TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES

TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES

4.1. Funciones lineales, cuadráticas y polinómicas 4.1.1. Funciones lineales. Las unciones lineales o aines tienen por epresión analítica ( m n. Si m > 0, la unción aín tiene por gráica una recta creciente; por el contrario Si m < 0 la gráica de la unción aín es una recta decreciente. Si m = 0, se trata de una unción polinómica de grado 0; se denominan también unciones constantes. Su representación gráica es una recta horizontal que pasa por la ordenada y = n. El dominio de estas unciones es todo R y su recorrido es Rec( = {n}. Si n = 0, ( se llama unción de proporcionalidad y tiene la orma ( = m. EJEMPLOS: = + g = + j = 4 = i =

4.1. Funciones lineales, cuadráticas y polinómicas 4.1.. Funciones cuadráticas La unciones cuadráticas son unciones polinómicas de segundo grado. La epresión analítica de estas unciones es ( a b c. Su representación gráica es una parábola. EJEMPLOS: = + 4 + 5 g = 8 + 6

4.1. Funciones lineales, cuadráticas y polinómicas 4.1.. Funciones polinómicas Diremos que una unción ( es polinómica si está deinida por un polinomio, esto es, n n1 su epresión analítica viene determinada por ( an an 1... a1 a0, donde an, an 1,..., a0 son números reales y n, n 1,..., 1 son números naturales. La unciones lineales y cuadráticas son unciones polinómicas. El dominio de las unciones polinómicas es todo R. 4.1. EJERCICIOS 1. Determina la epresión analítica de una unción lineal que veriica (1 =, ( 1 = 6 y cuyo dominio de deinición es [ 1,]. Representa gráicamente dicha unción.. Determina la epresión analítica de una unción aín que veriica ( = 7 y cuya pendiente es, deinida en [0,5.. Representa las unciones cuadráticas siguientes y determina su recorrido: 8 a. 1( b. ( 5 4 c. ( 4 6 4. Representa las unciones: a. 1(, [ 1,1 b. ( 9, ( 1, (,6 ( 5 4, 0,4 c.

4.. Funciones de proporcionalidad inversa Las unciones de proporcionalidad inversa son unciones racionales cuya epresión k analítica viene determinada por: ( con k 0. A la constante k se la denomina constante de proporcionalidad. El dominio de estas unciones es R {0}. Su recorrido es R {0}. La gráica de las unciones de proporcionalidad son hipérbolas cuyas asíntotas son los ejes de coordenadas: 4.. EJERCICIOS: Representa gráicamente las siguientes unciones: a 1( b ( c 5 ( d 6 4( e 6 ( 5 6( 4

4.. Funciones racionales. Una unción es racional si su epresión analítica es un cociente de polinomios: ( ( ( q p. 0 ( / ( ( q Dom R EJEMPLO: Calcula el dominio de 4 5 ( 4.. EJERCICIOS Calcula el dominio de deinición de las siguientes unciones: a 0 1( b 6 7 4 ( c 0 6 5 (

4.4. Funciones eponenciales (1/ Las unciones eponenciales son aquellas cuya epresión analítica viene dada por ( a, con a 0 y a 1. Si a>1, las unciones eponenciales cumplen las siguientes propiedades: - Son crecientes, mayor cuanto mayor sea a : crecimiento eponencial. - Pasan por los puntos (0,1 y (1,a - Tienen una asíntota horizontal en y=0. - Su dominio es todo R y su recorrido ( 0,.

4.4. Funciones eponenciales (/ Si 0<a<1, las unciones eponenciales cumplen las siguientes propiedades: - Son decrecientes, con un decrecimiento tanto mayor cuanto mayor sea a denominado decrecimiento eponencial - Pasan por los puntos (0,1 y (1,a - Cuando toma un valor ininitamente grande la unción se aproima a 0 (tienen una asíntota horizontal en y=0. - Su dominio es todo R y su recorrido ( 0,

4.4. Funciones eponenciales (/ Si a>1 las gráicas de las unciones g( 1 son simétricas respecto del eje Y. a 4.4. EJERCICIOS a 1. De las siguientes unciones: ( a y 1 y y c y d y Determina si son crecientes o decrecientes, su dominio y recorrido y Su graica t ( t c a. El crecimiento de poblaciones sigue un modelo eponencial de la orma 0, c donde t epresa el tiempo y el número de individuos de la población inicial. Si la 0 población de una pisciactoria sigue un modelo de crecimiento eponencial y ha pasado de 1000 a 156 peces en dos meses, halla: o La unción que determina la población en relación con el tiempo transcurrido en meses. o Cuál será la población al cabo de 5 meses? o Cuánto tiempo tardará la pisciactoria en quintuplicar la población inicial?

4.5. Funciones logarítmicas (1/. Se deinen las unciones logarítmicas como las unciones que tienen por epresión analítica ( log a 0 y a 1. a El dominio de todas estas unciones es el conjunto ( 0, ya que no se puede calcular el logaritmo de un número negativo o nulo. El recorrido de las unciones logarítmicas es todo R. Las gráicas de estas unciones pasan por el punto (1,0 ya que log a 1 0, pues a 0 1. También pasan por el punto (a,1 ya que log a a 1, pues a 1 a. Si 1 a las unciones son estrictamente crecientes, aunque tienen un crecimiento muy lento denominado crecimiento logarítmico. Para valores positivos muy próimos a 0 el valor de la unción se hace ininitamente pequeño, es decir tienen una asíntota vertical en =0.

4.5. Funciones logarítmicas (/ Si 0 a 1 las unciones son estrictamente decrecientes, aunque tienen un decrecimiento muy lento denominado decrecimiento logarítmico. Para valores positivos muy próimos a 0 el valor de la unción se hace ininitamente grande, es decir, tienen una asíntota vertical en =0. EJEMPLOS:

4.5. Funciones logarítmicas (/ La unción ( log podemos airmar que esta unción es la operación inversa de la eponencial de base a, es decir EJEMPLOS: a g( a

4.5. EJERCICIOS 1 Determina si las siguientes unciones son crecientes o decrecientes sin hacer la gráica de las mismas, y determina su dominio y recorrido. Luego determina su gráica a ( log 4( b g( log 1, ( c h( log 0, 5( d i ( log ( e j( log 6( k log ( ( 0,. En la escala de Richter, la intensidad de un terremoto, se relaciona con su energía E (en Ergios por medio de la órmula: log E 11,4 1, 5 Calcula la intensidad del terremoto de San Francisco ocurrido en 1906 que tuvo una intensidad de 8, en la escala de Richter.

4.6. Funciones deinidas a trozos. En numerosas ocasiones, para poder deinir las unciones que se presentan en la vida real requerimos el uso de varias unciones. EJEMPLO: La unción que determina los precios de un aparcamiento de una determinada entidad comercial durante las 5 primeras horas. Las dos primeras horas son gratuitas, y a partir de la segunda el coste es de 1 por cada hora. Si tratamos de construir una unción que represente esta situación, necesitamos varias unciones constantes encadenadas de la siguiente orma: 0 1 ( 0 4 4 5

4.6. Funciones deinidas a trozos. EJEMPLO: Representa la siguiente unción y determina su dominio y recorrido: ( 4 0 0

4.6. EJERCICIOS 1. Representa las siguientes unciones y determina en cada una de ellas su dominio y recorrido: (a 4 1 1 1 1 1 ( (b 1/ ( (c 4 0 ( (d 1 1 ( 4. La gráica que aparece a continuación representa la unción de costes de una empresa durante los primeros cuatro años de su creación. Obtén la epresión analítica de dicha unción, su dominio y su recorrido.