C P I T U L I V E C T R E S U E R S I.1. Mgnitudes esclres vectoriles. Esclres: Pr su interpretción precisn del vlor numérico de l unidd de medid. Ej.: m 3, 0 V, 50 km, 5 ºC. Vectoriles: Si decimos que un utomóvil v 10 km/hor, precen pregunts como Porqué crreter lo h hecho? que es lo mismo que preguntr por su dirección. Siendo su dirección, nos preguntremos si v o viene, es decir el sentido que llev. Ej: uer, velocidd,... I.. Vector. Se llm vector l segmento rectilíneo que tiene mrcdo el sentido que represent gráficmente un mgnitud vectoril. Tods ls mgnitudes vectoriles quedn definids por: Intensidd, vlor, mgnitud ó módulo.. Dirección: El cmino. Líne donde se encuentr. Sentido: V ó viene. Punto de plicción. dirección punto de plicción módulo I.3. Clses de vectores. IJ: Es quél cuo punto de plicción no dmite trsldos o cmios (velocidd). DESLINTE: Su punto de plicción se puede trsldr un punto culquier de su dirección. LIBRE: Se puede trsldr prlelmente su dirección. v = 0 m/s = 50 kg. fijo Deslinte Lire I.4. Nomencltur. Un vector se puede nomrr con un letr minúscul de somrero un flech, ó con dos músculs que definen sus etremos (punto de plicción punt de l flech). Vectores equipolentes: Mismo sentido mgnitud siendo sus direcciones prlels. Vectores opuestos: Mism mgnitud dirección sentido contrrio. I.5. Proección ortogonl de un vector. Componentes. Se oper de l siguiente form: 1º) Se hce coincidir, si es posile, el origen de los ejes, P con el origen del vector. º) Por el etremo del vector, se trn plnos prlelos los formdos por cd dos ejes, que cortn éstos en M, N P. 3º) Los vectores M, N P son ls proecciones del N vector M sore los ejes,. 4º) Denominmos, β γ los ángulos formdos por el vector con, respectivmente, siendo que los triángulos M, N P son rectángulos se tiene: Crlos licet 3
VECTRES = M =.cos = N =.cosβ = P =.cos γ 5º) plicndo Pitágors en los triángulos R RP = R + R R = M + MR = M + M R + R = + + = + +, ó tmién: = + + 6º) Si elevmos l cudrdo summos ls epresiones del punto 4º qued: + + = (cos +cos β+cos γ) + + = Cosenos directores: cos +cos β+cos γ = 1, β γ: ángulos del vector con los semiejes positivos,. 7º) L dirección de l resultnte de ls tres proecciones, viene dd por. cos = cosβ = cosγ = Esto nos permite conocer l resultnte dirección de un fuer conocids sus proecciones ortogonles vicevers I.6. perciones con vectores. Sum: (8, ) (3, 7) (8, ) + (3, 7) = R(8+3, +7) = R(11, 9) Sustrcción: Pr restr vectores se le sum el opuesto del sustrendo. m - n =m + (- n ). Producto de un vector por un número: Es otro vector de módulo el producto del módulo ddo por el nº, de dirección l mism del vector ddo sentido el mismo si el nº es positivo el contrrio si es negtivo. Vector unitrio Es un vector de módulo unidd de sentido positivo, se nomrn i, j, k según estén sore, ú. Ej.: V = 3 i + 5 j + 8k I.7. Producto esclr. De dos vectores es un cntidd numéric, otenid de multiplicr los módulos por el coseno del ángulo que formn. P = V 1. V = V P 1. V cos cos = V. V 1 Componentes M Sum 7 P Rest i γ k (3,7 ) R 3 8 -n j MECÁNIC β R N (8,) m (11, 9) n. = ( i + j + k ). ( i + j + k ) = i i + i j + i k + j i +... Como: i i = j j = k k = 1 que i i = iicos0º =1 e i j = j k = i k = 0. = + + Crlos licet 4
VECTRES MECÁNIC Ejemplo I.1.- Con el cálculo del producto esclr podemos hllr el ángulo que formn los vectores. Ej: Clculr el producto esclr el ángulo que formn los vectores: V 1 = i + 3 j - k,, V = 5 i + j + 4k,, V 1 = + 3 + 1 = 14,, V = 45 P = V 1. V = (.5) + (3.) -1.4 = -10 + 6-4 = 1 P 1 cos = = = 61º6 1 V. V 14. 45 1 I.8. Producto vectoril. Producto Vectoril Se define como producto vectoril de dos vectores otro vector con ls siguientes crcterístics: Módulo: =..sen Dirección: Perpendiculr l plno formdo por los vectores. Sentido: El de un sccorchos que v de. El llev sentido contrrio i j k = ( i + j + k ) ( i + j + k ) = = i - Superficie del prlelogrmo formdo. j + k = = ( - )i - ( - )j + ( - ) k i i = j j = k k = 1.1sen 0º = 0 i j = k j i = -k i k = - j k i = j j k = i k j = - i k j i Ejemplo I..-Clculr el producto esclr el ángulo que formn los vectores: = 8i 3 j+ 5 k = 3 i 9 j k Solución:.. =. cos cos =. = = 64 + 9 + 5 = 98 = 9, 8995 = = 9 + 81 + 1 = 91 = 9, 5394 cos = 46 = 0, 487 = 60,85º = 60º50 57,9 98. 91. = (8 i 3 j + 5k ).( 3 i 9 j k ) =4 + 7 5 = 46 Crlos licet 5
VECTRES MECÁNIC Ejemplo I.3.- Clculr el producto vectoril de los vectores. = 8 i 3 j+ 5 k = 3i 9 j+ k = ( i + j + k ) ( i + j + k ) = = i j + k = = [-3.(-1) -5.(-9)] i - [8.(-1) -5.3] j + [8.(-9) - (-3).3]k = = 48 i + 3 j - 63k re del prlelogrmo: 48 + 3 + 63 = 8,47 Ejemplo I.4.- Hllr el producto esclr el producto vectoril el ángulo que formn los vectores: = 5 i + 3 j -k = 3 i - j + 4k Sus módulos son: = 5 + 3 + ( 1) = 35 = 3 + ( ) + 4 = 9. = 5.3+3.(-)+(-1).4 = 15-6-4 = 5 El producto esclr es 5. 5 cos =,, = 80,97º ó 80º58 14 35. 9 = [3.4-(-1).(-)] i - [5.4-(-1).3] j +[5.(-)-3.3]k = 10 i - 3 j - 19k Ejemplo I.5.- Ddos los vectores v = 3 i + j + k u = i + 3 j + k Clculr el producto esclr el vectoril el ángulo que formn. Ejemplo I.6.- Idem con los vectores s = 4 i - j - 3k u = i + j - 5k Ejemplo I.7.- Ddos los vectores 3 i + 5 j 4 i + j + 3k. Hllr pr que sen perpendiculres. I.9. Momento centrl de un vector respecto de un punto. Momento de un vector con respecto de un punto, se define como el producto de l mínim distnci entre el punto el vector por el vector. M = r r = r..sen = r.sen. = d. I.10. Teorem de Vrignon. El momento con respecto un punto de l resultnte de vris fuers concurrentes es igul l sum de los momentos de ls distints fuers con relción l mismo punto. I.11. Momento de un pr de fuers. Dos fuers formn un pr cundo sus direcciones son prlels, sus módulos igules sentidos contrrios. El efecto que producen es un giro, de sentido el de un sccorchos, pues su resultnte es cero. El momento que provocn es el producto de l fuer por l distnci que ls sepr. M = d M = r1 1+ r = r1 1+ r ( ) = ( r1 r ) 1 = r r = r..sen = r.sen. = d.,, d: ro del pr. dr M d M 1 r 1 r r d r r 1 -r Crlos licet 6
UERS MECÁNIC I.1. Introducción sistem de fuers: H cuerpos en movimiento cuerpos en reposo. El estdo de movimiento o de equilirio de los cuerpos es producido por uns cuss interns o eterns los mismos, denominds fuers. L cienci que estudi ls fuers que originn los estdos de equilirio o reposo movimiento de los cuerpos se llm Mecánic. I.13. División de l Mecánic: ESTÁTIC: Ls condiciones que deen cumplir ls fuers plicds los cuerpos pr que éstos se mntengn en equilirio. CINEMÁTIC: Estudi el movimiento de los cuerpos sin tener en cuent ls fuers que los producen. DINÁMIC: Estudi el movimiento de los cuerpos ls fuers que los producen. Grfostátic: Estudi ls condiciones necesris pr estlecer el equilirio en un sistem de fuers, emplendo eclusivmente trdos geométricos. Se requiere grn meticulosidd empleo de escls propids. El cálculo gráfico se emple mucho por ser rápido file. I.14. Representción de fuers conceptos principles: Dirección ó líne de cción: Rect donde se encuentr. B Mgnitud, módulo ó intensidd: Su vlor. Sentido: V o viene en su dirección. ó Punto de plicción: De donde prte. I.15. Determinción de un fuer en el plno, por el método nlítico: B B Proección de un vector: B = B cos = B cos = B = B sen + Sistems de fuers: Colineles: Tods ls fuers en l mism dirección. Concurrentes: Ls direcciones concurren en un mismo punto (se cortn en ). Coplnris: Ls situds en un mismo plno. No coplnris: Se crun en le espcio. Equipolentes: ormdo por fuers prlels de l mism intensidd. I.16. Resultnte de un sistem de fuers: Se llm resultnte de un sistem de fuers otr fuer que represent l cción conjunt del totl de fuers que integrn el sistem. Dos ó más sistems con l mism resultnte momento se llmn equivlentes. I.17. Equilirio de un sistem de fuers: Cundo l resultnte del sistem es nul. L sum de tods ls fuers d cero. I.18. Principios fundmentles de Estátic: 1º) L resultnte de dos fuers que ctún sore un punto formndo un determindo ángulo, es igul l digonl del prlelogrmo construido con ls fuers. R 1 R = 1 + Crlos licet 7
UERS MECÁNIC º) Culquier fuer es despld en su líne de cción sin que se produc vrición en su efecto. ctún como vectores deslintes. 3º) Dos fuers situds en l mism líne de cción, de igul intensidd de sentido opuesto se equilirn mutumente. L resultnte es cero. 4º) Si un sistem de fuers o cuerpo culquier se le quit o plic otro sistem de fuers en equilirio, no se modific l cción ó el estdo de los mismos. 5º) Culquier sistem de fuers que ctú sore un sólido puede ser reempldo por su resultnte, surtiendo los mismos efectos. 6º) L cción de un fuer o sistems de fuers es contrrrestd o equilird por otr fuer de igul intensidd, pero de sentido opuesto, llmd RECCIÓN (principio de cción rección) I.19. Composición de fuers: Componer fuers es l operción de reducir un sistem de fuers otro ms simple, pero equivlente un sol fuer, llmd resultnte. Si l resultnte es nul el sistem está en equilirio. L composición o resultnte de un sistem de fuers se puede hllr de form gráfic o nlític. ) uers colineles: I) Ls fuers tienen el mismo sentido, el vlor de l resultnte es igul l sum de ls intensiddes. 1 3 R = 1+ + 3 II) Ls fuers tienen diferente sentido, el vlor de R es igul l diferenci el sentido de l mor. 1 R = 1 )uers concurrentes. Dos fuers concurren en un punto, l resultnte es l digonl del prlelogrmo. I.0. Le de los cosenos: C = + c c cos B c = + cos C = + c c cos B c Le de los senos: c = = sen sen B sen C sen = = 1 0 45 0 sen30 sen 5000 105 0 1 45º R = 5.000 45º R = 5.000 180º - (45º+) 1 Polígono funiculr: Composición de fuers gráficmente se descrie en el neo I de los puntes. Crlos licet 8
UERS MECÁNIC I.1 Un utomóvil es rrstrdo por dos cuerds. L tensión en B es de 400 kp. L resultnte de ls fuers plicds está dirigid lo lrgo del eje del utomóvil. Determinr gráficmente nlíticmente: ) L tensión. ( =584,8 kp) ) El módulo resultnte de ls dos fuers. (R=895,9 kp) I. Dd un fuer de 1 kp que form con l horiontl otr de 16 kp que form 45º con l horiontl. Determinr l resultnte. (R=,35; =31,º) I.3 L fuer de 40 N se dee descomponer en sus componentes lo lrgo de - -. determinr gráfic nlíticmente el ángulo si se se que l componente lo lrgo de - vle 190 N. (=43,8º) ig. I.1 ig.i.3 400 kp 0º 60º I.4 Dos fuers ctún sore un crretill que se mueve lo lrgo de un vig horiontl. Siendo que = 5º. Determinr por trigonometrí l fuer P de mner que l fuer resultnte se verticl. Cuál es l resultnte? (P=3.657 N; R=3.78 N) I.5 Sore l nterior crretill, determinr el módulo l dirección de l fuer P de mner que l resultnte se un verticl de 500 N. (P=.596; 36,5º) I.6 Si l resultnte de ls fuers que se ejercen sore l crretill dee ser verticl. Determinr: ) El vlor de pr que P se mínimo. (90º). ) El vlor de P. (1.545 kp). 15º 1600 N ig. I.4 1 = ig. I.7 P = 0 kp I.7. Determinr l resultnte de 1, gráfic nlíticmente. (58,18 kp; 50,1º). I.8. Dos fuers de 100 80 kp., tirn de un frdo. Hállese gráficmente l mgnitud, dirección sentido de un tercer fuer mínim pr que el frdo sig l dirección. (47 kp; -). I.9. Clculr gráfic nlíticmente l resultnte de ls fuers de l figur. (8 03; - 8,77º). I.10. Ídem si 1 = 1 kp. = 16 kp. (,3; 31,º). ig. I.8 1 = 6 kp 45º ig. I.9 100 kp 60º 80 kp Sol: R = 4 kp 8,79º 1,7º Crlos licet 9
VECTRES UERS MECÁNIC I.11. Clculr: ) El momento con respecto, producido por l fuer de 100 N. (1.50 mn). ) L fuer horiontl en pr otener el mismo momento. (57,7 N). c) L fuer mínim que plicd en produce el mismo momento. (50 N). d) qué distnci de se dee plicr un fuer verticl de 50 N pr otener el mismo momento? (15m). (sérvese que ningun fuer es igul tods producen el mismo momento, vrindo dirección punto de plicción). 5 m ig. I.11 60º 800N 100 N I.1. Ddo el vector = 3 i 4 j, plicdo en el punto (,3); hllr su momento respecto del punto B(0,1)(- 14k). I.13. Clculr el momento en el punto, que provoc l fuer de 800N. (188,6 mn). 140 70º I.14. Clculr el momento en, que provoc l fuer de 50 N. (171 mn). ig. I.13 00 50 N I.15 Determinr el módulo dirección de l fuer mínim pr otener un momento de 104 Nm en el pedl de freno de l figur. (= 400 N; =,6º). 10 m I.16. Clculr l distnci que sepr ls fuers el momento resultnte del pr de fuers de l figur. (d= 359,8; M = 179,9 mn). I.17. Ídem vrindo el ángulo 45º. (353,5; 176,8 mn). I.18. Ídem vrindo el ángulo 500 75º. N (70,8; 135,4 mn). ig. I.14 50º 300 mm 40 500 N ig. I.16 00 mm ig. I.15 100 Crlos licet 10
VECTRES UERS MECÁNIC I.19. L rr B se sustent por el cle C. Siendo que l tensión del cle son 300 kp. Clculr el momento en B producido. (3.40 mkp). Descomponer l tensión en sus componentes verticl horiontl. (180; 40) I.0. Un fuer = 6 i + 43 j 59 k newtons ctú desde el origen. Cuál es el vlor de est fuer qué ángulos form con los ejes,. (77,5 N; = 70,4º; β =56,3º; γ = 139,6º). 18m C B I.1. Hllr el producto esclr el ángulo formdo por: = 48, i 3, j+ 55, k = 8, i 609, j+ 11, k (P = 33,49; = 49,88º) 1m,5 m I.. Hllr el producto vectoril de: P= 8, i+ 47, j 81, k Q = 8,3 i + 44,6 j+ 53, 3k 0,5m igur I.19 0 kp (611,7 i - 378,5 j - 8,1k ). 60º I.3. I.4. Determinr el momento de l fuer de 0 kp. respecto del punto. (8,66 mkp). Ddos los vectores: = 1 (i + 3j + 6k) 7 = 1 (3i - 6j + k) 7 igur I.3 c = 1 (6i + j - 3k) 144 mm 7 B Demuéstrese: 1) Que sus respectivos módulos vlen l unidd. C 56 mm ) Que son perpendiculres entre sí. 3) Que c es el producto vectoril de por. 4 igur I.6 I.5. Si el producto vectoril de dos vectores es = 3i - 6j + k sus módulos son 4 7, respectivmente, clculr su producto esclr. (Not: cos = ( 1 sen )). (3 7 ). I.6. Se se que l iel B ejerce, sore l mnivel BC, un fuer de,5 kn dirigid hci jo hci l iquierd lo lrgo de l líne centrl B. Determínese el momento de es fuer con respecto C. (140 mn). Crlos licet 11