Convergencia con variables aleatorias

Covergecia co variables aleatorias Virgilio L. Foglia November 25, 2007 Octubre 2006 Cotets Lema de Borel-Catelli 2. De icioes revias.......................... 2.2 Lema de Borel-Catelli........................ 3.2. Corolario........................... 4 2 Desigualdades co variables aleatorias 4 2. Desigualdad de Markov....................... 4 2.2 Teorema de Tchebichev....................... 4 2.3 Desigualdad de Kolmogorov..................... 5 2.3. Observació.......................... 5 3 Covergecia co variables aleatorias 5 3. Itroducció.............................. 5 3.2 Cojuto de covergecia...................... 6 3.3 Covergecia uto a uto..................... 7 3.3. Observació.......................... 7 3.4 Covergecia e casi todo uto.................. 7 3.4. Dos de icióes equivaletes................ 8 3.5 Covergecia e robabilidad.................... 8 3.6 Covergecia e media Cuadrática................. 9 3.6. Teorema............................ 9 3.7 Covergecia e Distribució.................... 9 4 Relació etre los tios de Covergecia 0 4.0. Observació.......................... 2 4. Ejemlos de imlicacioes que o so válidas........... 2 c:t: 4.. Ejemlo (X! X : X! X)......... 2 mc 4..2 Ejemlo 2 (X! X : X! X)......... 3 mc c:t:: 4..3 Ejemlo 3 (X! X : X! X)......... 3

5 Coservació or Fucioes cotiuas 4 6 Leyes de los grades úmeros 5 6. Ley débil de los grades úmeros.................. 5 6.. Cometarios......................... 5 6.2 Ley fuerte de los grades úmeros................. 6 6.2. Cometarios......................... 6 7 Teorema de la Covergecia Domiada 7 7.0.2 Ejemlo X! X ; E(X )! E(X).......... 7 8 Alcaces de los tios de covergecia 7 9 roblemas 8 9.0.3 roblema.......................... 8 9.0.4 roblema 2.......................... 2 9.0.5 roblema 3.......................... 22 Lema de Borel-Catelli. De icioes revias Sea (; A; ); u esacio de robabilidad, y A ; A 2 ; :::; A ; :: ua sucesió de sucesos. Notar que cuado se efectúa el exerimeto aleatorio ", y surge como resultado u! 2 ; habrá alguos A ; de la sucesió de sucesos, que se realizará, y otros que o. Si estamos iteresados e los! 2 ; que hace que se realice or lo meos uo de los A de la sucesió, estaremos iteresados e el suceso A = S i = A i : or otro lado si os iteresa los! 2 ; que hace que se realice todos los A de la sucesió, estaremos iteresados e el suceso T A = A i : E relació a estos sucesos vale las siguietes roosicioes: i = Si A A + y A = Si A A + y A = [ A i =) (A) = l{m (A ) ()! i = \ A i =) (A) = l{m (A ) (2)! i = Auque o se demuestra, so bastate aturales. ero e temas de covergecia co variables aleatorias suele iteresar otros sucesos, tambié costruidos co los A. or ejemlo uede itereasar los! 2 ; que hace que se realice i itos A. De otra maera, o imorta cuato avacemos el idice k; siemre ecotraremos más adelate, sucesos que se realizará. Se de e etoces el límite suerior (A )de ua sucesió de sucesos así: 2

Límite suerior \ A = k = = k [ A = f! 2 :! está e i itos A g (3) or último, uede iteresar los! 2 ;que hace que se realice todos los A a artir de cierto idice.se de e etoces el límite iferior (A )de ua sucesió de sucesos así: Límite iferior [ \ A = A = f! 2 :! está todos los A a artir de cierto 0 g (4) k = = k.2 Lema de Borel-Catelli Sea (; A; ); u esacio de robabilidad, y A ; A 2 ; :::; A ; :: ua sucesió de sucesos. X (a) Si (A ) < =) (A ) = 0 (b) Si = X (A ) = y A so ideedietes =) (A ) = = ara ambas demostracioes usamos que: \ [ [ (A ) = ( A ) ero A es ua sucesió decreciete k = = k e k ya que [ [ A A = Dem(a): = 2 = k [ A :::: y usado (2) = 3 (A ) = l{m ( [ A ) l{m k! k! = k Dem(b): (A ) = l{m ( [ k! = k \ A ) = (A ) = l{m ( [ A ) k! = k X (A ) = 0 (usado la hiótesis) = k l{m ( \ k! = k ero ( A c ) = l{m \ m A c ) = m! l{m = k = k ero 8; 0 vale e luego ( \ A c ) = k l{m m! = k my e (A) = Luego resulta que (A ) = : A c ) m! = k l{m e m! my ( (A )) mx = k (A ) = 0 (or hiótesis) 3

.2. Corolario Si alicamos leyes de Morga a A = (A ) c = \ k = = k [ A c = (A c ) [ k = = k \ A resulta Luego si e lugar de la sucesió A ; A 2 ; :::; A ; ::cosideramos la sucesió de comlemetos, o sea A c ; A c 2; :::; A c ; :el Lema de Borel-Catelli queda exresado: (a) Si (b) Si X (A c ) < =) (A ) = = X (A c ) = y A so ideedietes =) (A ) = 0 = 2 Desigualdades co variables aleatorias Ahora se reseta alguos teoremas que ermite e codicioes muy geerales, acotar el calculo de ciertas robabilidades.como o se asume el coocimieto de las distribucioes de las v.a. ivolucradas, solo alguas medias y desvíos, las cotas roorcioadas so e geeral muy malas desde u uto de vista ráctico. Si embargo, so muy útiles ara estudiar covergecia co variables aleatorias. 2. Desigualdad de Markov 9 Sea X ua v.a. >= g : R! R 0 ; y ar =) (jxj ") E(g(x))=g(") g o decreciete e módulo >; E(g(x)) < Dem: Como g(x) g(") ara jxj " y g(x) 0 ara jxj < " Resultará g(x) g(") I jxj" (X) luego E(g(x)) g(") E(I jxj" (X)) = g(") (jxj ") 2.2 Teorema de Tchebichev Si X es ua v.a. co 2 < =) (jx j ") 2 =" 2 Dem: Resulta de tomar e la desigualdad de Markov la v.a, X y g(x) = x 2 : 4

2.3 Desigualdad de Kolmogorov 9 X ; X 2 ; ::; X v.a. ide. E(X i ) = 0 V ar(x i ) < >= ix =) (max js ij ") V ar(s )=" 2 i S i = X k >; k= 2.3. Observació Si alicamos la desigualdad de Tchebichev a la v.a. S resulta (js j ") V ar(s )=" 2 ero e la desigualdad de Kolmogorov aarece (max js i j "). Si embargo como fjs j "g ( max js i j i " ) resulta i Luego la a rmació de Kolmogorov es más fuerte, ya que (js j ") (max js i j i (js j ") (max js i j i ") V ar(s )=" 2 3 Covergecia co variables aleatorias 3. Itroducció ") Sea u exerieto aleatorio ", y u esacio de robabilidad (; A; ). Se de e la sucesió de variables aleatorias X :! R X 2 :! R............ X :! R............ y X :! R Queremos aalizar e que setido odemos hablar de covergecia de la secuecia X ; X 2 ; :::X :::: a X: Obviamete la iteció es ver si ara grade, odemos reemlazar X or X e algú setido y, e caso a rmativo, recisar el alcace de este reemlazo. O sea odremos ara grade: aroximar (X 5 a) or (X 5 a)? aroximar E(X ) or E(X)? si Z es otra v.a. de ida e el mismo esacio, aroximar X;Z or X;Z? 5

Ejemlo Sea el exerimeto ":"tirar i itas veces ua moeda", y suógase de ido u esacio de robabilidad (; A; ): Luego, u resultado del exerimeto ", tiee el asecto:! = (c; s; s; c; s; c; c; c:s; s; c; s; ::::::) Sea la variable aleatoria X: "robabilidad de cara e el rimer tiro", que e realidad es la costate /2. Se de e ara cada! 2 : X (!): "(úmero de caras e la rimera tirada de! )/ " X 2 (!): "(úmero de caras e las dos rimeras tiradas de! )/ 2" X 3 (!): "(úmero de caras e las tres rimeras tiradas de! )/ 3"... X (!): "(úmero de caras e las rimeras tiradas de! )/ "... E este ejemlo queremos ivestigar, la osible covergecia de la secuecia de variables aleatorias a la costate /2. 3.2 Cojuto de covergecia Como las variables aleatorias X ; X 2 ; :::X ; ::y X, so e realidad todas fucioes de! R; otar que ara cada! 2, X (!); X 2 (!); :::X (!); ::es ua sucesió de úmeros reales, y X(!) es tambié u úmero real. Etoces! 2 será u uto de covergecia de la sucesió X (!) a X(!) sii 8" > 0; 9 o 2 N; tq. si o =) jx (!) X(!)j < " Si desigamos ; el cojuto de utos! 2 ; e que se da la covergecia utual = f! 2 : 8" > 0; 9 o 2 N; tal que si o =) jx (!) X(!)j < "g e alabras:! será u uto de covergecia, si 8" > 0; a artir de cierto o se cumle siemre jx (!) X(!)j < " ero se exresará este cojuto de otra forma. 8 9 < = :! 2 : 8" > 0; 9 o 2 N; co \ = (jx (!) X(!)j < ") ; = 0 8 9 < = :! 2 : 8" > 0; [ \ = (jx (!) X(!)j < ") ; 0== 0 (5) 6

Como os vemos e la ecesidad de veri car el cumlimieto de ua i idad de codicióes, de imos ara cada " > 0; la sucesió de sucesos y etoces como [ 0= \ A " = f! 2 : jx (!) X(!)j < "g = 0 (jx (!) X(!)j < ") = 3.3 Covergecia uto a uto [ 0= \ = 0 A " = A " = f! 2 : 8" > 0;! 2 A " g (6) Esta de ició de covergecia es la clásica del aálisis, ara la covergecia de sucesioes de fucioes X! X sii = (7) O sea, la sucesió de variables aleatorias X ; X 2 ; :::X ; ::coverge a la variable aleatoria X, cuado la sucesió real X (!); X 2 (!); :::X (!); ::coverge a X(!), e todo uto! 2. Notar que e esta de ició, si bié suoemos que tato las X ; X 2 ; :::X ; :como X; erteece a u mismo esacio de robabilidad (; A; ); o iterviee ara ada el del esacio de robabilidad. 3.3. Observació Esta de ició de covergecia es demasiado fuerte. Notar que exige, ara todo resultado! 2 ;la covergecia de la sucesió de úmeros reales X (!); X 2 (!); X 3 (!); :::::::X (!)::: a X(!) Si e el ejemlo, al efectuar el exerimeto aleatorio, el resultado es! = (c; c; c; c; c; c; c; c:c; c; c; c; :::::) (o sea sale todas caras), la sucesió de valores de las X (!) sería,,,,,,: : :que claramete o coverge a /2. La reguta aquí es: será "muchos" los! 2 e que o se da la covergecia? 3.4 Covergecia e casi todo uto Esta es la rimera de ició de covergecia e que haremos uso del coceto de robabilidad. Aquí sí iterviee el del esacio (; A; ): Debemos acetar que a veces, como e la observació aterior, obtedremos como resultado del exerimeto aleatorio, u! 2 e que o se logra la covergecia. ero si el cojuto de estos resultados tiee robabilidad cero, o estaremos restrigiedo mucho la de ició de covergecia (o, lo que es lo mismo, si el cojuto ; de resultados e que se da la covergecia tiee robabilidad ).De iremos etoces: c:t:: X! X sii () = (8) 7

3.4. Dos de icióes equivaletes Si recordamos el cojuto de! 2 ; e que se da la covergecia utual = f! 2 : 8" > 0; 9 o 2 N; tal que si o =) jx (!) X(!)j < "g que e (5) lo exresamos como: 8 9 < = :! 2 : 8" > 0; [ \ = (jx (!) X(!)j < ") ; 0== 0 obviado detalles, la codició () = ; equivale a edir que o sea [ \ 8" > 0; ( (jx (!) X(!)j < ")) = 0== 0 rimera de ició: 8" > 0; (A " ) = y tambié usado (), esto equivale a: Seguda de ició: 8" > 0; (9) l{m ( \ (jx (!) X(!)j < ")) = (0) 0! = 0 Notar que ara veri car el cumlimieto de la rimera de ició, se uede usar la arte (a) del Corolario de Borel-Catelli, ya que si se cumle : 8" > 0 X (A "c ) = = X (jx (!) X(!)j ") < =) (A " ) = = or otro lado, el cumlimieto de la arte (b) del Corolario de Borel- Catelli da ua codició su ciete ara el o cumlimieto de la covergecia e c.t.. ya que imlica (A " ) = 0 6= : Resecto de la seguda de ició, quiere decir que 8" > 0; se odrá ecotrar u 0 ; tal que el cojuto de los! e que vale jx (!) X(!)j < " desde 0 e adelate, tedrá robabilidad ta cercaa a como se quiera. 3.5 Covergecia e robabilidad Aalizado el último cometario, todavía odemos dismiuir las exigecias e ua de ició de covergecia, que si embargo sea útil ara las variables aleatorias. Elimiado la arte e egrita del cometario (a la seguda de ició de covergecia e casi todo uto), queda la de ició de covergecia e robabilidad: X! X sii 8" > 0; l{m (jx Xj < ") = ()! 8

Ejemlo E el roblema de las moedas, si C :"úmero de caras e las rimeras tiradas de!" resulta C v B i (; =2): Y como X = C =; tambié E(X ) = =2; y (X ) = =(2 ). Luego or Tchebishev 8" > 0; (jx (!) =2j < ") =(4" 2 ) y tomado límite ara! ; resulta que X! =2 3.6 Covergecia e media Cuadrática Dada la sucesió X ; X 2 ; ::; X ; :: y X; todas e el mismo esacio (; A; ): Se de e covergecia e media cuadrática: X MC! X sii l{m! E(X X) 2 = 0 (2) Notar que esta de ició de covergecia, a diferecia de la covergecia e robabilidad, requiere la existecia de las eserazas E(X X) 2 : 3.6. Teorema Dem: l{m E(X ) =! l{m V ar(x ) = 0! ) =) X MC! E(X ) 2 = V ar(x ) + (E(X ) ) 2 y tomado límite. Este teorema es útil e estadística, ya que si se tiee ua sucesió de estimadores que so asitóticamete isesgados,o sea X ; X 2 ; : : : ; X ; : : : co MC E(X )! ; cuya variaza V ar(x )! 0; resultará X! ; y tambié, como se verá e (4) esto imlica que X! ; o sea la sucesió de estimadores será cosistete. 3.7 Covergecia e Distribució E los cuatro tios de covergecia estudiados hasta ahora teíamos la sucesió X ; X 2 ; X 3 ; :::X ; :: y X; todas de idas e el mismo esacio (; A; ); y la covergecia resultaba de exigir distitas codicioes de cercaía etre los miembros de la sucesió y X: Y e el caso de covergecia e casi todo uto, y e robabilidad, la veri cació de la covergecia solía o ser tarea fácil, ya que exigía coocer el comortamieto robabilístico cojuto de los elemetos de la sucesió y de X: Que tal si ahora cosideramos la sucesió de fucioes de distribució de las variables que itegra la secuecia: F X ; F X2 ; F X3 ; ::::::F X ; ::: y que esta sucesió de fucioes coverge a ua fució de distribució F Y ;(que o tiee orque coicidir co F X ; ya que o hicimos iterveir ara ada a X e esta covergecia, es mas, odemos descoocer a X).Se dice etoces que X D! Y: ero otar que esto es u abuso de otació or dos motivos: 9

e realidad la covergecia es etre F X! F Y la variable Y es ua variable dummy, rereseta cualquier variable aleatoria que tega or fució de distribució a F Y : No tiee orqué estar de ida e el esacio (; A; ): La de ició de covergecia e distribució exige además ua codició de cotiuidad: X D! Y sii 8 < : 9F Y fució de distribució, tal que 8y; uto de cotiuidad de F Y l{m F X! (y)! F Y (y) (3) Observació Cosiderese dos variables aleatorias X; e Y;ambas N(0;), ideedietes, y de idas e u mismo esacio de robabilidad (; A; ): Se de e la sucesió: X; X; X; ::::; X; :::: (o sea X = X; X 2 = X; :::: etc.) Notar que X D! Y ero X o coverge a Y e iguo de los cuatro rimeros tios de covergecia.y esto es debido a que al ser X e Y ideedietes, o es osible asegurar su cercaía ara igu! 2 : (or suuesto, auque es trivial, vale la covergecia X! X;ara los cuatro tios de covergecia estudiados). 4 Relació etre los tios de Covergecia Si X ; X 2 ; :::X ; ::y X, está de idas e u mismo esacio (; A; ) : X! X =) (a) c:t: X! X =) X! X =) (b) (c) X (d) * mc! X X D! X (4) Dem(a): Si = etoces () = () = Dem(b): Como \ (jx (!) X(!)j < ") (jx 0 (!) X(!)j < "); resultará = 0 0 @ \ (jx (!) X(!)j < ") A (jx 0 (!) X(!)j < ") = 0 como 8" > 0 el lado izquierdo tiede a, resulta la tesis. Dem(c): 0

tomado x, uto de cotiuidad de F X ; otar que si resultará jx Xj < " y X > x + " X " < X < X + " y X > x + " luego x = (x + ") " < X " < X < X + " =) X > x; o sea: y comlemetado (jx Xj < ") \ (X > x + ") (X > x) (X x) (jx Xj ") [ (X x + ") luego F X (x) (jx Xj ") + F X (x + ") y tomado l{m (ya que e x;! o teemos asegurada la covergecia de F X (x)) l{m F X (x) F X (x + ") (usado que X! X)! y tediedo "! 0; (usado la cotiuidad de F X e x) e forma similar, ero artiedo de y tomado límite iferior se llega a: luego jutado (5) y (6) l{m! F X (x) F X (x) (5) (X < x ") (X x) [ (jx Xj ") F X (x) l{m F X (x) (6)! _ l{m F X! (x) F X (x) l{m F X (x)! y de aquí sale que l{m! F X (x) = F X (x) Dem(d): Si usamos la desigualdad de Markov alicada a X X y g(x) = x 2 ; (jx Xj ") E(X X)2 " 2 que or hiótesis! 0; cuado! :

4.0. Observació E la de ició de covergecia e distribució se exigió ua codició de cotiuidad. Veamos el orqué de esta exigecia. Cosideremos la sucesió de v.a. costates X = ; o sea: ; 2 ; 3 ; : : : : : : ; ; : : : Claramete X coverge a X = 0; e los cuatro rimeros tios de covergecia. ero veamos que asa co la covergecia e distribució: ara x > 0; F X (x)! = F X (x) ara x < 0; F X (x)! 0 = F X (x) ero ara x = 0; que o es uto de cotiuidad de F X (x), resulta F X (0)! 0 6= = F X (0): Luego la exigecia de covergecia solo e los utos de cotiuidad de F X (x), ermite la validez de la imlicació (c) aterior. E (c), si X es ua costate, vale el () : O sea vale: X! c () X D! c Se verá ahora alguos ejemlos de imlicacioes que o so ciertas. 4. Ejemlos de imlicacioes que o so válidas 4.. Ejemlo (X c:t:! X : X! X) Sea la sucesió X ; X 2 ; ::; X ; :: de v.a. ideedietes co: (X = 0) = y (X = ) = robar que X X Como Solució:! 0 ero si embargo X c:t: 9 0: Como 8" > 0; l{m (jx 0j < ") = l{m! ) = resulta que! 0: Veamos la covergecia e casi todo uto. De o X (A "c ) = = Observació:! ( 8" > 0; A "c = fjx 0j "g ; co (A "c ) = X = =) (A" c:t: ) = 0 6=. Luego X 9 0: = Notar que si la fució de robabilidad de las X i fuese (X = 0) = 2 y (X = ) = resultaría tambié que X 2! 0 (ya que l{m ) = ) 2 y además X c:t:! 0 ya que ahora X (A "c ) = = 2 X =! ( 2 < =) (A " ) = :

4..2 Ejemlo 2 (X mc! X : X! X) Sea la sucesió X ; X 2 ; ::; X ; :: de v.a. ideedietes co: (X = 0) = y (X = ) = robar que X X Solució! 0 ero si embargo X mc 9 0: Como 8" > 0; l{m (jx 0j < ") = l{m! ) = ; resulta que! 0: Veamos ahora la covergecia e media cuadrática. l{m E(X 0) 2 = l{m E(X ) 2 = l{m 0 2 (!!! ) + 2 = l{m =!! ( luego o se cumle la covergecia e media cuadrática. 4..3 Ejemlo 3 (X mc! X : X c:t::! X) Sea U v U(0; ) y se de e la sucesió de v.a. X = I fu <.Veri car que g la sucesió coverge c.t.. a 0; ero o e media cuadrática. Solució: or de roto otar que se trata de ua sucesió de v.a. o ideedietes, ya que todas las X i ; deede de la misma variable aleatoria U: ara alicar el corolario de Borel-Catelli de o: o 8" > 0; A "c = fjx 0j "g = I fu < g " = I fu < g " o como siemre " > 0; luego (I fu < g " ) = (I fu < g = ) = (U < ) = X (A "c ) = = X = = : Como esta serie o es covergete, o odemos cocluir que (A " ) = ; como queríamos. ero tamoco que (A " ) = 0; ya que la seguda imlicació del corolario de Borel-Catelli exige que los A " sea ideedietes, y aquí esto o es cierto. Si embargo otar que 8u > 0; todas las X = 0 a artir de > u. Luego X media cuadrática. c:t::! 0: Veamos la covergecia e l{m E(X 0) 2 = l{m E( I!! fu < g )2 = l{m! 2 E( I 2 fu < g ) = l{m! 2 (U < ) = l{m! 2 = l{m! = Luego o se cumle la covergecia e media cuadrática. 3

5 Coservació or Fucioes cotiuas Tato la covergecia uto a uto, e casi todo uto como e robabilidad se coserva a través de las fucioes cotiuas.o sea: Si g : R 2! R es cotiua, vale: X! X; Y! Y =) g(x ; Y )! g(x; Y ) c:t: c:t: X! X; Y! Y =) g(x ; Y ) c:t: (7)! g(x; Y ) X! X; Y! Y =) g(x ; Y )! g(x; Y ) Dem: (solo ara covergecia c.t..) Sea X = f! : X (!)! X(!)g co ( X ) = Y = f! : Y (!)! Y (!)g co ( Y ) = como 0 ( X \ Y ) c = ( c X [ c Y ) ( c X) + ( c Y ) = 0 Luego resulta tambié que ( X \ Y ) =. ero si! 2 X \ Y ;es uto de covergecia de X (!) y de Y (!);y al ser g cotiua, será uto de covergecia tambié de g(x ; Y ). O sea, luego vale la iclusió y tomado robabilidad! 2 f! : g(x ; Y )! g(x; Y )g X \ Y f! : g(x ; Y )! g(x; Y )g = ( X \ Y ) f! : g(x ; Y )! g(x; Y )g Luego f! : g(x ; Y )! g(x; Y )g = ; y resulta la tesis. E articular si X ct! X; Y ct! Y valdrá tambié: X + Y ct! X + Y X Y ct! XY X =Y ct! X=Y (si (Y = 0) = 0) Y si X! X; Y! Y valdrá tambié: X + Y! X + Y X Y! XY X =Y! X=Y (si (Y = 0) = 0) 4

Notar que este teorema de coservació o vale ara la covergecia e distribució, o sea X d! X; Y d! Y ; g(x ; Y ) d! g(x; Y ) comor- ya que al ser tato X como Y; variables dummy, o coocemos su tamieto cojuto, y or lo tato tamoco el de g(x; Y ): Si embargo vale X d! X =) g(x ) d! g(x) 6 Leyes de los grades úmeros 6. Ley débil de los grades úmeros Sea la sucesió de v.a.o correlacioadas X ; X 2 ; X 3 ; :::; X ; :::co E(X i ) = i y V ar(x i ) = 2 i Sea X = Dem: X i ; y la ueva sucesió X ; X 2 ; X 3 ; :::; X ; : : : Luego si: i= l{m! V ar(x ) = 0 =) X E(X )! 0 Usado Tchebichev ( X E(X ) ") V ar(x )=" 2 ;y tomado límite. 6.. Cometarios Notar que si las 2 i está acotadas, o sea si 8i; 2 i K luego vale la ley débil. V ar(x ) = 2 (2 + :: + 2 ) K = K=! 0 2 Sea X ; X 2 ; X 3 ; :; X ; observacioes i.i.d de ua v.a. X co media ; y desvío : Como E(X ) = y V ar(x ) = 2 =! 0. Resulta que o sea X! 0 X! Notar que esto justi ca el tomar el romedio de observacioes ideedietes de ua v.a. X; como ua estimació de su media : 5

Suógase u exerieto aleatorio ", y u esacio de robabilidad (; A; ):Sea A ; u suceso del cual queremos estimar (A): Ahora se reite e forma ideediete el exerimeto ", registrado cada vez el valor de la v.a. si!i 2 A X i = I A (! i ) = 0 si! i =2 A luego E(X i ) = E(I A (! i )) = (A) y V ar(x i ) = V ar(i A (! i )) = (A)( (A)) Se tiee etoces la sucesió de v.a. i.i.d. I A (! ); I A (! 2 ); :::; I A (! )::co media (A) y desvío (A)( (A)): Segú el resultado aterior resultará I A (! )! : (A):ero: I A (! ) = (I A (! ) + I A (! 2 ) + ::: + I A (! ))= = (# realizacioes de A e las reeticioesde ")= = frecuecia relativa de A = f r A Luego f r A! (A) 6.2 Ley fuerte de los grades úmeros Sea la sucesió de v.a.ideedietes X ; X 2 ; X 3 ; :::; X ; :::co Sea X = E(X i ) = i y V ar(x i ) = 2 i X i ; y la ueva sucesió i= X ; X 2 ; X 3 ; :::; X : : : ; :Luego si: X 2 i =i2 < =) X E(X ) c:t:! 0 i = 6.2. Cometarios Notar que si las 2 i está acotadas, o sea 8i; 2 i K; X 2 i =i 2 i = X X K 2 =i 2 K 2 =i 2 < i = i = luego vale la ley fuerte. or este motivo se alica los cometarios hechos resecto de la ley débil y valdrá c:t:: X! y f r A c:t::! (A) : 6

Se mecioará la Ley fuerte de Kolmogorov. Sea la sucesió de v.a iid X ; X 2 ; X 3 ; :::; X ; :::co E(X i ) =. Sea X = X i ;y la ueva sucesió X ; X 2 ; X 3 ; :::; X ; :Luego : X c:t::! Notar que este teorema agrega la exigecia que las variables este idéticamete distribuídas,co media comú, ero que o requiere la existecia de 2 : 7 Teorema de la Covergecia Domiada Ua sucesió de v.a.x uede coverger a otra v.a. X; si embargo o siemre ocurre que la sucesió de medias E(X ) coverge a E(X):Las codicioes ara esto se da e el siguiete Teorema(Lebesgue).Sea la sucesió X ; X 2 ; :::; X ; ::: y las v.a. X y Z; todas e el esacio (; A; ):Co Z 0; E(Z) < ; y jx j Z 8 i= Luego sí: X! X =) E(X )! E(X) 7.0.2 Ejemlo X! X ; E(X )! E(X) Sea X ; X 2 ; : : : ; X ; : : :co (X = 0) = y (X = ) =. robar que! 0 ero E(X ) 9 E(X) = 0:Como: X ero: 8" > 0; l{m (jx 0j < ") = l{m (!! ) = luego X 8; E(X ) = 0(! 0 ) + = luego E(X )!! 6= 0 = E(X) 8 Alcaces de los tios de covergecia lateamos e la itroducció, e el caso de covergecia, si ara grade odremos e algú setido reemlazar X ; or X; recisado el alcace de este reemlazo. O sea si odemos: Aroximar (X 5 a) or (X 5 a)? D Si se cumle X! X; resultará l{m F X! (x) = F X (x) e todo x de cotiuidad.de F X (x):esto es l{m (X 5 a) = (X 5 a) O sea, ya! que la covergecia e distribució es la más débil de los cuatro tios de 7

covergecia estudiados, la aroximació de (X 5 a) or (X 5 a) será válida ara las cuatro covergecias, solo co la restricció que F X (x) sea cotiua e a: Aroximar E(X ) or E(X)? Vimos que si se cumle las hiótesis del Teorema de Covergecia Domiada la aroximació de E(X ) or E(X) sí será osible. si Z es otra v.a. e el mismo esacio, aroximar X;Z or X;Z? Dado que X;Z = [E(X Z) E(X )E(Z)] = E(X 2 ) E 2 (X ) 2 Z aquí uevamete ecesitaremos el Teorema de Covergecia Domiada, ara asegurar el cumlimieto de: E(X Z)! E(XZ); E(X )! E(X); E(X 2 )! E(X 2 ) y desde ya, suoiedo que 2 X 6= 0; y 2 Z 6= 0: 9 roblemas 9.0.3 roblema Suogase que la cocetració de ua substacia e u roducto medicial es ua variable aleatoria C v N( c ; c ); e..m.(artes or milló).y que ara determiar esta cocetració se utiliza u istrumeto, que tiee u error aleatorio E v N(0; e ):ara ateuar el efecto del error del istrumeto, se rooe efectuar determiacioes de cocetració y romediarlas. Dado que e cada determiació el valor que roorcioa el istrumeto es X i = C + E i ; el romedio de determiacioes será X = (C + E ) + (C + E 2 ) + (C + E 3 ) + :::: + (C + E ) = C + E + E 2 + E 3 + :::E Se quiere estudiar la osible covergecia de X ; X 2 ; X 3 ; :::::; X ; : : :! C Notar que e térmios rácticos, esto justi caría la rouesta de efectuar determiacioes y romediarlas, ya que esto ateua el efecto del error del istrumeto. odemos tomar como exerimeto aleatorio a " : "tomar u roducto y determiar la cocetració ua i idad de veces" y el esacio muestral e que está de idas todas estas variables aleatorias a: = f! :! = (c; e ; e 2 ; e 3 ; :::::; e ; :::::); c = "cocetració"; e i = "errores"g 8

(a) Covergecia uto a uto Tomemos u roducto cuya cocetració es c =0 m, y suogamos que e todas las determiacioes del istrumeto el error es e i =2 m, luego! = (0; 2; 2; 2; :::::; 2; :::::) y la sucesió X ; X 2 ; X 3 ; :::::; X ; : : :quedaría 2; 2; 2; :::; 2; ::: 9 0 claramete o covergete. Luego o se cumle la covergecia fucioal. ya que 6= : (b) Covergecia e robabilidad Teemos que ver si 8" > 0; l{m ( X C < ") =! ero ( X C < ") = ( C + E+E2+E3+:::E C < ") = ( E +E 2+E 3+:::E < ") = (" = e) ( " = e) = 2( " = e)! (ara! ) Luego X! C: (c) Covergecia e casi todo uto Habría que ver sí 8" > 0; l{m ( \ 0! ( X = 0 C < ")) = ero mejor utilicemos la otra de ició: 8" > 0; (A " ) = ;tratado de aoyaros e el corolario del Lema de Borel-Catelli. De imos A "c o =! 2 : X C " Luego O sea: (A "c ) = ( X X (A "c ) = = ero a artir de cierto u 0 vale ( X X (A "c ) = 0 = C ") = 2( " = e) X 2( " = e) = u) =u 4 luego ( ROBARLO) 2( " = e) + 24 e " 4 X 2 = 0 que es covergete, etoces or el corolario de Borell-Catelli resulta que (A " c:t:: ) = ; y de aquí sale que X! C: 9

(d) Covergecia e media cuadrática Tego que aalizar l{m l{m E 2 ( E+E2+E3+:::E! mc Luego! C: X E( X! (e) Covergecia e distribució C) 2 = l{m! E( E+E2+E3+:::E ) + V ar( E+E2+E3+:::E ) = l{m! ) 2 = h 0 + 2 e i = 0 Cosideremos la sucesió F ; F ; F ; ::::::F ; ::: X X 2 X 3 X Como X = C + E+E2+E3+:::E resultará X ~N( c ; 2 c + 2 e=) Luego F (u) = ((u X c )= 2 c + 2 e=) ero l{m (u c)= 2 c + 2 e= = (u c )= c y al ser fució cotiua! resulta l{m! F (u) = ((u X c )= c ) = F C (u) d Luego X! C: (b) y (c) de otra forma Cosidérese la sucesió de variables aleatorias ideedietes E ; E 2 ; E 3 ; :::; E ; ::: coe(e i ) = 0 V ar(e i ) = 2 e y la sucesió de E = E i i= como Además como V ar( E ) = 2 e i =! 0 vale la Ley débil y E! 0! X X 2 e=i 2 = 2 e =i 2 < vale tambié la Ley fuerte y i = E c:t::! 0 Cosideremos ahora la sucesió de variables aleatorias C; C; C; :::; C; :::se tedrá tambié que C! C y C c:t::! C Luego alicado la coservació de la covergecia a través de fucioes cotiuas(y la suma lo es) C! C; C c:t::! C; E! 0 =) (C + E )! C o sea c:t:: E! 0 =) (C + E ) c:t::! C o sea X X c:t::! C! C 20

9.0.4 roblema 2 Sea X ; X 2 ; :::; X ; :: v.a. i.i.d. U(0; ): Se de e: X () = m{(x ; X 2 ; ::; X ); X () = max(x ; X 2 ; ::; X ) robar que: (a) X ()! 0 (b) X ()! U = X () ; V = ( X () ) d (c) U! U; co U v G(; ) d (d) V! V; co V v G(; ) E lo que sigue se usará lo siguiete: F X() (x) = (X () x) = (X () > x) = [(X > x) \ (X 2 > x) \ \ (X > x)] Q x = (X i > x) = = x i= F X() (x) = (X () x) = [(X x) \ (X 2 x) \ \ (X x)] Q = (X i x) = ( x ) Sol(a): i= 8" > 0; l{m ( X() 0 < ") = l{m (X () < ")!! = l{m F X! () (") = l{m "! = Sol(b): 8" > 0; l{m ( X() < ") = l{m ( (X () ) < ")!! = l{m (X () > ") = l{m (X () ")!! = l{m F X! () ( ") = l{m ( "! ) = l{m ( "! ) = Sol(c): Aalicemos F U (u) = (U u) = (X () u) = (X () u ) = F X() ( u ) = u = u= h i l{m F u= U! (u) = l{m! = e u ero si F U (u) = e u resulta U~G(; ); luego resulta la tesis. Sol(d): v Aalicemos F V (v) = (V v) = (( X () ) v) = (X () v = F X() ( ) = ( v ) v= = h i luego l{m F v= V! (v) = l{m! = e v ero si F V (v) = e v resulta V v G(; ); luego resulta la tesis. ) 2

9.0.5 roblema 3 Sea X ; X 2 ; :::; X ; :: v.a. i.i.d. U(0; ): Hallar el límite e c.t.. de Sol: exresado Y Y = ( X i ) i= Y = e l X i i= y como la sucesió de v.a. ideedietes.l X ; l X 2 ; ::; l X ; ::tiee y E(l X i ) = Z 0 l x dx = l ; y V ar(l X i) = 2 < X X 2 i =i 2 = 2 =i 2 < i= or la Ley Fuerte resulta i= i= l X i c:t::! l ; y or el Teorema de Coservació. de Covergecia ara fucioes cotiuas Y = e l X i i= c:t::! e l = e 22