Pág. 1 Rzones trigonométrics de un ángulo gudo 1 Hll ls rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de estos triángulos: ) b) c) 7 m 25 m 11,6 cm 8 m 32 m 60 m 2 Midiendo los ldos, hll ls rzones trigonométrics de ^ en cd cso: ) b)
3 Hll ls rzones trigonométrics de los ángulos gudos de los siguientes triángulos rectángulos (^ = 90 ): ) b = 56 cm; = 62,3 cm b)b = 33,6 cm; c = 4,5 cm c) c = 16 cm; = 36 cm Pág. 2 ) 27,3 cm 62,3 cm 56 cm b) 4,5 cm 33,9 cm 33,6 cm c) 16 cm 36 cm 32,25 cm 4 omprueb, con el teorem de Pitágors, que los triángulos y H son rectángulos. 7 cm 6,72 cm H 1,96 cm 24 cm 23,04 cm Hll en cd uno ls rzones trigonométrics del ángulo y compr los resultdos. Qué observs?
Pág. 3 sen ^ cos ^ tg ^ en en H ì ì 5 lcul ls rzones trigonométrics de los ángulos ^ y ^, D y D. 15 cm 12 cm D 16 cm ^ ^ ^ D ^ D sen cos tg Relciones fundmentles 6 Si sen = 0,28, clcul cos y tg utilizndo ls relciones fundmentles ( < 90 ). 7 Hll el vlor excto (con rdicles) de sen y tg sbiendo que cos = 2/3 ( < 90 ).
8 Si tg = 5, clcul sen y cos ( < 90 ). Pág. 4 9 lcul y complet est tbl con vlores proximdos: sen 0,92 cos 0,12 tg 0,75 10 lcul el vlor excto (utilizndo rdicles) de ls rzones trigonométrics que fltn en l tbl siguiente ( < 90 ): sen 2/3 cos 2/3 tg 2
Pág. 5 lculdor 11 omplet l tbl siguiente, utilizndo l clculdor: 15 55 20' 72 25' 40'' 85,5 sen cos tg 12 Hll el ángulo en cd cso. Expréslo en grdos, minutos y segundos. ) sen = 0,58 b)cos = 0,75 c) tg = 2,5 5 1 d)sen = e) cos = f) tg = 3 2 3 3
13 Hll, con l clculdor, ls otrs rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de los csos siguientes: ) sen = 0,23 b)cos = 0,74 c) tg = 1,75 1 3 d)sen = e) tg = 3 f) cos = 2 2 Pág. 6 Resolución de triángulos rectángulos 14 Hll l medid de los ldos y ángulos desconocidos en los siguientes triángulos rectángulos (^ = 90 ): ) b = 7 cm c = 18 cm b) = 25 cm b = 7 cm c) b = 18 cm ^ = 40 d)c = 12,7 cm ^ = 65 e) = 35 cm ^ = 36
Pág. 7 15 undo los ryos del sol formn 40 con el suelo, l sombr de un árbol mide 18 m. uál es su ltur? 40 18 m 16 Un escler de 3 m está poyd en un pred. Qué ángulo form l escler con el suelo si su bse está 1,2 m de l pred? 3 m 1,2 m 17 De un triángulo isósceles conocemos su ldo desigul, 18 m, y su ltur, 10 m. uánto miden sus ángulos? b 10 m 18 m 18 lcul l ltur, h, de los siguientes triángulos: ) b) 18 cm h h 28 cm 65 35 D D
19 lcul l ltur sobre el ldo en los siguientes triángulos: ) b) Pág. 8 70 40 15 cm 23 cm 20 Hll: ) L longitud. b)el áre del triángulo. Ten en cuent que = D + D. 23 cm 53 D h 35 cm 34
Rzones trigonométrics de ángulos culesquier Pág. 9 21 Sitú en l circunferenci goniométric los siguientes ángulos e indic el signo de sus rzones trigonométrics. ) 128 b) 198 c) 87 d)98 e) 285 f) 305 ompruéblo con l clculdor. 22 omplet est tbl sin usr l clculdor: 0 90 180 270 360 sen 1 cos 0 tg No tiene
23 En cd uno de estos círculos está indicdo el signo de ls rzones trigonométrics de, según el cudrnte en el que esté. uál corresponde sen. uál cos? Y cuál tg? ) b) c) + + + + + + Pág. 10 24 Resuelto en el libro de texto. 25 Dibuj dos ángulos cuyo seno se 2/5 y hll su coseno. 26 Dibuj un ángulo menor que 180 cuyo coseno se 2/3 y hll su seno y su tngente.
27 Sbiendo que tg = 2 y < 180, hll sen y cos. Pág. 11 28 Dos ntens de rdio están sujets l suelo por cbles tl como indic l figur. lcul l longitud de cd uno de los trmos de cble y l distnci E. 100 m D 45 30 60 30 P Q E 75 m 29 Un escler pr cceder un túnel tiene l form y ls dimensiones de l figur. lcul l profundidd del punto. 25 m 30 10 m 30 m 50 x 25 m 30 10 m y 30 m 50
30 Un señl de peligro en un crreter nos dvierte que l pendiente es del 12%. Qué ángulo form ese trmo de crreter con l horizontl? uántos metros hemos descendido después de recorrer 7 km por es crreter? Pág. 12 100 12 31 En un rut de montñ, un señl indic un ltitud de 785 m. Tres kilómetros más delnte, l ltitud es de 1 265 m. Hll l pendiente medi de es rut y el ángulo que form con l horizontl. 32 Los brzos de un compás, que miden 12 cm, formn un ángulo de 50. uál es el rdio de l circunferenci que puede trzrse con es bertur? 50 12 cm x
33 lcul el áre de cd uno de estos triángulos: Pág. 13 ) 12 m 50 23 m b) Q 20 m P 35 35 R 34 En el triángulo clcul h y. 18 cm h 65 P 23
35 En el triángulo hll x, h e y. Pág. 14 17 cm 29 cm h 50 x P y 36 lcul h, x y b. En el triángulo P, P = x + 17. h b 58 cm P x 32 17 cm 37 onocemos l distnci de nuestr cs l iglesi, 137 m; l distnci de nuestr cs l depósito de gu, 211 m, y el ángulo, 43, bjo el cul se ve desde nuestr cs el segmento cuyos extremos son l iglesi y el depósito. uál es l distnci que hy de l iglesi l depósito de gu? I 137 m 43 P 211 m D
Pág. 15 38 Desde l torre de control de un eropuerto se estblece comunicción con un vión que v terrizr. En ese momento, el vión se encuentr un ltur de 1 200 metros y el ángulo de observción desde l torre (ángulo que form l visul hci el vión con l horizontl) es de 30. qué distnci está el vión del pie de l torre si est mide 40 m de ltur? 1200 m D 30 40 m d 39 Desde el lugr donde me encuentro, l visul de l torre form un ángulo de 32 con l horizontl. 32 50 25 m Si me cerco 25 m, el ángulo es de 50. uál es l ltur de l torre?
40 lcul l ltur de l luz de un fro sobre un cntildo cuy bse es inccesible, si desde un brco se tomn ls siguientes medids: El ángulo que form l visul hci l luz con l líne de horizonte es de 25. Nos lejmos 200 metros y el ángulo que form hor dich visul es de 10. Pág. 16 h x 25 200 m 10 41 Pr clculr l ltur del edificio, PQ, hemos medido los ángulos que indic l figur. Sbemos que hy un funiculr pr ir de S Q, cuy longitud es de 250 m. Hll PQ. P Q 250 m 10 R 30 S
42 Ls tngentes un circunferenci de centro O, trzds desde un punto exterior, P, formn un ángulo de 50. Hll l distnci PO sbiendo que el rdio de l circunferenci es 12,4 cm. Pág. 17 O12,4 cm 25 P 43 Dos edificios distn entre sí 150 metros. Desde un punto del suelo que está entre los dos edificios, vemos que ls visules los puntos más ltos de estos formn con l horizontl ángulos de 35 y 20. uál es l ltur de los edificios, si sbemos que los dos miden lo mismo? 44 En dos comisrís de policí, y, se escuch l lrm de un bnco. on los dtos de l figur, clcul l distnci del bnco cd un de ls comisrís. 27 35 5 km
45 Hll el áre de un octógono regulr de 12 cm de ldo. Pág. 18 46 En un trpecio isósceles de bses y D, conocemos los ldos = 5m y = 3 2 m, y los ángulos que form l bse myor con los ldos oblicuos, que son de 45. Hll su áre. D 5 m 3 2 m h 45 45 x 47 El ldo de l bse de un pirámide cudrngulr regulr mide 6 m y el ángulo PD = 60. Hll su ì volumen. P P O 60 l D 6 m D
48 Hll el ángulo que form l digonl de un cubo de rist 6 cm con l digonl de l bse. Pág. 19 49 Desde un fro F se observ un brco bjo un ángulo de 43 con respecto l líne de l cost; y unbrco, bjo un ángulo de 21. El brco está 5 km de l cost, y el, 3 km. lcul l distnci entre los brcos. d F 43 21 5 km 3 km
Pág. 20 50 Observ el triángulo rectángulo MPN, y en ls siguientes igulddes, sustituye los puntos suspensivos por sen, cos o tg. ) M^ = m b) N^ = p m p P n m M p c) M^ = m d) N^ = n n p N 51 Existe lgún ángulo tl que sen = 3/5 y tg = 1/4? 52 Existe lgún ángulo gudo cuyo seno se myor que l tngente? Justific l respuest. 53 En un triángulo rectángulo, uno de los ctetos mide el doble que el otro. uánto vlen ls rzones trigonométrics del ángulo menor? 1 5 2 54 Puede existir un ángulo cuyo seno se igul 2? Y uno cuyo coseno se igul 3/2? Rzon ls respuests.
55 Indic, en cd cso, en qué cudrnte está el ángulo : ) sen > 0, cos < 0 b) tg > 0, cos > 0 c) sen < 0, cos > 0 d) sen < 0, cos < 0 Pág. 21 56 Los dos ángulos gudos de un triángulo rectángulo se llmn complementrios porque su sum es uno recto. Observ l figur, complet l tbl y expres simbólicmente lo que obtienes: c 90 b sen cos tg 90 57 Usndo ls relciones fundmentles, demuestr que: ) (sen + cos ) 2 +(sen cos ) 2 = 2 b) (sen ) 3 + sen (cos ) 2 = 1 sen c) (sen ) 3 + sen (cos ) 2 = tg cos d)1 + (tg ) 2 = 1 (cos ) 2
Pág. 22 58 Sobre l circunferenci goniométric señlmos un ángulo en el primer cudrnte y prtir de él dibujmos los ángulos: 180 180 + 360 usc l relción que existre entre: ) sen (180 ) y sen cos (180 ) y cos tg (180 ) y tg b)sen (180 + ) y sen cos (180 + ) y cos tg (180 + ) y tg c) sen (360 ) y sen cos (360 ) y cos tg (360 ) y tg 180 180 + 360 59 Sitú el ángulo ddo sobre l circunferenci goniométric y expres sus rzones trigonométrics utilizndo un ángulo gudo como en el ejemplo: Ejemplo: 215 sen 215 = sen 35 cos 215 = cos 35 tg 215 = tg 35 ) 150 b) 240 c) 300 d) 225 e) 100 f) 320
Pág. 23 60 Resuelto en el libro de texto. 61 Resuelve ls siguientes ecuciones sbiendo que 0 Ì x Ì 360 : ) (sen x) 2 sen x = 0 b)2(cos x) 2 3 cos x = 0 c) 3 tg x + 3 = 0 d)4(sen x) 2 1 = 0 e) 2(cos x) 2 cos x 1 = 0
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