La erivaa e las funciones trascenentes Manuel Barahona, Eliseo Martínez Diciembre 205 Muchos fenómenos e la naturaleza son moelaos meiante funciones eponeciales, logarítimicas, trigonométricas y combinaciones e ellas. De esto se esprene la importancia e poer calcular la erivaa e estas funciones, que en lo sucesivo llamaremos funciones trascenentes.. La erivaa e la función logaritmo La función logaritmo natural f() =ln tiene una erivaa sencilla y está basaa en el hecho e que + n = e () n n Formemos el cociente e Newton f(+) f() y usemos las propieaes e los logaritmos, tal como se muestra a continuación f( + ) f() ln( + ) ln() = + + = ln =ln En consecuencia se tiene que f( + ) f() =ln + (2) Efectuano el cambio e variable n =,esecir, = n y al mismo tiempo, = n, y reemplazánolas en la epresión (2) resulta f( + ) f() = 0 ln + n n n = n Utilizano ahora el límite en ), se obtiene f( + ) f() =lne o Aplicano la propiea e los logaritmos resulta que ln e = ln e = ln + n n En efecto, como n =, entonces si 0 es claro que n. Y viceversa.
En consecuencia la erivaa e la función logaritmo natural es (ln ) = Ejemplo Calculelaerivaaelafuncióny =3ln Solución. Aplicano la erivaa e un proucto se tiene y =3 +3ln =3(+ln) PAra erivar la función logaritmo natural, cuano el argumento es otra función, se recurre a la regla e la caena. Esto es, si u = u() es una función erivable en, entonces [ln u] = u u Ejemplo 2. Derive la función y =ln 2 +3 Solución. Aplicano la regla e erivación e la función logaritmo natural, se tiene y = 2 +3 2 +3 = 2 +3 2 2 +3 (2) = 2 +3 Con frecuencia conviene, antes e erivar, reescribir la función utilizano las propieaes e los logaritmos. Esto es particularmente útil cuano la función que se quiere erivar es muy complicaa. En relación con el ejemplo anterior, poemos reescribir la función en la forma siguiente y =ln 2 +3 y = 2 ln(2 +3) La erivaa e esta última función es más fácil e realizar. En efecto: y = 2 2 2 = +3 2 2 +3 (2) = 2 +3 Se puee emostrar, meiante las propieaes e cambio e base e logaritmos, que la erivaa e la función logaritmo, con una base cualquiera, es la siguiente [log a ] =(log a e) Ejemplo 3. Halle la erivaa e la función f() =log a () 5 Solución. Observe que la función f() es un proucto e os funciones. Aplicano la erivaa e un proucto se tiene f () = log a e 5 +log a 5 4 Cuano el argumento el logaritmo es otra función ebemos erivar utilizano la regla 2
e la caena. [log a u] = log a e u u Ejemplo 4. Hallar la erivaa e la función f() =log 2 ( 2 +2 +3) Solución. Derivano f () =(log 2 e) 2 +2 +3 (2 +2) 2. Derivaa e la función eponencial Para hallar la fórmula e la erivaa e la función y = e escribimos la iguala ln e = y erivamos con respecto a la variable. Usano la regla e la caena se obtiene [ln e ]= [] e [e ]= Despejano la epresión [e ] e la seguna equivalencia, resulta [e ]=e Las erivaas e las otras funciones eponenciales son las siguientes a) e k = ke k b) [a ]=ln(a) a c) [eu ]=e u u ) [eu ]=(lna) a u u Ejemplo 5 Halle las erivaas e las funciones siguientes: a) y = e 42 +6.b)y =2 72 Solución. Aplicano las fórmulas corresponientes, resulta: a) y = e 42 +6 (8) =8 e 42 +6 b) y =(ln2) 2 72 (4) =4(ln 2) 2 72 Ejemplo 6 Derive la función e ensia normal estánar e probabilia 2 n() = 2π e 2 2 Solución. Aplicano la fórmula corresponiente se tiene: n () = e 2 2 ( ) = e 2 2 2π 2π 2 Esta función e ensia es una e las más utilizaas en la moelación e fenómenos naturales, como el movimiento e partículas e polen en un vaso e agua, como el moelamiento para eplicar la valatilia en el precio e las acciones el mercao bursatil, así como encontrar en probabilia partículas subatómicas en la mecánica cuántica, tanto como saber porcentualmente la cantia e jovenes que están en un eterminao rango e estatura. Sin aplicar esta función e ensia, la via practicamente sería teiosa y aburria, y sin progreso. 3
Poemos observar que esta erivaa se anula en =0, inicano con esto que la recta tangente al punto (0,n(0)) = (0, 2π ) es paralela al eje horizontal X, y en consecuencia como n() es siempre positiva, se tiene que el punto (0, 2π ) es un punto máimo. 3. La erivaa en el crecimiento eponencial Hemos visto que una cantia Q(t) que crece e acuero con una ley e la forma Q(t) = Q 0 e k t one Q 0 y k son constantes positivas, se ice que eperimenta un crecimiento eponencial. Verenos a continuación que si una cantia crece eponencialmente, su ritmo e crecimiento es proporcional a su tamaño. La razón instantanea e cambio e Q con respecto a t es la erivaa Q (t) =kq 0 e k t (3) Esto nos ice que la razón instantanea e cambio Q (t) es proporcional al tamaño e Q(t), sieno precisamente k la constante e proporcionalia. Observemos que la ecuación (3) se puee escribir como Q (t) =kq(t) (4) one Q(t) =Q 0 e k t. La epresión (4) es una clasica ecuación iferencial one se pie encontrar la función Q(t) que satisfaga esta ecuación. Dicho e otra forma, Cual es la epresión e Q(t) para que ocurra la iguala (4)? La solución es Q(t) =Ce kt En efecto, si erivamos esta epresión obtenemos que se satisface la ecuación (4) 4. La erivaa e las funciones trigonométricas En lo que sigue euciremos la fórmula e la erivaa e la función f() = sen () utilizano la efinición. De acuero a esto se tiene sucesivamente que: f( + ) =sen( + ) =sen cos +cossen() luego f( + ) f() =sen cos +cossen() sen es ecir f( + ) f() =+cossen() sen ( cos ) En consecuencia f( + ) f() sen cos =cos sen por lo tanto f( + ) f() = 0 0 cos sen sen cos 4
e lo cual se esprene que f( + ) f() =(cos)() (sen )(0) = cos 0 En consecuencia [sen ] =cos Observe que hemos usao los hechos siguientes: sen cos a) = ; b) =0 0 0 que uste puee perfectamente comprobar meiante el software DERIVE. La obtención e la erivaa el resto e las funciones trigonométricas no varía sustancialmente. Sin embargo puee resultar más sencillo utilizar las ientiaes trigonométricas para llegar al mismo resultao. Así por ejemplo (sen ) 2 +(cos) 2 = entonces erivano esta iguala se tiene que (sen ) 2 +(cos) 2 = [] = 0 ylaerivaaelaprimeraigualaeestaientia,apicanolareglaelacaenayel resultao anterior, es 2(sen )(cos )+2(cos) [cos ] =0 espejano e esta iguala [cos ], obtenemos la fórmula [cos ] = sen Ahora si consieramos la ientia tg = sen cos poemos aplicar la regla para erivar un cosiente y obtener cos sen ( sen ) [tg ] =cos (cos ) 2 = (cos ) 2 =(sec)2 A continuación se a, sin emostración, un resumen e las fórmulas e las erivaas e las funciones trigonométricas. a) [sen ] = cos ; b) [cos ] = sen c) [tg ] = (sec )2 ) [ctg ] = (cosec )2 e) [sec ] = sectg f) [cosec ] = cosec ctg Ejemplos 7. Hallar la erivaa e las funciones siguientes: a) y =cos2 2 b) y = tg 3 2 c) y = 5
cosec( 3 ) ) y = e 2 ctg Solución. a) Supongamos que u =2 2. Aplicano la fórmula corresponiente junto a la regla e la caena resulta: y = sen u u = sen 22 4 b) Si hacemos u =2, resulta y =3tg 2 u u =6tg2 2 c) Suponieno que u = 3, resulta y = cosec uctgu u = 3 cosec 3 ctg 3 ) Aplicano la regla e la caena el proucto e os funciones, se tiene y = e 2 ( cosec 2 )+(ctg )(e 2 )(2) = e 2 (cosec 2 +2ctg ) 6