EJERCICIOS REPASO I Profesor: Juan Antono González Díaz Departamento Métodos Cuanttatvos Unversdad Pablo de Olavde 1
EJERCICIO 1: Un nversor se plantea realzar varas operacones de las que desea obtener la máxma rentabldad. Responda a las cuestones planteadas en cada caso. a Una prmera operacón consste en la contratacón de un fondo durante 7 años donde realza tres aportacones de cuantías 1. euros,.5 euros y 3. euros con vencmentos respectvos a 6 meses, 4 años y trmestres desde el momento de la contratacón. S el fondo ofrece un tpo de nterés anual smple del 3% los tres prmeros años, y un tanto mensual smple del 1,% los restantes, determne el valor del montante obtendo. S la operacón se valorara con tantos de nterés compuesto, cambaría el valor del montante? En caso afrmatvo, Qué explca la dferenca? Razone su respuesta.
1..5 3. 6 meses 3 años 4 años trmestres 7 años,5 años 5,5 años = 3% 1 = 1,% LFCS C n = C (1n = Cn 1 Cn Cn3 C n1 = 1. * (1,5 *,3 * (1 4 * 1 *,1 LFCS con dstntos tpos de nterés C n1 = Co I I = 1. 1. *,5 *,3 1. * 4 * 1 *,1 = 1.651 Euros I = Co * n * Cn =.5 * (1 3 * 1 *,1 = 3.58 Euros Cn 3 = 3. * (1 1,5 * 1 *,1 = 3.648 Euros Cn = 1.651 3.58 3.648 = 8.879 Euros 3 3
EJERCICIO 1: b En segundo lugar, adquere Letras del Tesoro a 1 meses en subasta a preco mínmo a través de una entdad fnancera que percbe unas comsones de suscrpcón del,%, de compra del,3% y de amortzacón y venta del,4%. S mantene la letra hasta su amortzacón, obtendría una rentabldad efectva del 3,5% Determne el preco que pagó en subasta. S la cotzacón meda de la msma fue del 3,8%, cuál fue el preco medo fjado en la subasta? 4
Para poder calcular la rentabldad efectva que el enuncado valora en el 3%, debo plantear una equvalenca entre lo que pago, y lo que recbo Qué pago? El preco mínmo (PMa más la comsón de suscrpcón (,% sobre 1., por lo que pago Pma euros. Cuándo lo pago? En el momento Qué recbo? Como espero a su amortzacón, recbré su mporte nomnal, 1. euros, menos la comsón de amortzacón, (,4% sobre 1., en total 996 euros Cuándo lo recbo? En el momento 364 días Por tato, la ecuacón quedaría: PMa 1, - 4 364 días 364 ( PMa (1, 35 = 1. 365 4 PMa = 96,41 Euros 5
Para calcular el PMe parto del me que me faclta el enuncado, medante la ecuacón: PMe 364 ( 1, 38 = 36 1. PMe = 963, Euros 6
EJERCICIO 1: c Pasados 1 días desde la adquscón de Letras del Tesoro decde vender uno de los títulos, cuando la cotzacón del mercado era del 98,756%. Qué rentabldad efectva obtendría en dcha operacón? Y el segundo tenedor de la letra s actúa a través de la msma entdad fnancera y mantene el título hasta su amortzacón? Asmsmo presenta al descuento dos efectos comercales de gual cuantía nomnal con vencmentos respectvos a 6 y 9 días. Con la cantdad efectva obtenda en esta operacón y el preco recbdo en la venta de la letra lquda una deuda de 1, euros que tenía pendente. S en la operacón de descuento la entdad fnancera aplca un tanto de descuento del 3% anual y una comsón de cobranza del,4%, a cuánto ascendía el nomnal de los efectos descontados? 7
Para poder calcular la rentabldad efectva s el prmer tenedor de la letra la vende pasados 1 días de la suscrpcón, debo plantear una equvalenca entre lo que pago, y lo que recbo Qué pago? El preco mínmo (Pma más la comsón de suscrpcón (,% sobre 1., por lo que pago 96,41, 96,41 euros. Cuándo lo pago? En el momento Qué recbo? Como vendo en el mercado secundaro, recbré el preco de la cotzacón, un 98,756% sobre 1,, menos la comsón de amortzacón y venta, (,4% sobre 1., en total 983,56 euros Cuándo lo recbo? En el momento 1 días Por tato, la ecuacón quedaría: 96,41 983,56 1 días 1 96, 41 (1 = 983, 56 = 8, % 365 8
Para poder calcular la rentabldad efectva s el segundo tenedor de la letra la compra pasados 1 días de la suscrpcón y la mantengo hasta su amortzacón debo plantear una equvalenca entre lo que pago, y lo que recbo Qué pago? El preco de cotzacón, 987,56 euros más la comsón de compra (,3% sobre 1., por lo que pago 987,563, 99,56 euros. Cuándo lo pago? En el momento 1 Qué recbo? Como espero a su amortzacón, recbré su mporte nomnal, 1. euros, menos la comsón de amortzacón, (,4% sobre 1., en total 996 euros. Cuándo lo recbo? En el momento 364 días Por tato, la ecuacón quedaría: 99,56 996 1 días 364días ( 364 1 99, 56 (1 = 996 =,76 % 365 9
Cancela una deuda de 1. euros con el valor descontado de las dos letras E más la cantdad recbda por la venta de la Letra del Tesoro 983,56 euros, por lo que la cantdad E ascende a 9.16,54 La operacón de descuento se representa del sguente modo: C C 6 días 9 días n E = N 1 d N g 36 6 9 9. 16, 54 = C 1, 3 C, 4 C 1, 3 C 36 36, 4 C = 4.554,96 Euros 1
EJERCICIO 1: d Fnalmente, el nversor decde lqudar una deuda pendente. En concreto, el nversor debe unos captales de cuantías C, 3. y C, con vencmentos a 5, 9 y 15 meses. Para su lqudacón el nversor plantea al acreedor realzar una operacón de vencmento medo valorada a un 6% de descuento trmestral smple. Determne el valor del vencmento medo En el vencmento medo se cumple que el captal únco es gual a la suma de cada captal ndvdual. Por lo tanto, el captal únco por el vencmento medo es gual que la suma de cada captal ndvdual por su respectvo vencmento, por lo que ( C 3. C t = C 5 3. 9 C 15 t = C 5 ( C 3. 3. 9 C C 15 11
EJERCICIO : Responda razonadamente a las cuestones planteadas en cada una de las sguentes operacones fnanceras a Una entdad fnancera ofrece depóstos a la vsta por un mporte mínmo de 3. euros abonando un 3% de nterés anual lqudable cuatrmestralmente, con una comsón de apertura del,1% y una comsón de gestón que se abona al fnalzar el depósto del,5% del captal nvertdo Cuál es la TAE del depósto? Un clente decde contratar el producto realzando un depósto de 45. euros durante 8 años. Determne el valor del montante obtendo s la entdad fnancera pasó a abonar el 3% de nterés anual de forma semestral pasados tres años de la contratacón del depósto. Cuál es el tanto efectvo obtendo por el nversor en la operacón? 1
Como se trata de una operacón con vencmento aberto, cuando nos pden la TAE del depósto, no tenemos en cuenta las comsones. Por tanto, para calcular la TAE bastaría con calcular el tpo de nterés anual equvalente al tpo de nterés que nos faclta el enuncado del problema. Un tpo de nterés anual lqudable cuatrmestralmente hace referenca a una J, en este caso, J3 A partr de este dato, calculamos el nterés k-esmal equvalente, en este caso, 3, medante la equvalenca: J 3, 3 3 3 3 = = =, 1 Y ahora calcularíamos el nterés anual equvalente, medante la equvalenca: k ( 1 = (1 k = (1, 1 3 1 =, 331 Por tanto, la TAE sería gual a un 3,3% 13
El clente deposta 48. euros sobre los que se aplca una comsón de apertura del,1%, es decr, 48 euros (48, x,1. Por tanto, la cantdad que va a generar es ntereses será 47.95 euros (48. 48 47.95 Cn 3 años 8 años J3 = 3% J = 3% J 3, 3 J, 3 3 = = =, 1 = = 3 3 =, 15 Y ahora calcularíamos el montante: C n = 4795 (1, 1 ( 5 1, 3 3 15 C n = 6. 863, 86 No obstante, el clente no recbría ese mporte, ya que, además, le cobrarían al retrar el montante una comsón de gestón del,5% de captal nvertdo, es decr, 4 euros (48. x,5. Por tanto, le quedaría un mporte gual a 6.63,86 euros 14
Para poder calcular el tanto efectvo obtendo por el nversor hay que plantear una equvalenca entre la cantdad que se nverte y la que se recbe. Qué se nverte? El mporte total nvertdo ascende a 48. euros. Cuándo se nverte? En el momento Qué recbo? La cantdad de 6.63,86 euros Cuándo lo recbo? En el momento 8 años Por tato, la ecuacón quedaría: 48. 6.63,86 8 48 8 ( 1 = 663, 86 =,96% 15
EJERCICIO : Responda razonadamente a las cuestones planteadas en cada una de las sguentes operacones fnanceras b El Sr. Colomer contrata un fondo donde realza aportacones durante 16 años, ngresando C euros al nco de la operacón y A euros al fnalzar el qunto año. La entdad fnancera que gestona el fondo ofrece un 6% anual con lqudacones mensuales los dos prmeros años, un % efectvo semestral los cuatro años sguentes, un 8% anual lqudable cada beno durante los ses sguentes y un 9% cuatrmestral efectvo los restantes. Cuál es el montante obtendo al fnalzar la operacón? 16
C A años 5 años 6 años 1 años 18 años J1 = 6% = % J1/ = 8% 3 = 9%, 6, 8 1 = =, 5 1 / = =, 16 1 1 Cn 1 4 6 ( ( ( 1 6 3 1 6 1, 5 1, 1,16 ( ( ( 1 1, 9 1, 1,16 ( 1, 9 6 3 = C A 17
EJERCICIO : Responda razonadamente a las cuestones planteadas en cada una de las sguentes operacones fnanceras c Actualmente el Sr. Colns tene una deuda con una empresa de fnancacón por la que tendría que abonar 5., 3.5 y 4.5 con vencmentos a 5, 8 y 1 años. Ante su prevsón de ngresos, plantea a la empresa lqudar totalmente la deuda medante una operacón de vencmento común. Determne el valor del vencmento únco se la operacón se valora a un tanto de nterés efectvo trmestral. 18
.. Stuacón Incal A 5 5 3.5 4.5 8 1 Sólo puedo cambar una stuacón ncal, con varos captales,. por una. stuacón alternatva, un solo captal, cuando ambas opcones sean equvalentes Stuacón Alternatva B C t Es decr, sólo puedo susttur la Stuacón A por la Stuacón B s son equvalentes La Stuacón A será equvalente a la Stuacón B s, valoradas en el msmo momento, son guales. Es decr, A ( = B ( 5 (1 5 4 8 4 1 4 t 4 4 35 (1 4 45 (1 4 = C (1 4 19
EJERCICIO 3: Responda razonadamente a las cuestones planteadas en cada caso a Consdere dos captales de cuantía C1 y C, con vencmento a 6 y 1 meses. Indque la condcón que debe cumplrse para que ambos captales sean equvalentes a los 1 meses a un captal C3con vencmento a 7 meses, a un tanto de nterés semestral smple.
.. Stuacón Incal A C1 6 C 1 1 Sólo puedo cambar una stuacón ncal, con varos captales,. por una. stuacón alternatva, un solo captal, cuando ambas opcones sean equvalentes Stuacón Alternatva B C3 7 1 Es decr, sólo puedo susttur la Stuacón A por la Stuacón B s son equvalentes La Stuacón A será equvalente a la Stuacón B s, valoradas en el msmo momento, son guales. Es decr, A (1 = B (1 C 6 ( 1 C (1 = C 3 (1 6 6 1 5 6 1
EJERCICIO 3: Responda razonadamente a las cuestones planteadas en cada caso b Determne la tasa de nterés anual compuesto equvalente correspondente a una operacón de captalzacón de 15 años en la que el captal ncal es valorado a una tasa efectva semestral durante los tres prmeros años y un tanto de nterés anual lqudable mensualmente los doce años restantes.
C Cn 3 años 15 años J1 C = C (1 n 3 (1 1 1 x 1 C n = C ( 1 15 C ( 1 3 1 x 1 (1 1 = C (1 15 3
EJERCICIO 3: Responda razonadamente a las cuestones planteadas en cada caso c Consdere una renta anual de térmnos de cuantía a los cnco prmeros, el prmero de ellos con vencmento al comenzo del cuarto año, de cuantía a los ses sguentes vencendo el prmero de ellos al fnalzar el año 1 y de cuantía 3a los restantes hasta fnalzar la operacón. Determne el valor actual y fnal de la renta s la operacón se valora a un tanto de nterés anual los qunce prmeros años e los restantes 4
5 15 ' 9 15 ' 11 4 5 (1 ' (1 3 (1 (1 (1 = a a a a a a a a A a a a a a a a a a a a 3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a 1 3 4 5 6 7 8 9 1 11 1 13 14 15 16 17 18 19 1 3 4 5 6 ' 9 9 ' 11 4 11 8 5 3 ' (1 ' (1 ' (1 (1 s a s a s a s a S =
EJERCICIO 3: Responda razonadamente a las cuestones planteadas en cada caso d Consdere un préstamo de C euros de nomnal que se amortza medante pago únco de captal y abono anual de ntereses en n años a un tanto anual de nterés. Al fnalzar el año h, el prestataro realza una entrega a cuenta de R euros, cuando el tanto de nterés de mercado es y pacta abonar la totaldad de la deuda pendente al fnalzar la operacón, cambando el sstema ncalmente pactado. Calcule la cantdad S que lqudaría totalmente la deuda al fnalzar la operacón una vez realzada la entrega a cuenta S en el año n-, una vez realzada la entrega a cuenta, el prestataro decdese lqudar totalmente la deuda, qué cantdad exgría el prestamsta s el tanto de nterés de mercado en ese momento concdera con el del préstamo? 6
C C C C C C C C C CC º 1 3 h h1 h h3 n-1 n R S º 1 3 h h1 h h3 n-1 n C s ( n h n h ' C = R (1 ' S S = C s n h ' C R (1 ' ( n h 7
S º 1 3 h h1 h h3 n-1 n X º 1 3 h h1 h h3 n- n-1 n S = X ( 1 ' ' X = S ( 1 ' ' 8