r R + tal que s F es la fucó de dstrbucó cojuta de e Y etoces: x y F(x,y) = f(u,v)dv du (x,y) R La fucó f se llaa fucó de desdad cojuta de e Y. Propedades de las fucoes de desdad cojuta So fucoes f: R R que cuple dos propedades: a) f(x,y) 0 para todo (x,y) R b) f(x,y)dx dy = Al gual que e el caso de ua sola varable, tabé la fucó de desdad cojuta es u odelo para u hstograa. Para el hstograa cojuto de las varables e Y ( se etede que quero decr co hstograa cojuto de las dos varables? E geeral se ecesta uchos datos para poder represetar y odelar u hstograa cojuto! Proposcó: A partr de la defcó de dstrbucó cojuta cotua se puede deostrar que s e Y tee fucó de desdad cojuta f(x,y) etoces: P(a b, c Y d) = b a d c f(x,y)dy dx Más aú, esto o sólo es certo para rectágulos so para cualquer B R P( (,Y) B) = f(x,y) dx dy B 57
FCEyN - Estadístca para Quíca - do. cuat. 006 - Marta García Be Coocda la fucó de desdad cojuta se puede calcular la fucó de desdad de y la de Y? La respuesta es sí y la fora de calcularlas es slar al caso dscreto, co tegrales e lugar de suatoras: f (x) = f(x,y) dy f Y (y) = f(x,y) dx f(x,y) se llaa fucó de desdad cojuta, f y f Y se llaa fucoes de desdad argales. Varables aleatoras depedetes: Heos defdo la depedeca etre dos varables aleatoras del sguete odo: Defcó: Dos varables aleatoras e Y so depedetes s para todo A R, B R. P( ( A) (Y B)) = P( A) P(Y B) Se puede deostrar que esta defcó es equvalete a que la fucó de dstrbucó cojuta se escrba coo producto de las argales. Esto se euca e la sguete proposcó. Proposcó: Sea e Y varables aleatoras. Sea F la fucó de dstrbucó de, F Y la fucó de dstrbucó de Y y F la fucó de dstrbucó cojuta de e Y. Etoces: e Y so depedetes F(x,y) = F (x)f Y (y) (x,y) R La sguete proposcó dce que, para el caso partcular de varables dscretas, la depedeca es equvalete a que la f.p.p. cojuta sea el producto de las argales. Proposcó: Sea e Y dos varables aleatoras dscretas. Etoces: e Y so depedetes p(x,y) = p (x)p Y (y) (x,y) R Para varables cotuas la depedeca es equvalete a que tega ua fuco de desdad cojuta que se escrba coo producto de las argales: Proposcó: Sea e Y dos varables aleatoras cotuas. Etoces: e Y so depedetes f(x,y) = f (x f Y (y) (x,y) R 58
FCEyN - Estadístca para Quíca - do. cuat. 006 - Marta García Be Dstrbucó cojuta de varables aleatoras. A pesar de que el título de esta seccó es dstrbucó cojuta de varables aleatoras e todas las defcoes y propedades os restrgos a dos varables. Pero esto ha sdo sólo para splfcar la otacó, todo se extede a varables e fora atural. Veaos por ejeplo la extesó de la defcó de f.p.p. cojuta y de la depedeca para varables dscretas y cotuas. Fucó de probabldad cojuta de varables aleatoras dscretas. Defcó Sea,,..., vs. as. dscretas defdas e el so espaco de probabldad. Su fucó de probabldad putual cojuta es la fucó: p(x, x,..., x ) = P( =x, =x,..., =x ) Proposcó: Las vs. as. dscretas,,..., so depedetes s su f.p.p. cojuta es el producto de las f.p.p. argales: p(x, x,..., x ) = p (x ) p (x )... p (x ) (x, x,..., x ) R Proposcó: Las vs. as. cotuas,,..., so depedetes s su fucó de desdad cojuta es el producto de las fucoes de desdad argales: f(x, x,..., x ) = f (x ) f (x )... f (x ) (x, x,..., x ) R Esperaza de ua fucó de dos vs. aleatoras. Eucaos u teorea que dce que para ua v.a. dscreta se cuple y que para ua v.a. cotua es E ( g ( )) = g ( x ) p ( x ) x I x E ( g( )) = g( x) f ( x) dx Este teorea se geeralza para poder calcular la esperaza de ua g(,y): Teorea: Sea e Y varables aleatoras y g:r R, a) S e Y so dscretas co f.p.p. cojuta p(x,y) etoces: E( g(, Y )) = g( x, y) p( x, y) x I y I Y b) S e Y so vs. as. co fucó de desdad cojuta f(x,y), etoces: E( g(, Y)) = g( x, y) f ( x, y) dx dy Usado el teorea ateror, se prueba fáclete la propedad que heos usado tatas veces y que uca djos coo se podía deostrar: 59
FCEyN - Estadístca para Quíca - do. cuat. 006 - Marta García Be Proposcó: S e Y so vs. as. S exste E() y E(Y) etoces exste tabé E(+Y) y vale: E( + Y) = E() + E(Y) Cuáto vale E(.Y)? E geeral hay que calcularla usado el teorea que perte calcular E(g(,Y)). Pero para el caso partcular de varables depedetes se puede deostrar fáclete la sguete proposcó (la deostracó fácl es para el caso dscreto o cotuo, auque la proposcó vale sepre): Proposcó: S e Y so vs. as. depedetes co esperaza etoces: E(.Y) = E().E(Y) Covaraza etre dos vs. as. Se defó varaza de ua v.a. : Var()= E(-E()) E fora parecda se defe covaraza etre dos vs.as. e Y : cov(,y)= E[(-E()).(Y-E(Y))] Observar que la varaza es u caso partcular de la covaraza, ya que cov(,) = Var(). Cóo se calcula? Usado el teorea que perte calcular E(g(,Y)) se ve que: a) Caso dscreto cov(, Y) = ( x E( ))( y E( Y)) p( x, y) x I y I x Y b) Caso cotuo cov(, Y) = ( x E( ))( y E( Y)) f ( x, y) dxdy Iterpretacó tutva del sgo de la covaraza: s cuado toa valores grades, Y tabé tede a toar valores grades, el sgo de la cov(,y) es postvo. S cuado toa valores grades, Y tede a toar valores pequeños sg(cov(,y))<0 (justfcar tutvaete). S se elge u aluo al azar y = ota e Mateátcas, Y = uero de horas por seaa que trabaja fuera de la facultad, cual es el sgo de cov(,y)? Heos vsto que otra fora de calcular varaza es usar que: Var ( ) = E ( ) ( E ( )) La covaraza tee ua expresó seejate: Proposcó: cov(,y) = E(.Y) E().E(Y) Esta proposcó perte calcular covaraza e fora ás sple, calculado prero por separado E(), E(Y) y E(.Y). Ejercco: calcular cov(,y) para el ejeplo 4 (caso dscreto).. 60
FCEyN - Estadístca para Quíca - do. cuat. 006 - Marta García Be Proposcó: S e Y so depedetes etoces cov(,y)= 0 Vos que E(+Y) = E() + E(Y) Cuáto valdrá Var(+Y)? Proposcó a) Var(+Y) = Var() + Var(Y) + cov(,y) b) Var(-Y) = Var() + Var(Y) - cov(,y) c) S e Y so vs. as. depedetes etoces Var(+Y) = Var() + Var(Y) Heos vsto que Var(a+b) = a Var(). Ua propedad slar para la covaraza está dada por la sguete proposcó (fácl deostrar, usado propedades ya coocdas de la esperaza) Proposcó: Cov(a+b,cY+d) = a.c.cov(,y) () Puede observarse que, coo cosecueca de la proposcó ateror, la covaraza de dos varables caba al cabar de udades las varables. No vale lo so la covaraza etre peso (e kg.) y estatura (e etros) que s las udades so graos y c. Cóo caba la cov e este ejeplo? Ua edda de la relacó etre dos varables, que o caba al cabar de udades es el coefcete de correlacó defdo del odo sguete. Coefcete de correlacó (o coefcete de correlacó leal). Defcó ρ (, Y ) = cov(, Y ) Var ( ) Var ( Y ) Observacó: Coo es evdete que sg(ρ(,y)) = sg(cov(,y)), el sgo del coefcete de correlacó tee el so sgfcado tutvo que el sgo de la covaraza. Proposcó a) ρ(a+b,cy+d) = sg(a.c) ρ(,y) (de esta propedad surge que ρ o varía al cabar las udades de las varables y/o Y) b) - ρ(,y) c) ρ(,y) = exste úeros reales a y b, co co a 0 tales que Y=a+b co probabldad. La deostracó de a) sale fáclete de las propedades aálogas para la varaza y la covaraza (). Deostrareos propedades slares a b) y c) cuado estudeos el coefcete de correlacó uestral r, e fereca estadístca 6
FCEyN - Estadístca para Quíca - do. cuat. 006 - Marta García Be Sua y proedo de varables aleatoras depedetes. Ley de los grades úeros. Teorea cetral del Lte. Teorea (Desgualdad de Tchebycheff). Sea ua v.a. co cualquer dstrbucó, co esperaza y varaza ftas. Sea a>0. Etoces: P( - E() a ) Var( ) a Coetaro: observar que la desgualdad de Tchebycheff es equvalete a: P( - E() < a) Var( ) a Ejeplo de aplcacó: Sea ua v.a. co cualquer dstrbucó co esperaza y varaza ftas. Llaeos µ a su esperaza y σ a su varaza. Dar ua cota para a) P(µ-σ µ+σ) S sabeos que Noral, cuáto vale esta probabldad? b) íde a) para P(µ-3σ µ+3σ) c) íde a) para P(µ-σ µ+σ) Esperaza y varaza de suas de vs. as. depedetes Djos que s,..., so vs. as. E ( ) = E( ) S,..., so vs. as. depedetes Var ( ) = Var( ) Proposcó : Sea,..., so vs. as. depedetes, todas co la sa esperaza y la sa varaza fta. Llaeos µ a E( ) y σ a la Var( ). Sea etoces S = y = = E ( S) = µ, Var ( S ) = σ E ( )= µ, σ Var ( ) = 6
FCEyN - Estadístca para Quíca - do. cuat. 006 - Marta García Be Nota: obsérvese que el caso,..., vs. as. depedetes gualete dstrbudas (..d.) co esperaza y varaza fta cuple las codcoes de la proposcó. Covergeca de ua sucesó de varables aleatoras. Ua defcó (o es la úca que se usa) es la sguete: Defcó de covergeca e probabldad. Sea Y,...,Y,... ua sucesó de varables aleatoras. Se dce que Y Y e probabldad s para cualquer ε>0 se cuple que l P ( Y Y > ε ) = 0 Teorea (Ley de los Grades Núeros, versó de Tchebycheff) Sea,..., so vs. as. depedetes, todas co la sa esperaza y la sa varaza fta. Llaeos µ a E( ) y σ a la Var( ). Sea Etoces = = µ e probabldad La deostraco del teorea ateror sale facl de la desgualdad de Tchebycheff. Luego se probó que o es ecesaro supoer varaza fta, coo lo uestra el teorea sguete. Teorea (Ley de los Grades Núeros, versó de Khtche, 99) Sea,..., so vs. as...d., todas co esperaza fta. Llaeos µ a E( ) Etoces µ e probabldad Dstrbucó de la sua de varables depedetes. Proposcó : Sea e Y varables aleatoras depedetes. a) S B(,p), Y B(,p), etoces +Y B( +,p). b) S Posso(λ ), Y Posso(λ ), etoces +Y Posso(λ + λ ) c) S N(µ,σ ), Y N(µ,σ ), etoces +Y N(?,?) (rellear los?) 63
FCEyN - Estadístca para Quíca - do. cuat. 006 - Marta García Be d) S Γ( α, λ), Y Γ( α, λ) etoces +Y Γ( α +α, λ) El cso a) es tutvaete razoable, verdad? Los otros o so tutvos. Coetaro: Esta propedad de que la dstrbucó de la sua de vs as depedete perteece a la sa fala o es geeral. Por ejeplo, s e Y so vs. as. depedetes, cada ua co dstrbucó ufore e el tervalo [a,b], +Y o tee dstrbucó ufore. Proposcó (geeralzacó de la proposcó ateror) Sea,..., varables aleatoras depedetes. a) S B(,p) etoces B(,p). b) S Posso(λ ) etoces Posso( ). c) S N(µ,σ ), etoces N( µ, σ ). d) S Γ( α, λ) etoces Γ( α, λ) λ Vaos a eucar dos resultados sobre la dstrcó de la sua y el proedo de varables..d. Teorea : Sea,..., so vs. as...d. N(µ,σ ). Sea S = y = etoces S N(µ, σ ), N(µ, σ /) Este teorea es cosecueca del cso b) de la proposcó ateror. Teorea (co la tess escrta e fora o rgurosa) Sea,..., so vs. as...d. co cualquer dstrbucó, co esperaza y varaza ftas. Llaeos µ a la E( ) y σ =Var( ). Sea S = y = etoces 64
FCEyN - Estadístca para Quíca - do. cuat. 006 - Marta García Be S N(?,? ) (a) N(?,? ) (a) cuado es grade. Notacó: usaos coo abrevatura de tee dstrbucó aproxadaete (a) Coetaros: - Cuál es ás llaatvo el teorea o el teorea? - El Teorea se llaa Teorea Cetral del Líte. La tess del TCL se escrbe foralete así: Sea Z = µ σ /, o lo que es lo so, sea Z = S µ σ etoces l F Z (z) = Φ(z) Receta : E la ayoría de las aplcacoes, la aproxacó que dá el TCL es satsfactora para 30. - Coo se obtuvo esta receta?: eprcaete. - Por qué la dstrbucó oral es uy usada? No tato porque srva de odelo para alguas varables aleatoras, so gracas al TCL. Auque ua varable aleatora tega ua dstrbucó que o sea gaussaa, la sua o el proedo de uchas varables tee dstrbucó aproxadaete gaussaa. Adeas hay versoes del TCL co eos hpotess que la verso que eucaos. Teorea (aproxacó de la dstrbucó boal por la oral) (co la tess escrta e fora o rgurosa). Sea B(,p). S es grade N(p, p(-p)) (a) Coetaros: - La aproxacó oral a la boal es satsfactora cuado p 5 y (-p) 5. - Para valores de que cuple la codcó ateror, pero o so uy grades la correccó por cotudad ejora ucho la aproxacó. 65