APUNTE: CONCEPTO DE DERIVADA UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Matemática Carreras: Lic en Economia Proesor: Pro Mabel Chrestia Semestre: ero Año: o Introducción al concepto de derivada de una unción en un punto Incremento de e incremento de la unción Sea una unción sea un punto Supongamos que la unción está deinida en, en todos los puntos cercanos a él, menores maores que En otras palabras, la unción está deinida en, también a la derecha a la izquierda de Ahora tomemos un valor cercano a, maor o menor que él Lo llamaremos, a la dierencia entre la llamaremos Por lo tanto: Esta variación de se denomina incremento de Puede ser positiva o negativa Sea la imagen de, la imagen de A la variación de las imágenes, es decir, de la unción la llamaremos incremento de la unción o incremento de se denota: Como entonces + Entonces podemos escribir que: + Veamos gráicamente lo que hemos eplicado hasta aquí: + + Apunte Pro Mabel Chrestia Matemática I Lic en Economía UNRN Año
Ejemplo: Sea 3 + 4 sea Sea el incremento de dos, es decir, Entonces + + 4 + 4 8 Luego Signiica que, para la unción dada, si aumentamos en dos unidades el valor de a partir de, la unción aumentará su valor en seis unidades Aquí tenemos el gráico de la unción Indica en el mismo quiénes son para el ejemplo anterior Cociente incremental Ahora vamos a considerar la razón entre las variaciones de de la unción, es decir, vamos a analizar el cociente entre los incrementos Se cumple que: + Este cociente se llama cociente incremental Para el ejemplo anterior, el cociente incremental es: 3 Límite del cociente incremental Siguiendo con nuestro ejemplo, vamos a ir tomando incrementos de cada vez más pequeños, vamos a analizar qué sucede Seguimos estudiando la misma unción 3 + 4 en el punto Habíamos tomado un lo que nos llevó a un 3 Apunte Pro Mabel Chrestia Matemática I Lic en Economía UNRN Año
La siguiente tabla nos muestra el valor del incremento de la unción del cociente incremental a medida que el incremento de disminue, es decir, a medida que el incremento de tiende a cero,5 + +,5,5 4, 5 + + 4,5 + +,5,75, 75,3 + +,3,39, 39, + +,,,, + +,,, 4,5,833,5,75,5,5,39,3,3,,,,,, Vemos que: a medida que se cumple que Es decir: Veamos que esto es cierto Para eso vamos a calcular el límite de la orma que conocemos: + + 3 + + 4 3 + 4 4 + 4 + 3 + 4 4 + 3 4 + 3 + Derivada de una unción en un punto Ya podemos deinir la derivada de una unción en un punto Se llama derivada de una unción en un punto, se denota, al valor si eiste del ite del cociente incremental en ese punto cuando el incremento de tiende a cero Es decir: + Entonces, para el ejemplo anterior podemos airmar que la derivada de la unción 3 + 4 en el punto es igual a uno O sea: Apunte Pro Mabel Chrestia Matemática I Lic en Economía UNRN Año
Forma alternativa de la derivada de una unción en un punto Como vimos antes, los incrementos de de la unción son iguales a: Teniendo en cuenta que si signiica que, la deinición nos queda: Otro ejemplo resuelto Vamos a hallar la derivada de la unción en el punto 9 Aplicamos la deinición : 9 9 9 9 Este es un límite indeterminado del numerador Entonces: 9 Para salvar la indeterminación debemos multiplicar por el conjugado 9 9 9 9 9 9 9 + 9 9 + 9 9 + 9 9 9 9 + 9 9 + 9 9 Por lo tanto, la derivada de la unción en el punto 9 es Es decir: 9 Interpretación geométrica de la derivada Volvamos al gráico de la primer página de este apunte Llamemos: P ; Q + + ; ; + P Q Unamos estos dos puntos mediante una recta Apunte Pro Mabel Chrestia Matemática I Lic en Economía UNRN Año +
Vemos que la pendiente de esta recta es igual al cociente incremental Si tomamos valores de cada vez más pequeños, en cada caso graicamos el valor de, trazamos la recta que une P con el nuevo punto Q obtenido, vemos que Q se aproima cada vez más a P Entonces, el en el punto P Por lo tanto: + será la pendiente de la recta tangente a la curva de la unción El valor de la derivada de una unción en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráica de la unción en ese punto En el ejemplo anterior, obtuvimos que la derivada de la unción en el punto 9 es Es decir: 9 Es decir que si trazamos una recta tangente a esta unción que pase por el punto de abcisa 9, esta recta tendrá pendiente igual a Recordando que la ecuación de una recta dados un punto su pendiente es: m, podemos obtener la ecuación de la recta tangente 9 m 3 9 + 3 + 3 A continuación, el gráico de la unción 3 que es + la recta tangente a esta unción en el punto 9 Apunte Pro Mabel Chrestia Matemática I Lic en Economía UNRN Año