NOTAS SOBRE LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Alberto Gómez-Lozano Universidad Cooperativa de Colombia Sede Ibagué Doumentos de doenia Course Work oursework.u.e.o No. 5. Nov, 05 http://d.doi.org/0.695/greylit.6 NOTA LEGAL El presente doumento de trabajo ha sido inluido dentro de nuestro repositorio de literatura gris por soliitud del autor, on fines informativos, eativos o aadémios. Asimismo, los argumentos, datos y análisis inluidos en el teto son responsabilidad absoluta del autor y no representan la opinión del Fondo Editorial o de la Universidad. DISCLAIMER This oursework paper has being uploaded to our grey literature repository e to the request of the author. This doument should be used for informational, eational or aademi purposes only. Arguments, data and analysis inluded in this doument represent authors opinion not the Press or the University.
ACERCA DEL AUTOR Alberto Gómez-Lozano es magíster en Cienias de la Eaión on menión en doenia e investigaión universitaria, profesor asistente del programa de Ingeniería Civil, Universidad Cooperativa de Colombia, sede Ibagué, Colombia. Correo-e: alberto.gomez@ampusu.e.o CÓMO CITAR ESTE DOCUMENTO Gómez-Lozano, A. (05). Notas sobre métodos de integraión. (Doumento de doenia No. 5). Bogotá: Ediiones Universidad Cooperativa de Colombia. doi: http://d.doi.org/0.695/greylit.6 Este doumento puede ser onsultado, desargado o reproido desde nuestro repositorio de doumentos de trabajo (http://oursework.u.e.o) para uso de sus ontenidos, bajo la lienia de Creative Commons Reonoimiento-NoComerial-SinObraDerivada.0 Internaional. http://reativeommons.org/lienses/by-n-nd/.0/
RESUMEN El objetivo del presente doumento es failitar el estudio de las ténias de integraión para resolver una integral ompleja por otra más senilla y fáil de identifiar. Es importante ontar on oneptos previos tales omo; las operaiones básias on epresiones algebraias y de fatorizaión, limites, derivadas y reglas de derivaión, integraión direta, interpretaiones y apliaiones. Los oneptos a desarrollar empiezan on la integraión por sustituión algebraia, Integraión por sustituión trigonométria, Integraión por partes y termina on la Integraión por fraiones pariales. No obstante el presente doumento sirve para seleionar el método adeuado para la soluión de un problema espeífio. Palabras lave: Métodos de integraión, Cálulo integral, sustituión algebraia, sustituión trigonométria, partes y fraiones pariales.
TABLA DE CONTENIDO. Introión 5. Objetivo general 6. Método de sustituión algebraia 6. Método de integraión por partes 0 5. Método de sustituión trigronométria 6 5.. Algunas identidades fundamentales de trigonometría 8 6. Método de fraiones pariales. Apliaión 6 8. Conlusión 6
. INTRODUCCIÓN E l presente mólo está dirigido en espeial a los estudiantes de las diferentes ingenierías. El origen del álulo integral se remonta a la époa de Arquímedes (8- a. C.), matemátio griego de la Antigüedad que obtuvo resultados tan importantes omo el valor del área enerrada por un segmento parabólio. Después de Arquímedes vinieron otros estudiosos omo Isaa Newton, Gottfried Leibniz y Louis Cauhy, y en la atualidad se utilizan los métodos, las ténias y las herramientas para haer más rápida y prátia la enseñanza y omprensión de la integral en la apliaión del desarrollo de problemas en la ingeniería, omo por ejemplo áreas y volúmenes; entro de masa; momentos; longitud de una onda; euaiones de meánia de fluidos que rigen la ontinuidad, y euaiones difereniales, entre otros. El presente molo trata sobre los métodos de integraión; sin embargo, para aprender de estos oneptos es fundamental onoer y manejar tanto las operaiones básias on epresiones algebraias y fatorizaión, omo los oneptos de límites, derivadas y reglas de derivaión, ya que a toda regla de derivaión le orresponde una de integraión, on sus diferentes interpretaiones, apliaiones e integrales diretas. Las prinipales ténias de integraión que se estudiarán y que se refieren al estudio de los métodos sistemátios para hallar una integral ya onoida omo por ejemplo una integral de la tabla o bien para reirla a una más senilla, son las uatro siguientes:. Integraión por sustituión algebraia: método basado en la regla de la adena.. Integraión por sustituión trigonométria: método basado en la integraión de ierto tipo de funiones algebraias uyas integrales indefinidas son funiones trigonométrias.. Integraión por partes: método basado en la difereniaión de un proto.. Integraión por fraiones pariales: método basado en oientes de polinomios. En ada uno de los métodos de integraión se presentan ejeriios simples pero ilustrativos que nos permiten llegar de manera graal hasta los que tienen un mayor grado de difiultad. 5
Notas sobre los métodos de integraión Notas de lase. OBJETIVO GENERAL Identifiar integrales definidas e indefinidas apliando los diferentes métodos de integraión.. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA El método de sustituión nos permite ambiar una integral ompleja por otra más senilla y fáil de identifiar. Si u g() es una funión difereniable uyo rango o imagen es un intervalo I y f es ontinua en I, entones f ( g( )) g'( ) d f ( u) En los siguientes ejemplos se tratará de reir el grado de difiultad de la integral mediante un ambio de variable, de tal manera que la integral resultante sea más fáil de integrar o sea una integral onoida. Para que la fórmula de ambio de variable tenga posibilidad de éito se debe identifiar en el integrando a una funión u y a u su derivada. Ejemplo Hallar 8 d A la epresión algebraia que está dentro del radial se sustituye por la variable u, es deir, u Luego se deriva para hallar a u obteniendo: Después se despeja d : d 8 Luego se reemplaza en la integral original Se simplifia y se integra: 6 d 8 8 8 8 u 6 u d u 8 8 u 8 6
Notas sobre los métodos de integraión No tas de lase Ejemplo Hallar dt t t A la epresión algebraia que está dentro del paréntesis que tiene el eponente - se sustituye por la variable u. Es deir, u. t Luego se deriva u : dt t Se despeja dt : dt t Ahora se reemplaza en la integral original: t t dt u t t Se simplifia y se integra, obteniendo: u t u u t t omo respuesta. Ejemplo 0 Hallar os d La epresión algebraia que esta omo ángulo de la funión trigonométria se sustituye por u y se deriva: u d Luego se despeja d : d Y se reemplaza en la integral os u u 0 os 0 = sen 0 Primero se evalúa la variable por el límite superior de la integral y luego por el límite inferior, es deir primero por y después por 0, restando estos dos resultados:
Notas sobre los métodos de integraión Notas de lase sen sen 0 sen sen 0 0 Ejemplo Hallar y y dy La epresión algebraia que está dentro del paréntesis que tiene eponente se sustituye por u : u y Luego se deriva dy Se despeja dy y y : dy y u Después se reemplaza en la integral original: y u 6 u dy y u u Se simplifia y se integra, obteniendo: u 6 6u 6 lnu ln y u y ACTIVIDAD Halle las siguientes integrales: 8. 9 d 9. 6 d. os ( ) d sen 9. y s( y ) ot( y ) dy s y 6 8
Notas sobre los métodos de integraión No tas de lase 5. d 6. tan ot d. y dy y 8 y y 8. t 5 t dt t t t 5 t 9. sen d se os 0. 6 d 6 dt. t t t os ( ) d sen. 0. sen os d sen. d os e 5. d ln e e t os t dt sen t 6 6. BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA L. Leithold, El álulo, ª. ed. Méio: Printed Oford University Press - Harla Méio, S. A. de C. V., 998, p. 0. E. Purell, D. Verberg y Rigdon, S. Cálulo, 9ª. ed. Méio: Pearson Eaión, 00, p.. 9
Notas sobre los métodos de integraión No tas de lase. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES El método de integraión por partes es útil para hallar la antiderivada en muhos de los asos en que una funión está dada omo el proto de otras dos funiones f ( ) sen. El método es un resultado de la derivada de un proto: d( uv) udv v integrando d uv) udv v uv udv por onsiguiente despejando se obtiene la fórmula para este método: ( v udv vu El nombre de este método obedee a que se tiene que separar el integrando en dos partes, una de las uales se iguala a u y la otra junto on d se iguala a dv. No se puede dar una instruión general para la eleión de estos fatores; sin embargo es útil seguir los siguientes tres riterios: La parte que se iguala a dv debe ser fáil de integrar. v La integral v no debe ser más ompliada que la integraión udv. Cuando la epresión para integrar es un proto, por lo general es mejor elegir la de aparienia más ompliada (siempre que se pueda integrar), omo dv. Cuando se usa esta fórmula la onstante de integraión solo aparee en la respuesta final y no en la integral antes de haer la sustituión. Ejemplo Hallar se tan d Por lo general la funión trigonométria es el dv. Se sustituye u y dv se tan d u dv se tan d d v se Reemplazando en la epresión de integraión por partes, se obtiene: se tan d se ln se tan 0
Notas sobre los métodos de integraión No tas de lase Ejemplo Hallar Se sustituye a e sen d u e y dv sen d u e dv sen d e e d v os d Reemplazando en la epresión de integraión por partes, se obtiene: e sen d e os e os d Como se puede observar en la epresión anterior, queda una integral que también es neesario que resolver por partes. Realizando el mismo proedimiento: e os d Se sustituye a u e y dv os d u e dv os d e e d v sen d e os d e sen e sen d Al reemplazar esta epresión en la epresión (), se obtiene: e sen d e os e sen e e sen d e os e sen e sen d sen d Cuando la misma integral queda en el lado izquierdo de la igualdad on signo menos, al transponerla para el otro lado ambia de signo, lo ual permite sumarlas: e sen d e sen d e os e sen
Notas sobre los métodos de integraión No tas de lase e send = e os + e sen + = e (sen os) + Ejemplo Hallar 0 Se sustituye sen d u y dv sen u dv sen d d d v os Reemplazando en la epresión de integraión por partes, se obtiene: d os 0 sen 0 0 os d () Como se puede observar en la epresión anterior, queda una integral que es neesario resolverla por sustituión: 0 u os d d sen () 0 Al reemplazar en (), se obtiene: 0 sen d os sen () 0 Se evalúa la variable por y luego por 0 y se restan estos dos resultados, lo ual da omo respuesta:
Notas sobre los métodos de integraión No tas de lase 0 os sen os 0 sen 0 0 0 Ejemplo Hallar os Se sustituye d u os y dv d u os dv d sen d v Reemplazando en la epresión de integraión por partes, se obtiene: os d os os sen d sen d () Se emplea el método de integraión por sustituión para desarrollar la integral w sen d w Se deriva dw y se despeja d, obteniendo: d dw d Reemplazando se tiene que: sen d w sen w sen wdw sen wdw dw ()
Notas sobre los métodos de integraión No tas de lase Resulta otra integral por partes, la ual se resuelve de la misma manera: w sen w dw u w dv senw dw w dw v os w w senw dw w os w w os w dw () Nuevamente queda otra integral por partes para resolver: w os w dw u w dv os w dw dw v senw w os w dw w sen w senw dw wsenw os w Se reemplaza este resultado en la euaión (): w sen w dw w os w w os w dw os sen os La euaión () queda así: sen d sen w os dw sen os Por último se reemplaza en la euaión (): os d os sen d os d os os sen os sen os
Notas sobre los métodos de integraión No tas de lase ACTIVIDAD Resuelva las siguientes integrales utilizando el método de integraión por partes:. sen d os sen os 8. e d e e e. ln d ln ln sen d e. sen ln d senln osln 5. e sen os 6. se tan d se ln se tan. ln 5 d ln 5 8. 9. ln t t e dt ln t e d 0. os d sen os. sen d 0. d 0 BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA L. Leithold, El álulo. ª. ed. Méio: Printed Oford University Press-Harla Méio, S. A. de C. V. 998, p. 55. E. Purell, D. Verberg y S. Rigdon, Cálulo, 9ª. ed. Méio: Pearson Eaión, 00, p. 55. 5
Notas sobre los métodos de integraión No tas de lase 5. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA En esta seión se estudiarán sustituiones que implian funiones trigonométrias que onen a integrales trigonométrias. Se mostrará on tres asos omo el ambio de variable donde a 0 a a u La mejor manera de efetuar la integraión por sustituión trigonométrias es eliminando el radial. Ejemplo Hallar d 9 9 sen sen Se busa una epresión para ada uno de los valores del integrando, de auerdo on el triángulo orrespondiente: d,, 9 d os d 9 sen 9 9 9sen sen 9os os 9 Estos valores se remplazan en la integral, se simplifia y se integra, obteniendo: d 9 os d 9 sen sen = 9 dθ sen θ = 9 s θdθ 6
Notas sobre los métodos de integraión No tas de lase d 9 ot 9 en el triangulo ot 9 d 9 9 9 Ejemplo Hallar d tan tan Se busa una epresión para ada uno de los valores del integrando, de auerdo on el triángulo orrespondiente: d, d se tan tan se se Estos valores se remplazan en la integral, se simplifia y se integra, obteniendo: d se d d = os d sen se se En el triangulo sen d ACTIVIDAD Resuelva las siguientes integrales utilizando el método de integraión de funiones trigonométrias:. d ln. d ln
Notas sobre los métodos de integraión No tas de lase. d 5 5 d. 9 9 9 9 9 5. d sen 6. d se 5.. ALGUNAS IDENTIDADES FUNDAMENTALES DE TRIGONOMETRÍA sen. sen s. tan ot. os se. tan os os 5. ot 6. se. s 8. ot sen os sen tan 9. sen u v sen u os v os u sen v 0. os u v os u os v senu senv. senu v senu os v os u senv. os u v os u os v senu senv. sen u os u. tan u se u 5. ot u s u 6. os u sen. os u os 8. sen u sen u os u u 9. os u os u sen u. os u tan u os u 0. sen u os u. os u os u. sen Au os Bu sen A Bu sen A B os Au os Bu. sen Au senbu os A Bu os A B 5. os A Bu os A B 6. sen A os B sen A B sen A B u u u u 8
Notas sobre los métodos de integraión No tas de lase Ejemplo Hallar: os sen d Se desompone os os os sen os Se toma a u la funión trigonométria que tiene el eponente y la derivamos: u sen os d d os Se simplifia y se integra, obteniendo: os os sen d sen d sen os sen d 5 u u u u u u os sen d Ejemplo Hallar: tan se d sen sen Se desompone tan tan. tan se. tan Se toma u u se la funión trigonométria que tiene eponente y se deriva: se tan d d se tan Se remplaza en la integral: tan se d se. tan se Se simplifia y se integra, obteniendo: tan se d se tan se se u u 9
Notas sobre los métodos de integraión No tas de lase 5 5 u u se se u u tan se d 5 5 ACTIVIDAD Resuelva las siguientes integrales:. os () d sen () sen () 9. sen( y) os(5 y) dy os(8 y) os( y) 6. 0 sen ( t )os ( t ) dt. sen ( ) d os ( ) os( ) 5. os ( ) d sen ( ) os sen d sen sen 6. 5 se se. tan se d 5 BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA L. Leithold, El álulo, ª. ed. Méio: Printed Oford University Press-Harla Méio, S.A. de C. V., 998, p. 555. E. Purell, D. Verberg y S. Rigdon, Cálulo, 9ª. ed. Méio: Pearson Eaión, 00, p. 9. 0
Notas sobre los métodos de integraión No tas de lase 6. MÉTODO FRACCIONES PARCIALES Es el proeso de desomponer una fraión en otras más simples reibe el nombre de desomposiión en fraiones pariales. Eisten dos tipos de fraiones: Fraiones impropias: uando el grado del polinomio del numerador es mayor o igual que el grado del polinomio del denominador. Fraiones propias: uando el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador. Fraiones impropias: siempre que se presente una integral on esta araterístia se debe efetuar la división entre polinomios y luego separar las integrales. Ejemplo Hallar d Se realiza la división de polinomios y se reemplaza en la integral, obteniendo: d ln Fraiones propias: si la fraión es de este tipo, el denominador se debe fatorizar (siempre que sea posible) y apliar uno de los asos siguientes: Caso : Los fatores del denominador son de primer grado o lineales y no se repiten, siendo de la forma m b Ejemplo Hallar 5 d Se realiza la fatorizaión del denominador y se plantean las fraiones orrespondientes: 5 5 A B
Se reemplaza estos resultados en la integral obteniendo: d d d 5 d ln ln 5 Caso : El denominador ontiene fatores lineales repetidos, siendo de la forma: n b a n n n b a A b a A b a A b a A b a A... Ejemplo Hallar d Se realiza la fatorizaión del denominador y se plantean las fraiones orrespondientes: B A Se reemplazan estos resultados en la integral, obteniendo: d d d d ln Caso : Los fatores del denominador son de segundo grado y no se repiten, es deir, son de la forma: b a Ejemplo Hallar d Notas sobre los métodos de integraión No tas de lase
Se realiza la fatorizaión del denominador y se plantean las fraiones orrespondientes: D C B A Se reemplaza estos resultados en la integral obteniendo: d d Se tienen integrales a resolver d d ln 8 d d d d ln 8 ln 8 d d ln 8 d d tan Reemplazando los resultados anteriores en la integral iniial, se obtiene: d tan ln 8 ln 8 ln 8 ln 8 Caso : Los fatores del denominador son de segundo grado y se repiten, es deir, son de la forma n b a Ejemplo 5 Hallar d Se realiza la fatorizaión del denominador y se plantean las fraiones orrespondientes: Notas sobre los métodos de integraión No tas de lase
Notas sobre los métodos de integraión No tas de lase A B C D Se reemplazan estos resultados en la integral obteniendo: d d d d ln ACTIVIDAD Realie las siguientes integrales utilizando el método fraiones pariales:. d ln 9. d ln. d ln 5. d ln ln 5. 6.. d ln d ln ln 9 9 50 5 5 d ln ln 5 5
Notas sobre los métodos de integraión No tas de lase 8. d ln tan 9. d ln tan BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA L. Leithold, El álulo, ª. ed. Méio: Printed Oford University Press-Harla Méio, S.A. de C. V., 998, p. 5. E. Purell, D. Verberg y S. Rigdon, Cálulo, 9ª. ed. Méio: Pearson Eaión, 00, p. 0. 5
Notas sobre los métodos de integraión No tas de lase. APLICACIÓN Un tanque tiene la forma de un ilindro irular reto, de pies de profundidad y un radio de pies; está lleno hasta la mitad de aeite que pesa 60 lb/pie. Determine el trabajo realizado al bombear el aeite hasta una altura de 6 pies por arriba del tanque. Se toma el origen en el entro de la parte inferior del tanque en direión positiva haia arriba. El volumen es un diso de radio de pies y una altura de, la densidad del aeite es 60 lb/pie v = π (pie) i (pie), La fuerza f(w i ) es: 60 π () i = 960π i (lb) El trabajo w realizado por la fuerza onforme el objeto se desplaza de 0 a 8 pies se define: n w = lim 0 i= f(w i ) i, la distania i : (8 )pies = 960π [8 6 ] 0 n w = lim 0 960π(8 ) i = 960π(8 ) d i= = 8600π =.00 lb pie 0 6 8. CONCLUSIÓN Para resolver una integral primero se debe identifiar qué método de integraión se va a utilizar, y de auerdo on este se elige el ambio de variable adeuado para onvertir la integral en otra más senilla, además de tener buenas bases algebraias en euaiones, fatorizaión, simplifiaión de fraiones algebraias y derivaión. 6