CAPITULO III ANILLOS Rodrigo Vargas 1. Aillos y Homomorfismos 1. (a) Sea G u gruo abeliao (aditivo). Defiimos ua oeració de multilicació e G or ab 0 (ara todo a, b G). Eoces G es u aillo. (b) Sea S el cojuto de todos los subcojutosde algu cojuto U fijo. Para A, B S, defia A + B (A B) (B A) y AB A B. Etoces S es u aillo. Es S comutativo? Tiee elemeto uidad? Solució: (a) Teemos que (ab)c 0 c 0 a 0 a(bc) y el roducto es asociativo, de maera similar ara la ley de distribució a(b + c) 0 0 + 0 ab + ac. Por lo tato, G es u aillo. (b) (i) (S, +) es gruo abeliao. Existe φ S tal que [A + B] + C [(A B) (B A)] + C A + φ (A φ) (φ A) (A S) (φ A c ) A φ A Para todo A S existe B A S tal que A + B A + A (A A) (A A) φ A+B (A B) (B A) (B A) (A B) B +A luego S es abeliao. (ii) Asociatividad de la multilicació (AB)C (A B)C (A B) C A (B C) A(B C) A(BC) 1
(iii) Ley de distribució A(B + C) A((B C) (C B)) A ((B C) (C B)) (A (B C)) (A (C B)) (A A C) (A C A B) A B + A C AB + AC 2. Sea {R i i I} ua familia de aillos co uidad. Hacemos la suma directa de gruos abeliaos R i sobre u aillo defiiedo la multili- i I cació coordeada a coordeada. Tiee i I R i uidad? Solució: Sea 1 i la uidad del aillo R i y x i R i, co i I etoces el elemeto i I 1 i satisface x i 1 i x i 1 i x i i I i I i I i I Luego, i I R i tiee uidad. 3. U aillo R tal que a 2 a ara todo a R es llamado u aillo Booleao. Pruebe que todo aillo Booleao R es comutativo y a+a 0 ara todo a R. Solució: Para cada a R se tiee que Sea a, b R etoces a a 2 aa ( a)( a) ( a) 2 a. a + b (a + b) 2 a 2 + ab + ba + b 2 a + ab + ba + b cacelado se obtiee que ab + ba 0, es decir, ab ba ba luego R es comutativo y además a + a (a + a) 2 a 2 + a 2 + a 2 + a 2 a + a + a + a a + a 0. 2
4. Sea R u aillo y S u cojuto o vacio. Etoces el gruo M(S, R) es u aillo co la multilicació defiida como sigue: el roducto de f, g M(S, R) es la fució S R dada or s f(s)g(s). Solució: Sabemos que M(S, R) es u gruo comutativo. Ahora bie, dados f, g, h M(S, R) se tiee ((f g) h)(s) (f g)(s)h(s) (f(s)g(s))h(s) f(s)(g(s)h(s)) f(s)(g h)(s) (f (g h))(s) ues el roducto e R es asociativo, etoces el roducto defiido e M(S, R) es asociativo. Lo mismo ocurre co la ley de distribució. 5. Si A es el gruo abeliao Z Z, etoces Ed A es u aillo o comutativo. 6. U aillo fiito co mas de u elemeto y si divisores de cero es u aillo de divisió. 7. Sea R u aillo co mas de u elemeto tal que ara cada elemeto o cero a R existe u úico b R tal que aba a. Pruebe: (a) R o tiee divisores de cero. (b) bab b. (c) R tiee uidad. (d) R es u aillo de divisió. Solució: (a) Si ax 0 (o xa 0) co a 0 etoces axa 0 a 0, sabemos que existe u úico b tal que aba a luego a aba aba + axa a(b + x)a or uidad de b imlica que b b + x x 0. Luego, R o tiee divisores de cero. (b) Basta otar que 0 aba a b(aba a) baba ba (bab b)a como a 0 y R o tiee divisores de cero or (a) imlica que bab b. 3
(c) Dado a R co a 0 existe u úico b R tal que aba a. Sea x R etoces xaba xa y como R o tiee divisores de cero etoces vale la ley de cacelació etoces xab x y ab es uidad izquierda. Similarmete, aba a abax ax bax x y ba es uidad derecha. (d) Como la uidad derecha es igual a uidad izquierda, etoces teemos que ab ba 1 de dode b a 1 y R es aillo de divisió. 8. Sea R el cojuto de todas las matrices 2 2 sobre el cuero comlejo C de la forma z w, w z dode z, w so el cojugado comlejo de z y w resectivamete (esto es, c a + b 1 c a b 1). Etoces R es u aillo de divisió que es isomorfo al aillo de divisió K de los cuaterioes reales. 9. (a) El subcojuto G {1, 1, i, i, j, j,, } de el aillo de divisió K de los cuaterioes reales forma u gruo bajo la multilicació. (b) G es isomorfo al gruo cuaterio. (c) Cuál es la diferecia etre el aillo K y el gruo aillo R(G) (R el cuero de los úmeros reales)? 10. Sea, eteros tales que 0 y el coeficiete biormal!/( )!!, dode 0! 1 y ara > 0,! ( 1)( 2)...2 1. (a) (b) < ara + 1 /2. + 1 + 1 (c) + ara <. + 1 + 1 (d) es u etero. (e) si es rimo y 1 1, etoces es divisible or. 4
Solució (a) Se tiee que (b) Notemos que + 1! ( ( ))!( )!!!( )!! ( 1)!( + 1)!! ( )!! + 1. + 1, or hiótesis /( + 1) 2 y /( + 1) < 1 etoces basta observar + 1 + 1 + 1 2 1 1. (c) + + 1! ( )!! +! ( 1)!( + 1)!!( + 1 + ) ( )!( + 1)! ( + 1)! + 1 ( )!( + 1)! + 1 11. Sea R u aillo comutativo co uidad de caracteristica rima. Si a, b R, etoces (a ± b) a ± b ara todo etero 0. Solució: Sabemos or ( roblema ) 10.(e) que si es rimo y 1 1 etoces divide a, como R es de caracteristica imlica que 0. Ahora bie, usado el Teorema biomial (a ± b) ( ) (±1) a b 0 (±1) b + 0 }{{} 1 a ± b 1 1 5 (±1) a b + }{{}}{{ } 0 1 a
12. U elemeto de u aillo es ilotete si a 0 ara algú. Pruebe que e u aillo comutativo a+b es ilotete si a y b lo so. Demuestre que este resultado es falso si R o es comutativo. 13. E u aillo R las siguietes codicioes so equivaletes. (a) R o tiee elemetos ilotetes o cero. (b) Si a R y a 2 0, etoces a 0. Solució Suogamos que existe a R tal que a 0 ara algú N, dode es el míimo atural co esta roiedad. Si 2 etoces se tiee que b a satisface b 2 0 ero b 0 lo que es ua cotradicció. Si 2 1 etoces a +1 0 y b a satisface b 2 a 2 a +1 0 ero b 0 lo que es ua cotradicció. Recirocamete, suogamos que existe a R co a 2 0 y a 0 etoces a R es elemeto ilotete distito de cero, luego R osee u elemeto ilotete distito de cero. 14. Sea R u aillo comutativo co uidad y de caracteristica rimo. La alicació R R dada or r r es u homomorfismo de aillos llamado el homomorfismo de Frobeius. Solució: Sea ϕ : R R el homomorfismo dado or ϕ(r) r, dados r, s R or roblema 11 se tiee que ϕ(r + s) (r + s) r + s ϕ(r) + ϕ(s) y además como R es comutativo ϕ(rs) (rs) r s ϕ(r)ϕ(s). Luego ϕ es u homomorfismo. 15. (a) De u ejemlo de u homomorfismo o cero f : R S de aillos co uidad tal que f(1 R ) 1 S. (b) Si f : R S es u eimorfismo de aillos co uidad, etoces f(1 R ) 1 S. (c) Si f : R S es u homomorfismo de aillos co uidad y u es ua uidad de R tal que f(u) es uidad e S, etoces f(1 R ) 1 S y f(u 1 ) f(u) 1. 6
16. Sea f : R S u homomorfismo de aillos tal que f(r) 0 ara algú r R o cero. Si R tiee ua uidad y S o tiee divisores de cero, etoces S es u aillo co uidad f(1 R ). 17. (a) Si R es u aillo, etoces R o es defiido como sigue. El cojuto base de R o es recisamete R y la adició e R o coicide co la adició e R. Multilicar e R o, deotado or, es defiido or a b ba, dode ba es el roducto e R. R o es llamado el aillo oositor de R. (b) R tiee uidad si y sólo si R o lo tiee. (c) R es aillo de divisió si y sólo si R o lo es. (d) (R o ) o R. (e) Si S es u aillo, etoces R S si y solo si R o S o. 18. Sea Q el cuero de los úmeros racioales y R cualquier aillo. Si f, g : Q R so homomorfismos de aillos tal que f Z g Z etoces f g. Solució: Sabemos que f() g() ara todo Z. Notemos que ( 1 1 f(1) g(1) g g()g f()g ) usado esta igualdad obteemos que 1 1 1 1 f f f(1) f f()g 1 1 1 f(1)g g(1)g g Por lo tato, ara todo q m ( m ) f(q) f f(m)f Q teemos que 1 g(m)g 1 ( m ) g g(q). 7