Tema 2 Sucesioes Numéricas Imagiemos la cola de etrada a u espectáculo formada por persoas que ha sido umeradas de la forma habitual; el primero de la cola lleva el úmero 1, el segudo el úmero 2 y así sucesivamete; pero co la diferecia respecto del mudo real de que la fila es ifiita. Cómo podría saber u espectador que observa la cola que dicha fila es ifiita? Naturalmete, podría respoderse que porque o alcaza co la vista el fial de la cola (que por cierto o existe tal fial); pero podríamos objetar que tal vez es u problemadevistayodeifiitud; acaso euacola demiles de milloes de persoas alcazaríamos a ver el fial? Ua respuesta más adecuada matemáticamete es que eesta filatodapersoatiee siempre alguiedetrás; es decir, siempre existe u sucesor a cualquier persoa que esté haciedo cola. Esto resulta del hecho de que para umerar la cola hemos empleado el cojuto de los úmeros aturales N y ésta es, precísamete, ua de sus características eseciales. Acabamos de formar ua sucesió (de persoas). Ituitivamete hablado, pues, ua sucesió es ua lista ifiita de objetos que está umerados (ordeados) siguiedo el orde de los úmeros aturales, 1,2,... Así al primer térmio de la sucesió le correspode el ídice (úmero e lacola) 1; el siguiete llevael ídice 2y así sucesivamete. Cabe decir que, e ocasioes, será coveiete empezar co el ídice 0 e vez de co 1. E este tema, se tratará las sucesioes uméricas; es decir aquellas listas cuyos objetos umerados so, a su vez, úmeros. Auque el título hace 15
referecia a sucesioes uméricas e geeral; es decir, reales y complejas, os limitaremos a estudiar las sucesioes reales, ya que el estudio de las sucesioes complejas se reduce a áquel mediate el aálisis de las partes reales y complejas de los respectivos térmios. 2.1. Sucesioes reales. Subsucesioes Defiició 2.1 Ua sucesió de úmeros reales es ua aplicació a : N R El rago de esta aplicació es el cojuto (ordeado) {a(0),a(1),a(2),a(3),...,a(),...} y deotado a = a() lo podemos represetar abreviadamete como {a } + =0. Tambié se utiliza la otació {a } para represetar a ua sucesió, sobretodo si o os importa señalar desde que térmio empezamos. E geeral, las sucesioes puede empezar desde u atural 0 > 0, pero e las disquisicioes teóricas etedemos que empieza desde = 1. Portato, uaforma de escribiruasucesióes dadola fórmula deltérmio geeral a. Ejemplo 2.1 {1, 1 2, 1 3,...}; es decir, a = 1, 1. {1, 1,1, 1,1, 1,...} es decir, a = ( 1) +1, 1. {1, 1 2, 1 4, 1 8...}; es decir, a = 1 2, 0. Si embargo, e alguos casos la sucesió se defie o bie por compresió o bie por recurrecia; esta última sigifica que el térmio geeral a se defie e fució de uo o varios térmios ateriores. 16
Ejemplo 2.2 Lasucesióformadaporlauidad ylos úmeros primos. Noes posible escribir a e fució de : {1,3,5,7,11,13,17,19,...}. a 0 = 1; a 1 = 1; a = a 1 +a 2 para 2; que da la coocida sucesió de Fiboacci dode cada térmio es la suma de los dos ateriores: {1,1,2,3,5,8,13...} Uaformade represetargráficamete las sucesioes reales es como fucioes, es decir, como pares ordeados (, a ), lo que puede ser útil e ocasioes para el estudio de sus propiedades. E el eje de abcisas se represeta los úmeros aturales y e el eje de ordeadas los valores reales a. Dado que la variable sólo admite valores aturales, la represetació gráfica se visualizará, etoces, como u cojuto de putos aislados, Fig 2.1 Figura 2.1: Represetació gráfica de ua sucesió Defiició 2.2 Ua subsucesió de úmeros aturales es ua aplicació estrictamete creciete: N N j j es decir que se cumple 1 < 2 < 3 <... < p < p+1 <... 17
Esto permite defiir, dada ua sucesió {a } de úmeros reales, ua subsucesió de {a } como la aplicació N N j j a R a j Es decir, dode los uevos ídices j forma ua subsucesió de N. Por tato, la subsucesió, que deotaremos por {a j } + j=1, puede etederse como u subcojuto ifiito (y ordeado) de {a }. Ejemplo 2.3 Dada ua sucesió cualquiera {a } so subsucesioes: {a 2 }, la subsucesió de los térmios de orde par; {a 2+1 }, la subsucesió de los térmios de orde impar; {a 2 }, la subsucesió de los térmios de orde potecias de 2; {a +3 }, la subsucesió formada desechado los tres primeros térmios. Ejemplo 2.4 Cosidera la sucesió {1, 1 2, 1 3, 1,...}. Etoces, 4 { 1 2, 1 4, 1 6,..., 1 2,...} es subsucesió, co 1 = 2, 2 = 4, 3 = 6,... { 1 2, 1 4, 1 8,..., 1 2,...} es subsucesió, co 1 = 2, 2 = 4, 3 = 8,... { 1 3, 1 2, 1 5, 1,...} o es subsucesió. (No respeta el orde) 4 {0, 1 2, 1 4, 1...} o es subsucesió. (No es subcojuto) 8 2.2. Sucesioes moótoas Al observar la sucesió { } 1 cuyos térmios escribimos a cotiuació 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6, 1 7, 1 8,... 18
vemos como cada térmio es mayor que su sucesor; es decir que la sucesió decrece; Fig. 2.2. Figura 2.2: Sucesió decreciete Por el cotrario, la sucesió {} 1,2,3,4,5,... cumpleque cadatérmioes meorquesusucesor; es decir,lasucesiócrece; Fig. 2.3. Figura 2.3: Sucesió creciete Formalizamos estos coceptos e la siguiete defiició. 19
Defiició 2.3 Diremos que {a } es : moótoa creciete si, y sólo si, a a +1, moótoa decreciete si, y sólo si, a a +1, N N moótoa cuado es creciete o decreciete. Cuado las desigualdades so estrictas se dirá que las sucesioes so estrictamete crecietes o estrictamete decrecietes, segú el caso. Ejemplo 2.5 Si cosideramos de uevo las sucesioes ateriores {} es creciete, porque + 1, para todo { } 1 es decreciete, porque 1 1, para todo + 1 E ocasioes el estudio de la mootoía o es ta evidete y requiere realizar alguas operacioes. Ejemplo 2.6 Determia si la sucesió { 2 } + 3 3 es moótoa. 1 2 Solució: Primero calculamos alguos de los primeros térmios para determiar si es moótoa y e qué setido. Para o complicar la otació asumimos que el primer térmio será deotado por a 2 (e vez de por a 1 ): por lo que, a 2 = 4 7 ; a 3 = 12 26 ; a 4 = 19 63 a 2 > a 3 > a 4 locualparece idicarquees moótoadecreciete. Paraprobarlo,debemos verificar que a > a +1. Si escribimos esta codició 2 + 3 3 1 > ( + 1)2 + 3 ( + 1) 3 1 20
y ahora, se trata de desarrollar esta expresió hasta llegar a ua codició que sea cierta. Empezamos por quitar deomiadores (ambos so positivos por lo que la desigualdad permaece) ( 2 + 3)(( + 1) 3 1) > (( + 1) 2 + 3)( 3 1) y, desarrollado los parétesis, (9 + 9 + 6 2 + 3 3 + 4 ) > 4 2 2 + 4 3 + 2 4 + 5 que equivale a 4 + 11 + 12 2 + 2 3 + 4 > 0 lo cual es cierto para cualquier valor de al ser todos los sumados positivos. Queda así comprobado que a > a +1, para todo, por lo que la sucesió resulta ser moótoa decreciete. Ejemplo 2.7 Determia si la sucesió { }! 2 es moótoa. 1 Solució: Primero calculamos alguos de los primeros térmios paradetermiar si es moótoa y e qué setido: por lo que, a 1 = 1 2 ; a 2 = 2 4 ; a 3 = 6 8 ; a 4 = 24 16 ; a 1 a 2 < a 3 < a 4 y parece idicar que es moótoa creciete. Para probarlo, debemos verificar que a < a +1, para todo. Dado que todos los térmios so positivos y que ivolucra factoriales y potecias vamos a probar que a +1 a > 1 ( + 1)! 2 +1 + 1 = 1, para todo 1! 2 2 Queda así comprobado que a < a +1, para todo, por lo que la sucesió resulta ser moótoa creciete. 21
Ejercicio 2.1 Estudia la mootoía de la sucesió a = 2 + 3 3 + 2, 1. (Sol.: {a } es moótoa creciete ) Ejercicio 2.2 Estudia la mootoía de la sucesió a = 5 + 3 2 + 1, 1. (Sol.: {a } es moótoa decreciete ) (2 1)!! Ejercicio 2.3 Estudia la mootoía de la sucesió a =! 2, 1 (H: (2 1)!! = (2 1) (2 3) 3 1; es decir, es el producto de todos los impares meores o iguales a 2 1). (Sol.: {a } es moótoa decreciete ) 2.3. Sucesioes acotadas Defiició 2.4 Sea {a } ua sucesió real y M R. Si a M, N diremos que {a } está acotada superiormete. E este caso el úmero M se llama cota superior. Si a M, N diremos que {a } está acotada iferiormete. E este caso el úmero M se llama cota iferior. Diremos que {a } está acotada si lo está superior e iferiormete. Esto equivale a decir que a M, N Gráficamete, ua sucesió acotada es, pues, aquella cuyos térmios se ecuetra situados e ua bada horizotal de achura 2M, como puede observarse e la Fig. 2.4. 22
Figura 2.4: Sucesió acotada a M Ejemplo 2.8 Veamos alguos ejemplos de sucesioes acotadas. { 1 } está acotada porque 1 1, N {( 1) +1 } está acotada porque ( 1) +1 1, N {} o está acotada superiormete. {l ( 1 ) } o está acotada iferiormete (se verá más adelate que lím l(1/) = ). { 2 } + 3 Ejemplo 2.9 Determia si la sucesió 3 está acotada. 1 2 Solució: Puesto que los térmios de la sucesió siempre so positivos, queda claro que está acotada iferiormete por 0; es decir, 0 2 + 3 3 1, 2 Para acotarla superiormete, se utiliza u pequeño artificio: aumetar el grado del umerador para que coicida co el del deomiador y poder realizar la divisió. 2 + 3 3 1 3 3 + 3 = 1 + 4 3 1 1 + 1 = 2 23
{ } Ejercicio 2.4 Determia si la sucesió está acotada. + 1 N (Sol.: 0 < + 1 < 1 ) Ejercicio 2.5 Determia si la sucesió (Sol.: 3 4 + + 1 3 2 { 4 } + + 1 3 está acotada. 2 1 y o acotada superiormete ) 2.4. Sucesioes covergetes Observamos de uevo la sucesió { 1 }+ =1, escribiedo alguos de sus térmios: 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6, 1 7, 1 8,... Cuato más avazamos, más pequeñoes el térmiocorrespodiete.parece que la sucesió va acercádose a cero y, por tato, se dice que tiee límite cero. Por cotra e la sucesió {} pasa lo cotrario: 1,2,3,4,5,... cuato más avazamos más grade se hace el térmio correspodiete y, etoces, se dice que tiee límite +. Fialmete, si tomamos la sucesió: 1,0,1,0,1,0,1... se observa que por mucho que avacemos la sucesió siempre oscila etre 0 y 1 y se dice que es oscilate. Estos coceptos se formaliza a cotiuació e las siguietes defiicioes. Defiició 2.5 Diremos que {a } es covergete y tiee límite λ R sii ǫ > 0 0 N / si 0 a λ < ǫ y lo escribiremos lím a = λ. Si ua sucesió o es covergete, etoces se dice que es divergete; pero distiguiremos alguos tipos de divergecia. 24
Diremos que {a } es divergete y tiee límite + sii K > 0 0 N / si 0 a > K y lo escribiremos lím a = +. Diremos que {a } es divergete y tiee límite sii K < 0 0 N / si 0 a < K y lo escribiremos lím a =. Diremos que {a } es divergete y tiee límite sii K > 0 0 N / si 0 a > K y lo escribiremos lím a =. Diremos que {a } es oscilate si o es covergete i divergete a ± o Nota: E realidad, ua sucesió {a } tiee límite si la sucesió de los valores absolutos { a } tiee límite +. Por eso, toda sucesió divergete a + o, tambié tiee límite, pero el recíproco o es cierto (véase el Ejemplo 2.10). Ejemplo 2.10 Veamos alguos ejemplos de sucesioes covergetes y divergetes. 1. { 1 } es covergete y lím 1 = 0 2. {} es divergete y lím = + 3. { } es divergete y lím ( ) = 4. {1, 1,2, 2,...,( 1) +1,...} es divergete y lím ( 1) +1 = 5. {1,2,1,2,1,2,1,2,...} es oscilate (y acotada) 6. {1,2,1,3,1,4,1,5,...} es oscilate (y o acotada) 7. {si} es oscilate (y acotada) 25
Gráficamete el cocepto de límite se iterpreta como que la cola de la sucesió se aproxima a ua recta horizotal de ecuació y = L, si lím a = L; Fig. 2.5, Figura 2.5: Sucesió covergete o por el cotrario, la cola supera cualquier cota K si lím a = + ; Fig. 2.6. Figura 2.6: Sucesió divergete Eel siguiete teorema se resumealguas propiedades básicas de los límites. 26
Teorema 2.6 Sea {a } ua sucesió covergete. Etoces, 1. El límite es úico. 2. La sucesió es acotada. 3. Cualquier subsucesió es covergete y tiee el mismo límite. 4. lím a = λ lím(a λ) = 0 lím a λ = 0 Por otra parte, si la sucesió {a } es divergete a ± etoces cualquier subsucesió es divergete y tiee el mismo límite. La propiedad (2) aterior proporcioa u método para determiar si ua sucesió está acotada; es decir, las sucesioes co límite fiito está acotadas; auque el recíproco o es cierto, e geeral: la sucesió oscilate {1,0,1,0,...} está acotada pero o tiee límite. La propiedad (3) aterior permite elimiar u úmero fiito de térmios al calcular el límite de ua sucesió. E particular, el límite o depede de los primeros térmios sio de la cola de la sucesió; lo cual ya estaba implícito e la defiició de límite. Teorema 2.7 La relació de los límites co el orde de los úmeros reales es la siguiete: 1. Si a b, para todo 0 y existe lím a y lím b, etoces lím a lím b 2. Si lím a = λ < α, etoces existe 0 tal que a < α, para cada 0 3. Si lím a = λ > α, etoces existe 0 tal que a > α, para cada 0 E particular, si lím a 0, la sucesió {a } tiee el mismo sigo que su límite excepto, como mucho, e u úmero fiito de térmios. 27
Yavimos quetodasucesiócolímite fiitoestáacotaday queelrecíproco oes ciertoegeeral. Si añadimos ua codicióde mootoíaobteemos dicho recíproco Teorema 2.8 La relació etre la covergecia y la mootoía se resume e las siguietes propiedades. 1. Si {a } es creciete y acotada superiormete, etoces {a } es covergete. 2. Si {a } es decreciete y acotada iferiormete, etoces {a } es covergete. 3. Si {a } es creciete y o acotada superiormete, etoces {a } es divergete a +. 4. Si {a } es decreciete y o acotada iferiormete, etoces {a } es divergete a. Teorema 2.9 (Aritmética de sucesioes covergetes) Sea {a } y {b } dos sucesioes covergetes. Etoces, 1. lím (a + b ) = lím a + lím b 2. lím (α a ) = α lím a 3. lím (a b ) = lím a lím b a lím a 4. lím = si lím b 0 b límb 5. lím (a ) b = (lím a ) lím b si lím a > 0 Para coocer el valor del límite cuado ua o las dos sucesioes ateriores tiee límite ifiito, se aplica la llamada aritmética ifiita que se resume e la tabla siguiete. E lo que sigue debe etederse que a R represeta el límite de ua sucesió {a } y ± el de ua sucesió {b }. 28
Suma: (+ ) + (+ ) = + ( ) + ( ) = a + (+ ) = + a + ( ) = Producto: a(+ ) = { + si a > 0 si a < 0 a( ) = { si a > 0 + si a < 0 (+ )(+ ) = + ( )( ) = + (+ )( ) = Cociete: + a = + si a > 0 si a < 0 si a = 0 a = si a > 0 + si a < 0 si a = 0 a + = 0 a = 0 a =, si a 0 0 Potecias: a + = { + si a > 1 0 si 0 a < 1 a = { 0 si a > 1 + si 0 a < 1 (+ ) + = + (+ ) = 0 (+ ) a = { + si a > 0 0 si a < 0 29
2.5. Cálculo de límites Co la aritmética ifiita, puede presetarse los siguietes tipos de idetermiacioes:, 0 0,, 0, 1, 0, 0 0 Veamos cómo resolver alguas de ellas: 2 + 3 5 Ejemplo 2.11 Calcula el límite lím. + 2 Solució: E este caso, se tiee u cociete de poliomios y ambos tiede a + por lo que, e pricipio, estamos ate ua idetermiació del tipo. El procedimieto a seguir es dividir umerador y deomiador por la potecia de mayor grado; e este caso, 2. lím 2 + 3 5 + 2 = lím 1 + 3 5 2 1 + 2 2 = 1 0 = basta observar, e este último paso, que los cocietes 1 y 1 2 tiede ambos a 0. Si se quiere determiar el sigo del, auque ello o es siempre posible, basta determiar el sigo de la sucesió 2 +3 5 +2 cuado es grade. E este caso, para valores grades de la sucesió es siempre positiva, por lo que puede afirmarse que el límite es +. Ejemplo 2.12 Calcula el límite lím 2 + 2 5. 5 3 Solució: E este caso, se tiee u cociete dode umerador y deomiadortiedea, porloque, epricipio, estamos ate uaidetermiació del tipo. El procedimieto a seguir es dividir umerador y deomiador por la potecia de mayor grado; e este caso, (auque el umerador o 30
es u poliomio, se asimila a éste para el cálculo de límites, tomado como potecia de mayor grado 2 = ). lím 2 + 2 5 5 3 = lím 1 + 2 5 2 5 3 = 1 3 = 1 3 2 3 + 2 Ejercicio 2.6 Calcula lím. + 2 (Sol.: ) 2 3 + 3 2 + 1 Ejercicio 2.7 Calcula lím 3 + 3. + 2 (Sol.: 2 ) Ejercicio 2.8 Calcula lím 2 + + 1. + 2 (Sol.: 1 ) Ejercicio 2.9 Calcula lím 2 + 8 3 7 + 1. (Sol.: 0 ) 2 k + 3 k 1 Ejercicio 2.10 Calcula lím k + 3 k 2 (H: Divide umerador y deomiador por la mayor + 2k+3 potecia). ( ) Ejemplo 2.13 Calcula el límite lím 2 + 2 + 3. (Sol.: 3 ) Solució: E este caso, se tiee ua diferecia de sucesioes dode ambas tiedea+, porloque, epricipio, estamos ate uaidetermiaciódel tipo. Dadoquepuedeverse comouadifereciaderaíces cuadradas 31
( = 2 ), el procedimieto a seguir es multiplicar y dividir por la expresió cojugada: ( ) lím 2 ( + 2 + 3 = lím 2 + 2 + 3 )( 2 + 2 + 3 + ) 2 + 2 + 3 + = lím 2 + 2 + 3 2 2 + 2 + 3 + = lím 2 + 3 2 + 2 + 3 + = 2 2 = 1 yaque eeste último paso, volvemos ateerucociete de poliomios que ya debemos saber resolver. ( ) Ejercicio 2.11 Calcula lím 2 + 2 1. (Sol.: 1 ) Ejercicio 2.12 Calcula lím + 1 + 3 + 1. (Sol.: 1 2 ) ( 4 Ejercicio 2.13 Calcula lím 2 + 1 4 2 + 1) (H: Aplica dos veces la operació de multiplicar y dividir por el cojugado). (Sol.: 0 ) Acotiuacióse expoealguosmétodosmás pararesolveréstas yotras idetermiacioes: (a) tipo (1 ): se aplica la fórmula de Euler. } a 1 = lím a b b lím b(a 1) = e ( 2 ) + 3 Ejemplo 2.14 Calcula el límite lím 2. + 1 32
Solució: E este caso, se tiee ua potecia de sucesioes dode la base tiee límite 1 (debería ser claro ya) y el expoete tiee límite, por lo que, estamos ate ua idetermiació del tipo 1. El procedimieto cosiste e aplicar la fórmula de Euler: ( ( 2 ) 2 ) + 3 lím 2 = e lím + 3 2 + 1 1 + 1 ( 2 = e lím + 3 2 ) + 1 2 + 1 = e lím 4 2 2 + 1 = e 1 ( 2 ) 2 + 5 + 3 5 + 2 Ejercicio 2.14 Calcula lím. 2 4 + 2 ( 3 Ejercicio 2.15 Calcula lím 1 2 ) +1 2. + 1 ( 2 ) 2 + 3 Ejercicio 2.16 Calcula lím 2 2. 1 Ejercicio 2.17 Calcula lím ( + 1 ) 1 + 1. (Sol.: e 7 ) (Sol.: e 2/3 ) (Sol.: 0 ) (Sol.: 1 ) (b) tipo ( ): se aplica el criterio de Stolz. = b + (b ) creciete b > 0, lím a b = lím a +1 a b +1 b 33
Ejemplo 2.15 Calcula el límite lím 1 + 2 +... + 2. Solució: E este caso, se observa que el umerador es ua sucesió formada por ua suma cuyo úmero de sumados varía co el valor de. Se aplica el criterio de Stolz, llamado a a la sucesió del umerador y b a la del deomiador: lím a b = lím a +1 a b +1 b = lím 1 + 2 +... + + ( + 1) (1 + 2 +... + ) ( + 1) 2 2 = lím + 1 2 + 1 = 1 2 Ejercicio 2.18 Calcula lím 1 + 2 2 + 3 3 + +. (Sol.: 1 ) Ejercicio 2.19 Calcula lím 4 + 1 + 4 + 2 + 4 + 3 + + + 4 +. (Sol.: 9 2 ) Ejercicio 2.20 Calcula lím log(!) log (Sol.: 1 ) a 1 + 2a 2 + 3a 3 +... + a Ejercicio 2.21 Calcula lím 2, sabiedo que a es ua sucesió covergete co límite líma = a. (Sol.: a 2 ) (c) tipos ( 0 ) y (0 0 ): se aplica el criterio de Stolz para la raíz. b + (b ) creciete = lím b a = lím b +1 b b > 0, a+1 a 34
Ejemplo 2.16 Calcula el límite lím!. Solució: Eeste caso, se aplicaelcriteriodestolz paralaraíz.llamado a a la sucesió del radicado y b a la del radical: lím a+1 b b +1 ( + 1)!/( + 1) a = lím +1 b = lím ( + 1) a!/ ( + 1) = lím ( + 1) ( + 1) = lím ( ) ( + 1) ) = lím = e 1 + 1 Ejercicio 2.22 Calcula lím. (Sol.: 1 ) Ejercicio 2.23 Calcula lím 5 2 6 + 3. (Sol.: 1 ) ( Ejercicio 2.24 Calcula lím + 1 ). (Sol.: 0 ) Ejercicio 2.25 Calcula lím 1 + 2 + 3 3 + +. (Sol.: 1 ) (d) tipos ( ) y (0 0 ): cambiamos a límite de fucioes para poder aplicarle la regla de L Hopital: Se busca dos fucioes reales f y g, cotiuas y derivables de forma que f() = a y g() = b ; etoces, a f(x) lím = lím + b x + g(x) = lím f (x) x + g (x) Ejemplo 2.17 Calcula el límite lím e. 35
Solució: El límite propuesto es ua idetermiació del tipo. E este caso, puesto que ambas sucesioes o tiee relació, lo más secillo es tomar las fucioes f(x) = e x y g(x) = x y aplicar la regla de L Hopital: lím f(x) g(x) = lím f (x) g (x) = lím e x 1 = + por lo que, lím e = +. Ejercicio 2.26 Calcula el límite lím l(). (Sol.: 0 ) 2.6. Ifiitésimos Defiició 2.10 Ua sucesió {a } se dice u ifiitésimo si lím a = 0 Dos ifiitésimos {a } y {b } se dice equivaletes si a lím = 1 b Las propiedades más usuales de los ifiitésimos se resume e los dos resultados siguietes. Teorema 2.11 Si {a } es u ifiitésimo y {b } es ua sucesió acotada, etoces lím a b = 0 es decir, {a b } es u ifiitésimo. Teorema 2.12 Sea {a } y {b } dos ifiitésimos equivaletes y {c } ua sucesió cualquiera. Etoces, 1. lím a c = lím b c 36
c c 2. lím = lím a b Esta última propiedad os dice que e el cálculo de límites podemos substituir u ifiitésimo por u equivalete (siempre y cuado aparezca como productos o cocietes). Por tato, resulta coveiete coocer alguos ifiitésimos equivaletes. Los más usuales so: Ifiitésimos Equivaletes. Si {a } es u ifiitésimo, etoces {log(1 + a )} {a } {si(a )} {a } {ta(a )} {a } {arcta(a )} {a } {1 cos(a )} { a2 2 } {b a 1} {a log b} Ejemplo 2.18 Vamos a calcular lím log(1 + 2 2). Solució: Aplicamos que, segú la tabla aterior, { log (1 + 2 )} { } 2 2 2 y, etoces, el Teorema 2.12 os permite escribir lím log(1 + 2 2) = lím 2 2 = lím 2 = 0 arcta(log( 2 + 1 Ejercicio 2.27 Calcula el límite lím 2 + 2 )). 1 ta( 2 + 3 ) (Sol.: 1 ) 37
Ejercicio 2.28 Calcula el límite lím ( a 1), a > 0. Ejercicio 2.29 Calcula el límite lím ( (Sol.: l(a) ) ) a + b, a,b > 0. 2 Ejercicio 2.30 Calcula el límite lím ta(a + B) = ta(a) + ta(b) 1 ta(a) ta(b) ). ta(a + b ) taa (Sol.: ab ) (H: Recuerda que (Sol.: e 2b si(2a) ) 2.7. Ifiitos Defiició 2.13 Ua sucesió {a } se dice u ifiito si lím a = (± ) Dos ifiitos {a } y {b } se dice equivaletes si a lím = 1 b Diremos que {a } es de mayor orde que {b } si a lím = + b Teorema 2.14 Si {a } es u ifiito y {b } es ua sucesió acotada, etoces lím (a + b ) = es decir, {a + b } es u ifiito. Elcoceptode ifiitode mayorordese utiliza ameudoe laresolucióde límites idetermiados del tipo. Por otra parte, los ifiitos equivaletes se utiliza segú la propiedad siguiete. 38
Teorema 2.15 Sea {a } y {b } dos ifiitos equivaletes y {c } ua sucesió cualquiera. Etoces, 1. lím a c = lím b c c c 2. lím = lím a b Esta propiedad os dice que e el cálculo de límites podemos substituir u ifiito por u equivalete (siempre y cuado aparezca como productos o cocietes). Ifiitos Equivaletes! e 2π (Fórmula de Stirlig) Ejemplo 2.19 Calculad lím 3 3 (!) 3 (3 + 1)!. Teiedo e cueta la fórmula de Stirlig sabemos que por lo que tambié, y así, lím 3 3 (!) 3 (3 + 1)! = lím! e 2π (3 + 1)! (3 + 1) 3+1 e (3+1) 2π(3 + 1) 3 3 ( e 2π) 3 (3 + 1) 3+1 e (3+1) 2π(3 + 1) 3 3 3 e 3 ( 2π) 3 = lím (3 + 1) 3 (3 + 1)e 3 e 1 2π(3 + 1) ( ) 3 3 2π 2π = lím e 3 + 1 (3 + 1) 2π(3 + 1) ( ) 3 3 y como, lím = e 1, 3 + 1 = lím 2π 2π (3 + 1) 2π(3 + 1) = 2π 3 3 39
2.8. Problemas adicioales Ejercicio 2.31 (a) Demuestra que la suma de ua sucesió covergete y ua divergete es divergete (H: Supó que la suma fuera covergete y aplica la Propiedad 2.9 para llegar a ua cotradicció). (b) Aplica lo aterior para estudiar el carácter de la sucesió ( a = 1 + 1 ) ( + ( 1) 1 3 ), = 1,2,... (Sol.: (b) Divergete (oscilate). ) Ejercicio 2.32 Demuestra que la sucesió defiida por recurrecia a 1 = 1 es covergete y calcula su límite. a +1 = 2 + a, 1 (H: Demuestra que la sucesió es moótoa creciete y acotada superiormete (Propiedad 2.8). Para el cálculo del valor del límite, toma límites e la relació de recurrecia) (Sol.: {a } es creciete y acotada superiormete; y lím a = 2. ) Ejercicio 2.33 Ídem co a 1 = 1 a +1 = 2a + 3, 1 (Sol.: {a } es creciete y acotada superiormete; y lím a = 3. ) Ejercicio 2.34 Ecuetra la relació etre a y b para que se verifique lím ( + a + 1 ) 2+3 = lím 40 ( ) + 3 b+4 + 2 (Sol.: b = 2(a 1) )
Ejercicio 2.35 Calcula los siguietes límites (a) lím si 2 ( 1 2)log( + 1 ) ( + 2) 5 cos( π 1. 4 1 ) (b) lím ( + 1 + 1 ). (Sol.: (a) 2; (b) 1 e ) 1 + 2! + 3 3! +... +! Ejercicio 2.36 Calcula lím + 2. (Sol.: e /2 ) Ejercicio 2.37 Calcula el límite: lím ( 2 2 2 2 2 3 2... 2 2 ) (H: Calcula el logaritmo del límite) (Sol.: 2 ) Ejercicio 2.38 Calcula el límite de las siguietes sucesioes: (a) {a } = (b) {b } = { (log ) } α log (α > 0, β > 0) log β =1 { 12 2 + 2 2 2 2 + 3 2 2 3 +... + 2 2 2 2 } =1 (Sol.: (a) α ; (b) 2. ) β Ejercicio 2.39 Calcula lím 2 2 (!) 2 (2 + 1)!. (Sol.: 0 ) 41
Ejercicio 2.40 Sea {a } =1 y {b } =1 dos sucesioes de úmeros reales a positivos de maera que lím = 1. b Explica razoadamete si las siguietes afirmacioes so ciertas o o: a 2 (a) lím b 2 a (b) lím b = 1 = 1 log a (c) lím = 1 log b Si algua afirmació o es cierta basta dar u cotraejemplo. (Sol.: a) Cierta; (b) Falsa; (c) Falsa. ) 42