NÚMEROS COMPLEJOS MATEMÁTICAS I º Bachllerato Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. de Matemátcas
I) NECESIDAD DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS (págs. 46 a 48 lbro de texto) Ejemplo : Los números complejos, tambén llamados magnaros, surgeron hstórcamente de la necesdad de resolver ecuacones tan sencllas como x + = 0 x = x = ± Esta ecuacón, como muy ben sabemos, no tendría solucón en el campo de los números reales. Ahora ben, s defnmos: = undad magnara es decr, = entonces su solucón sería x =±. Esto es lo que hceron en el sglo XVI matemátcos como Grolamo Cardano (50-576) o Rafaelle Bombell (56-57); en aquella época a este tpo de números se les empezó a llamar magnaros. Por certo, el prmero en utlzar la para desgnar la undad magnara fue el suzo Leonhard Euler (707-78), mentras que al alemán Carl Fredrch Gauss (777-855), que profundzó en el estudo de estos números, se debe el adjetvo de complejos. Ejemplo : Resolver, en el campo de los números complejos, la ecuacón x +9=0 Ejemplo : Ídem con x -4x+=0 Ejemplo 4: Ídem con x +x+=0 En general: undad magnara a+b parte real parte magnara Nº COMPLEJO EN FORMA BINÓMICA Ejercco fnal tema: Conclusón: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA: «Todo polnomo de grado n tene n raíces (reales o complejas)».
Defncones: º) Se defne el conjunto de los números complejos como el formado por todos los números de la forma a+b, donde a y b son reales: C={a+b / a, b R} A los números complejos se les suele desgnar con la letra z, es decr, z= a +b, y se dce que: Re(z)=a Im (z)=b parte real de z parte magnara de z º) Número magnaro puro: es aquel complejo que carece de parte real, es decr, Re(z)=0 Ejemplos:, 7,, 5,, 5, etc. º) Número real: es aquel complejo que carece de parte magnara, es decr, Im (z)=0 Ejemplos:, 6,, 7,,, etc. Nótese, por tanto, que los reales están contendos en los complejos: R C, o dcho de otra forma, los reales son un subconjunto de los complejos; por lo tanto, ya podemos completar el esquema de todos los conjuntos numércos que conocemos: 4º) Complejo conjugado, z : El complejo conjugado del complejo z = a + b se defne como z = a b Ejemplos: z = + 5 z = 5 z = 7 z = 7 z = z = etc. Advértase que las solucones magnaras de una ecuacón de º grado sempre son pares conjugados. 5º) Dos números complejos expresados en forma bnómca son guales s concden sus partes reales e magnaras. Ejemplo: x = y + y =, x = Ejercco fnal tema:
II) OPERACIONES CON COMPLEJOS en FORMA BINÓMICA (págs. 50 y 5 lbro de texto) II.) Suma y dferenca: Se realza sumando (o restando) por separado sus partes reales e magnaras: Ejemplo 5: z =+5 z =4- z + z =7 + z - z =- +7 Ejerccos fnal tema: y 4 II.) Producto: Se realza calculando los cuatro productos posbles y tenendo en cuenta que =-: Ejemplo 6: z =+5 z =4- z z =( +5)(4- )= -6+0-0 = -6 + 0+0 = +4 =- Ejerccos fnal tema: 5 a 9 Consecuenca: ( a+b)(a-b )=a + b R + Este hecho será útl para el cocente que vamos a defnr a contnuacón: II.) Cocente: Se realza multplcando numerador y denomnador por el conjugado del denomnador: Ejemplo 7: ( + 5)( 4 + ) ( )( ) + + + + + + + 6 4 5 6 0 0 6 0 0 6 6 = = = = = + = + 4 4 4 + 6 + 4 0 0 0 0 0 Observacones: ª) Se recomenda hacer la comprobacón: ( ) =- propedad dstrbutva del cocente 4 + = = + 5 0 0 ª) Cuando en el denomnador aparece un magnaro puro basta con multplcar numerador y denomnador por : Ejemplo 8: ( + 5) + 5 + 5 5 + 5 5 = = = = = Ejerccos fnal tema: 0 y II.4) Potenca: Para hacer ( a +b ) n tendremos que aplcar el bnomo de Newton, como vmos en el er tema del curso; ahora ben, como a contnuacón habría que susttur alguna de las potencas sucesvas de, vamos a nvestgar su valor: 0 = = como sempre como sempre
=- por defncón = =- =- 4 = =- =- = 5 = = = 6 = 5 = = =- 7 = 6 =- =- Luego vemos que se trata de una sere de 4 térmnos (los recuadrados) que se van reptendo; y lo curoso es que este hecho tambén se da haca atrás: = = = = = = = = = = = = 4 = = = 4 En resumen: - 4 = - = - =- - =- 0 = = =- =- 4 = 5 = 6 =- 7 =- 8 =
Y, en general, para hallar una potenca n-ésma de, basta con hacer la dvsón y quedarnos con el resto, que estará en uno de los cuatro casos anterores: Ejemplo 9: 5 4 7 5 =7 4+ 5 = =- Ejerccos fnal tema: a 5 Es decr, descenderíamos 7 veces en la sere de 4 elementos para acabar en la poscón III) REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE COMPLEJOS (Forma bnómca y polar) (págs. 49 y 5-5 lbro) eje magnaro b a+b a eje real Dado un sstema de dos ejes perpendculares como el de la fgura eje real y eje magnaro-, llamado plano de Gauss, «para representar un complejo en forma bnómca es decr, z=a+b-, le haremos corresponder el vector (a,b)». Defncones: ª) El punto (a,b), es decr, el extremo del vector, se llama afjo del complejo a+b. ª) La longtud del vector se denomna módulo, y se suele desgnar como r o z. ª) El ángulo que forma el vector con la parte postva del eje x se llama argumento, y se desgna como α o arg(z). Forma polar rα: Consste en representar un complejo medante dos valores: su módulo y su argumento, desgnándolo como rα. eje C b z =r α=arg(z) z =a+b a eje R Para hallar el módulo podemos aplcar el teorema de Ptágoras en el trángulo sombreado: r = a + b r = a + b Para obtener el argumento, aplcamos trgonometría elemental en el msmo trángulo: b tg α = α = arctg a b a Todo lo anteror podemos resumrlo en la sguente tabla: Curosamente, en realdad los artífces de esta dea fueron el danés Caspar Wessel (745-88) en 797 y el suzo Jean Robert Argand (768-8) en 806, pero la glora del nombre se debe al alemán Gauss (777-885), que profundzó en este tema 0 años después
Defncón: Cálculo: Rango: FORMA POLAR rα MÓDULO ARGUMENTO Longtud del complejo z =a+b Ángulo que forma el complejo con la parte postva del eje R r = a + b = z r>0 b α = arctg = arg(z) a 0 α<60º Consejos a la hora de pasar de bnómca a polar: ª) Como muy ben sabemos del tema de Trgonometría, entre 0º y 60º exsten dos arcotangentes (que dferen en 80º), por lo que convene dbujar prevamente el complejo y ver con cuál de las dos nos quedamos, en funcón de en qué cuadrante esté stuado: Ejemplo 0: Pasar - + a bnómca: - + r α ( ) r a b 4 = + = + = = b 0º descartada α = arctg = arctg = arctg = a 50º Por tanto: - += 50º ª) S se trata de un número real o un magnaro puro se pasa a polar gráfcamente, es decr, sn necesdad de aplcar las dos fórmulas anterores: Ejemplo : Pasar - a bnómca: - r α En el dbujo se ve que: - = 80º (Puede comprobarse tambén, naturalmente, que s se utlzan las dos fórmulas se obtene el msmo resultado, pero el proceso resulta muy tedoso ) Ejerccos fnal tema: 7 a Dcho ángulo puede expresarse en radanes o grados sexagesmales, ndstntamente.
Cuándo son dos complejos guales en forma polar?: r r = r = r α = α + k 60º α α, donde k Z Es decr: «Dos complejos en forma polar son guales s sus módulos son exactamente déntcos y sus argumentos son guales, salvo una dferenca de un múltplo entero de vueltas» Ejemplos: 0 º = 9 0 º 5 0 º =5-0 º π = π 0 º = 7 5 0 º Forma trgonométrca: Srve para pasar de polar a bnómca: eje C b z =r α=arg(z) z =a+b a eje R a cos α = a = r cos α r b sen α = b r sen r = α ( ) a + b = r cos α + r sen α = r cos α + sen α Ejemplo : Pasar 50º a bnómca: cos50º = cos ( 80º 0º ) = cos 0º 50º 50º 50 º = ( cos50º + sen50º ) = + = + sen50º = sen ( 80º 0º ) = sen 0º Por tanto: 50º =- + Nótese que es el msmo resultado obtendo en el ejemplo 0. Observacón: Para pasar de polar a bnómca, y cuando se trate de los argumentos 0º, 90º, 80º y 70º, no es necesaro pasar prevamente a trgonométrca: Ejemplo : Pasar 80º a bnómca: 80º α r En el dbujo se ve que: 80º =- (Puede comprobarse tambén, naturalmente, que s se pasa prevamente a trgonométrca se obtene el msmo resultado )
Todo lo vsto en este apartado se puede resumr en el sguente dagrama, en el que se muestran las tres formas que hemos ndcado de representar un complejo y todas las combnacones de paso de una a otra: FORMA BINÓMICA a+b r = a + b b α = arctg a ( Hacer dbujo!) FORMA POLAR r α FORMA TRIGONOMÉTRICA r (cos α+ sen α) Ejerccos fnal tema: a 40 IV) OPERACIONES EN FORMA POLAR IV.) Producto y cocente en forma polar (págs. 54 y 55 lbro de texto) «El producto de dos complejos en forma polar es otro complejo de módulo el producto de los módulos y argumento la suma de éstos»: ( ) r r = r r α α α+α Dem: ( ) ( ) ( )( ) r r = r cosα + sen α r cosα + senα = r r cosα + senα cosα + senα = α α ( ) = r r cosα cosα + senα cosα + cosα senα + senα senα = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = r r cosα cosα senα senα + senα cosα + cosα senα = = r r cos α + α + sen α + α = r r (C.Q. D.) α+α Ejemplos: 60º 45º = 6 05º 5º 70º = 405º = 45º Se puede generalzar a tres o más complejos: 0º 50º 90º = 6 60º = 6 0º «El cocente de dos complejos en forma polar es otro complejo de módulo el cocente de los módulos y argumento la resta de éstos»: r α r = r r α α α
Dem: (se deja como ejercco) Ejemplos: 6 85º 0º = 65º 90º = = 0º 0º 0º Ejerccos fnal tema: 4 a 5 En resumen: º) Sumas y restas de complejos: sólo se pueden hacer en bnómca. º) Productos, cocentes (y potencas y raíces, como veremos a contnuacón): se recomenda en polar (aunque tambén pueden hacerse, más proljamente, en bnómca). IV.) Potenca en forma polar (pág. 54 lbro de texto) Vamos a obtener en polar, que es la forma más cómoda para ello-, la fórmula para obtener la potenca de un complejo. Para ello, aplcaremos n veces el producto recén vsto: ( ) n n r = r r r = ( r r r) = ( r ) α α α α α+α+... +α n α n térmnos n sumandos Por tanto: n n ( r α ) = ( r ) n α Es decr: «Para elevar un complejo en forma polar a un exponente se eleva su módulo al exponente y se multplca su argumento por dcho exponente»: Ejemplos: ( ) ( ) = = 8 0º 90º 90º ( ) ( ) 4 = 4 = 9 = 9 5º 540º 80º 4 5º Ejerccos fnal tema: 5 a 55
S pasamos ambos membros de la anteror fórmula a forma trgonométrca obtenemos la fórmula de De Movre : n n ( α + α ) = ( α + α) r cos sen r cos n sen n Esta fórmula es muy útl en Trgonometría, para hallar fórmulas de sennα y cos nα en funcón de sen α y cos α (Ver Ejercco fnal tema: 56) IV.) Raíces de un complejo (págs. 56 y 57 lbro de texto) Es mposble hallar las raíces de un complejo drectamente en forma bnómca. Vamos a deducr a contnuacón las fórmulas para hallar la raíz de un complejo en polar. Supongamos que nos dan el complejo r α, y queremos hallar su raíz n-ésma, que vamos a llamar R β ; por tanto, tendremos que: n r = R α β Por lo tanto, por defncón de raíz n-ésma, tendremos que: ( R ) n β = r α Podemos aplcar ahora al prmer membro la fórmula de la potenca obtenda en el apartado anteror: n ( R ) = r n β α A contnuacón tendremos en cuenta que, según vmos en el apdo. III, dos complejos expresados en forma polar son guales s sus módulos son guales y sus argumentos tambén, salvo una dferenca de un múltplo entero k de vueltas: n ( R ) n β n n R = r R = r = r α α + k 60º n β = α + k 60º β = n, donde k = 0,,,...,n Falta razonar que k solamente puede tomar los valores 0,,,, hasta n-. Efectvamente, s k =n, entonces, al susttur en la segunda fórmula recuadrada, obtendríamos β = α+60º, con lo cual volveríamos al msmo ángulo. El hecho de k sólo pueda tomar estos n valores desde 0,,... hasta n- tene una sere de consecuencas: º) Un complejo tene n raíces n-ésmas. Descuberta por el francés Abraham de Movre (667-754).
º) Las n raíces comparten el msmo módulo R (lo que varía es el argumento). º) S las dbujamos, formarán un polígono regular de n lados. Ejemplo 4: Hallar 890º = = R 8 890º = R β 90º + k 60º β = = 0º + k 0º ; k = 0 β = 0º k = β = 50º k = β = 70º Soluc: 0º, 50º, 70º S dbujamos las tres raíces, comprobaremos que sus afjos forman un trángulo equlátero: 50º 0º 70º Ejerccos fnal tema: 57 y ss.
60 EJERCICIOS de NÚMEROS COMPLEJOS. Resolver las sguentes ecuacones en el campo de los números complejos: a) x -x+=0 (Soluc: ) b) x +=0 (Soluc: ) c) x -x+4=0 (Soluc: ) d) x +x+=0 (Soluc: ) e) x -6x +x-6=0 (Soluc:, ) ( ) f) x +=0 Soluc : -, ± g) x 4 -=0 (Soluc:, ) h) x 4 -x -x +0x-=0 (Soluc: -,, ) Ejerccos lbro: pág. 49: ; pág. 6: y 5 Forma bnómca de un complejo:. Completar (obsérvese el prmer ejemplo): COMPLEJO z PARTE REAL Re(z) PARTE IMAGINARIA Im(z) OPUESTO -z CONJUGADO z z=+ Re(z)= Im(z)= -z=-- z z=- z=+ z= z= z=- z=. Dados los complejos z =+, z =-+4 y z =-5, hallar: a) z +z = (Soluc: +7) b) z +z = (Soluc: 4-) c) z -z = (Soluc: -) d) z -z = (Soluc: -9) e) z +z = (Soluc: +) f) z -z = (Soluc: 7-6) g) z -z +4z = (Soluc: -8+) h) z + z (Soluc: -) ) z z (Soluc: -0) j) z z (Soluc: -9) 4. Calcular x e y para que (+x)+(y+)=7+4 (Soluc: x=, y=5) Ejerccos lbro: pág. 6: 6 y 8 5. Calcular: a) (+5) (+4)= (Soluc: -4+) b) (+) (+)= (Soluc: -+4) c) (+) (--)= (Soluc: -) d) (-5) = (Soluc: 5+) e) (+5) (-5)= (Soluc: 9) f) (+) (-)= (Soluc: ) g) (5+) (-4)= (Soluc: -4) h) (+5) = (Soluc: -6+0) ) (+) (-)= (Soluc: 0) j) (--5) (-+5)= (Soluc: 9)
k) (+) = (Soluc: -9+6) l) () (-)= (Soluc: 9) m) (+) = (Soluc: -5+) n) (6-) = (Soluc: 7-6) o) (+) (-)= (Soluc: 5+) p) (-) = (Soluc: 6+) q) (+) (-)= (Soluc: 5-) r) (5+) (5-)= (Soluc: 6) s) (4+) (4+)-(+) (-4)= (Soluc: 5) Ejerccos lbro: pág. 6: 6. Cómo es sempre el producto de dos complejos conjugados? Razonar la respuesta. (Soluc: IR + ) 7. Dados los complejos del ejercco, hallar: a) z z = (Soluc: -4+5) b) z z = (Soluc: 9-4) c) z -z = (Soluc: -9) d) z (z +z )= (Soluc: 5+) e) z -z z = (Soluc: -6-0) f) (z ) = (Soluc: -5+) g) (z -z ) = (Soluc: -64) h) z z (Soluc: ) ) z z (Soluc: 6) j) z (z -z )= (Soluc: -8-9) k) (z +z ) = (Soluc: -7+6) l) z z z (Soluc: 75-8 m) z z 8. Dados los complejos -m y -n hallar m y n para que su producto sea 8+4. (Soluc: m =- y n =; m =/ y n =-) 9. Resolver la ecuacón (a+) (b-)=7- (Soluc: a =4 y b =; a =-/ y n =-) 0. Calcular: a) Sol : b) 5 4 c) Sol : d) 5 6 7 Sol : 5 5 Sol : - 4 e) 5 Sol : -5 f) 0 0 Sol : 9 7 g) h) Sol : - Sol : ) - Sol : j) k) 4-5 9 Sol : 4 l) 5 Sol : - Sol : (5)( ) m) n) o) p) ( ) (5 ) ( )() q) 4 00 55 r) s) a a 4 Sol : 5 5 7 Sol : 69 40 69 8 Sol : 5 5 4 Sol : - 5 5 Sol : Sol : 7 Sol : t) a b Sol : b a Ejerccos lbro: pág. 5: ; pág. 6:, y 5
. Calcular el nverso de cada uno de los sguentes complejos: a) Sol : b) + Sol : c) + d) - Sol : Sol : e) -+ Sol : 5 5 f) Sol : -. Calcular las sguentes potencas sucesvas de : a) = (Soluc: ) b) 77 = (Soluc: ) c) 5 = (Soluc: ) d) 7 = (Soluc: -) e) 44 = (Soluc: ) f) (Soluc: -) g) (Soluc: -) h) (Soluc: ) ) -4 = (Soluc: ) j) 5 (Soluc: -) k) -6 = (Soluc: -) l) 544 = (Soluc: ) m) 654 = (Soluc: -) n) - = (Soluc: -) o) -57 = (Soluc: ) Ejerccos lbro: pág. 49: 4; pág. 6: 4 (potencas sucesvas de ). Calcular las sguentes operacones combnadas en forma bnómca: a) (+) = (Soluc: +) b) (+) = (Soluc: -+) c) (-) (Soluc: -46-9) d) - (Soluc: ) e) 7 (Soluc: -) f) 4 45 (Soluc: 4+) g) ( ) ( ) (Soluc: -) 5 h) ( )( ) ( 4) 58 4 7 Soluc : 5 5 j) k) l) m) n) o) ( ) ( ) 6 4 77 76 Soluc : 5 5 ( )( ) ( ) 7 ( ) (Soluc: ) 00 5( ) 5 (Soluc: -5-) 8 (5) ( ) ( )( ) 7 ( )( ) ( ) 4 0 5 ( ) ( )( ) 4 5 7 5 7 4 Soluc : 5 5 Soluc : 4 5 7 Soluc : 6 5 ) ( )( ) ( ) Soluc : 9 4. Cuánto ha de valer m para que el complejo z=(m-) (+4) sea un número real? E magnaro puro? De qué números se trata? (Soluc: m= o m=-4; z=0 y z=-0, respectvamente) 5. Determnar x para que el producto z=(-5) (+x) sea: a) Un número real. Qué número resulta? (Soluc: x=5/; z=87/) b) Un número magnaro puro. Qué complejo z se obtene? (Soluc: x=-6/5; z=-87/5) Ejerccos lbro: pág. 6: y
6. a) Hallar x con la condcón de que (x-) sea un número magnaro puro. (Soluc: x=) b) Ídem con (x-) (Soluc: x=/) c) Ídem con (+x) (Soluc: x=) Ejerccos lbro: pág. 5: 7. Hallar x e y de modo que x y (Soluc: x=-6; y=7) Ejerccos lbro: pág. 6: 7 y 0 x 8. Hallar x para que el cocente sea un número magnaro puro. De qué número magnaro se trata? (Soluc: x=-; ) k 9. Determnar k para que el cocente z sea: k a) Un número real. Qué número resulta? Sol : k = ± ; z = ± b) Un número magnaro puro. Qué número es? Sol : k = 0 ; z = Ejerccos lbro: pág. 6: 5 0. Demostrar la sguente gualdad, obtenda de manera fortuta por el nsgne flósofo y matemátco alemán Gottfred Lebnz (646-76): 6. Hallar dos complejos de los que sabemos que su dferenca es un número real, su suma tene la parte real gual a y su producto es -7+ (Soluc: + y -+). Determnar los valores de a y b para que el complejo z=a+b satsfaga la ecuacón z z Ejercco lbro: pág. 6: Soluc : z, z, z 0, z4. Comprobar que los números complejos verfcan la ecuacón x -4x+=0 4. Hallar una ecuacón polnómca cuyas raíces sean: a) (Soluc: x -x+0=0) b) 5 (Soluc: x -0x+9=0) c) + y +5 (Soluc: x -(5+6)x++=0) d) (Soluc: x +=0) Ejerccos lbro: pág. 5: 5. TEORÍA: Demostrar que s las raíces complejas de Ax +Bx+C=0 son ab, entonces: A[(x-a) +b ]=Ax +Bx+C (Ayuda: Desarrollar el membro zquerdo y aplcar las relacones de Cardano-Veta)
Forma polar de un complejo: 6. Representar los sguentes complejos, sus opuestos y sus conjugados: a) z =+4 b) z =- c) z =-+ d) z 4 =--5 e) z 5 =7 f) z 6 =-7 g) h) - Ejerccos lbro: pág. 49: y ; pág. 6: 4 7. Pasar a forma polar los sguentes complejos (se recomenda representarlos prevamente, para así elegr correctamente su argumento): a) 4 4 (Soluc: 8 60º) b) (Soluc: 6 00º) c) Soluc : 44º 44' d) (Soluc: 5º) e) (Soluc: 0º) f) + Soluc : 45º g) - Soluc : 5º h) -- Soluc : 5º ) (Soluc: 90º) j) - (Soluc: 70º) k) +4 (Soluc: 5 5º 8 ) l) -4 (Soluc: 5 06º) m) -+4 (Soluc: 5 6º 5 ) n) -5+ (Soluc: º 7 ) o) -8 (Soluc: 8 70º) p) 8 (Soluc: 8 0º) q) -8 (Soluc: 8 80º) r) + Soluc : º 4' s) --5 Soluc : 9 48º' Ejerccos lbro: pág. 5: ; pág. 6: 8. a) Hallar m para que el número complejo m+ tenga módulo 5. Justfcar gráfcamente la solucón. (Soluc: m=4) b) Hallar m para que su argumento sea 60º (Soluc: m=) Ejerccos lbro: pág. 6: 8, 8 y 9 9. Hallar un número complejo tal que z = e Im(z)=-. Justfcar gráfcamente la solucón. Soluc : z 5, z - 5 0. Hallar un número complejo del º cuadrante que tene por módulo y tal que Re(z)=-. Expresarlo en Soluc : - forma polar. Justfcar gráfcamente la solucón. 0º. Hallar un complejo de argumento 45º tal que sumado a + dé un complejo de módulo 5 (Soluc: +). Encontrar un complejo tal que sumándolo con / dé otro complejo de módulo y argumento 60º Ejerccos lbro: pág. 6: Soluc :. Pasar a forma bnómca: a) 4 0º Soluc : b) 4 90º c) 0º d) 5 π e) π/ f) 90º g) 0º Soluc :
h) 60º Soluc : ) 6 5º Soluc : j) 4 0º Soluc : k) 50º Soluc : l) 60º Soluc : m) 50º (Soluc:,99+,98) n) 80º (Soluc: -) o) 0º Soluc : Ejerccos lbro: pág. 5: ; pág. 6: 5 4. Hallar los números complejos, en forma polar y bnómca, que corresponden a los vértces de estos hexágonos: a) b) z z z z (Soluc: a) z = 0º=; z 4=-z ; z = 60º=+; z 6= z ; z 5=-z ; z =-z 6 b) z = 0º=+; z 4=-z ; z 6= z ; z =-z 6; z = 90º=; z 5=-z ) 5. Determnar el valor de a para que el complejo z=(-6) (-a) sea: a) Un número real. De qué número se trata? (Sol: a=-4; 0) b) Un número magnaro puro. De qué número se trata? (Sol: a=; -5) c) Tal que su afjo esté en la bsectrz del er y er cuadrantes. De qué número se trata? (Sol: a=6; -0-0) m 6. Determnar el valor de m para que el complejo z 8 6 sea: a) Un número real. Qué número es? (Soluc: m=/; /4) b) Imagnaro puro. Cuál en concreto? (Soluc: m=-8/; /) c) Tal que su afjo esté en la bsectrz del º y 4º cuadrantes. (Soluc: m=4; -) 7. Determnar el valor de a para que el complejo z=(+) (-+a) sea: a) Un número real. (Soluc: a=) b) Un número magnaro puro. (Soluc: a=-4/) c) Tal que su afjo esté en la bsectrz del er y er cuadrantes. (Soluc: a=-0) Ejerccos lbro: pág. 6: 6 y 7 8. a) Dado z= 45º, hallar z en polar. (Soluc: 5º) b) Dado z= 0º, hallar z c) S z= 0º, hallar su conjugado y su opuesto. d) Hallar un número complejo y su opuesto sabendo que su conjugado es z 70º
9. Representar las sguentes regones del plano complejo: a) Im(z)=- (Sol: recta horzontal) b) Re(z)=Im(z) (Sol: bsectrz del er cuadrante) c) -<Re(z) (Sol: banda vertcal) d) Im(z)< (Sol: semplano) e) z =5 (Sol: crcunferenca) f) z < (Sol: regón crcular) g) - z < (Sol: anllo) h) Arg(z)=0º (Sol: recta) ) Re(z)=- (Sol: recta vertcal) j) z 4 k) Arg(z)=90º 40. TEORÍA: a) Demostrar que z z z b) S z=r, qué relacón tenen con z los números r +80º y r 60º -? c) El producto de dos complejos magnaros, puede ser real? Poner un ejemplo. d) Qué relacón exste entre el argumento de un complejo y el de su opuesto? e) Qué condcón debe cumplr un número complejo z para que Producto y cocente en forma polar: z (Soluc: Su módulo tene que ser ) z 4. a) Dados los números complejos 0º y 5 60º, comprobar que el producto en forma polar y en forma bnómca dan el msmo complejo. (Soluc: 5) b) Ídem con y - Soluc : 6 6 6 45º 4. Efectuar las sguentes operacones en forma polar y pasar el resultado a bnómca: a) 45º 5º Soluc : 660º b) 50º 4 45º Soluc : 95º -,59, c) º 6º 4º Soluc : 690º 6 d) º 4 7º º Soluc : 40º e) 06º : 6º Soluc : 45º f) 9 7º : 97º Soluc : 00º g) ( 40º ) Soluc : 80º 4 4 h) º : 6º 4º Soluc : 0,79,7 58º ) º : 4 7º : º Soluc : 0,7 0,04 8 54º Ejerccos lbro: pág. 55: ; pág. 6: 6 4. El complejo de argumento 80º y módulo es el producto de dos complejos; uno de ellos tene de módulo Soluc : y argumento 50º. Escrbr en forma bnómca el otro complejo. 44. Efectuar las sguentes operacones en forma polar y pasar el resultado a bnómca: a) 5º 45º Soluc : 0,94 0,4 40º 8 70º b) ( ) ( ) 5º Soluc : 0º -5º c) ( )( )( ) Soluc : 4 75º,46 5,46 45. Hallar el valor de α para que el producto π/ α sea: a) Un número real postvo. (Soluc: α=π/)
b) Un número real negatvo. (Soluc: α=π/) 46. Hallar el valor de α para que el cocente 5 π : α sea: a) Un número real postvo. (Soluc: α=π) b) Un número real negatvo. (Soluc: α=0) c) Un número magnaro puro con su parte magnara postva. (Soluc: α=π/) d) Un número magnaro puro con su parte magnara negatva. (Soluc: α=π/) e) stuado en la bsectrz del º cuadrante 47. Sn necesdad de efectuar el producto en bnómca, hallar cuánto ha de valer m para que el complejo z=(m-) (+4) tenga módulo 0 (Soluc: m=) 48. Sn necesdad de efectuar el cocente, determnar el valor de a para que el módulo del complejo sea (Soluc: a=) a z 49. Hallar dos números complejos sabendo que su producto es -8 y el cocente de uno entre el cuadrado del otro es la undad. (Ayuda: utlzar la forma polar) (Soluc: z =4 0º y z = 60º ) 50. Hallar dos números complejos sabendo que su producto es 4 y el cocente de uno entre el cuadrado del otro es Soluc : z 4 0º y z 0º Ejerccos lbro: pág. 6: 9, 0 y 5. Interpretar geométrcamente el resultado de multplcar el complejo z=a+b=r α por la undad magnara. (Soluc: Se trata de una rotacón de 90º en el plano complejo) 5. Calcular cos 75º y sen 75º medante el producto 0º 45º Ejercco lbro: pág. 6: 4 Soluc : cos 75º 6 4 ; sen 75º 6 4 Potencas en forma polar: Ejerccos lbro: pág. 55: (sencllos) 5. Calcular, aplcando el método más apropado (es decr, operando en polar o en bnómca) en cada caso; dar el resultado en forma bnómca: a) (+) (Soluc: ) b) (-) (Soluc: -8) c) (+) (Soluc: -+) d) (+) (Soluc: -46+9) e) (-) 4 (Soluc: -4) f) (-+) 5 (Soluc: 8+4) g) h) ( ) 4 ( ) 8 Soluc : 7 7 Soluc : 6 k) ( ) (Soluc: 4096) l) (Soluc: -) 7 7 m) (4 4 ) (Soluc: -5) 4 n) ( ) Soluc : 8 8 5 o) ( ) p) Soluc : 6 6 (Soluc: 7) q) (-+) 0 (Soluc: 5 ) ) ( 4 + - ) (Soluc: --) j) (+) 0 (Soluc: -04) r) ( ) ( ) Soluc :
4 s) ) ( Soluc : 8 8 4 t) 4 ) (4 Soluc : 048 048 u) ) ( Soluc : 8 8 v) (+) 5 (Soluc: -4-4) w) (+) x) (+ 5 ) (Soluc: +5) y) (+) 5 (Soluc: -97-97) 8 z) 4 4 6 ) ( Soluc : 4 0º 8 8 ) ( ( ) ) Soluc : ) ) ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) 4 ( 4 4 ) 5 ( ) ( ) ( ) ) 4 ) - 4-6 Ejercco lbro: pág. 55: Soluc : 4 4 4 Soluc : 40º 5º Soluc : 4 = 0º Soluc : = (Soluc: -) 0º 54. Dados los complejos z =, z = y z =+, calcular las sguentes expresones, dando el resultado en bnómca: a) z z b) z z c) (z ) 4 d) z Sol : a) ; b)( ) ( ); c) 8 8 ; d) z 55. Dado el complejo z, calcular z 5 z (Soluc: -64) 56. a) Aplcando la fórmula de De Movre, hallar sen α y cos α. Comprobar las expresones obtendas susttuyendo valores apropados de α (p.ej. α=0º) (Soluc: sen α=sen α-4sen α; cos α=4cos α-cos α) b) Ídem para sen 4α y cos 4α c) Ídem para las ya conocdas sen α y cos α Raíces de un nº complejo: 57. Calcular las sguentes raíces (dando el resultado en bnómca en aquellos apartados marcados con (*)), y representarlas en el plano complejo: a) 4 b) 8 8 8 8 Soluc :,5º; 0,5º; 9,5º; 8,5º 6 6 6 Soluc : 05º; 5º; 45º (*) c) 4 d) 4 4 4 4 4 Soluc : 60º; 50º; 40º; 0º 6 6 6 Soluc : 45º; 65º; 85º (*) e) Soluc : ; Abraham De Movre (667-754), matemátco francés. Como dato curoso, parece ser que predjo exactamente la fecha de su propa muerte: se do cuenta de que cada día dormía 5 mnutos más que el día anteror; a partr de ahí, conjeturó que el descanso eterno le llegaría el día que durmera durante 4 horas. Ese día acago, calculado por él msmo, fue el 7 de novembre de 754.
(*) f) Soluc : ; 0,97 0,6; 0,6 0,97 (*) g) Soluc : ; h) Soluc : 0,89 95º ; 0,89 5º; 0,89 5º (*) ) 8 Soluc : ; (*) j) 4 Soluc : (*) k) 8 Soluc : ; (*) l) 4 6 6 6 6 Soluc : ; ; ; m) 4 4 Soluc : (*) n) 8 8 o) 4 (*) p) 4 6 Soluc : - ; 00º ; 0º; 40º 8 8 8 8 Soluc : 8,75º; 8,75º; 8,75º; 8 0,75º Soluc : q) 5 4 Soluc : ; (*) r) 4 8 8 (*) s) 0º ; 08º; 80º 5º; 4º Soluc : ; ; ; (*) t) 4 (*) u) 8 8 (*) v) 4 4 (*) w) 6 4 x) y) 6 z) 7 α) 6 79 β) 4 680º (*) ) 8 8 4 4 4 4 4 4 8 7 7 4 8 4 8 7 7 4 8 Soluc : ; ; ; 6 6 (*) ) Ejerccos lbro: pág. 57: y 7; pág. 6: 7, 8, 9, 0 y 58. TEORÍA: a) El número 4+ es la raíz cuarta de un certo complejo z; hallar las otras tres raíces. b) Pueden ser +, -+, -- y - las raíces cuartas de un complejo? Justfcar la respuesta.
c) Pueden ser 8º, 00º, 7º, 44º y 6º las raíces de un complejo? De cuál? d) El complejo 40º es vértce de un pentágono regular. Hallar los otros vértces y el número complejo cuyas raíces quntas son esos vértces. e) Una de las raíces cúbcas de un número complejo z es +. Hallar z y las otras raíces cúbcas. 59. a) Hallar las raíces cúbcas de la undad en forma bnómca, y dbujarlas. Soluc : ; ; b) Hallar las raíces cuartas de la undad en forma bnómca, y dbujarlas. Soluc : ; c) Hallar las raíces quntas de la undad en forma polar, y dbujarlas. Soluc : ; 0º ; 7º; 44º 6º; 88º d) Hallar las raíces sextas de la undad en forma bnómca, y dbujarlas. Soluc : ; 60. Resolver las sguentes ecuacones en el campo de los complejos. Dbujar los afjos de las raíces: a) x +8=0 (Soluc: -, ) b) x 4-6=0 (Soluc:, ) c) x 4 +6=0 d) x 4 +=0 Soluc : Ejerccos lbro: pág. 57: y 4; pág. 64: 4 y 6