odelos de secuencacón de tareas en máqunas Andrés Ramos Unversdad Pontfca Comllas http://www.t.comllas.edu/aramos/ Andres.Ramos@comllas.edu ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS
odelos de secuencacón de tareas en máqunas. Introduccón. Datos, hpótess, meddas, crteros.. Secuencacón en una máquna. Secuencacón en varas máqunas ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS
Objetvo Encontrar secuenca en la que los trabajos pasan por las máqunas, tal que a) bajo certas hpótess, sea una planfcacón compatble con restrccones tecnológcas, es decr, sea factble b) óptma respecto a algún crtero ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS
Datos ob-shop: n trabajos o tareas {,..., n} han ser procesados por m máqunas o procesadores {,..., m}. Cada trabajo ha de pasar por cada máquna una y sólo una vez. Operacón o j : operacón de procesar el trabajo en la máquna j. Restrccones tecnológcas: condcones de orden en las operacones de un trabajo. Caso general: cada trabajo tene su propo orden sn relacón con el orden de otros. Flow-shop: el orden es el msmo para todos los trabajos. ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS
Tempo de proceso de o j : hasta la máquna). ás datos p j (ncluye tempo de ajuste de máquna o de transporte Release date o ready tme: r nstante en que el trabajo está lsto para ser procesado o llega el peddo. Due date: d fecha de entrega de a ampltud del perodo planfcacón trabajo o plazo de entrega: a = d r ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS 5
Ejemplo Se desean fabrcar tres pezas de madera: una escultura, un candelabro y una copa. Los recursos que se utlzan son: banco de trabajo, torno y sala de barnzado. Los datos de que se dspone son los sguentes: Tempo en mnutos necesaro para realzar cada operacón Fecha de entrega tambén en mnutos Orden en que se deben realzar las operacones para cada peza. Banco Torno Sala barnzado Fecha entrega Orden Escultura 60-0 60 B-S Candelabro - 5 5 90 T-S Copa 5 5 5 0 T-B-S ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS 6
Hpótess del job-shop (). Cada trabajo es una entdad: no se pueden realzar dos operacones de un msmo trabajo a la vez.. Cada trabajo ncluye una y sólo una operacón en cada máquna (en total m operacones).. No preempton (no se permte nterrupcón de operacones).. No cancelacón (no se permte cancelacón una vez ncada). 5. Tempos de proceso ndependentes de la secuenca seguda. 6. Se permte nventaro ntraproceso (las operacones pueden esperar hasta que se acabe otra operacón en la sguente máquna). ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS 7
7. Sólo hay una máquna de cada tpo. 8. Las máqunas pueden estar nactvas. Hpótess del job-shop () 9. Las máqunas no pueden procesar más de una operacón a la vez. 0. Las máqunas están dsponbles todo el perodo de planfcacón.. Las restrccones tecnológcas son conocdas e nmutables.. No exste aleatoredad: conocdos y fjos todos los datos (número de trabajos, número de máqunas, tempos de proceso). ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS 8
W k tempo de espera del trabajo necesaramente en máquna k ) eddas de desarrollo W tempo total de espera del trabajo : antes de realzarse su k -ésma operacón (no W m = k= C nstante de cumplmentacón o sumnstro de : C = r + ( Wk + pj ( k )). p j( k ) es tempo de proceso de k -ésma operacón del trabajo que se realza en máquna j F tempo de proceso o de cumplmentacón (flow tme) de : F = C r L desvacón de respecto a su due date: L = C d. Puede ser + o T demora en la entrega del trabajo : T = { L,0} E adelanto en la entrega del trabajo : E = { L,0} I j tempo nactvo (dle) de la máquna j: W k I C p j =. n = j m k= ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS 9
Notacón: X n X n = = meda, X { X X } =,..., n máxmo. ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS 0
Ejemplo o j ( m ) o j ( m ) W m p j ( m ) j o j ( ) W p j ( ) o m j ( ) m W p j ( ) o j ( ) r a L = T d C F ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS
Crteros () Crteros basados en los nstantes de fnalzacón F : tempo máxmo de proceso F : tempo medo de proceso C : (make-span) tempo máxmo de cumplmentacón o tempo total de produccón C : tempo medo de cumplmentacón (mnmzar F equvalente a mnmzar C ) Pueden ponderarse estas meddas en funcón de mportanca de artículos. Crteros basados en los plazos de entrega (due dates) L: meda de desvacones (postvas y negatvas) L : máxma desvacón T : meda de retrasos T : máxmo retraso nmzar número de trabajos fuera de plazo (aterrzaje de avones) ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS
Crteros () Crteros basados en el nvel de nventaro y el coste de utlzacón C NW ( t ) número de trabajos en espera en nstante t, W = W C 0 C NU ( t ) número de trabajos en curso en nstante t, NU ( t) = NU ( t) dt C 0 N ( t) N ( t) dt nmzar número medo trabajos acabados (reduce coste nventaro productos acabados) axmzar número medo de trabajos que realmente están sendo procesados (uso de las máqunas) nmzar la meda o el máxmo tempo nactvo de las máqunas ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS
Relacones entre las meddas de desarrollo () a) Equvalentes (dan la msma solucón) C, F, W y L b) No equvalentes las meddas análogas a las anterores pero para su valor máxmo, excepto: b.) b.) S release dates=0 para todos los trabajos, equvalentes C y F. S due dates msmas para todos los trabajos, equvalentes C y L. c) S óptma para L entonces tambén para T, al revés no sempre. d) Equvalentes C, N p (número medo de trabajos sendo realmente procesados) e I m m n (desocupacón meda de las máqunas I = I j = ( C pj )). m m j= j= = ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS
e) Equvalentes N U y f) Equvalentes N W y Relacones entre las meddas de desarrollo () C / C. W / C. g) En una sola máquna equvalentes C, F, W, L, N U y N W. ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS 5
Hpótess: Instantes de comenzo r = 0 y m =. Resultados: Secuencacón en una máquna () Para todo objetvo regular (no decrecente con los nstantes de cumplmentacón), exste una planfcacón óptma en la que la máquna no está nactva Permtr la nterrupcón no puede mejorar nnguna planfcacón. La solucón es una programacón permutacón. ( C = F son los msmos) ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS 6
Secuencacón en una máquna () Posbles permutacones que optmzan algún crtero a) nmzacón del tempo medo de proceso, F ( C, W, L, N U, N W ) Programacón según tempo de proceso crecente b) nmzacón de máxma desvacón respecto a fechas de entrega, L ( T ) Programacón de fecha de entrega crecente c) nmzacón de número de trabajos demorados: algortmo de oore y Hodgson. Obtener programacón de fecha de entrega crecente. Encontrar prmer trabajo demorado en secuenca actual ( l ). S no, r a.. Encontrar trabajo mayor tempo proceso delante de ( l ), ncludo ( l ), y rechazarlo. Ir a.. Secuenca óptma: actual y añadr al fnal trabajos rechazados sn orden. Esos trabajos rechazados serán los úncos demorados. ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS 7
Secuencacón en una máquna () Condcones precedenca entre trabajos: Evtar reformulando fechas entrega. S no es posble: utlzar algortmos específcos. Problema de cadenas productos: K cadenas de n,..., n K trabajos: con orden y proceso segudo Cómo secuencar las cadenas? p j : tempo j -ésmo trabajo de la cadena -ésma n p = p tempo cadena. Secuenca óptma para mnmzar el tempo medo de proceso: p () p () p ( K ) Ordenar por tempo medo de proceso crecente:. n n n j= j () () ( K ) ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS 8
Secuencacón en una máquna. Programacón dnámca () Otros métodos: programacón entera, dnámca, etc. Ejemplo: programar trabajos para mnmzar retraso medo { C d,0} resuelto por programacón dnámca Trabajos Tempos proceso 8 6 0 7 Fecha entrega 9 6 6 Etapas: orden secuenca. Decsones: qué trabajo programar. Estados: trabajos ya programados. Objetvo: { C d,0} = = ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS 9
Etapa Secuencacón en una máquna. Programacón dnámca () Decsones Óptmo Objetvo Estados,, 6 5,, 6 5,, 9,, 7 Etapa Decsones Óptmo Objetvo Estados, 6+5 6+5 0, 9+5 5 6+ 0, 9+5 5 6+ 7, +5 6+7 ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS 0
, +5 6+7, 5 + 9+7 ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS
Secuencacón en una máquna. Programacón dnámca () Etapa Etapa Decsones Óptmo Objetvo Estados 9+0 8 6+0 0+7 5 +0 6 6+ 0+ 0 8 +0 6 9+ 7 6+ 5 +7 9+ 7 6+ 6 Decsones 0+5 0+0 0+ 0+6 Óptmo Objetvo 0 La secuenca óptma es (,,, ), con un retraso medo de 0/=5 undades de tempo. ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS
Hpótess: Secuencacón en varas máqunas () Instantes de comenzo r = 0, =,..., n. Flow-shop máqunas y mnmzar máxmo tempo de cumplmentacón C : n trabajos, máqunas, todos por máquna y luego por la en el msmo orden. Óptmo: buscar entre programacones permutacón. ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS
Secuencacón en varas máqunas. Algortmo de ohnson () a = p : tempo proceso en máquna. b = p : tempo proceso en máquna. k = y l = n.. Lsta actual trabajos no programados = {,,..., n}. Encontrar mínmo de los a y b de trabajos no programados.. S mínmo es un a :.. Programar en k -ésma poscón, borrar lsta trabajos no programados.. k k +. Ir a 6 5. S mínmo es un b : 5.. Programar en l -ésma poscón, borrar lsta trabajos no programados 5.. l l. Ir a 6 6. S hay trabajos sn programar r a. En otro caso, parar. ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS
Secuencacón en varas máqunas. Algortmo de ohnson () Extensón: mnmzar tempo máxmo cumplmentacón con tpos de trabajos tpo A: sólo por la máquna tpo B: sólo por la máquna tpo C: prmero máquna y luego tpo D: prmero máquna y luego. Secuencar tpo A cualquer orden S A. Secuencar tpo B cualquer orden S B. Secuencar tpo C algortmo de ohnson S C. Secuencar tpo D algortmo de ohnson (cambar máqunas) S D Programacón óptma: áquna Orden ( SC, SA, S D ) ( S, S, S ) D B C ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS 5
Secuencacón en varas máqunas. Optmzacón lneal entera () trabajos, máqunas. Objetvo: mnmzar máxma demora. Due dates Orden 0 5 8 50 0 5 55 Varables decsón: T j nstante ncar operacón trabajo en máquna Restrccones tecnológcas: S va a antes en máquna j que en j, j j j j T + p T : T T + 0 T T + 5 T + 5 T T + T ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS 6
Secuencacón en varas máqunas. Optmzacón lneal entera () - No smultanedad en una máquna:, k y Tkj + pkj Tj ( δkj ) Equvale, T + p T δ δ kj j j kj kj j, s se procesa después de k en la máquna j = : 0 en caso contraro T + p T o T + p T. j j kj kj kj j T + 0 T ( δ ) T + 0 T δ T + 5 T ( δ ) T + T δ T + 8 T ( δ ) T + 5 T δ ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS 7
Secuencacón en varas máqunas. Optmzacón lneal entera () - Objetvo: mnmzar la máxma demora. Varables demora trabajo T, m( ) últma operacón trabajo, T + p T d y T T : m( ) m( ) entonces mnt T T T T T T + 8 T 50 + 0 T 55 T 0, T 0, δ 0,, T 0 - Carácter de las varables: { } j kj ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS 8