UNIDAD 11 Distribucioes estadísticas dobles muchos campos del coocimieto surge la ecesidad de establecer relacioes E etre dos cojutos de datos, o dos variables estadísticas, au sabiedo que tal relació o puede ser fucioal, es decir, que o eiste ua fórmula que permita obteer los datos de uo de los cojutos, o de ua de las variables, a partir de los del otro, o de la otra variable. Ha dos problemas fudametales e el estudio de las relacioes etre dos variables estadísticas. El primero cosiste e cosiderar ua de las variables, la mejor coocida, como variable idepediete ecotrar ua fució, e uestro caso sólo hablaremos de la fució lieal, que ilustre de modo aproimado la relació etre las dos variables permita hacer prediccioes para alguos datos descoocidos. A este problema se le cooce como Aálisis de la Regresió o simplemete ajuste de los datos por la recta de regresió. El segudo de los problemas coduce al cálculo del coeficiete de correlació lieal que mide el grado de iterdepedecia lieal etre dos variables estadísticas, cuado los datos de ambas tiee la misma fiabilidad o tiee mucho setido tomar ua de las variables como variable idepediete. El propósito de esta Uidad es, e primer lugar, ecotrar la recta de regresió etre dos variables estadísticas cotiuació, mediate el empleo de coeficiete de correlació, averiguar si el grado de relació etre las variables es lo suficietemete grade como para que la recta de regresió tega algua utilidad. Los objetivos que os propoemos alcazar co el estudio de esta Uidad so los siguietes: 1. Idetificar las variables estadísticas dobles como el estudio de dos características e cada idividuo de ua població.. Represetar las variables estadísticas dobles por ua ube de putos. 3. Calcular la fució lieal que mejor se aproime a los putos de ua ube. 4. Aalizar el grado de relació etre dos variables empleado el coeficiete de correlació. ÍNDICE DE CONTENIDOS 1. VARIABLES ESTADÍSTICAS DOBLES................................................... 61. DIAGRAMA DE DISPERSIÓN O NUBE DE PUNTOS........................................ 6 3. AJUSTE DE LA NUBE DE PUNTOS POR UNA RECTA. RECTA DE REGRESIÓN................. 65 4. CONCEPTO DE CORRELACIÓN........................................................ 7 4.1. Covariaza....................................................................... 7 4.. Coeficiete de correlació........................................................... 73 60
1. Variables estadísticas dobles E ua població estudiaremos dos variables estadísticas: ua variable que deomiamos X otra que deomiamos Y, de modo que cada idividuo de la població estará determiado por u par de datos ( i, j ), e el que i represeta los valores o marcas de clase de la variable X e j represeta los valores o marcas de clase de la variable Y. Al estudio cojuto de dos características o variables estadísticas uidimesioales X e Y sobre ua misma població se acostumbra a llamarlo variable estadística bidimesioal. Por ejemplo, e ua evaluació de 30 alumos se ha registrado el úmero de suspesos el úmero de horas diarias que dedica cada uo al estudio, obteiédose los siguietes resultados: (0, ) (, ) (5, 0) (, 1) (1, ) (1, 3) (0, 4) (4, 0) (, ) (, 1) (1, ) (0, 4) (1, 3) (4, ) (1, ) (, 1) (1, ) (0, ) (0, 3) (, 3) (, ) (, ) (1, ) (6, 0) (3, 1) (, ) (1, ) (3, 1) (4, 1) (1, ) Estamos ate dos variables. La variable X, la más fiable, cueta el úmero de suspesos sirve para eplicar la variable Y, las horas diarias de estudio. El par ( i, j ) registra el úmero de suspesos, i, el úmero de horas de estudio, i. Los datos de ua variable estadística bidimesioal se distribue e tablas de frecuecias de doble etrada, así: X Y 0 1 3 4 Totales 0 0 0 1 5 1 0 0 7 0 9 0 3 5 1 0 9 3 0 0 0 0 4 1 1 1 0 0 3 5 1 0 0 0 0 1 6 1 0 0 0 0 1 Totales 3 6 15 4 30 E la primera columa de la tabla hemos puesto los valores de la variable X e la primera fila los valores de la variable Y, e cada casilla figura la frecuecia absoluta f ij del par ( i, j ). La última fila la última columa preseta las llamadas distribucioes margiales. E la última fila figura las frecuecias de la variable Y e la última columa las frecuecias de la variable X. Las distribucioes de frecuecias bidimesioales se refleja e tablas de doble etrada, que e el caso geeral sería así: 61
UNIDAD 11 DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS DOBLES X Y 1... FRECUENCIAS m VARIABLE X 1 f 11 f 1... f 1m 3f 1i f 1 f... f m 3f i.................. f 1 f.. f m 3f i FRECUENCIAS VARIABLE Y 3f j1 3f j... 3f jm N Si embargo, cuado el úmero de datos u observacioes es pequeño, e vez de tablas de doble etrada, emplearemos tablas simples de dos filas, de modo que e cada columa figure los valores, ( i, j ), correspodietes a las dos variables. E lo sucesivo sólo emplearemos tablas de dos filas ( o de dos columas, si las tablas las poemos de pie). Por ejemplo, las calificacioes de 1 alumos e Matemáticas Legua so las siguietes: (, ), (4, 7), (4, 4), (6, ), (4, 5), (6, 5), (3, 6), (6, 4), (5, 8), (7, 1), (3, 7), (7, 6). Estos datos se dispoe e ua tabla simple de dos filas así: Matemáticas 4 4 6 4 6 3 6 5 7 3 7 Legua 7 4 5 5 6 4 8 1 7 6. Diagrama de dispersió o ube de putos Cuado las variables X e Y de ua distribució bidimesioal so cuatitativas podemos represetar los datos por putos sobre uos ejes de coordeadas. E el eje de abscisas llevamos los valores de la variable X, que hemos cosiderado como variable idepediete, sobre el eje de ordeadas llevamos los valores de la variable Y, que hemos cosiderado como depediete. Debe quedar claro que las dos variables o juega el mismo papel, la que hemos deomiado idepediete es la que permite eplicar el comportamieto de la otra, la deomiada variable Y. E el caso de las otas de Matemáticas Legua de 1 alumos, del apartado aterior, si llevamos las calificacioes de Matemáticas sobre el eje de abscisas las de Legua sobre el eje de ordeadas obteemos el siguiete gráfico: 6
10 5 5 10 La represetació gráfica de ua distribució bidimesioal se deomia diagrama de dispersió o ube de putos. Cada puto tiee por coordeadas los valores que e cada idividuo tiee las variables X e Y. La ube de putos os permite apreciar si eiste ua posible relació etre las variables. E el diagrama aterior o parece que eista igua relació etre las dos variables, pero esto o siempre es así. Veamos otros ejemplos. U pediatra ha aotado las edades, e meses, la altura e cm de 1 iños obteiedo los siguietes resultados: meses altura 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 76, 1 77 78, 1 78, 78, 8 78, 79, 5 81 81, 81, 8 8, 8 83, 5 La ube de putos de esta distribució sería: 84 83 8 81 80 79 78 77 76 75 16 19 5 8 31 Hemos dibujado ua recta etre los putos porque todo sugiere que la relació etre las variables edades alturas se aproima a ua relació lieal. 63
UNIDAD 11 DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS DOBLES La tabla siguiete idica la media de las temperaturas míimas e el mes de eero las latitudes de alguas ciudades de Estados Uidos Temperatura Latitud Los Ageles 8.3 34.3 Sa Fracisco 5.5 38.4 Washigto 1 39.7 Miami 14.4 6.3 Atlata.7 33.9 Chicago -7. 4.3 Nueva Orleas 7. 30.8 Nueva York.7 40.8 Bosto -5 4.7 La ube de putos correspodiete a esta distribució es la siguiete: 45 40 35 30 5-10 -5 0 5 10 15 Tambié hemos dibujado ua recta que sugiere la eistecia de ua relació lieal, auque o ta fuerte como e el caso aterior. La ube de putos permite apreciar si ha o o ua relació etre las dos variables. El problema que se os platea ahora es el siguiete: si la ube de putos sugiere ua relació lieal etre las variables, cómo podemos ecotrar la recta que mejor se ajusta a la ube de putos? Porque, evidetemete, podemos trazar varias rectas que pase a través de los putos del diagrama de dispersió. La respuesta a esta preguta la veremos e apartado siguiete. 64
Actividades 1. Los pesos las alturas de los jugadores de u equipo de fútbol está dados por la siguiete tabla: X (peso kg) 80 80 77 68 85 80 74 79 76 73 78 Y (altura cm) 187 185 184 173 189 183 177 189 180 176 18 Dibuja el diagrama de dispersió.. El tiempo que tarda la sagre humaa e coagular, segú la temperatura, es la que figura e la tabla siguiete: Temperatura e ºC 5 10 15 0 5 35 40 45 Tiempo segudos 45 38 3 8 4 19 1 Dibuja el diagrama de dispersió. 3. Ajuste de la ube de putos por ua recta. Recta de regresió Pretedemos ecotrar ua recta = a + b que esté lo más próima posible a los putos de la ube. Podíamos hallar la pediete, a, la ordeada e el orige, b, de modo que la suma de las distacias de los putos a la recta sea míima, pero eso os obligaría a emplear la fució valor absoluto es u poco icómodo. Determiaremos a b impoiedo como codició que la suma de los cuadrados de las distacias de los putos a la recta sea míima: di = i ( ai + b) i = 1 i = 1 [ ] ( i, i ) d i a i + b 65
UNIDAD 11 DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS DOBLES Para hallar el míimo de esta fució ha que derivar e igualar la derivada a cero. Lametablemete esta fució tiee dos variables: a b, eso obliga a u método de derivació llamado derivació parcial, que o está etre los objetivos de este libro. E cualquier caso, se trata de derivar primero como si la icógita fuese a e igualar a cero, a cotiuació hacer lo mismo supoiedo que la icógita fuese b, co lo que se obtiee u sistema de dos ecuacioes co dos icógitas: i a i b = 0 o, dejado las icógitas solas e el primer miembro, a b Las solucioes del sistema viee dadas por: i a b = 0 + = + = a b i a = i ( i) b = a i i Es difícil memorizar estas fórmulas, pero si hacemos uas secillas operacioes se covierte e otras más familiares. Dividimos el umerador el deomiador de la fórmula de a por queda: Aquí vemos que el deomiador es igual a la variaza de la variable X. Por su parte la fórmula de b idica que: i a i b = = a = a o que a + b =, por tato, la recta de regresió pasa por el puto (, ), llamado cetro de gravedad de la ube de putos. tiee como pediete a = i ( i) Sabiedo que la recta que buscamos pasa por el puto a = s = i i, etoces su ecuació es: = = i = (, ) ( ) s s 66
A la recta que mejor se ajusta a la ube de putos la llamamos recta de regresió. Veremos ahora, e los ejemplos, que los igredietes de la recta de regresió so mu fáciles de hallar co ua calculadora cietífica secilla. Ejemplos 1. Hallar la ecuació de la recta de regresió correspodiete a la tabla de las edades alturas de 1 iños registrados por u pediatra meses 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 altura 76, 1 77 78, 1 78, 78, 8 78, 79, 5 81 81, 81, 8 8, 8 83, 5 Solució. Teemos que ecotrar los elemetos de la ecuació: = ( ) s 1º. Co las teclas MODE poemos la calculadora e modo estadístico, e la patalla aparece SD, a está activas las teclas escritas e azul. Borramos los datos de la memoria co las teclas SHIFT SAC e itroducimos los datos de la variable X: 18 DATA 19 DATA 0 DATA... 9 DATA Ua vez itroducidos los datos, co las teclas SHIFT las teclas SHIFT obteemos = 3,5 s = 3,45, que elevado al cuadrado resulta, s = 11,91. º. Depués de borrar la memoria, itroducimos los valores de Y σ 76.1 DATA 77 DATA 78.1 DATA... 83.5 DATA co las teclas SHIFT ecotramos = 79,683 3º. Por último, después de borrar la memoria, itroducimos 18 76.1 DATA 19 77 DATA 0 78.1 DATA... 9 83.5 DATA co las teclas SHIFT 3 obteemos que 3 i i = 561,9 4º. Escribimos la recta de regresió 561, 9 3, 5 79, 683 79,683 = 1 ( 3,5) 11, 916 67
UNIDAD 11 DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS DOBLES Haciedo operacioes 79,683 = 0,638 ( 3,5) = 0,638 + 64,679 Ha calculadoras cietíficas, más completas, que da directamete la pediete la ordeada e el orige de la recta de regresió.. Hallar la ecuació de la recta de regresió correspodiete a la distribució de las temperaturas míimas medias e el mes de eero las latitudes de varias ciudades de Estados Uidos Temperatura Latitud Los Ágeles 8.3 34.3 Sa Fracisco 5.5 38.4 Washigto 1 39.7 Miami 14.4 6.3 Atlata.7 33.9 Chicago -7. 4.3 Nueva Orleas 7. 30.8 Nueva York.7 40.8 Bosto -5 4.7 Solució. Teemos que ecotrar los elemetos de la ecuació: = ( ) s 1º. Itroducimos los datos de la variable X: 8.3 DATA 5.5 DATA 1 DATA... - 5 DATA Co las teclas SHIFT las teclas SHIFT obteemos = 3,88 s = 6,66, que elevado al cuadrado resulta, s =39,67. º. Depués de borrar la memoria, itroducimos los valores de Y σ 34.3 DATA 38.4 DATA 39.7 DATA... 4.7 DATA co las teclas SHIFT ecotramos = 36,577 68
3º. Por último, después de borrar la memoria, itroducimos 8.3 34.3 DATA 5.5 38.4 DATA 1 39.7 DATA... 5 4.7 DATA co las teclas SHIFT 3 obteemos que 3 i i = 819,7 4º. Escribimos la recta de regresió 819, 7 3, 88 36, 577 36,577 = 9 ( 3,88) 39, 67 Haciedo operacioes, resulta la recta de regresió = -- 0,743 + 39,01 Gráficamete sería la recta de la figura: 30 0 = -0,743 + 39,01 10-10 10 0 La pricipal utilidad de la recta de regresió es hacer prediccioes. Si quisiéramos saber cuál es la latitud de ua ciudad de Estados Uidos cua media de las temperaturas míimas e el mes de eero es 4, 5º C, sustituimos por 4,5 obteemos ua estimació de la latitud: = -- 0,743 4,5 + 39,01 = 35,677 La ciudad tedría 35,677 grados de latitud orte. Queda u problema por resolver: qué fiabilidad proporcioa la recta de regresió para hacer estimacioes? Eso lo sabremos coociedo el coeficiete de correlació lieal de las dos variables que estudiamos e el próimo apartado. 69
UNIDAD 11 DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS DOBLES Actividades 3. El tiempo que tarda la sagre humaa e coagular, segú la temperatura, figura e la tabla siguiete: Temperatura e ºC 5 10 15 0 5 35 40 45 Tiempo segudos 45 38 3 8 4 19 1 Halla la recta de regresió estima el tiempo que tardará la sagre e coagular a 30º C. 4. Se ha medido las estaturas, e cm, de 1 madres las de sus hijas, a partir de cierta edad se ha recogido los siguietes datos: X estatura madres 166 168 165 156 170 167 154 169 167 158 17 175 Y estatura hijas 168 170 168 160 171 165 157 17 165 159 17 174 Hallar la recta de regresió. 5. Se ha aotado la potecia e caballos de vapor, la velocidad máima que alcaza el peso e kilos de ueve modelos de automóvil: Cv Km/h Kg Hoda Civic 9 180 100 Ford Scort 90 175 1133 Toota Cel. 10 175 1360 Chevrolet B. 95 170 1360 Saab 9000 130 185 1587 Volvo 740 145 193 1587 Chrsler N.Y. 150 188 1814 Mercedes 500 3 65 041 BMW 750IL 95 5 041 a) Hallar la recta de regresió CV Velocidad máima, tomado como variable idepediete CV. Qué velocidad máima alcazaría u automóvil de 110 CV? b) Hallar la recta de regresió CV Peso, tomado como variable idepediete CV. Qué peso estimado tedría u automóvil de 00 CV? 70
6. Se ha registrado las marcas olímpicas de tres especialidades de atletismo desde 1948 hasta 199. salto de logitud salto de altura lazamieto de disco 1948 7.8 1.98 5.78 195 7.56.04 55.03 1956 7.8.11 56.34 1960 8.1.15 59.18 1964 8.05.17 61 1968 8.89.4 64.78 197 8.. 64.78 1976 8.34.4 67.49 1980 8.54.35 66.64 1984 8.54.34 66.6 1988 8.71.37 68.81 199 8.69.33 65.11 a) Halla la recta de regresió año olímpico salto de altura. Estima las marcas olímpicas de salto de altura de las olimpiadas de Seúl (1996) Sde (000). b) Halla la recta de regresió año olímpico salto de logitud. Estima las marcas olímpicas de salto de logitud de las olimpiadas de Seúl (1996) Sde (000). c) Halla la recta de regresió año olímpico lazamieto de disco. Estima las marcas olímpicas de lazamieto de disco de las olimpiadas de Seúl (1996) Sde (000). 7. Estima la latitud orte de ua ciudad del cotiete americao que tuviese ua temperatura míima media e el mes de eero de 0º C. Y la latitud de ua ciudad que tiee de míima media e el mismo mes 10º C? Comprueba e u atlas si esa ciudad perteece a Estados Uidos. Recuerda la tabla: Temperatura Latitud Los Ágeles 8.3 34.3 Sa Fracisco 5.5 38.4 Washigto 1 39.7 Miami 14.4 6.3 Atlata.7 33.9 Chicago -7. 4.3 Nueva Orleás 7. 30.8 Nueva York.7 40.8 71
UNIDAD 11 DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS DOBLES 8. U fabricate de automóviles eperimeta u tipo de freos registra a varias velocidades, e km/h, la distacia, e metros, que recorre el coche desde que se pisa el freo hasta que se detiee completamete. Los datos figura e la tabla siguiete: X km/h 5 45 60 80 95 10 130 135 Y m 6 14 8 45 65 85 94 108 Hallar la recta de regresió estimar el recorrido ates de deteerse a ua velocidad de 100 km/h. 4. Cocepto de correlació El grado de depedecia lieal etre dos variables se mide co el coeficiete de correlació lieal, cuado la depedecia lieal es débil la recta de regresió carece de iterés. 4.1. Covariaza E primer lugar queremos averiguar si la relació etre dos variables es directa, es decir, cuado al aumetar la variable idepediete aumeta tambié la variable depediete, o si es iversa, qué ocurre cuado al aumetar la variable X dismiue la variable Y. La covariaza es u parámetro que mide este tipo de relació está defiida como la media aritmética de los productos de la desviacioes de cada uo de los valores de las variables respecto a sus medias, se simboliza por s viee dada por: s = ( i ) i ( ) La covariaza tiee ua formulació más coocida si realizamos las operacioes idicadas s = ( ) + = ( ) ( ) = + = = + =. La covariaza resulta ser el umerador de la pediete de la recta de regresió. 7
4.. Coeficiete de correlació La medida precisa de la relació de dos variables estadísticas lo proporcioa el coeficiete de correlació lieal, represetado por la letra r, que está defiido por la epresió siguiete: s r = s s Es decir, es el cociete etre la covariaza el producto de las desviacioes típicas de X e Y. Como la desviació típica de ua variable estadística es siempre positiva, el sigo del coeficiete de correlació depede del sigo de la covariaza, podemos afirmar: Covariaza positiva idica correlació directa. Covariaza egativa idica correlació iversa. Covariaza ula idica que o ha correlació etre la variables. Se puede demostrar que el coeficiete de correlació es u úmero compredido etre 1 1,, e cosecuecia, se puede dar las siguietes situacioes: Que r = 1, etoces la relació etre las variables es fucioal directa la ube de putos está sobre ua recta de pediete positiva. Que 0 < r < 1, etoces ha ua correlació directa etre las variables. Correlació fuerte cuado cuado r está próimo a 1 débil cuado r se aproima a 0. Que r = 0, etoces o eiste igú tipo de realció o depedecia etre las variables. Que 1 < r < 0, etoces ha correlació iversa etre las variables. Correlació fuerte cuado cuado r está próimo a -1 débil cuado r está proimo a 0. Que r = -1, etoces la relació etre las variables es fucioal iversa la ube de putos está sobre ua recta de pediete egativa. E las figuras hemos ilustrado alguas de esta situacioes: 0 < r < 1-1 < r < 0 r próimo a 0 73
UNIDAD 11 DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS DOBLES Resumiedo: la recta de regresió permite hacer previsioes o estimacioes, pero o debemos olvidar que estas estimacioes sólo so fiables cuado r toma valores próimos a 1 o a 1. Ejemplos 1. Hallar el coeficiete de correlació lieal correspodiete a la tabla de las edades alturas de 1 iños registrados por u pediatra meses altura 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 76, 1 77 78, 1 78, 78, 8 78, 79, 5 81 81, 81, 8 8, 8 83, 5 Solució. El coeficiete de correlació lieal viee dado por la fórmula: r s = s s dode s = s s so las desviacioes típicas de X e Y. Ya sabemos, lo hemos calculado e el ejemplo 1, que s = 56119, = 3, 5 79, 68 = 7,6191 1 Tambié coocemos que = 3,5 s = 3,45. Itroducimos de uevo los valores de Y 76.1 DATA 77 DATA 78.1 DATA... 83.5 DATA co las teclas SHIFT las teclas SHIFT ecotramos = 79,68 s =,4. Luego s r = s s 761, = = 0,98. 345, 4, Lo que idica u alto grado de correlació las previsioes que se haga co la recta de regresió so altamete fiables. σ. Hallar el coeficiete de correlació lieal de las calificacioes de 1 alumos e Matemáticas Legua: Matemáticas 4 4 6 4 6 3 6 5 7 3 7 Legua 7 4 5 5 6 4 8 1 7 6 Solució. 1º Después de borrar la memoria, itroducimos los datos de la variable Matemáticas, que llamaremos X, 74
DATA 4 DATA 4 DATA... 7 DATA Co las teclas SHIFT las teclas SHIFT obteemos = 4,75 s = 1,68. º Borramos la memoria e itroducimos los datos de Legua, variable Y σ DATA 7 DATA 4 DATA... 6 DATA Co las teclas SHIFT las teclas SHIFT ecotramos = 4,75 s =,1. 3º Por último, itroducimos σ DATA 4 7 DATA 4 4 DATA... 7 6 DATA co las teclas SHIFT 3 obteemos que 3 i i = 6 6 Ahora, s = 475, 475, = = --0,791 1 etoces, r s = s s 0, 791 = 168, 1, = -- 0,0 Lo que idica ua correlació egativa pero mu débil. Actividades 9. Halla el coeficiete de correlació lieal de la altura, e cetímetros, de 1 madres las de sus hijas, a partir de cierta edad, segú los datos de la tabla. X(estatura madres)166 168 165 156 170 167 154 169 167 158 17 175 Y(estatura hijas) 168 170 168 160 171 165 157 17 165 159 17 174 10. Calcula el coeficiete de correlació lieal de las variables velocidad máima - peso e kg, e los automóviles de la tabla: cv km/h kg Hoda Civic 9 180 100 Ford Scort 90 175 1133 Toota Cel. 10 175 1360 Chevrolet B. 95 170 1360 Saab 9000 130 185 1587 75
UNIDAD 11 DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS DOBLES Volvo 740 145 193 1587 Chrsler N.Y. 150 188 1814 Mercedes 500 3 65 041 BMW 750IL 95 5 041 11. Calcula el coeficiete de correlació lieal de los pesos las alturas de los jugadores de u equipo de fútbol que figura e la tabla: X( peso kg) 80 80 77 68 85 80 74 79 76 73 78 Y(altura cm) 187 185 184 173 189 183 177 189 180 176 18 1. E el cuadro siguiete aparece las marcas e alguas especialidades de 10 atletas de decathlo. 100 m salto logitud salto altura 400 m Disco A 10.43 8.08.07 48.51 48.56 B 10.44 8.01.03 46.97 46.56 C 10.7 7.76.07 48.05 49.36 D 11.06 7.79.03 48.43 46.58 E 10.89 7.49.03 47.38 46.9 F 10.5 7.6.11 47.63 49.7 G 10.96 7.57 1.97 48.7 48 H 10.96 7.43.04 48.19 49.88 I 10.87 7.4.1 49.75 51. K 10.69 7.88.1 47.96 43.96 Calcula el coeficiete de correlació lieal etre las variables 100 m 400 m, salto de logitud salto de altura salto de altura lazamieto de disco. 76