píulo : Mries. Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. ONEPTO DE MTRIZ ivi e inrouión En el IES Virgen e ovong e El Enrego se esá esrrollno un ivi soliri e reogi e juguees. Se hn reprio ls res por ursos, e moo que los lumnos lumns e º e ESO reogen juguees riionles, los e º e ESO juegos e mes los e º e ESO juegos elerónios. Durne l primer semn se reogieron juguees en º e ESO, en º en º; l segun semn los esuines rjeron juguees en primero, en seguno en erero. Los profesores enrgos, sisfehos por el resulo e l ivi, eiieron reompensr los niños niñs ofreiénoles rmelos por juguee riionl, morenios por juego e mes un pinho por juego elerónio. uno se enern el reso e grupos el insiuo (º e ESO, º º e hiller), eien priipr, l semn siguiene ren juguees riionles, juegos e mes elerónios. El Equipo Direivo, mu orgulloso e l impliión e oos los esuines, eie uplir los premios. uános juguees e ipo se reogieron? uános pinhos, rmelos morenios een omprr omo premio? Si los rmelos uesn un énimo, los morenios énimos los pinhos énimos, uáno les osrá los profesores reompensr sus lumnos? Sugereni: Orgniz l informión en form e ls. ole Juguees riionles Juegos e mes Juegos elerónios ª semn ª semn ª semn Premios Juguees riionles Juegos e mes Juegos elerónios rmelos Morenios Pinhos Preio por uni ose ol rmelos Morenios Pinhos nliz: Hrís sio resolver el prolem sin usr ls ls? Te h preio más fáil on l informión oren? onoes lgun siuión e l vi oiin similr l prolem plneo? us oros ejemplos one l informión ul es funmenl pr enener mejor qué esá ourrieno... Definiión Ls mries son un e ls herrmiens más uss enro el Álger Linel esán sois un onjuno e os numérios orenos. Enonrmos ls mries en muhs ienis: Soiologí, Eonomí, Demogrfí, ísi, iologí L ie inuiiv e mriz es mu senill, puiénose efinir un mriz omo un l e números orenos, números que pueen provenir e experimenos, enuess, nálisis eonómios, e. Por no: Se llm mriz e oren m n un onjuno e números reles ispuesos en m fils en n olumns, e l form: m m Ls mries se represenn por lers músuls,,, Los elemenos e l mriz (los números) se represenn en generl por ij, one los suínies (i, j) nos n l posiión que oup el érmino: i,,..., m fil j,,..., n n n mn olumn sí, el érmino es el elemeno que esá en l primer fil en l erer olumn. Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries uor:leiigonzálezpsul LirosMreVere.k www.punesmrevere.org.es Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo
.. Dimensión e un mriz El número e fils (m) el número e olumns (n) nos l imensión e l mriz m n. es un mriz e imensión... Igul e mries Dos mries son igules si ienen l mism imensión si los érminos que oupn l mism posiión son igules: Si x =, =, x =, = z =. z ivies resuels Ini l imensión e ls siguienes mries:, pr que ; ; ; ; ; ee umplirse que: ; D ij ij L mriz es e imensión porque iene os fils res olumns. L mriz es e imensión porque iene un fil uro olumns. L mriz es e imensión porque iene res fils un olumn. L mriz D es e imensión porque iene res fils res olumns. Deermin los vlores e, pr que ls mries sen igules ; x Pr que os mries sen igules een ener l mism imensión, requisio que umplen. emás, hn e ser igules los érminos que oupn l mism posiión. Por no ee ser x =, =, =, =. ivies propuess. Uiliz mries pr represenr l informión siguiene: Un griulor uliv lehugs, nrnjs melones. Durne el ño h reogio mil lehugs, kilos e nrnjs melones. En los ños neriores su prouión h sio e, respeivmene. Por lehug reie un énimo, por kilo e nrnjs énimos por melón énimos. Esrie l mriz e sus gnnis el ño.. TIPOS DE MTRIES Si el número e fils es isino el número e olumns rengulres enemos los siguienes ipos: Mriz fil: Es quell que sólo iene un fil. es un mriz fil. Mriz olumn: Es l que sólo iene un olumn. es un mriz olumn. m n l mriz se llm rengulr. Denro e ls mries Si el número e fils es igul l número e olumns (m = n) se hl e un mriz ur. Denro e ls mries urs es imporne esr que los elemenos ij en que los os suínies son igules formn l igonl prinipl, los elemenos en que i j n (one n es el oren e l mriz) formn l igonl seunri. igonl seunri igonl prinipl Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries www.punesmrevere.org.es uor:leiigonzálezpsul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo
En el onjuno M n e ls mries urs e oren n, e esr los siguienes ipos e mries: Mriz ringulr: Es quell mriz en l que los elemenos siuos por enim o por ejo e l igonl prinipl son nulos. Ejemplos: Ejemplos: Mriz Tringulr. Inferior Mriz. Tringulr. Superior Mriz Digonl: Es quell mriz en l que los elemenos que no esán en l igonl prinipl son nulos: ij sii j Mriz Eslr: Es quell mriz igonl en l que los elemenos e l igonl prinipl son oos igules. Mriz Uni (Ieni): Es l mriz eslr en l que los elemenos no nulos son igules. Se represen por I. I En osiones se ñe un suínie que ini l imensión e l mriz. Mriz Nul: Es quell en l que oos sus elemenos son ero. Mriz nul e mño. ivies resuels lsifi ls mries siguienes: ) = ; ) = ; ) = ; ) D = ; e) E = L mriz es rengulr e imensión. L mrizes un mriz ur e imensión o simplemene. L es ur e imensión. L mriz D es un mriz ur e imensión, es l mriz nul e ih imensión. L mriz E es un mriz fil e imensión. ivies propuess. Esrie res mries fil.. Esrie res mries olumn.. Esrie res mries urs e imensión, respeivmene.. Esrie l mriz uni e imensión,.. Esrie l mriz nul e imensión,. Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries www.punesmrevere.org.es uor:leiigonzálezpsul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo
. OPERIONES ON MTRIES.. Sum Ds os mries e imensión m n, se efine l sum e mries ( + ) omo quell mriz uos elemenos son l sum e los elemenos que oupn l mism posiión: ij ij ij L sum e mries es un onseueni e l sum e números reles, por lo que ls propiees e l sum e mries serán ls misms que ls e l sum e números reles: - Propie soiiv. - Elemeno neuro (l mriz nul). - Elemeno opueso ( ): + ( ) = - Propie onmuiv: + = +.. Prouo e un número (eslr) por un mriz El prouo e un número rel k por un mriz = ( ij ) es or mriz e l mism imensión uos elemenos son los prouos e los elemenos e l mriz por el número k: k k ij k ij D l mriz k k k k k k k k k k, el prouo e l mriz por es:. El prouo e un número por un mriz iene ls siguienes propiees: - Propie Disriuiv respeo e l sum e mries. k ( ) k k - Propie Disriuiv respeo e l sum e números: (k l) k l - Propie soiiv mix: k ( l ) ( k l) - El onjuno e mries M mxn respeo e ls operiones sum e mries prouo por un número rel (M mxn,+, k) iene esruur e espio veoril... Prouo e mries El prouo e mries no es un operión n senill omo l sum e mries o el prouo e un mriz por un número rel, que no neesin e grnes oniiones. Pr poer muliplir os mries, sus imensiones een umplir uns oniiones. Sen ls mries e imensiones fils e l mriz ). Se efine el prouo son e l form: ij ij m n n p (es eir, el número e olumns e l mriz es igul l número e, en ese oren, omo un mriz e imensiones m p ij ij ij ij k n ik kj uos elemenos Es eir, el elemeno se oiene muliplino eslrmene los elemenos e l primer fil e l mriz por los elemenos e l primer olumn e l mriz, sí suesivmene. Vemos un prouo e mries esrrollo pso pso: Dimensión Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries www.punesmrevere.org.es uor:leiigonzálezpsul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo
El número e olumns e es igul l número e fils e, por lo no se pueen muliplir en ese oren. L mriz prouo iene ns fils omo ns olumns omo. Que el prouo esé efinio no impli que lo esé el prouo. efinio Ds ls mries no efinio Pr que esén efinios mos prouos iene que umplirse que si l imensión e l mriz es imensión e l mriz ee ser n m, sieno ls imensiones e ls mries prouo: m m n n m n, l De quí se onlue que el prouo e mries NO TIENE L PROPIEDD ONMUTTIV. Si ls mries son urs e oren n, el prouo e mries iene ls siguienes propiees: - Propie soiiv: ( ) ( ) - Elemeno neuro (I): I I - Propie isriuiv respeo e l sum e mries: ( ).. Mriz invers Enre ls propiees e ls mries no se h nomro l exiseni el elemeno simério o elemeno inverso, que no exise ih propie. Sin emrgo, h mries urs pr ls ules exise or mriz que mulipli por ells nos l mriz uni (elemeno neuro).... Definiión: Si un mriz ur exise or mriz, mién ur, que mulipli por l mriz nos l mriz uni, se ie que l mriz es un mriz regulr o inversile l mriz se le llm mriz invers e se represen por : I Si un mriz ur no iene mriz invers, se ie que l mriz es singulr. L mriz invers verifi ls siguienes propiees: - L invers e l mriz invers es l mriz originl: - L invers el prouo e os mries es el prouo e ls inverss e ls mries mino su oren: - L invers e l rspues e un mriz es igul l rspues e l mriz invers: Pr hllr un mriz invers isponremos e vrios méoos isinos. En ese em veremos os: Resolver un sisem e euiones El méoo e Guss Jorn Se. Hll l mriz invers meine un sisem e euiones. Plnemos l mriz Dee verifirse que = I, por no: Resolvieno pr,, : hllmos el prouo: Ese méoo se ompli si h muhos érminos no nulos uno mor es l imensión e l mriz. Ejemplo : Se, hll l mriz invers meine un sisem e euiones. De nuevo, plnemos l mriz I hllmos el prouo: Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries www.punesmrevere.org.es uor:leiigonzálezpsul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo
Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries uor:leiigonzálezpsul www.punesmrevere.org.es Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo Dee verifirse que = I, por no: I Resolvieno pr,, : omo hemos viso, ese méoo resul lorioso ( sólo lo hemos uilizo on mries e oren ). emás, eemos ener en uen que no siempre exise mriz invers, por lo que porímos her eso rjno en le.... Méoo e Guss Jorn: El méoo e Guss-Jorn pr hllr l mriz invers onsise en onverir l mriz iniil en l mriz ieni, uilizno rnsformiones elemenles. Llmmos rnsformiones elemenles : - Inermir el oren e l fil i por l fil j. Lo esriimos omo j i - Susiuir l fil i por el resulo e muliplir o iviir oos sus elemenos por un número. Lo esriimos omo i i - Susiuir l fil i o l fil j por l sum e ms, muliplis por números no nulos. Lo esriimos omo j i i mplimos l mriz esriieno l mriz ieni juno l originl, plimos ls rnsformiones elemenles e moo que l mriz iniil se rnsforme en l mriz ieni. lul on el méoo e Guss Jorn l invers e l mriz Esriimos l mriz ieni juno l mriz : Y vmos relizno rnsformiones elemenles l izquier, usno onverirl en l mriz ieni: Por no: omprno ese méoo on el nerior, poemos ver que es muho más simple rápio. Ejemplo : Hll l mriz invers e on el méoo e Guss Jorn. Por no, enemos que:
Hll l mriz invers e Esriimos l mriz ieni juno l mriz opermos omo se explió nes: Por no, l mriz invers que:.. Mriz rspues D un mriz e imensiones m n, se llm mriz rspues e se represen por, l mriz que se oiene l mir ls fils e por sus olumns, por lo que l mriz será e imensión n m. Un mriz ur se ie que es siméri uno oinie on su rspues:. Pr que un mriz se siméri los elemenos simérios respeo e l igonl prinipl een ser igules. Si un mriz ur es igul l opues e su rspues,, se ie que es nisiméri. Pr que un mriz se nisiméri ee umplirse que los elemenos simérios respeo e l igonl prinipl sen opuesos, los elemenos e l igonl prinipl nulos. on ls mries rspuess se umplen ls siguienes propiees: - L rspues e un sum e mries es igul l sum e ls mries rspues: ( ) - L rspues e un prouo e mries es igul l prouo en oren inverso e ls mries rspuess: ( ) Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries www.punesmrevere.org.es uor:leiigonzálezpsul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo
.. Rngo e un mriz Se llm rngo e un mriz l número e fils o olumns e l mriz que son linelmene inepenienes, es eir, que no pueen oenerse prir e ls emás fils o olumns e l mism mriz. L erer fil e se ouvo sumno ls os primers fils. Ess os primers fils son inepenienes, por lo que el rngo e es. L erer fil e se ouvo resno l segun fil l ole e l primer. El rngo e es. Pr hllr el rngo e un mriz se pueen usr ls rnsformiones elemenles pr inenr her el máximo número posile e eros, inenno ringulr l mriz (méoo e Guss); sin emrgo, será más fáil hllr el rngo usno eerminnes, omo veremos en el píulo siguiene. ivies resuels Ds ls mries,, lul Soluión Pr ls mries: D, reliz el prouo D. Soluión D lul el rngo e l siguiene mriz según los vlores el prámero : Soluión El rngo e es mriz será omo máximo pues es un mriz e imensión x. Vmos relizno rnsformiones elemenles hs onverirl en un mriz ringulr. Inermimos fils pr ener un en l posiión. hor rmos e onseguir eros, pr lo que l segun fil le resmos l primer fil mulipli por ( ): ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) Vemos que si ( + = ) l segun fil es nul, por lo que su rngo serí. Por no: De quí: + = = rg( ) rg( ) En un pís, exisen res eropueros inernionles (, ); en oro pís exisen (,, ); en un erer pís exisen os ( ). Dese el eropuero slen vuelos on esino,, os vuelos on esino. Dese el eropuero slen vuelos on esino, os vuelos on esino. Dese el eropuero sólo sle un vuelo on Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries www.punesmrevere.org.es uor:leiigonzálezpsul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo
Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries uor:leiigonzálezpsul www.punesmrevere.org.es Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo esino. Dese eropuero el pís, slen os vuelos uno e los eropueros el pís. Se pie, expresr meine mries: ) Los vuelos el pís l. ) Los vuelos el pís l. ) Los vuelos el pís l, neesien o no efeur rsoro en el pís. Soluión ) Represenmos los vuelos ese (fils) hs (olumns) ) Represenmos los vuelos ese (fils) hs (olumns) X ) Represenmos los vuelos ireos ese (fils) hs (olumns): Los vuelos ese hs on o sin rsoro serán: ivies propuess. Ds ls mries, lul: ) + ) +. Pr ls mries lul. Es el prouo onmuivo?. Ds ls mries lul.. lul ls mries inverss, si exisen, e ls siguienes mries:,,, D. Resuelve l euión mriil M X + N = P sieno: M, N, P. lul el rngo e ls siguienes mries:,,, D EJERIIOS Y PROLEMS.. - Ds ls mries, lul: ) + ) ) + X X X X X
Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries uor:leiigonzálezpsul www.punesmrevere.org.es Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo. - Pr ls mries lul. Es el prouo onmuivo?. - lul los prouos posiles enre ls mries,..- Ds ls mries lul..- Pr ls mries,, reliz ls siguienes operiones si es posile: ) + ) ) ) D e) f) D g). - Es posile que pr os mries no urs puen exisir?. - ) lul pr l mriz ) Enuenr los vlores e pr que l mriz onmue on l mriz.. - lul n, pr n N, sieno ls siguienes mries: ) ) ). Se ie que os mries onmun si =. D l mriz hll ls mries que onmuen on.. - Enuenr os ls mries, el oren orresponiene, que onmuen on ls mries:. - Sen ls mries m E m D x m x,,,,. lul uno e los prouos D E E E..- Sen z x z x os mries e oren, en ls quex,,zenon vlores numérios esonoios. ) Deermin, rzonmene, los vlores ex,,z R e mner que =. ) Es posile el álulo e? Rzon l respues..- Se l mriz lul, si exisen, ls siguienes mries: ) Un mriz X, l que X ) Un mriz Y l que Y. - lul ls mries inverss, si exisen, e ls siguienes mries: ) ) ) ) D
Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries uor:leiigonzálezpsul www.punesmrevere.org.es Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo.- Ds ls mries lul..- D l mriz ) Hll l mriz invers e ) omprue que - = - = I ) Hll un mriz X l que X =, sieno.- lul l mriz invers e. - Ds ls mries oén, si proee, ( ) -..- Sen ls mries ) lul l mriz invers e ) Hll el prouo e l invers e por l invers e. Qué relión exise enre l mriz el pro nerior es mriz? Jusifi l respues.. Se omprue que = lul ( )..- Sen ls mries:,. ) Hll D. ) lul l mriz invers e D. ) omprue si ( D) es igul D o es igul D..- Resuelve l euión mriil M X + N = P sieno,. - Sen ls mries,. ) lul ( + I). ) Deermin l mrizxpr que X = + I. - Sen ls mries,. Resuelve l euión X X =. - lul el rngo e ls siguienes mries: ) ) ). - lul el rngo e ls siguienes mries según los vlores el prámero : ) ).- Deermin ls mries que son soluiones el siguiene sisem: () () D M N P
. - Oener ls mries X e Y que verifiquen los siguienes sisems mriiles. X Y X Y ) ) ) X Y X Y X X Y Y. - Uilizno ls operiones elemenles por fils, oén mries ringulres equivlenes ls siguienes mries: ) ) ) ). - En un emi e iioms se impren inglés lemán en uro niveles os molies: grupos reuios grupos normles. L mriz expres el número e persons, según el ipo e grupo, one l primer olumn orrespone los ursos e inglés, l segun los e lemán ls fils, los niveles primero, seguno, erero uro respeivmene. Ls olumns e l mriz,,,, reflejn el no por uno e,,,, esuines (omún pr mos iioms) que siguen urso reuio (primer fil) urso norml (segun fil) pr uno e los niveles. ) Oener l mriz que proporion el número e esuines por moli e iiom. ) Sieno que l emi or euros por person en grupos reuios euros por person en grupo norml, hllr l ni que oiene l emi en uno e los iioms.. - Tres esriores presenn un eior, l r l enilopei, l minu que se reoge en l l jun: Hors e rjo onferenis s Vijes Esrior Esrior Esrior El eior pg l hor e rjo euros, l onfereni euros el vije euros. Si sólo piens pgr, respeivmene, el %, el % el % e lo que orresponerí esrior, qué gso enrí el eior?. - Un fári proue os moelos e lvors,, en res erminiones: N, L S. Proue el moelo : unies en l erminión N, unies en l erminión L unies en l erminión S. Proue el moelo : unies en l erminión N, en l L en l S. L erminión N llev hors e ller hor e minisrión. L erminión L llev hors e ller, hors e minisrión. L erminión S llev hors e ller, hors e minisrión. ) Represen l informión en os mries. ) Hll un mriz que exprese ls hors e ller e minisrión emples pr uno e los moelos.. - Sen os mries e igul oren, un número. Se se que ( + ) = +. Jusifi el resulo.. - Sen os mries urs e igul mño. Si son siméris, nliz si, enones, mién lo es su prouo. Si l respues es firmiv, jusifíquese; en so onrrio, ese un onrejemplo que lo onfirme. r. - Se l mriz M, sieno r s os números reles les que r s. lul M, M, M M k pr k N. s. - Se el onjuno e mries efinio por: M ;, R ) omprue que, M, mién + M M ) Enuenr os ls mries M, les que =.. - Se ie que un mriz ur es orogonl si se verifi que = I one es l mriz rspues e e I es l mriz ieni. Si son os mries orogonles e igul mño, nliz si es un mriz orogonl. Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries www.punesmrevere.org.es uor:leiigonzálezpsul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo
. onsier ls mries, efinis omo: ij i j, i, j ij i j, i,; j,, ij i j, i,,;, j ) onsrue ls res mries. ) Hll ls rspuess, eermin uál (o uáles) e ls mries es siméri. ) nliz uáles e los prouos,,,,,,, o pueen relizrse. ) Deermin el rngo e ls res mries,. z. D l mriz: M z x en l que se verifi x + + z =. x,, ) lul M. ) lul P = M + I. ) omprue que P = P. ) omprue que P M = M P = O., RESUMEN Ejemplos Definiión e mriz Tl e números orenos Dimensión e un mriz El número e fils (m) el número e olumns (n) L imensión e l mriz nerior es. Igul e mries Dos mries son igules si ienen l mism imensión si los érminos que oupn l mism posiión son igules = ij = ij i,j Tipos e mries Mriz fil: Mriz olumn: Mriz ringulr e imensión : Mriz igonl: Mriz eslr: Mriz uni: Sum e mries Prouo e un rel por un mriz Se sumn los elemenos que oupn l mism posiión: ij ij ij Es or mriz e elemenos los e l mriz muliplios por el número: k k ij kij Prouo e mries ij ij ij ij ij ij n ik kj k Mriz invers I / / / / Mriz rspues Se oiene mino fils por olumns. Rngo e un mriz Número e fils o olumns e l mriz que son linelmene inepenienes, es eir, que no pueen oenerse prir e ls emás fils o olumns e l mism mriz. El rngo e l mriz es. Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries www.punesmrevere.org.es uor:leiigonzálezpsul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo
Ds ls mries ; UTOEVLUIÓN.- L imensión e l mriz es: ) ) ) x ) x.- L mriz es: ) un mriz fil ) ur ) rspues ) rengulr.- L sum e ls mries es: ).- El prouo es: ) ) ) ) ) ) ).- Ini qué firmión es ier ) Ls mries se pueen muliplir ) Ls mries no se pueen muliplir ) ms ienen mriz invers ) Sus mries rspuess son igules Ds ls mries ; D ; E ;.- L mriz ieni es l mriz: ) ; ) D; ) E; )..- El prouo e ls mries E es: ) E.- L mriz invers e l mriz es: ) ) E.- L mriz rspues e l mriz es: ) ) ) ) E ) ) ) E ).- El rngo e l mriz es: ) ) ) ) no iene () Se l mriz pénie: Prolems e mries en ls P...U. ) ) omprue que verifi I = O, on I l mriz ieni O l nul. ) lul ) sánoe en los pros neriores sin reurrir l álulo e inverss, hll l mriz X que verifi l igul X + I = () ) Define rngo e un mriz. ) Un mriz e fils olumns iene rngo. ómo vrí el rngo si quimos un olumn? Si suprimimos un fil un olumn, poemos segurr que el rngo e l mriz resulne vlrá os? () Se un mriz (m n) ) Exise un mriz l que se un mriz fil? Si exise, qué oren iene? ) Se puee enonrr un mriz l que se un mriz fil? Si exise, qué oren iene? ) us un mriz l que = ( ) sieno Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries www.punesmrevere.org.es uor:leiigonzálezpsul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo
() D l mriz el veor ) El veor X l que X = X. ) Toos los veores X les que X = X. ) Toos los veores X les que X = X. () Sen I ls mries urs siguienes: I X x, se pie oener rzonmene: Se pie lulr, explino oos los psos neesrios: ) Ls mries. ) Los números reles pr los ules se verifi (I + ) = I +. () Un mriz se ie que es ringulr si el primer elemeno e su segun fil es. Enuenr os ls mries ringulres les que. () D l euión mriil: one es un mriz ur e mño, se pie: ) lul el vlor o vlores e pr los que es euión iene soluión. ) lul en el so =. () omprue rzonmene que: ) Si el prouo e os mries urs es onmuivo, enones se eue que el prouo e los uros e ihs mries es igul l uro el prouo e ihs mries. ) L mriz sisfe l relión + I = O, sieno I O, respeivmene, ls mries e oren uni nul. ) lul rzonmene esriieno oos los psos el rzonmieno uilizo, los vlores que hen que = + I, sieno que l mriz verifi l igul = + I. () ) lul ls mries reles urs e oren, X e Y, que sisfen ls euiones: X Y X Y one: ) Si X e Y son ls mries neriores, lul ( X + Y) X ( X + Y) (Y). () lul oos los vlores reles x,, z, pr los ules se verifi X = X, one x X z () Tenemos ls mries ) lul l mriz invers e. ) lul l mriz = ( + I). ) Deermin los números reles que umplen: = x + I, = z + I, x () Sen ls mries: z x z e I os mries e oren ( ) en ls que x, z R enon vlores numérios esonoios. ) Deermin, rzonmene, los vlores e x, z R e mner que =. ) Es posile el álulo e? Rzon l respues Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries www.punesmrevere.org.es uor:leiigonzálezpsul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo
() Se + I = un expresión mriil, one eno l mriz ur e oren ( ): e I es l mriz ieni e oren orresponiene: ) Qué imensión iene l mriz? ) Deermin los elemenos que inegrn l mriz, eso es, ij q. ) lul + I. () Sen os mries esonois. Resuelve el siguiene sisem e euiones: () Sen X e Y os mries esonois. Resuelve el siguiene sisem e euiones: X Y X Y () Se llm rz e un mriz l sum e los elemenos e su igonl prinipl. Hll, mriz e mño ( ), sieno que l rz e es ero. () Se un mriz que iene res fils; se l mriz que resul e susiuir en l ª fil por l sum e ls ors os. Qué ee ourrir enre ls fils e pr que engn el mismo rngo? () Ds ls mries se pie: ) Enonrr ls oniiones que een umplir, pr que se verifique =. ) Pr = = =, lulr. () Denomos por M l mriz rspues e un mriz M. onsier: ) lul ( ) ( ). ) Deermin un mriz X que verifique l relión X,,. Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries www.punesmrevere.org.es uor:leiigonzálezpsul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo
píulo : Deerminnes. Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. ONEPTO DE DETERMINNTE.. Definiión D un mriz ur e oren n, represen por... n...... n n............... S n n............ n n... nn i n n... e... nn se llm eerminne e l mriz se un número rel que es igul : Es eir, el eerminne e un mriz ur es el número rel que se oiene sumno oos los n foril (n!) prouos posiles e n elemenos (oren e l mriz) e l mriz, e form que en prouo h un elemeno e fil uno e olumn, preeio prouo on el signo + ó según que l permuión e los suínies que inin l olumn eng un número e inversiones, respeo el oren nurl, que se pr o impr. Es efiniión sólo es prái pr resolver los eerminnes e oren. Los eerminnes e oren superior se resuelven on oros méoos, que plino l efiniión serí mu lorioso... Deerminnes e oren os res. Regl e Srrus... Deerminnes e oren os D un mriz e oren,, se llm eerminne e l mriz, e l número: Es eir, se muliplin los elemenos e l igonl prinipl se le res el prouo e los elemenos e l igonl seunri. Ejemplos... Deerminnes e oren res. Regl e Srrus D un mriz ur e oren, n n se llm eerminne e l mriz l número: Ese esrrollo proeene e l efiniión e eerminne, puee reorrse fáilmene on ese igrm, onoio omo l regl e Srrus: º e hillero. Memáis plis ls ienis Soiles II. píulo : Deerminnes uores: Leii González LirosMreVere.k www.punesmrevere.org.es Álvro Vlés