Fronteras de Efcenca Estocástcas Págna 0 Semnaro de Integracón y Apllcacón: Lcencatura en Economíía Facultad de Cencas Económcas Unversdad de Buenos Ares Fronteras de Efcenca Estocástcas: Comparacón Internaconal de Dstrbudoras Eléctrcas 1ºº Cuattrmesttre Juno 001 Alumno IIvan Allexs Canay Reg..:: 450--570 Tutor Drra.. Juana Brruffman
Fronteras de Efcenca Estocástcas Págna 1 Ivan A. CANAY Facultad de Cencas Económcas - UBA Dra. Juana BRUFMAN Facultad de Cencas Económcas - UBA Fronteras de Efcenca Estocástcas: Comparacón Internaconal de Dstrbudoras Eléctrcas Ivan A. Canay Resumen En este trabajo se dscute la aplcacón de las fronteras de efcenca y se descrbe el método econométrco para estmar las msmas. Dentro de los aspectos tratados, se detallan los dos métodos de estmacón econométrca posbles: Mínmos Cuadrados Cláscos Modfcados (MOLS) y Máxma Verosmltud (ML); ntentado dentfcar las ventajas relatvas de cada método. A su vez, se muestra como la heteroscedastcdad sobre cada una de las componentes aleatoras puede afectar de forma dstnta a la medda de efcenca y a cada método de estmacón. Todas estas herramentas son fnalmente utlzadas para realzar una comparacón nternaconal de empresas dstrbudoras de energía eléctrca. I. Introduccón Las estmacones de fronteras de produccón son una extensón de las típcas estmacones de funcones de produccón mcroeconómcas, basadas en la premsa de que esta funcón de produccón representa algún tpo de deal, la máxma cantdad de producto asequble dados los nsumos. De esta forma, en la práctca las fronteras de produccón no son más que una regresón que se ajusta a los datos reconocendo la restrccón de que todas las observacones deben encontrarse debajo de la frontera y al menos una debe estar sobre ella. Las fronteras de produccón son comúnmente utlzadas como medo para otro fn: los análss de efcenca relatva 1. El prmer autor que sugró la utlzacón de las fronteras de produccón para el análss de efcenca fue Farell (1957). De acuerdo a este autor, la forma correcta de medr la efcenca era medante la comparacón de cada observacón (comúnmente empresas) con la mejor práctca observada. Paralelamente a la evolucón de los estudos de efcenca, los regímenes regulatoros de monopolos naturales comenzaron a abandonar los mecansmos del estlo Rate of Return, para drecconarse haca mecansmos que promuevan la efcenca. De esta forma, desde medados 1 Es por este motvo que las fronteras de produccón comúnmente se denomnan fronteras de efcenca.
Fronteras de Efcenca Estocástcas Págna de los noventa, y con la crecente comprensón de los potencales benefcos dervados del uso de la competenca por comparacón (Schlefer, 1985), los nvestgadores especalzados en regulacón han ncrementado su nterés en los estudos de efcenca relatva. Estos estudos funconan como nsumos báscos en una regulacón del tpo Prce Cap y RPI-X, en la determnacón del factor de nefcenca X. Estos hechos son los que motvan la dea del presente trabajo, aplcando los estudos de frontera a un sector regulado. Así, el trabajo contnuará con la sguente estructura. En la seccón II se dscutrán el concepto de efcenca y los dstntos enfoques que exsten para estmar fronteras. En la seccón III se descrbrán los métodos econométrcos estocástcos, mostrando las ventajas y desventajas relatvas de cada método de estmacón. En la seccón IV se dscutrá el concepto de la heteroscedastcdad en ambas componentes de la perturbacón aleatora compuesta, así como su mpacto sobre las meddas de efcenca. La heteroscedastcdad en las fronteras estocástcas es una tema muy poco tratado en la lteratura y donde exsten muy pocos trabajos empírcos. En la seccón V se utlzará las meddas de efcenca para realzar una comparacón de empresas dstrbudoras de energía eléctrca de Sudamérca. Fnalmente, en la seccón VI se presentarán las conclusones. II. Concepto de Efcenca Prevamente a ntroducr las fronteras estocástcas, es convenente dstngur entre los dstntos tpos de efcenca que se desprenden de dchas fronteras. El sguente dagrama resume dcha dstncón sguendo las defncones propuestas por Farrel (1957): Efcenca Técnca (ET) Es la capacdad de utlzar los nsumos efcentemente. Esto es, dado el mx de nsumos, la frma debe producr la máxma cantdad de producto posble. Efcenca Productva (EP) Es la capacdad de producr a un costo mínmo. Para alcanzar este objetvo, la frma debe ser al msmo tempo técncamente efcente y productvamente efcente. De esta forma se da la sguente relacón: EP = ET * EA Efcenca en la Asgnacón(EA) Es la capacdad de escoger la combnacón de factores con la cual la tasa margnal de susttucón técnca se guala al preco relatvo de los nsumos. La medda de efcenca productva es un número que adopta valores entre cero y uno, donde una medda de uno denota que la frma es 100% efcente. Esta medda surge de la dstanca exstente entre la frontera y cada observacón (aquellas empresas que se encuentren más alejadas de la frontera serán más nefcentes). Vale la pena notar que todas estas defncones
Fronteras de Efcenca Estocástcas Págna 3 de efcenca asumen que la frontera tecnológca es conocda. Dado que esta frontera nunca es conocda en la práctca, la msma debe ser estmada a partr de los datos. Los estudos de fronteras tecnológcas pueden ser clasfcados de acuerdo a la forma en que la frontera es especfcada y estmada. La especfcacón se refere a s la frontera es calculada a partr de una funcón de produccón (que muestra las cantdades producdas como funcón de los nsumos utlzados) o de una funcón de costos (que muestra el costo total de produccón como funcón del nvel de producto y el preco de los nsumos). Una ventaja de las funcones de costos por sobre las funcones de produccón provene de la flexbldad de las prmeras para adaptarse a stuacones donde la frma produce más de un producto. Asmsmo, la estmacón de fronteras de produccón brnda nformacón sobre nefcenca técnca mentras que la estmacón de fronteras de costos brnda nformacón sobre efcenca productva. Por otro lado, la estmacón se refere a s la frontera es estmada con herramentas econométrcas o matemátcas. Estos dos enfoques dferen en muchas formas, pero las dferencas prncpales provenen báscamente de dos característcas:!"el enfoque econométrco es estocástco 3, y por esto pretende dstngur el efecto de rudo estadístco de la nefcenca. La programacón matemátca es no estocástca, con lo cual llama nefcenca a toda la dstanca que encuentre entre la observacón y la frontera.!"el enfoque econométrco es paramétrco, y por ende confunde el efecto de errores en la especfcacón de la forma funconal con nefcenca. La programacón matemátca es no paramétrca y por esto menos propensa a errores de especfcacón. S el enfoque elegdo es determnístco, todas las empresas comparten la msma frontera de costos y de produccón, y las dscrepancas entre el comportamento de las frmas ndvduales y la frontera son atrbudas a nefcencas, gnorándose la posbldad de que la performance de una empresa pueda ser afectada no sólo por nefcencas en el manejo de los recursos, sno además por factores que se encuentran totalmente fuera de su control (por ejemplo, condcones clmátcas adversas). Las estmacones de fronteras determnístcas utlzan un térmno de error de una sola cola (one-sded error), lo cual mplca que es posble defnr de manera exacta la máxma cantdad de producto dados los nsumos. Así, el nvel de producto actual es smplemente el producto máxmo más un térmno de nefcenca (que debe ser menor o gual que cero, por Dentro de los métodos matemátcos, el más popular fue ntroducdo por Charnes, Cooper and Rodees (1978) y se conoce como Data Envelopment Análss (DEA). Para un análss detallado de este método matemátco puede consultarse el lbro de Charnes, Cooper, Lewn and Seford (000). 3 Vale aclarar que el enfoque econométrco permte realzar tanto estmacones determnístcas como estocástcas. No obstante, desde el surgmento de las fronteras estocástcas, las determnístcas se dejaron de utlzar.
Fronteras de Efcenca Estocástcas Págna 4 defncón). 4 Este hecho trae aparejado la desventaja de una alta sensbldad a la presenca de outlers. Una únca observacón errante (quzás debdo smplemente a errores de medcón) puede tener profundos efectos en las estmacones. Más aun, este problema de la observacón errante no puede ser soluconado amplando el tamaño de la muestra. III. El enfoque econométrco y las fronteras estocástcas. A partr de los trabajos de Agner, Lovell y Schmdt (1977) y Meeusen y van de Broeck (1977), surgen las denomnadas fronteras estocástcas, motvadas en la dea de que las desvacones con respecto a la frontera pueden no estar enteramente bajo el control de la frma analzada. Este enfoque utlza una mezcla de térmnos de error de una y dos colas. Esto es, dado el mx de nsumos, exste un máxmo producto posble, pero este nvel máxmo es aleatoro y no exacto. La dea es que los eventos externos que afectan la funcón de produccón se dstrbuyen normalmente (pudendo la empresa enfrentarse a condcones externas favorables o desfavorables, con una determnada probabldad), en lugar de ser constantes. Una vez consderada la posbldad de rudo estadístco, lo que resta es consderado nefcenca. La especfcacón teórca de la frontera de produccón es la sguente: Y = f( L; K; Z) Donde Y es el producto, Z es un vector l-dmensonal de varables ambentales (en la seccón V se explcará la funcón de estas varables), L representa al nsumo mano de obra y K al nsumo captal. La forma de la funcón de produccón más utlzada es la Cobb-Douglas 5 (Burns y Weyman-Jones, 1996) donde el térmno de error (ε) entra en el modelo multplcatvamente. Así, podemos defnr la frontera como: (3.1) Y = f( x1, x,..., xk; β )exp( v + u) lny = α + Xβ + v! + u ε donde X es una matrz que contene al logartmo de los nsumos y a las varables ambentales, ε = v + u es la perturbacón aleatora compuesta, v es una varable aleatora no restrngda y u es el térmno de nefcenca que, por ser ésta una frontera de produccón, es no postvo. 6 El nvel de efcenca técnca (TE) de una frma va a venr dado por el cocente entre la 4 En el caso de una funcón de costos, el termno de nefcenca debe ser mayor o gual a cero. 5 Otra forma funconal muy utlzada en la lteratura es la translog. Esta forma funconal posee la ventaja de ser mucho más flexble que la Cobb Douglas, aunque ntroduce una gran pérdda en térmnos de grados de lbertad. 6 En el caso de una frontera de costos, u es no negatvo.
Fronteras de Efcenca Estocástcas Págna 5 produccón observada y la frontera estocástca estmada. De esta forma: (3.) TE Y = = exp( u ) [ f( x, x,..., x ; β )exp( v )] 1 k La componente u es nobservable y debe ser nferda a partr del térmno compuesto. Para poder descomponer este térmno y establecer que parte corresponde a rudo y que parte corresponde a nefcenca, va a ser necesaro suponer alguna dstrbucón para ambas componentes. El caso menos problemátco es el de v, ya que exste un consenso generalzado de que esta varable se asume ndependente e déntcamente dstrbuda como una normal N(0, σ v ). Contraramente, son varas las dstrbucones que han sdo propuestas para el térmno de nefcenca: Half-Normal (Agner, Lovell y Schmdt, 1977), Normal Truncada (Stevenson, 1980), Gamma (Greene, 1990) y Exponencal (Meeusen y van den Broeck, 1977). Para el caso de la Half-Normal (H-N) 7, y tenendo en cuenta que v y u se suponen ndependentes, la funcón de densdad de ε se encuentra asmétrcamente dstrbuda con meda y varanza: (3.3) E( ε ) = E( u ) = π 1/ σ u π V ( ε ) = σ + σ π u v No es dfícl observar que la asmetría (Skewness) del térmno compuesto debe ser negatva (ver fgura III.1). S la asmetría del térmno compuesto estmado es postva, puede nterpretarse que los datos son nconsstentes con el modelo selecconado (Waldman, 198). Este dagnóstco es ndependente del supuesto que se haga sobre la dstrbucón de la componente de nefcenca. Fgura III. 1 Error compuesto para dstntos valores de σ Observemos que la ecuacón (3.1) no puede ser estmada por OLS debdo a que la esperanza del error compuesto no es cero. No obstante, exsten varantes de este método de estmacón y σ 7 La funcón de densdad de la H-N vene dada por: esta dstrbucón. u f( u) = exp. En el resto del trabajo se asumrá πσ σ u u
Fronteras de Efcenca Estocástcas Págna 6 que nos permten estmar dcha frontera, así como tambén puede estmarse por máxma verosmltud. MOLS (Modfed Ordnary Least Squares) Las fronteras estocástcas se estman en dos partes. En la prmer parte se obtenen estmacones consstentes de los parámetros tecnológcos y del parámetro de la funcón de dstrbucón elegda. Aquí puede optarse por emplear ML (Maxmum Lkelhood) y realzar todas las estmacones de una vez, o utlzar MOLS (Modfed Ordnary Least Squares) y realzar los dos pasos que son necesaros para obtener una estmacón consstente de la constante del modelo. Una vez hecho esto, debe descomponerse el error compuesto para tener una estmacón de la nefcenca de cada empresa. Como acabamos de menconar, el procedmento llamado MOLS, según la termnología de Lovell (1993), requere de dos pasos. El prmer paso no depende del supuesto que se realce sobre la dstrbucón de la nefcenca y consste báscamente en una estmacón OLS de la funcón de produccón. De esta forma se obtenen estmacones consstentes e nsesgadas de todos los parámetros, exceptuando la constante, la cual se encuentra sesgada. Para ver esto más claramente, rescrbamos la ecuacón (3.1) de la sguente forma: (3.4) ln Y = [ α + E( u) ] + Xβ + v + [ u E( u) ] "#$#% "##$##% α * * ε Observemos que aquí el térmno aleatoro ε * posee esperanza nula, con lo cual podemos aplcar OLS y obtener estmacones consstentes del vector β. El segundo paso del proceso de estmacón nvolucra estmar α, σ u y σ v. Aquí se torna necesaro establecer algún supuesto sobre la dstrbucón de u. S asummos que u sgue una dstrbucón H-N, entonces los momentos de orden dos y tres de ε = v + u son 1/ π 3 4 3 E( ε ) = σu + σv y E( ε ) = 1 σu π π π respectvamente. No es dfícl observar * que ε = v + [ u E( u) ] posee los msmos momentos de orden dos y tres que ε debdo a que Eu ( ) es una constante. De esta manera, es posble utlzar los momentos de los resduos OLS para obtener estmacones de σ u y σ v. Un vez hecho esto, smplemente resta obtener una estmacón de Eu ( ) para así poder desplazar la constante: (3.5) αˆ = αˆ Eu ( ) * ˆ Observemos que el sesgo en la constante OLS provene de la volacón del supuesto clásco de esperanza nula del térmno de error. No obstante, hay que tener presente que la estmacón
Fronteras de Efcenca Estocástcas Págna 7 OLS de la verdadera constante de una funcón Cobb-Douglas está sempre sesgada (Kennedy, 199) nclusve en el caso de estmacón de funcones promedos. Esto se debe a que la esperanza del error multplcatvo de la funcón Cobb-Douglas es uno 8 y no cero. ML (Maxmum Lkelhood) El método de estmacón ML requere de la maxmzacón numérca de la funcón de verosmltud y por este es más demandante de herramentas computaconales que MOLS. Sn embargo, en los últmos años han aparecdo varas paquetes estadístcos que permten estmar fronteras con ML de formas bastante senclla. Al estmar la frontera por ML, es necesaro realzar los supuestos sobre ambas componentes aleatoras desde un prmer momento. Una vez hecho esto, para poder armar la funcón de verosmltud necestamos la funcón de densdad de ε = v + u. No es dfícl mostrar que esta funcón de densdad surge de la sguente ntegral: (3.6) u ( ε u) f( ε) = f( u, ε) du =.exp du 0 0 πσ uσ v σ u σ v ε ελ f ( ε) = φ Φ σ σ σ donde σ = σu + σv, λ = σu / σv, φ() y Φ () son las funcones de densdad probablístca y acumulada de la normal estándar. Utlzando la ecuacón (3.6), la funcón: (3.7) I ελ 1 ln L= ln( π / ) Ilnσ + ln Φ ε σ σ La funcón (3.7) puede maxmzarse para obtener estmacones de todos los parámetros de la ecuacón (3.1) así como tambén de λ y σ. Estas estmacones son consstentes a medda que I +. No obstante, Battese y Corra (1977) sugeren la reparametrzacón de la funcón de verosmltud en funcón del parámetro γ = σu / σ debdo a que este parámetro toma valores entre cero y uno 9, mentras que λ puede tomar cualquer valor no negatvo. La parametrzacón en γ tene ventajas en el proceso de teracón para maxmzar la funcón, debdo a que el espaco de valores posbles está acotado. De esta forma, la funcón loglkelhood es la msma funcón (3.7) pero reemplazando λ por γ 1 γ. 8 Esto se debe a que el error multplcatvo sgue una dstrbucón log-normal. Al tomar logartmos, el error resultante sgue una dstrbucón normal con esperanza cero. 9 Un valor de γ de cero ndca que las desvacones de la frontera se deben a totalmente a la presenca de rudo estadístco, mentras que un valor de γ de uno ndca que todas las desvacones se deben a nefcenca (al gual que en el caso determnístco).
Fronteras de Efcenca Estocástcas Págna 8 La medda de Efcenca Una vez realzado la prmer parte de la estmacón, ya sea por MOLS o por ML, el sguente paso consste en obtener la medda de efcenca para cada empresa. El problema aquí es extraer la nformacón que ε posee de u. Una solucón a este problema surge de la esperanza condconal de u dado ε. Jondrow et al.(198) muestran que dado que f( u ε ) se + dstrbuye como N ( µ *, σ* ), tanto la esperanza como la moda de esta dstrbucón pueden utlzarse como un estmador puntual de u : (3.8) * * φµσ ( / *) E u ε = µ + σ* * donde Φ( µ / σ* ) * µεγ = ; σ* = σvγ σ u σ = σv + σu ; γ = σ. (3.9) * * µεγ = s µ >0 Mu ( / ε) = * 0 s µ 0 Una vez obtenda la estmacón puntual de u, la estmacón de la efcenca técnca (TE) de cada frma se obtene a partr de la ecuacón (3.). Observemos que es posble testear la hpótess nula de que no hay nefcenca en el modelo través del parámetro γ, utlzando H0 : γ = 0. Esta hpótess puede testearse a través de un test de razón de verosmltud (LR). S H 0 es certa, el estadístco LR está asntótcamente dstrbudo como una J- Cuadrado con grados de lbertad gual al número de restrccones (en este caso una). No obstante, exsten dfcultades al testear H0 : γ = 0 debdo a que γ = 0 se encuentra en el límte del espaco de valores que puede tomar el parámetro. Es por esto que en este caso, s H 0 es certa, el estadístco LR posee una dstrbucón asntótca que es una mezcla de dstrbucones J-Cuadrado: 1 χ 1 0 + χ1 (Coell, 1995). La forma de calcular el valor crítco para un test de tamaño α, es gual al valor de tabla χ1 ( α ). Así, el valor crítco para realzar un test de al 5% de sgnfcacón es.71 en vez de 3.84. MOLS vs ML Qué método de estmacón es convenente para estmar la frontera? MOLS? ML? En térmnos empírcos no cabe duda que el método más utlzado es el de ML. No obstante, no exste consenso alguno que determne que ML brnda en todos los casos mejores estmacones que MOLS. 10 10 De hecho Olson, J., Schmdt, P. y Waldman, D. (1980) realzaron un estudo de Monte Carlo concluyendo que el estmador MOLS es más efcente en muestras chcas (menos de 00 datos) y ML es más efcente en muestras grandes. Por otro lado, Coell (1995) realzó un estudo de montecarlo encontrando que el estmador ML es sempre mejor que el estmador MOLS cuando la proporcón de la varanza de la nefcenca sobre el total de la
Fronteras de Efcenca Estocástcas Págna 9 Para entender las dferencas entre ambos tpos de estmadores hay que notar certos aspectos partculares de cada uno. Por ejemplo, es mportante notar que la frontera estmada medante MOLS no es más que la recta promedo desplazada haca arrba. Todas las empresas ponderan de la msma manera, y de esta forma se mpone que la tecnología de la frontera sea la msma que la tecnología promedo. Por el contraro, el estmador ML utlza la nformacón a pror sobre la forma funconal de la nefcenca, y de esta manera da una mayor ponderacón en la determnacón de los parámetros tecnológcos a las empresas más efcentes. Esto se muestra más claramente en la fgura III.. Fgura III. Producto ML MOLS OLS Insumo Otro aspecto mportante que dferencan ambos estmadores está relaconado con el mpacto del supuesto sobre el térmno de nefcenca. El estmador MOLS ntroduce este supuesto en el segundo paso. De esta manera, la estmacón de los parámetros tecnológcos no se ve afectada por un error en el supuesto de dcha dstrbucón. Contraramente, dado que el estmador ML utlza esta nformacón desde un prmer momento, cualquer tpo de mala especfcacón sobre la dstrbucón de u afectará smultáneamente a la estmacón de los parámetros tecnológcos. El mpacto del supuesto sobre la dstrbucón de u no es menor debdo a que es uno de los temas más delcados y dscutdos en la lteratura. En la práctca ha sdo utlzada mayormente la dstrbucón H-N, aunque no exste un motvo teórco que justfque esta eleccón. Ya Schmdt (1986) manfestó su opnón sobre las fronteras estocástcas argumentando: n my opnon the only serous ntrnsc problem wth the stochastc fronters s that the separaton of nose and neffcency ultmately hnges on strong (and arbtrary) dstrbutonal assumptons Por otro lado, recentemente Ross y Canay (000) mostraron que s uno utlza MOLS, la dstrbucón exponencal sempre dentfca un mayor número de frmas efcentes que la H-N. De este modo, la eleccón de un supuesto llevaría mplícta alguna dea sobre la efcenca de las frmas. varanza es alta. Este motvo hace que este autor recomende sempre el uso del estmador ML.
Fronteras de Efcenca Estocástcas Págna 10 Datos en Paneles En general, los estudos de fronteras estocástcas con datos de corte transversal están expuestos a tres seras dfcultades (Schmdt y Sckles, 1984). En prmer lugar, la estmacón del térmno de nefcenca, aunque nsesgada, es nconsstente. En segundo lugar, tanto la estmacón de la frontera como la descomposcón de la dstanca en rudo e nefcenca requere de algún supuesto sobre el térmno de nefcenca.. Fnalmente, es necesaro suponer que la nefcenca es ndependente de los regresores, lo cual puede no ser un buen supuesto en determnados contextos: s una frma conoce su nvel de efcenca, es probable que modfque su eleccón de nsumos. Todos estos problemas son potencalmente soluconables con la utlzacón de datos en paneles. La prmer dfcultad puede soluconarse debdo a que la nefcenca técnca de cada productor puede ser estmada consstentemente a medda que el número de observacones de cada frma aumenta. 11 Por otro lado, varos métodos de estmacón vía datos en paneles no necestan realzar nngún supuesto arbtraro sobre la dstrbucón de la nefcenca dado que suponen que la msma es constante en el tempo. Fnalmente, no todas las técncas de estmacón requeren el supuesto de ndependenca entre la nefcenca técnca y las varables explcatvas. Báscamente, los modelos con datos en paneles pueden ser estmados medante la utlzacón de dos técncas: el modelo de efectos fjos (Least Squares Dummy Varable) y el modelo de efectos aleatoros (Generalzed Least Squares). Defnamos un modelo con I productores durante T períodos. El equvalente de la ecuacón (3.1) con datos en paneles y suponendo que la nefcenca es nvarante en el tempo es, para ambos tpos de estmadores: (3.10) lny t = α + Xβ + v t + u = α + Xβ + v t donde u 0 α = α + u (LSDV) ln Y = α + E( u ) + Xβ + v + u E( u ) = α + Xβ + v + u donde u 0 (GLS) (3.11) [ ] [ ] * * t t t Estos modelos son smlares a los modelos convenconales de datos en paneles con efectos ndvduales sobre cada productor pero sn efectos temporales. La únca dferenca es que aquí se requere que el efecto sobre cada productor sea no postvo. S utlzamos un modelo de efectos fjos (LSDV), es necesaro suponer que v t es..d (0, σ v ) y que no está correlaconado con los regresores, aunque no es necesaro realzar nnguno de estos dos supuestos para u. 1 Contraramente, s utlzamos un modelo de efectos aleatoros (GLS) es necesaro suponer que u es una varable aleatora con meda y varanza constante, y 11 Esta ventaja no resulta tan sgnfcatva en térmnos empírcos debdo a que, usualmente, los paneles suelen ser cortos. 1 Tambén se permte que u esté correlaconado con v. t
Fronteras de Efcenca Estocástcas Págna 11 que no está correlaconada n con los regresores n con v t. No obstante, no es necesaro realzar nngún supuesto sobre la dstrbucón de u. Una vez estmada la ecuacón (3.10) por LSDV o la ecuacón (3.11) por GLS, debemos realzar la sguente normalzacón para que se cumpla la restrccón u 0: (3.1) uˆ αˆ max{ αˆ} = (LSDV) * max * (3.13) uˆ uˆ { uˆ } = (GLS) Aquí podemos ver que ambos estmadores requeren que al menos una frma sea 100% efcente, mentras que la efcenca de las demás se calcula relatva a esta frma. Un aspecto clave en térmnos empírcos es el trade-off que exste entre nclur regresores nvarantes en el tempo y suponer que la nefcenca no está correlaconada con los regresores. El modelo de efectos fjos no requere el supuesto de ndependenca entre la nefcenca y los regresores, al costo de no permtr la nclusón de regresores constantes en el tempo. S estos atrbutos nvarantes de cada frma están presentes, serán capturados por el efecto fjo (ndependentemente de s estos atrbutos se ncluyen o no en el modelo) y de esta forma se estará confundendo la nefcenca con el efecto de estos atrbutos. En cambo, el modelo de efectos aleatoros permte la nclusón de regresores nvarantes en el tempo, pero al costo de suponer que la nefcenca es ndependente de los regresores. Tanto el estmador de efectos fjos como el de efectos aleatoros son determnístcos, en el sentdo que toda la dferenca entre los efectos de cada frma se consdera nefcenca. No obstante, s suponemos alguna dstrbucón para la nefcenca y asummos que exste ndependenca entre el térmno de nefcenca y los regresores, es posble estmar una frontera de produccón estocástca con datos en paneles medante máxma verosmltud. Esta opcón ha sdo muy utlzada en la práctca. Hasta aquí hemos supuesto que la nefcenca es constante en el tempo. Sn embargo, la utlzacón de datos en paneles posee como ventaja adconal poder estudar la evolucón de la efcenca en el tempo. El supuesto de que la nefcenca técnca es nvarante en el tempo se torna más dfícl de mantener a medda que T aumenta. Uno debería esperar que los managers aprendan de su experenca pasada y que así modfquen su nvel efcenca en el tempo. Un vez que se permte que la nefcenca varíe con el tempo, se torna necesaro establecer la estructura que ndca cómo es dcha evolucón. Una de las prmeras especfcacones fue propuesta por Cornwell, Schmdt y Sckles (1990), quenes estableceron que la nefcenca evolucona en el tempo a través de una funcón cuadrátca ( ut = κ1+ κt+ κ3t ). Vale la pena notar que la ecuacón ndca que cada frma posee su propa estructura temporal. Esto mplca que la especfcacón de Cornwell et al. es muy flexble, pero muy demandante en térmnos de datos ya que mplca estmar I*3 parámetros adconales.
Fronteras de Efcenca Estocástcas Págna 1 Lee y Schmdt (1993) propuseron una formulacón alternatva donde u t se especfca como ω () tu : (3.14) ln y = α + Xβ + v + u = α + Xβ + v + ω( t) u. t t t t t t A dferenca de la formulacón de Cornwell et al., en este modelo ω ( t) es gual para cada frma y así requere de la estmacón una menor cantdad de parámetros adconales. Este modelo es muy convenente cuando T no es muy grande y por este motvo varas especfcacones partculares han sdo propuestas par el msmo. Por ejemplo, Battese y Coell (199) defnen a ω () t como una funcón Exponencal con un solo parámetro a estmar: (3.15) t { [ η ]} u = exp ( t T) u = 1,..., I t = 1,..., T. En esta especfcacón, s η es postvo el modelo muestra que la nefcenca es decrecente en el tempo, mentras que s η es negatvo la nefcenca es crecente (Coell et al. 1998). 13 Una desventaja de esta especfcacón es que la poscón relatva de cada frma de acuerdo a su efcenca técnca es la msma en todos los períodos. De esta forma, este modelo no es adecuado para analzar stuacones en donde una frma que es ncalmente nefcente se torna relatvamente más efcente en los períodos sguentes. Fnalmente, las estmacones de fronteras de produccón medante la utlzacón de datos en paneles pueden utlzarse para calcular el crecmento en la productvdad total de los factores (TFP). No solo es posble obtener esta medda, sno que tambén puede descomponerse en cambo tecnológco y cambo en la efcenca técnca. Esto permte dstngur los efectos de los desplazamentos de la funcón de produccón de las ganancas ndvduales de cada frma (catchng up effect). El cambo tecnológco puede medrse medante la nclusón de un térmno de tendenca en el vector de regresores. La nclusón de tendenca de esta forma refleja lo que se conoce como cambo tecnológco neutral a la Hcks. Esto es, el ntercepto de la funcón camba con el tempo pero no los parámetros tecnológcos. S el tpo de cambo tecnológco deseado es no neutral, entonces deben añadrse térmnos de nteraccón entre los parámetros tecnológcos y el tempo. Así, el cambo tecnológco (TC) y el cambo en la efcenca técnca (EC) entre los momentos τ y s venen dados por las sguentes expresones: (3.16) EC = TE / TE τ s { } 0.5 τ β s β (3.17) TC = [ 1 + F( X ; t; )/ t] * [ 1 + F( X ; t; )/ t] El cambo en la productvdad total de los factores surge del producto de ambas meddas. 13 En este modelo puede testarse la hpótess nula de que η es cero y así verfcar s efectvamente la nefcenca evolucona en el tempo o no.
Fronteras de Efcenca Estocástcas Págna 13 IV. Heteroscedastcdad El análss de la heteroscedastcdad no ha sdo un tema partcularmente tratado en la lteratura y son pocos los trabajos empírcos al respecto. Quzás esto se deba a la mayor complejdad que genera este problema en una frontera 14 (y en la obtencón de la medda de efcenca), en relacón con un modelo lneal clásco. Entre los trabajos exstentes sobre heteroscedastcdad en fronteras, dos de los más mportantes son los de Caudll y Ford (1993) y Refshneder y Stevenson (1991), tratando ambos el caso de heteroscedastcdad en la componente de nefcenca. Aquí se ntentará resaltar las consecuencas más mportantes de la presenca de Heteroscedastcdad en la estmacón de la frontera y en la estmacón de la medda de efcenca, así como las alternatvas de estmacón y testeo. En el modelo lneal clásco, la presenca de heteroscedastcdad genera estmacones OLS nsesgadas y consstentes, aunque ya no efcentes. Generalmente se argumenta que este problema aparece cuando, por ejemplo, los comportamentos de cada frma están afectados por varables como su tamaño. Judge et al (1980) plantean que la cadena de análss a segur por el nvestgador debe comenzar proponendo cómo testear la heteroscedastcdad, luego cómo modelarla y fnalmente cómo estmar el modelo elegdo. Test para chequear la presenca de heteroscedastcdad exsten muchos y no es un tema que partcularmente dstnga a las estmacones de fronteras de las estmacones cláscas. Paralelamente, dentro de las formas funconales posbles exsten numerosos casos expuestos de manera muy completa en Judge et al (1980). No obstante, dadas las partculardades de las estmacones de fronteras, creemos que sólo dos de las especfcacones pueden adaptarse de mejor forma. Con respecto a los métodos de estmacón, y sguendo con la línea de análss de las seccones anterores, analzaremos los casos de los métodos MOLS y ML. En el caso de las fronteras de efcencas surgen dos problemas que no aparecen en un modelo clásco. Caudll y Ford (1993) comentan que el efecto de la heteroscedastcdad sobre los parámetros de la funcón son mucho más perversos cuando se trata de una frontera. Esto es así porque cuando se estman funcones promedos, se sabe que los valores medos no se ven afectados por dspersones smétrcas en torno a ellos. Por el contraro, la frontera camba su pendente cuando la dspersón crece. Un problema adconal surge del hecho de que el error de la ecuacón a estmar está compuesto por dos componentes. En caso de detectarse la presenca de heteroscedastcdad, es probable que el nvestgador no sepa s la heteroscedastcdad está presente en sólo una de las componentes (en cuyo caso tendrá que saber cuál de las componentes es homoscedastca) o en ambas. Un paso mportante a segur será, entonces, conocer cuales son las consecuencas que se dervan de cada caso. Por un lado, podría suceder que la heteroscedastcdad se encuentre en la componente de rudo estocástco. Aquí no es dfícl observar que s v N(0, σ v) las estmacones de los parámetros de la ecuacón (3.1) contnuarán sendo nsesgadas. 15 Este caso sería muy smlar a un modelo clásco con heteroscedastcdad. Por otro lado, s exsten factores específcos de 14 Además, los paquetes estadístcos más usuales (FRONTIER y LIMDEP) no permten tener en cuenta patrones de Heteroscedastcdad. 15 Sn olvdar que la constante sempre estará sesgada.
Fronteras de Efcenca Estocástcas Págna 14 cada frma que afectan su nefcenca técnca, entonces estos efectos se mostrarán como parámetros específcos de cada frma para la funcón de dstrbucón de u. De este modo, tanto las estmacones de los parámetros de la funcón de produccón como las estmacones de la efcenca técnca se verán afectadas por la presenca de heteroscedastcdad en u (Kumbhakar y Lovell, 000). En este caso, s rescrbmos la ecuacón (3.4) resulta: 1/ π "##$##% (4.1) ln Y = α σu + Xβ + v + [ u E( u) ] α * "##$##% * ε En esta expresón podemos observar como la heteroscedastcdad en u mplca una constante específca para cada frma, ocasonando estmacones sesgadas en caso que la heteroscedastcdad no se tenga en cuenta. De esta forma, el efecto de la heteroscedastcdad sobre la estmacón de los parámetros de la frontera no es ndstnto a s la msma se ve presente en una u otra componente aleatora. σ v como funcón de g de cada frma. El problema aquí es doble: hay que determnar la Un modelo que ncluya la heteroscedastcdad en v podría expresar a determnadas varables forma funconal del patrón de heteroscedastcdad y hay que elegr las varables a nclur en dcha especfcacón. Sguendo las recomendacones de Judge et al (1980) tendremos en cuenta úncamente los sguentes casos: 16 (4.) σ = ψ0 + ψ g. v = 1 r (4.3) σ ψ ψ r v = exp 0 + g = 1 La forma de estmar este modelo por medo del estmador MOLS consste en modfcar el segundo paso, dejando el prmer paso nalterado. El segundo paso del proceso de estmacón nvolucra estmar α, σ y σ. El momento de orden 3 de los resduos OLS, ε *, no se ve u v afectado por la heteroscedastcdad en v. Así, podemos obtener una estmacón de σ u a partr * π de ese momento muestral. Una vez hecho esto, tenemos que V ( ε ) = σu + σv y así π π podemos utlzar como varable proxy de σ v a ˆ ε σˆ e ntroducr estos valores en la π ecuacón (4.) o (4.3) para obtener estmacones consstentes de u ψ. 17 S además de obtener ˆ 16 Debdo a que se quere evtar estmacones de varanzas negatvas. 17 Judge et al (1980) menconan en su exposcón que aunque las estmacones OLS de los ψ no poseen todas las buenas propedades porque, en general, el termno de error asocado a la ecuacón es heteroscedástco, está
Fronteras de Efcenca Estocástcas Págna 15 las meddas de efcenca el nvestgador está nteresado en tener mejores estmacones de los parámetros de la frontera, entonces podría utlzar los valores estmados de σ v y aplcar GLS en el prmer paso de MOLS nuevamente. Otra opcón alternatva sería tener en cuenta la relacón establecda en estas ecuacones a la hora de armar la funcón de verosmltud y estmar todos los parámetros ( αβσ,,, ψ ) por ML de una sola vez. u En el caso en que la heteroscedastcdad se encuentre en u tambén podríamos expresar a como funcón de determnadas varables al estlo de la ecuacón (4.). Kumbhakar y Lovell (000) señalan que en este caso la únca opcón posble de estmacón es a través de ML, debdo a que el estmador MOLS posee dos nconvenentes: σ u (a) El ntercepto de cada frma puede ser no lneal s utlzamos formas funconales como 1/ 1/ r las de la ecuacón (4.3): α * exp ψ0 + ψg π = 1 r π v + 0 g π + + = 1 (b) S ˆ ε es regresado sobre σ ψ ψ ξ, del térmno constante de la ecuacón. σ v no podrá ser separado Aquí vale la pena hacer algunos comentaros. Es certo que para la mayoría de las especfcacones el ntercepto de cada frma puede ser no lneal. No obstante, puede advertrse que s se elge la forma funconal (4.), este problema no está presente. Por otro lado, con respecto al punto (b) hay dos puntos: (1) No exste nngún argumento que exja que la forma funconal posea un térmno constante, con lo cuál el problema no puede generalzarse; () habría que evaluar la posbldad de obtener la varable proxy de σ a través de la utlzacón 1/ 3 4 3 = σu del momento de orden 3 E( ε ) 1. π π Hasta aquí hemos vsto muy brevemente cómo la heteroscedastcdad afecta a la estmacón de la frontera y cómo la msma puede ser modelada. Pero como ya menconamos, tanto la heteroscedastcdad en u como en v afectan drectamente la medda de efcenca técnca. La forma más senclla de detectar este efecto es analzando la ecuacón del modo condconal Muε ( ): u (4.4) 1 µ = ε µ Mu ( / ε) = 1+( σ / σ ) µ * * v u * 0 s 0 s >0 autocorrelaconado y no posee meda cero; bajo certas condcones normales dchas estmacones son consstentes.
Fronteras de Efcenca Estocástcas Págna 16 (4.5) 1 µ = ε µ Mu ( / ε) = 1+( σ / σ ) µ * * v u * 0 s 0 s >0 En ambos casos exsten dos fuentes de varacón en la efcenca técnca de cada frma. Por un lado tenemos la varacón del resduo y, por otro, la varacón producda en el ponderador del resduo que vene dada por la heteroscedastcdad. S suponemos que la heteroscedastcdad está en u y que la msma varía proporconalmente con el tamaño de las frmas, entonces gnorar este efecto causa una subestmacón de Muε ( ) para las frmas chcas y una sobreestmacón de Muε ( ) para las frmas grandes. Esto surge a smple vsta de la ecuacón (4.5). De este modo, la efcenca técnca de las empresas chcas estaría sendo subestmada mentras que la efcenca técnca de las empresas grandes estaría sendo sobreestmada. No es dfícl observar que s la heteroscedastcdad provene de v el efecto sería el contraro: frmas chcas con efcenca sobreestmada y frmas grandes con nveles de efcenca subestmados. Así, es evdente que s ambas componentes son heteroscedástcas el efecto fnal dependerá de la fuerza de nteraccón de ambas. 18 Como acabamos de ver, las consecuencas de reconocer heteroscedastcdad en u o en v son totalmente opuestas. Caudll y Ford (1995) realzaron un estudo de Monte Carlo y concluyeron que la estmacón de una frontera que no tenga en cuenta la presenca de heteroscedastcdad lleva a una subestmacón de la efcenca de las empresas chcas y a una sobreestmacón de la efcenca de las empresas grandes. Estos resultados podrían ndcar que el supuesto de homoscedastcdad en u es más débl que el msmo supuesto sobre v. Para conclur me gustaría hacer una mencón con respecto a la relevanca de la heteroscedastcdad en las estmacones de fronteras en empresas reguladas. Para estmar cualquera de los modelos comentados en esta seccón es necesaro tanto establecer una forma funconal del patrón de heteroscedastcdad como elegr cada una de las varables g. Ambas decsones están mpregnadas de arbtraredades. Además, es amplamente menconado en la lteratura que en la mayoría de los casos la heteroscedastcdad está relaconada con los tamaños relatvos de las frmas. Así, los modelos comentados en está seccón presuponen que la forma funconal de la frontera (ya sea una funcón de costos o produccón) y las varables que pertenecen a la especfcacón, están establecdos teórcamente y que no pueden ser corregdos por los dstntos tamaños, llevando así a establecer un modelo que tenga en cuenta los dstntos tamaños a través de un patrón de heteroscedastcdad. Este es efectvamente el rol que cumplen las varables ambentales en las típcas estmacones de fronteras aplcadas a regulacón. Este conjunto de varables, como se verá en la próxma seccón, ntenta capturar las dferencas en el ambente de trabajo de cada frma, las dferencas de sus tamaños, sus dstntas estructuras de demanda, etc. De este modo, el problema de la heteroscedastcdad desaparece al especfcar correctamente el modelo y corregrlo por las varables ambentales. La ventaja de esta metodología es que, aunque sguen exstendo arbtraredades en la eleccón 18 En este trabajo no dscutremos en detalle el caso en que ambas componentes son heteroscedástcas.
Fronteras de Efcenca Estocástcas Págna 17 de estas varables ambentales, no aparece una arbtraredad en la eleccón de un patrón de heteroscedastcdad. La relacón entre los errores de especfcacón y la presenca de heteroscedastcdad en las fronteras estocástcas no ha sdo estudada en la lteratura y es un tema de gran relevanca para la aplcacón empírca. V. Una Aplcacón: Comparacón Internaconal de Dstrbudoras Eléctrcas La funcón de produccón En la práctca, la estmacón de una funcón de produccón no es tan smple como la teoría lo determna. La funcón de produccón de una empresa dstrbudora de energía no sólo es una relacón técnca entre nsumos y productos sno que además depende de una varedad de factores. Así, en los trabajos empírcos suelen dstngurse dos partes de la funcón: el corazón del modelo (determnado teórcamente y formado por el conjunto de nsumos) y las varables ambentales. El rol de las varables ambentales es capturar los factores externos que pueden nfluencar a las frmas, logrando que las msmas sean comparables. Algunos ejemplos de varables ambentales son: área de concesón, tpo de propedad, como públca o prvada, y característcas demográfcas (ver Freíd, Schmdt y Yasawarng, 1995). De esta manera, una eleccón clave preva a la estmacón es la determnacón de las varables proxy del producto, de los nsumos y de las varables ambentales. Weyman-Jones (199) utlzó en su estudó sobre empresas eléctrcas del Reno Undo al número de clentes como varable de producto, a la cantdad de empleados como nsumo, y a las sguentes varables ambentales: klómetros de red, capacdad de transformacón, ventas totales, densdad de poblacón, ventas ndustrales/ventas totales y demanda punta. En otro trabajo, Hjalmarsson y Vederpass (199) examnan la efcenca de empresas dstrbudoras eléctrcas en Sueca y utlzan al número de clentes como producto, a las horas trabajadas y los klómetros de red como nsumos y añaden fnalmente la capacdad de transformacón. En general, las varables utlzadas como proxy de producto son el número de clentes y las ventas en Mwh, sendo el número de clentes la más utlzada en la práctca. Los Datos Los datos brutos empleados en este trabajo se han obtendo de los nformes de la Secretaría General de la Comsón de Integracón Eléctrca Regonal (CIER). De dcho nforme se extrajeron dos muestras: (a) una comprendda por 7 empresas para el año 1999 (Argentna (6) 19, Bolva (), Brasl (4), Chle (), Colomba (4), Ecuador (3), Perú (3), Uruguay (1), Venezuela ()); (b) otra comprendda por un panel desbalanceado de 3 empresas durante el período 1994-1999 (Argentna (5), Bolva (3), Brasl (3), Chle (3), Colomba (1), Ecuador (4), Paraguay (1), Perú (4), Uruguay (1), Venezuela (7)). 19 Las empresas Argentnas ncludas son Edenor (Cap. Fed), Edesur (Cap. Fed), Epec (Córdoba), Edemsa (mendoza), Edeersa (Entre Ríos), Emsa (Msones).
Fronteras de Efcenca Estocástcas Págna 18 A los efectos de la estmacón, y de acuerdo a lo comentado en el punto anteror, se han selecconado sete varables de la base de datos de CIER, las que se detallan a contnuacón: Ventas fnales (en MWh), Proporcón de ventas a resdencales (proxy de estructura de mercado), Líneas de dstrbucón, Área de servco, Número de clentes (como proxy de producto), Número de empleados y Densdad poblaconal. La varable ventas fue descartada debdo a que prefró utlzarse como proxy de producto a la varable clentes. Por otro lado, la proporcón de ventas a resdencales fue elmnada del modelo fnal por ser altamente rrelevante. Así, la tabla 1 presenta un resumen de las varables restantes para las dos muestras: Tabla 1: Estadístcas Descrptvas Corte transversal para 1999 Varable Muestra Máxmo Mínmo Meda Desv. Estan. Número de Clentes 7 4917085 1773 78910 109751 Número de Empleados 7 10315 69 1546.667 308.406 Líneas de dst. (Kmred) 7 316997 809 8807 6061 Área de servco (Km) 7 5676 81 53091 11919 Densdad de Poblacón 7 5617 10 806 1350 Panel de datos: 3 empresas - período 1994-1999 Varable Muestra Máxmo Mínmo Meda Desv. Estan. Número de Clentes 16 4917085 11633 63047 95385 Número de Empleados 16 139 58 1845 789 Líneas de dst. (Kmred) 16 316997 8 16.31 55947 Área de servco (Km) 16 90140 59 100893 06670 Densdad de Poblacón 16 576 710 1166 Fuente: Elaboracón propa sobre la base de los datos publcados por CIER Modelo de Corte Transversal Una vez establecdas las varables contnuaremos con la estmacón. Para ello utlzaremos una funcón de produccón Cobb- Douglas, 0 con lo cual cada varable se encuentra expresada en logartmos. Además, tanto el estmador MOLS como el ML parten del modelo OLS. 1 Es por esto que el prmer paso consste en decdr s el modelo posee las propedades necesaras para estmar una frontera. En la tabla podemos observar que el modelo posee un buen ajuste y que todas las varables son relevantes. El test de Whte para dcha estmacón no pudo rechazar la hpótess nula de ausenca de heteroscedastcdad con lo cual trabajaremos con un modelo homoscedástco. Además, se realzó el test RESET y tampoco se pudo rechazar la hpótess de una buena especfcacón del modelo. Así, dado que nuestro modelo está ben especfcado y no adolece de heteroscedastcdad, debemos observar s la asmetría 0 No se testeará s una especfcacón translog sería más adecuada, debdo a la falta de grados de lbertad. 1 Debdo a que el algortmo de estmacón toma como valores ncales a las estmacones OLS.
Fronteras de Efcenca Estocástcas Págna 19 (skewness) de los resduos OLS posee el sgno correcto (y necesaro) para poder estmar una frontera de produccón. En la fgura V.1 puede observarse que la asmetría de los resduos OLS posee el sgno correcto, con lo cual estamos en condcones de aplcar los estmadores MOLS y ML. Fgura V.1 : Funcón de densdad de los resduos OLS 8 6 4 0-0.6-0.4-0. 0.0 0. 0.4 Seres: Resduals Sample 1 7 Observatons 7 Mean -1.86E-15 Medan 0.0554 Maxmum 0.418698 Mnmum -0.579798 Std. Dev. 0.39130 Skewness -0.453089 Kurtoss.750044 Jarque-Bera 0.99409 Probablty 0.60835 Kernel Densty (Epanechnkov, h = 0.419).0 1.5 1.0 0.5 0.0-0.8-0.6-0.4-0. 0.0 0. 0.4 0.6 RESID01 Los resultados de los estmadores OLS, MOLS y ML se presentan en la tabla. Tabla : Estmacón Corte transversal Varable dependente: Lnclentes Observacones 7 g.l Varables OLS Coefcente t-stat p-value OLS Coefcente t-stat p-value Lnempleo 0.03.437 0.036 constante -0.6393-0.791 0.4367 Lnkmred 0.3141 3.43 0.004 R-cuad. 0.9661 Lnarea 0.6666 7.0834 0.0000 Log Lkelhood 0.7699 Lndenspob 0.63 5.1594 0.0000 MOLS Coefcente t-stat p-value MOLS Coefcente t-stat p-value Lnempleo 0.03 --- --- Gamma 0.8000 --- --- Lnkmred 0.3141 --- --- Sgma Cuad. 3 0.11 --- --- Lnarea 0.6666 --- --- Log Lkelhood --- Lndenspob 0.63 --- --- % de rudo 40.8 constante -0.3835 --- --- ML Coefcente t-stat p-value ML Coefcente t-stat p-value Lnempleo 0.1787.73 0.033 Gamma 0.9999 503.94 0.0000 Lnkmred 0.916 3.5478 0.0018 Sgma Cuad. 0.184 3.7091 0.001 Lnarea 0.769 8.5614 0.0000 Log Lkelhood 3.5847 Lndenspob 0.698 6.153 0.0000 % de rudo 0.00 constante. -1.0771-1.3194 0.006 Ver fgura III.1. 3 Recordemos que en el contexto de las fronteras estocástcas, sgma cuadrado es : σ + σ u v
Fronteras de Efcenca Estocástcas Págna 0 Como se explcó en la seccón III, es posble testear la exstenca de una frontera a través del parámetro gamma, H0 : γ = 0. El valor del estadístco LR fue de 5.6 con lo cual estamos en condcones de rechazar dcha hpótess y consderar que exste frontera. Por otro lado, tambén podemos testear la hpótess de que la dstrbucón de la nefcenca no necesaramente resulta de truncar una dstrbucón con meda cero. Nuevamente, podemos testear la hpótess H 0 : µ = 0 a través de un test de razón de verosmltud. El valor del estadístco LR fue de 1.6 con lo cual trabajar con una dstrbucón Half Normal no parece ser un mal supuesto. En la tabla puede aprecarse que el estmador MOLS mantene los coefcentes asocados a cada varable sn alterar (con respecto a los coefcentes del modelo clásco), modfcando úncamente el valor de la constante (desplazándola haca arrba). Por su parte, el estmador ML arrojó resultados que dferen de los arrojados por el modelo clásco. Esto es coherente con el porcentaje de rudo nulo hallado en la frontera ML. 4 Una observacón que puede hacerse en referenca a los porcentajes de rudo estadístco encontrados por los dstntos modelos es la sguente. Dado que el estmador MOLS arrojó un porcentaje de rudo mayor que el estmador ML, sería de esperar que aquel brnde una efcenca meda mayor que este últmo debdo a que parte de la dstanca entre las observacones y la frontera la adjudcará a rudo y no a nefcenca. Esto podemos aprecarlo drectamente en la tabla 3, donde se presentan las meddas de efcenca de cada empresa con su correspondente rankng relatvo. Tabla 3: Meddas de Efcenca y Rankngs Frma País Efc - MOLS Rankng Efc - ML Rankng Frma País Efc - MOLS Rankng Efc - ML Rankng CEMIG Br 0.6695 0.5577 3. EDEMSA Arg 0.8996 4 0.9855. CPFL Br 0.8595 9 0.794 10. ENELBAR Ven 0.8549 11 0.8007 8. EDENOR Arg 0.894 5 0.7865 11. Electroc Pe 0.5196 7 0.3670 7. EDESUR Arg 0.970 1 0.948 3. EDEERSA Arg 0.7933 17 0.7446 14. CODENSA Col 0.8481 1 0.696 19. CRE Bol 0.740 1 0.5804. UTE Ur 0.7717 19 0.745 15. Emelectrc Ch 0.8739 7 0.888 6. EEPPM Col 0.9338 1 0.997 1. EEASA Ecu 0.8638 8 0.998 4. LDS Pe 0.8569 10 0.71 16. CONAFE Ch 0.9084 3 0.95 5. COSERN Br 0.8833 6 0.8653 7. EMSA Arg 0.6585 3 0.6037 1. EPEC Arg 0.743 0 0.6670 0. ELEVAL Ven 0.6356 5 0.4451 6. CEB Br 0.8384 13 0.7533 13. EERSSA Ecu 0.813 15 0.784 1. ESSA Col 0.685 6 0.566 4. ELFEO Bol 0.8334 14 0.7098 17. EPSA Col 0.7899 18 0.707 18. EEACA Ecu 0.8037 16 0.7948 9. HIDRAN Pe 0.640 4 0.4480 5. Meda de las 7 0.7951 0.7310 4 En el caso en que la frontera encuentra 100% de rudo estadístco, los estmadores ML y OLS concden y todas las empresas son efcentes.
Fronteras de Efcenca Estocástcas Págna 1 Efectvamente, el valor de la efcenca meda del estmador MOLS (0.79) es mayor que el valor medo del estmador ML (0.73). No obstante, ambos métodos dentfcan a EEPPM (Colomba) como la empresa más efcente y a Electrocentro (Perú) como la menos efcente. Los resultados para las empresas Argentnas fueron bastante polares: tanto Edenor, Edesur y Edemsa fguran entre las empresas más efcentes, aunque Epec, Edeersa y Emsa fguran en el extremo opuesto. A smple vsta podría conclurse que los rankngs establecdos por ambas metodologías son relatvamente guales. Una forma más formal de probar esto sería calculando la correlacón entre rankngs y la proporcón de empresas en común que ambos métodos encuentran conjuntamente en el prmer y últmo cuartl. Esta nformacón se muestra en la tabla 4. Tabla 4: Spearman - mejores y peores Estadístco SP 1º Cuartl 4º Cuartl MOLS - ML 0.90 0.86 0.71 Como puede observarse, la correlacón de rankngs es de 0.9, mentras que un 86% de las empresas (las mejores) se hallan en el prmer cuartl para ambos métodos de estmacón y un 71% de las empresas (las peores) se hallan en el últmo cuartl. De esta forma podemos conclur que los resultados para esta muestra son robustos, en el sentdo de que tanto el estmador MOLS como ML reconocen a las msmas empresas como las más efcentes y las menos efcentes, ordenándolas de forma smlar. Modelo de datos en paneles Dado que la muestra consderada contene varables nvarantes en el tempo (p.e la varable Área), no resulta una opcón válda estmar nuestro modelo con el estmador LSDV. Por este motvo, se estmará la funcón de produccón para las 3 empresas durante el período 1994-1999 medante GLS y ML. El modelo que fnalmente se consderó como el más apropado posee las sguentes característcas: No posee tendenca, la efcenca se supone nvarante en el tempo, y la funcón de dstrbucón de la nefcenca (en el caso del estmador ML) se supuso provenente de truncar una normal con meda dstnta de cero. A este modelo se arrbó después de una sere de test que se presentan en la tabla 5. Tabla 5: Log Lkelhood Rato Log lkelhood Rato Hpótess Nula Restrc. L (Ho) L (H1) LR p-value Decsón 1) Mu=0 1-73.96-7.8 3.36 0.06680 Se Rech. Ho ) eta=0 1-73.96-73.38 1.16 0.8147 No Rech. Ho 3) No hay TC 1-73.96-7.79.34 0.1609 No Rech. Ho El prmer test plantea que la meda de la normal a truncar es cero. Puede observarse que al 5% de sgnfcacón no se rechaza la hpótess nula. No obstante, dado que el valor del estadístco se encuentra en el límte, se decdó rechazar las hpótess nula con un nvel de sgnfcacón