INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA. Població: El cojuto de todos los elemetos o idividuos que posee ua determiada característica o cualidad de iterés. Existe situacioes e las que o es posible aalizar todos los elemetos de la població, como cuado: - La població o sea fiita. - No existe forma de saber todos los itegrates de la misma. - Gra tamaño de la població. Muestra: Cojuto de elemetos de la població seleccioados de forma tal que este subcojuto sea represetativo de toda la població. Para garatizar que ua muestra sea represetativa de la població de referecia, los elemetos de la primera (muestra) ha de ser seleccioados al azar por procedimietos de muestro (muestreo aleatorio simple, muestreo estratificado,.). Iferecia estadística: Tipos de iferecia: - deductiva de lo geeral a lo particular - iductiva de lo particular a lo geeral La iferecia estadística es iductiva, dado que a partir de la iformació de la muestra obteemos coclusioes que geeralizamos a toda la població. Las características de iterés de la població se les cooce co el ombre de parámetros poblacioes. Co posterioridad veremos que supodremos que el comportamieto de la població está goberado por ua ley de probabilidad f ( x,θ ), y que las características de iterés de la població sobre los queremos obteer coclusioes los idetificamos co los parámetros o parámetro θ que gobiera la ley
de probabilidad. Utilizaremos la iformació muestral para obteer coclusioes acerca de θ. Al obteer coclusioes co la iformació de la muestra que geeralizamos al total de la població, estamos icurriedo e u riesgo o icertidumbre. La forma adecuada de cuatificar ese riesgo o icertidumbre es a través del cocepto de probabilidad. Ejemplos de iferecia estadística: - Se desea coocer el gasto medio por turista e el año 00. (±50 milloes de turistas visitaro España e 00). - Se desea saber el porcetaje de votos que sacará u determiado partido político e las próximas eleccioes.
Tipos de iferecia estadística - Estimació (putual y por itervalo). - Cotraste de Hipótesis. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE PROBABILIDAD Experimetos y sucesos aleatorios Experimeto aleatorio: Es aquel e que se sabe cuales so los posibles resultados del mismo pero o se sabe a priori cual de ellos es el que se va a producir. E el mejor de los casos se puede llegar a cuatificar la icertidumbre asociada a cada uo de los posibles resultados del experimeto. Por ejemplo, lazar ua moeda o u dado. E el caso del turismo al seleccioar turista: - La decisió de ir o o ir a u destio determiado. - El grado de satisfacció co respecto a u servicio, hotel, De u experimeto aleatorio cooceremos e pricipio los posibles resultados y e el mejor de los casos podremos cuatificar la icertidumbre/riesgo (probabilidad de ocurrecia) asociada a cada uo de esos resultados, pero cada vez que se lleve a cabo el experimeto o sabremos que resultado puede adoptar. Por ejemplo lazar ua moeda al aire: - Posibles resultados: cara o cruz - Si la moeda esta bie costruida las posibilidades de obteer cara o cruz so las mismas. - Pero cada vez que lazamos la moeda la moeda o sabemos que resultado tedremos. 3
Espacio muestral: Llamaremos espacio muestral al cojuto de todos los posibles resultados que se puede obteer de u experimeto aleatorio. Suceso aleatorio: Llamaremos suceso aleatorio a u subcojuto del espacio muestral. Suceso elemetal: cada uo de los elemetos del espacio muestral. Por ejemplo al lazar u dado al aire: - Espacio muestral: {,, 3, 4, 5, 6} - Sucesos elemetales: {}, {}, {3}, {4}, {5} y {6} - Suceso aleatorio sacar meos de 4 {,, 3} que está formado por los sucesos elemetales {}, {} y {3}. CONCEPTO DE PROBABILIDAD. La probabilidad es ua media que trata de cuatificar de forma umérica las posibilidades de ocurrecia de u determiado suceso de u experimeto aleatorio. Las posibilidades se mide e ua escala de 0 a dode: 4
Si cosideramos u determiado suceso al que llamamos A, se llama suceso complemetario o cotrario al suceso A, al suceso que ocurre cuado o lo hace A y se represeta por A. Fialmete es importate teer presete que, si para u experimeto aleatorio teemos u total de sucesos elemetales { A, A, K, A } y so excluyetes/disjutos se cumplirá: P P ( A ) i 0 ( AUA ) P( A ) + P( A ) i j ( A ) P( U A ) P U i i i i i i Defiició clásica de probabilidad. j La forma de calcular la probabilidad asociada a u eveto desde el puto de vista clásico, es a través de la formula de Laplace que cosiste e calcular la probabilidad asociada a u eveto A utilizado: ( A) P úmero de casos favorables al eveto A úmero de casos posibles El aterior plateamieto es válido si los posibles resultados del experimeto so fiitos y o existe razoes que favorezca que alguo de los posibles resultados pueda suceder de forma más frecuete que el resto. Tambié es evidete que; P ( A) P( A) Por ejemplo si ua baraja esta formada por 4 palos (oros, espadas, copas y bastos, as, dos, tres, cuatro, cico, seis, siete, ocho, ueve, sota, caballo y rey, 48 aipes) las probabilidades de: 5
P ( oros) P( as) 4 48 48 P( bastos) 48 4 Probabilidad y frecuecia relativa. Alguos experimetos se puede repetir muchas veces. Si los resultados obteidos cada vez que se repite o se lleva acabo el experimeto so idepedietes etre si, es decir, el resultado obteido a llevar a cabo el experimeto ua vez o afecta a los demás resultados. Podemos calcular la frecuecia relativa f(a) de ocurrecia de u suceso A como: f ( A) A Dode: : úmero total de veces que se repite el experimeto. A : úmero de veces que ha sucedido el suceso/eveto A al repetir veces el experimeto. A medida que el úmero de veces que se repite el experimeto () va aumetado el valor de la frecuecia relativa se irá estabilizado e u valor etre 0 y. 6
Frecuecia relativa del suceso cara al lazar ua moeda al aire. 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 5 9 43 57 7 85 99 3 7 4 55 69 83 97 5 39 53 67 8 95 La probabilidad de u suceso, tambié puede defiirse como el límite A al que tiede f ( A) cuado el úmero de veces que se repite el experimeto tiede a ifiito: P ( A) lim f ( A) lim A Por ejemplo si sabemos que u ejecutivo ha viajado a Paris u total de 800 veces y de esas 800 veces ha escogido 500 veces la compañía B para viajar, podríamos aproximar la probabilidad de que el ejecutivo vuelva a elegir la compañía B para viajar a Paris utilizado: P 500 ( B ) 0. 65 800 VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES. Cada que se realiza u experimeto aleatorio sabemos: - Los posibles resultados que se puede obteer (eveto). 7
- No sabremos a priori cual de los posibles resultados obtedremos cada vez que repitamos el experimeto (eveto resultate). - Pero podemos itetar cuatificar las posibilidades de ocurrecia de cada uo de los resultados (probabilidad). Ua forma secilla de trabajar co todo lo aterior (experimetos aleatorios, evetos y probabilidades) es a través de las variables aleatorias. Cocepto de variable aleatoria (v.a). Ua variable aleatoria os permite trabajar de forma más secilla co los experimetos aleatorios al asigar a cada eveto u valor detro del espacio de los úmeros reales por ejemplo: Experimeto aleatorio Evetos Lazar ua moeda Cara Cruz Sexo de ua persoa Hombre seleccioada al azar Mujer Color de pelo Moreo Castaño Rubio Pelirrojo v.a. 0 0 0 3 Asociado a cada uo de los posibles resultados del experimeto aleatorio, la variable aleatoria adaptará u valor distito, por lo tato para cada valor de la v.a. tedremos asociada ua probabilidad. Se distigue etre variables aleatorias: - v.a. discretas: que so las que puede adopta úmero fiito de resultados. - v.a. cotiuas: que so las que puede obteer ifiitos valores coteidos e u itervalo. 8
Por ejemplo al ecuestar a u turista se le puede pregutar: - Medio de trasporte utilizado (v.a discreta). - Nacioalidad (v.a discreta). - Nivel de estudios (v.a discreta). - Gasto que ha realizado (v.a cotiua) Distribucioes de probabilidad de variables aleatorias discretas. Dado que las variables aleatorias discretas solo puede tomar u úmero fiito de resultados/valores, lo que se hace es presetar juto a cada valor de la v.a. la probabilidad de que pueda tomar ese valor. Llamaremos fució de probabilidad (fució de cuatía) de ua v.a. discreta a la presetació cojuta de los posibles valores de la v.a juto co las posibilidades de ocurrecia. Etoces si teemos ua v.a. discreta X, que puede tomar los valores x, x,..., x. Y represetamos por p, p,..., p las correspodietes probabilidades de que ocurra estos valores, de maera que, p i P(Xx i ). Etoces, la fució de probabilidad de la variable aleatoria X viee dada por x i P(Xx i ) x p x p M M x p Por ejemplo e el experimeto aleatorio lazar al aire ua moeda (bie costruida) teemos: 9
x i P(Xx i ) 0 (cara) 0.5 (cruz) 0.5 E el caso de lazar u dado al aire (bie costruido): x i P(Xx i ) /6 /6 3 /6 4 /6 5 /6 6 /6 0,8 0,6 0,4 0, 0, 0,08 0,06 0,04 0,0 0 3 4 5 6 Otra forma de caracterizar la distribució de ua v.a. discreta es a través de la fució de distribució o fució de probabilidad acumulada. Que cosiste idicar para cada valor de la variable aleatoria la probabilidad de que esa v.a. tome u valor meor o igual a F x y respode a: ese valor. Se deota utilizado ( ) 0
F ( x) P( X x) Para el caso del experimeto de lazar u dado al aire tedríamos: x i P(Xx i ) F( x ) P( X ) i x i /6 /6 /6 /6 3 /6 3/6 4 /6 4/6 5 /6 5/6 6 /6, 0,8 0,6 0,4 0, 0 3 4 5 6 Distribucioes de probabilidad de variables aleatorias cotiuas. E el caso de las v.a. cotiuas su distribució de probabilidad se represeta mediate la fució de desidad de probabilidad. La fució de desidad de ua v.a. cotiua es la fució que represeta la distribució de probabilidad de los ifiitos posibles valores de la v.a. cotiua.
Es importate teer e cueta que la fució de desidad o probabilidad de que ua v.a. cotiua tome u valor determiado será igual a cero. Basta pesar que si se ha defiido la probabilidad como úmero de casos posibles etre úmero de caso totales, al ser estos últimos igual a ifiito, la probabilidad de que ua v.a. cotiua tome u valor determiado será cero. Deotaremos la fució de desidad por ( x) siguietes características: f y cumplirá las - Toma siempre valores o egativos f ( x) 0 - El area total que se ecuetra debajo de la fució es igual a. ( x) dx f. - La probabilidad de la v.a. tome u valor determiada a es igual a cero. f ( a) 0 - La probabilidad de que la v.a. tome valores compredidos etre a y b será igual al área que queda debajo de la f x etre esos dos valores. fució de desidad ( ) b P( a x b) f ( x) dx. a f(x) a b X
E cuato a la fució de distribució o fució de probabilidad acumulada F ( x) (fució de desidad acumulada) se defie de la misma maera, es decir: F x0 ( x) P( X x ) f ( x)dx 0 Como la probabilidad de que la v.a. aleatoria tome valores meores a ese valor, es decir, el área que queda e la fució desidad por debajo de ese valor. f(x ) x 0 X Medidas características de ua variable aleatoria. Ua vez que se ha presetado las distribucioes de probabilidad de las v.a. discretas y cotiuas, estamos e disposició de aalizar las medias que se utiliza para caracterizar a las variables aleatorias. E cocreto veremos ua media de posició cetral (esperaza matemática o valor esperado) y dos medidas de dispersió (variaza y desviació típica). Esperaza matemática o valor esperado E [ ]. 3
La esperaza matemática o valor esperado es ua media de posició cetral, por lo tato, lo que pretede recoger esta medida es el valor e toro al cual se distribuye la v.a., o como el propio ombre dice el valor que esperamos que alcace la v.a. cada vez que obteemos ua realizació del la misma (tiee lugar el experimeto aleatorio). E la estadística descriptiva la maera de obteer ua medida de posició cetral es a través de la media muestral: x k k xii i i x i i x x + x f + x + L + x f + L + x k k f k k Dode f i es la frecuecia relativa. Si tiede a ifiito las frecuecias relativas tiede hacia la probabilidad. Por lo tato la forma atural de calcular el valor esperado para ua v.a. discreta será: x i P(Xx i ) x p x p M M x p E [ X ] xi pi x p + x p + L + x p µ i E el caso de las variables aleatorias cotiuas el valor esperado se obtiee utilizado: E [ X ] xf ( x) dx µ 4
La esperaza matemática de ua variable aleatoria represeta el promedio de todos los posibles valores que puede adoptar dicha v.a.. f (x ) E [X ] X Cosideremos que dispoemos de la distribució de la v.a. valoració de u determiado hotel por parte de los usuarios, siedo la valoració al 4: x i P(Xx i ) 0,9 0,35 3 0,4 4 0, 5
0,40 0,35 0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0,00 3 4 El valor esperado será: E [ X ] x i p i 0.9 + 0.35 + 3 0.4 + 4 0., 85 i Cuál será el valor esperado de lazar u dado al aire? Variaza VAR [ ] y desviació típica. Además de dispoer de ua medida de posició cetral resulta iteresate dispoer de medidas que permita cuatificar la dispersió e la distribució de ua variable aleatoria. La medida que utilizaremos será la variaza que mide la dispersió de la distribució de la variable etoro al valor esperado (media de posició cetral). La variaza la obtedremos para las variables aleatorias discretas co: VAR [ ] E[ ( X µ ) ] [ X ] E ( X E( X )) ( xi µ ) pi ( x µ ) p + ( x µ ) p + L + ( x µ ) i σ p 6
Para las variables aleatorias cotiuas se obtiee utilizado: VAR [ ] E[ ( X µ ) ] [ X ] E ( X E( X )) σ ( x µ ) f ( x) dx f (x ) X La variaza e el caso aterior de la valoració del hotel respodería a: x i P(Xx i ) ( x i µ ) ( µ ) x i ( x i µ ) pi 0,9 -,85,404 0,4 0,35-0,85 0,034 0,0 3 0,4 0,85 0,664 0,57 4 0,,85 3,94 0,395 [ X ] VAR 0,974 La desviació típica se defie como la raíz cuadrada de la variaza: σ VAR[ X ] 7
Distribució de probabilidad ormal. Existe muchas leyes de probabilidad o fucioes de distribució de probabilidad. Probablemete la que más se utiliza e la iferecia estadística aplicada es la coocida como distribució Normal. Esta distribució, es ua distribució cotiua y fue desarrollada por Gauss y Laplace, respode a: X E ~ [ X ] [ X ] VAR N x µ σ µ e (, σ ) f ( x, µ, σ ) µ σ πσ x + X µ Z ~ σ E [ X ] 0 [ X ] VAR N ( 0,) f ( x, µ, σ ) π e x x + 8
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