Integrles dobles y triples 1 Integrles dobles Integrles triples 3 Cmbios de vrible R: retángulo R = [, b [, d f : R R: mpo eslr e dos vribles. Si f es ontinu en R f x : [, d R y f y : [, b R son funiones ontinus en su dominio de definiión. demás, mbs son funiones reles de un vrible rel ontinus y, por tnto, integrbles Riemnn. Podemos definir: F : [, d R, F (y) = G : [, b R, G (x) = f y (s) ds = f x (t) dt = f (s, y) ds f (x, t) dt Tnto F omo G son, su vez, funiones ontinus y, por lo tnto, pueden volver integrrse. De est form, podemos definir ls integrles reiterds: [ [ IR1 = F (y) dy = f y (s) ds dy = f (s, y) ds dy IR = G (x) dx = [ f x (t) dt dx = [ f (x, t) dt dx Teorem Si f : R R es ontinu en R = [, b [, d, entones IR1 = IR y, demás, en este so su vlor omún se represent omo R Si f es un mpo eslr ontinuo de dos vribles on f (x, y) pr todo punto (x, y) perteneiente un retángulo R entones R represent el volumen del sólido omprendido bjo l gráfi de z = f (x, y) y sobre l región R.
Ejemplo Clul el volumen de l región omprendid bjo l gráfi de f (x, y) = x + y 3 y sobre el retángulo R = [, 1 [, 3 Puede lulrse el volumen V = R de dos forms: 3 1 3 1 ( V = f (x, y) dx dy = x + y 3) dx dy o bien V = 1 [ 3 f (x, y) dy dx = 1 [ 3 ( x + y 3) dy dx Integrles sobre regiones simples f : R donde: En este so: = { } (x, y) R : x b, f 1 (x) y f (x) represent el volumen del sólido omprendido bjo l gráfi de z = f (x, y) y sobre l región y se lul: b f (x) = f (x, y) dy dx f 1 (x)
Integrles sobre regiones simples f : R donde: En este so: = { } (x, y) R : g 1 (y) x g (y), y d represent el volumen del sólido omprendido bjo l gráfi de z = f (x, y) y sobre l región y se lul: d g (y) = f (x, y) dx dy g 1 (y) EJEMPLO: Clul l integrl (xy) dxdy siendo l región del plno omprendid entre y = x, xy = 1, y = Cálulo de áres on integrles dobles o bien = {(x, y) : 1 y, 1y } x y = {(x, y) : 1 x 1, 1x } y {(x, y) : 1 x, x y } Tomndo f (x, y) = 1 l expresión 1dxdy represent el áre de l región del plno. Ejemplo: Áre de un írulo de rdio r. Dos posibiliddes pr lulr el volumen: V = (xy) dxdy = y 1 (xy) dx dy, V = (xy) dxdy = 1 1 1 y (xy) dy 1 x [ dx+ 1 x (xy) dy dx
Cálulo de volúmenes on integrles triples 1 Integrles dobles Integrles triples 3 Cmbios de vrible Todo lo nterior puede extenderse sin difiultd funiones de tres vribles f : [, b [, d [r, s R pr obtener l integrl triple f (x, y, z) dxdydz En el so más generl, el mpo eslr f no estrá definid en [, b [, d [r, s, sino en un región del plno dd por: { } = (x, y, z) R 3 : x b, g 1 (x) y g (x), h 1 (x, y) z h (x, y) en este so, f (x, y, z) dxdydz = [ g (x) h (x,y) f (x, y, z) dz dy dx g 1 (x) h 1 (x,y) Pr lulr el volumen de l región es sufiiente tomr f (x, y, z) = 1 Ejemplo Clul el volumen V de l región enerrd por l superfiie z = 4 x y y los plnos z =, x + y =, x =, y = 1 Integrles dobles Integrles triples 3 Cmbios de vrible V = [ x 4 x y dz dy dx
Definiión de mbio de oordends Se R un onjunto R n. Un funión g : R R n se llm mbio de oordends en si verifi: 1 g tiene derivds priles ontinus en el interior de R g es inyetiv en R 3 g(r) = 4 det(j g (x)) pr todo x del interior de R. Fijemos un mbio de vrible (en vribles) g(u, v) = (x(u, v), y(u, v)): Notión: (u, v) = det(j g(u, v)) = det [ Coordends polres L trnsformión en oordends polres es útil undo l región es un irunfereni, írulo o porión de írulo o irunfereni y viene dd por l siguiente relión: (x,y) (u,v) x = r os θ y = r sin θ r, θ π represent el determinnte de l mtriz Jobin, [ [ (u, v) = det os θ r sin θ = det sin θ r os θ = r Cmbio de oordends: = R (f g) (u, v) (u, v) dudv Coordends elíptis L trnsformión en oordends polres es útil undo l región es un elipse o porión de elipse, on euión en form nóni x + y = 1, y viene dd por l siguiente b relión: x = r os θ y = br sin θ r, θ π Coordends ilíndris L trnsformión en oordends ilíndris viene dd por Φ (r, θ, z) = (r os θ, r sin θ, z): x = r os θ y = r sin θ z = z en este so (x,y,z) represent el determinnte de l mtriz Jobin, (r,θ,z) (x, y, z) (r, θ, z) = det r θ os θ r sin θ = det sin θ r os θ = r r θ 1 r θ En este so, (u, v) = det [ [ os θ r sin θ = det b sin θ rb os θ = rb
Coordends esféris L trnsformión en oordends esféris viene dd por Φ (r, ϕ, θ) = (r sin ϕ os θ, r sin ϕ sin θ, r os ϕ): x = r sin ϕ os θ y = r sin ϕ sin θ z = r os ϕ en este so (x,y,z) represent el determinnte de l mtriz Jobin, (r,ϕ,θ) (x, y, z) (r, ϕ, θ) = det r ϕ r ϕ r ϕ θ θ = det θ sin ϕ os θ r os ϕ os θ r sin ϕ sin θ sin ϕ sin θ r os ϕ sin θ r sin ϕ os θ os ϕ r sin ϕ = r sin ϕ