1. PRINIPIO E TRJOS VIRTULES El prncpo de los trabajos rtuales, en su ertente de desplazamentos rtuales, fue ntroducdo por John ernoull en 1717. La obtencón del msmo dera de la formulacón débl (o ntegral) del problema elástco, que se desarrolla en un marco más amplo y con mucha mayor generaldad, de hecho, una gran cantdad de los métodos de cálculo modernos se basan en la formulacón débl de los problemas. contnuacón se presentan las deas generales del método de los trabajos rtuales. 1.1 esplazamentos rtuales en un sóldo rígdo onsderemos un sóldo rígdo sometdo a un sstema de fuerzas en equlbrío, es decr F = 0 sobre este sstema en equlbro, damos un desplazamento δ ( δ, δ, δ ) t realzado por las fuerzas del sstema es: W = F δ = δ F = 0 =. El trabajo x y z por lo tanto podemos conclur que el trabajo realzado por las fuerzas de un sstema en equlbro al dar sobre este un desplazamento cualquera es nulo. omo puede erse en el ejemplo sguente el método es equalente a obtener las ecuacones de equlbro: F 3 F4 W = δfsenα δf δfsenβ = 0 2 3 4 Fsenα + F + Fsenβ = 0 2 3 4 F = 0 y F1 F 2 α δ β F5. arncero
El prncpo de los trabajos rtuales 2 1.2 esplazamentos rtuales en un sóldo elástco. arra de celosía onsderemos ahora el caso de un sóldo elástco, y en concreto partcularzamos para una barra de celosía. En este caso los nudos, sobre los que hay aplcados cargas F, están undos por belas deformables sometdas a unos esfuerzos N. Sobre este sstema damos un desplazamento N F rtual δ ( δ, δ ) t =. El trabajo realzado al dar este x y N desplazamento puede consderarse como la suma del trabajo de las cargas externas (F ) más el trabajo de los esfuerzos nternos (N ), y por lo sto en caso anteror debe ser nulo. W + W = 0 (1.1) ext nt Tenendo en cuenta la expresón de ambos trabajos, F δ N l = 0 donde l es el alarmento de la barra debdo al desplazamento rtual (ease que el trabajo nterno es sempre negato ya que los esfuerzos nternos sempre se oponen al desplazamento). Es decr, F δ = N l (1.2) onene recordar que el térmno de cargas sobre los nudos ncluye las reaccones. Por lo tanto el desplazamento rtual realzado no tene porque cumplr las condcones de contorno. 1.2.1 Ejemplo F1 F2 h plquemos las deas anterores para el cálculo del esfuerzo en la barra de la celosía sostátca de la fgura. El problema puede hacerse de formas dstntas: F3 h h 1.- Elmnando la barra y susttuyéndola por sus esfuerzos. e esta forma el esfuerzo nterno pasa a tratarse como una carga exteror. d. arncero
El prncpo de los trabajos rtuales 3 2.- onsderando los esfuerzos nternos. ado que el desplazamento que podemos realzar es cualquera, tratamos de dar uno en el que sólo nterengan las cargas exterores y el esfuerzo en la barra. Este desplazamento (nfntesmal) puede ser el presentado en la fgura derecha. El prncpo de los trabajos rtuales nos permte establecer δ δ F1 ( ) ( ) W = δ F + F ext 1 2 nt = δ W N cosα δ F + F = δn cosα 1 2 F3 F2 por lo que N = F + F 1 2 cosα 1.3 Fuerzas rtuales en un sóldo elástco e la msma forma que el caso anteror sobre el sstema de cargas real se realza un desplazamento rtual, es posble establecer un sstema rtual de fuerzas en equlbro 1 sobre el sstema real de desplazamentos. La ecuacón que se erfca en esta ocasón es tambén (1.1). F δ = N l (1.3) donde el superíndce denota que la fuerza o el esfuerzo es rtual (es decr los esfuerzos en las barras se calculan a partr de las cargas rtuales). La ecuacón anteror permte calcular, por ejemplo, el desplazamento de un nudo de la celosía s el sstema de fuerzas rtual aplcado sobre el sstema es nulo sobre todos los nudos salo sobre aquel el que estamos nteresados en calcular el desplazamento y esto sempre es posble ya que el sstema de fuerzas lo elegmos nosotros. Supongamos que deseamos conocer el desplazamento del nudo k, empleamos un sstema rtual de cargas untaro en k en la dreccón de nterés y nulo en el resto de nudos. La ecuacón (1.3) queda de la forma. arncero
El prncpo de los trabajos rtuales 4 (1.4) δ + R δ = N l k a donde se ha ncludo un térmno que ntroduce el posble asento de los apoyos que ene representardo por el trabajo que producrían las reaccones (R ) al er ese asento. La aracón de longtud de la barra será debda a las cargas exterores, aracones de temperatura, errores de montaje, etc. Se puede demostrar que aplcar un sstema rtual de desplazamentos sobre un campo real de desplazamentos es equalente a escrbr las ecuacones de complatbldad. Nota: Puede resultar de gran nterés pararse a pensar s exste alguna relacón entre el método propuesto y el Teorema de astglano sto en cursos anterores. 1.3.1 Ejemplo Supongomos que queremos determnar los esfuerzos en la celosía hperestátca de la fgura nferor. 10 kn 5 kn 500 cm E= 2.1 10 11 N/m 2 =14.7 cm 2 El apoyo a sufre un asento de 0.5 cm (haca abajo) 500 cm Se trata de una celosía con grado de hperestatcdad 1. Para resolerla aplcamos superposcón, tal y como aparece en la fgura sguente, 1 El térmno en equlbro smplemente sgnfca que hay que consderar las reaccones rtuales que aparecen al aplcar cualquer sstema de cargas.. arncero
El prncpo de los trabajos rtuales 5 10 kn 5 kn 10 kn 1 2 5 kn alculamos los esfuerzos en las barras de los dos sstemas (N 1 y N 2 ) medante equlbro en los dstntos nudos de la estructura. Los esfuerzos obtendos son 10 kn 5 5 kn -0.707106-5 -7.07106-0.707106-0.707106 5 5-0.707106 5 5 N 1 N 2 Luego los esfuerzos que soporta cada una de las barras serán la suma de los exstentes en cada una de las estructuras. Para determnar necestamos una condcón de compatbldad adconal. ado que un sstema rtual de fuerzas sobre un campo real de desplazamentos permtía una formulacón equalente a las ecuacones de compatbldad, planteamos un sstema rtual de fuerzas como el de la fgura. 1 1 Este sstema de cargas produce los esfuerzos rtuales, N, (que se obtenen medante equlbro en los nudos) sguentes,. arncero
El prncpo de los trabajos rtuales 6 N -0.707106-0.707106 1-0.707106-0.707106 El prncpo de los trabajos rtuales, nos permte escrbr δ = F N l que en este caso queda como 1 δ + 1 δ = δ = N l (posto acercándose) (1.5) el térmno l, son los alargamentos reales de las barras de la celosía, que en este caso (donde no hay efectos térmnos n errores de montaje) ene dado por l l = N + N E ( ) 1 2 donde N 1 y N 2 son los esfuerzos reales de los dos sstemas en los que fue descompuesta la celosía orgnal. Para calcular el desplazamento δ, es necesaro recurrr a la barra, que se encuentra sometda a un esfuerzo de traccón de alor. Luego el desplazamento será l δ = (posto alargándose) (1.6) E Luego los alargamentos dados por las ecuacones (1.5) y (1.6), puede gualarse cambando uno de ellos de sgno, es decr l l ( ) E E = N N1 + N2. arncero
El prncpo de los trabajos rtuales 7 esarrollando el sumatoro y se llega a la ecuacón 2.2906 10 = 5.5299 10 2.21293 10 8 8 4 = 2803.3N onocdo el esfuerzo, el resto de esfuerzos en las barras se obtenen sumando las dos celosías en que fue ddda la ncal. 3017 2803.3-6982 -4267-1982 3017 1.4 Generalzacón En el epgrafe anteror se han presentado las deas tanto del método de los desplazamentos rtuales (forma alternata al planteamento de las ecuacones de equlbro) como del método de las fuerzas rtuales (alternata a las ecuacones de compatbldad). Estas deas se generalzan medante la ntroduccón de dos sstemas dstntos e ndependentes: > Un sstema de fuerzas rtual estátcamente admsble, es decr en equlbro. En este sstema es posble relaconar las cargas exterores (F ) con los esfuerzos nternos en las barras (N ). Este sstema no tene porque ser el real y por lo tanto, no tene que satsfacer las ecuacones de compatbldad. > Un sstema de desplazamentos rtual compatble geométrcamente que relacone los desplazamentos en los extremos de las barras (δ) con las deformacones nternas en la barra ( l) y que sea lo sufcentemente pequeño para consderar la teoría de pequeños desplazamentos. Este campo de desplazamentos no tene porque ser el real luego no es necesaro que erfque las condcones de contorno. Se defne el trabajo rtual externo, como el trabajo realzado por las cargas exterores al consderar el desplazamentos en los nudos: W = F δ ext. arncero
El prncpo de los trabajos rtuales 8 Se defne el trabajo rtual nterno como el trabajo realzado por los esfuerzos nternos al consderar las deformacones nternas: W = N l nt El Prncpo de los Trabajos Vrtuales(1.1) establece que la suma de trabajos debe ser nula: F δ = N l Los casos presentados anterormente corresponden a los casos partculares donde se consdera el sstema rtual como el real, ben en fuerzas, ben en desplazamentos. Ecuacones de omportamento argas Reales F, R, N esplazamentos Reales d, dr, l esplazamentos Vrtuales d, d r, l Fuerzas Vrtuales F, R, N Ecuacones de Equlbro Ecuacones de ompatbldad Fgura 1 1. Posbldades del Método de los Trabajos Vrtuales. arncero