CORPORACIÓN UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS UNIMINUTO Bucrmng Profesor: Lic. Edurdo Durte Suescún ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Ests ecuciones tmién recien el nomre de ecuciones lineles. Son epresiones de l form P, donde P es un polinomio de primer grdo. Por lo tnto, tod ecución de primer grdo con un incógnit se puede escriir en l form: siendo y números reles y es el término linel y el término independiente Resolución de ecuciones lineles en R Pr resolver un ecución linel con un incógnit en R, se recurre l plicción de ls propieddes que resulten necesris pr ir oteniendo ecuciones equivlentes l inicil, hst reducirl l epresión generl. Un vez otenid est epresión, se continurá plicndo propieddes hst otener l solución. Propieddes de ls operciones en el conjunto de números reles En R se definen ls operciones dición y multiplicción que verificn ls siguientes propieddes: Propieddes de l dición. Leyclusurtiv: Si R y R entonces R, entonces c c. Ley uniforme: Si R R y c R y. Ley conmuttiv:. Ley socitiv: c c culesquier sen los números reles y culesquier sen los números reles, y c 5. Eistenci del elemento neutro: Eiste el número tl que culquier se el número rel 6. Eistenci del inverso ditivo: Culquier se el número rel, eiste un único número rel tl que
Propieddes de l multiplicción. Ley de cierre: Si R y R entonces R, entonces c c. Ley uniforme: Si R R y c R y. Ley conmuttiv: culesquier sen los números reles y. Ley socitiv: c c culesquier sen los números reles, y c 5. Eistenci del elemento neutro: Eiste el número tl que culquier se el número rel 6. Eistenci del inverso multiplictivo: Culquier se el número rel distinto de cero, eiste un único número rel tl que 7. Ley distriutiv de l multiplicción con respecto l dición c c culesquier sen los números reles, y c Ejemplo de resolución de un ecución: ditivo 6 Propiedd distriutiv de l multiplicción con respecto l sum 6 Propiedd socitiv de l sum 6 Sum dentro del préntesis (se llegó l epresión generl) 6 6 6 Propiedd uniforme de l sum y eistenci del inverso 6 6 6 Propiedd socitiv de l sum 6 Propiedd de sum de un número con su inverso ditivo en el primer miemro, y sum en el segundo miemro 6 Propiedd del neutro ditivo 6 Propiedd uniforme de l multiplicción y eistenci del inverso multiplictivo 6 Propiedd socitiv de l multiplicción. Propiedd de l multiplicción de un número con su inverso multiplictivo en el primer miemro, y multiplicción en el segundo miemro. Propiedd del neutro multiplictivo
Verificción L verificción es un procedimiento que permite ser si el vlor otenido pr l incógnit es o no el correcto. El procedimiento consiste en reemplzr dicho vlor en l epresión originl de l ecución, y resolver cd miemro hst llegr un identidd, lo que confirmrí que el vlor hlldo es solución. Ejemplo: Verificción del vlor como solución de l ecución Reemplzndo en l ecución originl y operndo, se otiene: ( ) () Como se llegó un identidd, se concluye que es solución y el conjunto solución es S ={ -} A veces no es necesrio llegr l epresión iguld cero (epresión generl), y que result conveniente que los términos lineles (que contienen l incógnit) se grupen en el primer miemro, mientrs que los términos independientes (que no contienen l incógnit) se grupen en el segundo miemro. Ejemplo: Resolver l ecución ( ) 9. (en l resolución se plicn ls propieddes sin indicrls) 8 9 9 9 8 8. 9 8 8
Verificción Reemplzndo en l ecución originl y operndo, se otiene: 7 7 9 5 8 9 7 Como se llegó un identidd, se concluye que es solución y el conjunto solución es S ={ } DISTINTOS TIPOS DE SOLUCIÓN Ls ecuciones pueden presentr tres tipos de solución:. Únic solución.. Solución vcí.. Infinits soluciones. ECUACIONES CON ÚNICA SOLUCIÓN Un ecución tiene únic solución si eiste solmente un número rel que stisfce l iguldd. En este cso, el conjunto solución es el conjunto unitrio formdo por dicho número rel. Ejemplo: 7 Verificción 5 7 7 7 7 5 5 7 5 7 5 7 7. 5 7 5 7 Luego de verificr, el conjunto solución es S 5 7
Ecuciones con solución vcí Un ecución tiene solución vcí cundo no eiste ningún número rel que stisfce l iguldd. En este cso se dice que l ecución no tiene solución y el conjunto solución es el conjunto vcío. Ejemplo: Resolviendo l ecución result: 9 9 9 9 5 5 5 5 Est ecución no tiene solución porque l iguldd otenid 5 no se cumple pr ningún número rel, y que pr culquier vlor de se otendrí 5 lo cul es un surdo, por lo que el conjunto solución es vcío. Es decir S Ecuciones con infinits soluciones Un ecución tiene infinits soluciones cundo eisten infinitos números reles que stisfcen l iguldd. En este cso l ecución recie el nomre de identidd, y el conjunto solución es el formdo por todos los números reles. Ejemplo: 5 5 5 Est ecución tiene infinits soluciones porque pr culquier número rel, se otiene = que es un identidd. El conjunto solución es S = R Csos prticulres Alguns ecuciones que no son lineles, pueden llevrse l form linel medinte psos lgericos (plicción de propieddes de ls operciones), tl es el cso de igulddes en ls que precen epresiones lgerics rcionles. En estos csos, ntes de comenzr l resolución, se
dee determinrse el o los vlores de l vrile que nuln los divisores (denomindores) pr no considerrlos como solución, y que l división por cero no está definid. Ejemplos: ) Se oserv que el denomindor se nul pr =, entonces l condición tener en cuent es que no puede tomr el vlor Pr resolver l ecución, se plic l propiedd: A B A pr todo número rel B condición Vlor que no es dmitido como solución por l condición Por lo tnto en conjunto solución es S ) En est ecución el vlor no permitido pr es. Resolviendo l ecución, se otiene: ) ( 5 5
5 5 5 5 5 5. 5 En este cso el vlor de cumple con l condición de ser distinto de. Por lo tnto se puede verificr que el conjunto solución es 5 S Tmién pueden presentrse ecuciones que en principio precen ser de segundo grdo (o más), pero que l llevrls su epresión generl, resultn ser lineles l nulrse el/los término/s de 5 myor grdo. Por ejemplo: Aplicndo propieddes se otiene: 5 5 5 Result un ecución linel: 5 5 5 Aplicciones Y se mencionó l importnci de ls ecuciones en l resolución de prolems. Pr resolver un prolem plicndo ecuciones con un incógnit, se procede de l siguiente mner:. Leer e interpretr el enuncido, pr poder identificr dtos e incógnit determinndo ls relciones que eisten entre ellos.. Cundo se trte de un prolem geométrico, es conveniente relizr un diujo (esquem gráfico) donde se noten los dtos e incógnit.. Escriir l ecución que correspond l relción encontrd entre los dtos y l incógnit.. Resolver l ecución. 5. Anlizr l solución lgeric, pr determinr si el vlor otenido responde ls condiciones del prolem. En cso firmtivo, se procederá enuncir l respuest del mismo.
Ejemplo: El perímetro de un triángulo isósceles es de 5 cm y l se mide cm más que uno de los ldos igules. Hlle l longitud de los ldos. En este cso, un gráfico permite ilustrr l situción. Llmndo l longitud de los ldos igules, l se quedrá identificd con + ; y el perímetro será: + P Según los dtos del prolem, el perímetro es de 5 cm. Por lo tnto, reemplzndo este vlor en l epresión nterior, se otiene l ecución cuy resolución permitirá dr l respuest l prolem. 5 L solución de est ecución es: = m L respuest del prolem será entonces: L se mide cm (se otiene l reemplzr el vlor de en l epresión de l se) y los ldos igules miden cm cd uno. Ests ecuciones tmién recien el nomre de ecuciones cudrátics. Son epresiones de l form: P, donde P es un polinomio de segundo grdo. Por lo tnto, tod ecución de segundo grdo con un incógnit se puede escriir en l form: c siendo, y c números reles y es el término cudrático, y el coeficiente del término cudrático. es el término linel, y el coeficiente del término linel. c es el término independiente. Resolución de ecuciones cudrátics con un incógnit Pr determinr el conjunto solución de ests ecuciones, es importnte nlizr si contiene todos los términos. En cso de no presentr el término linel o el independiente ( = o = ) conviene plicr métodos prácticos de resolución, distintos del correspondiente un ecución cudrátic complet.
Ecuciones cudrátics sin término linel ( = ) Son de l form: c En este cso, se otiene l solución en form inmedit, plicndo propieddes de ls operciones, que permiten despejr l incógnit. Ejemplo: 9 9 9 9 9 9 9 Ce recordr que l plicr ríz cudrd en mos miemros se deen considerr los dos signos posiles pr l incógnit. De est mner result: Verificciones 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 El conjunto solución es S, Ecuciones cudrátics sin término independiente (c = ) Son de l form: En este cso, se otiene l solución fctorizndo el primer miemro. Como el producto otenido (siempre pueden considerrse dos fctores) está iguldo cero, se dee cumplir que uno de los fctores es cero o ien mos son ceros. El plnteo de est propiedd nos llev dos ecuciones lineles con un incógnit, que l resolverls permitirán otener el conjunto solución de l ecución cudrátic.
Ejemplo: 6 Fctorizndo el primer miemro (fctor común ): ) ( Aplicndo propiedd: L solución de es. Y l solución de es Verificciones 6 El conjunto solución de l ecución cudrátic es, S ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETAS Son de l form: c con, y c distintos de cero. Se puede otener un fórmul que permite encontrr ls ríces de l ecución. Sólo se requiere identificr los coeficientes y, y el término independiente c que deen reemplzrse en l fórmul. Otención de l fórmul Pr otener l fórmul se siguen los siguientes psos: c c c c c c c c,
Por lo tnto, l fórmul es:, c Es decir: c y c Ejemplo: Se resuelve continución un ecución medinte l plicción de l fórmul. En l ecución Reemplzndo en l fórmul: Es decir, se otiene: y,, y c,, 9 Est fórmul es plicle tnto pr ls ecuciones cudrátics complets, como pr ls incomplets. Distintos tipos de solución Ls ecuciones cudrátics pueden presentr distintos tipos de solución: Números reles y distintos Números reles e igules (tmién llmds ríces doles) Números complejos conjugdos. Pr determinr el tipo de solución, tmién llmdo nturlez de ls ríces, se nliz el rdicndo de l fórmul de resolución. Dicho rdicndo recie el nomre de discriminnte, y se denot con l letr grieg delt Entonces: c El discriminnte permite determinr l nturlez de ls ríces sin resolver l ecución: Si ls ríces son números reles y distintos. Si ls ríces son números reles e igules. Si ls ríces son números complejos conjugdos.
Csos prticulres De igul form que ocurre con ls ecuciones lineles, eistirán ecuciones que sin ser cudrátics, se pueden llevr l epresión de un cudrátic. Si se trtn de epresiones lgerics rcionles, siempre se tendrá que tener presente ls condiciones que dee cumplir l vrile. Ejemplo: L condición pr será que no puede tomr el vlor cero. Llevndo est ecución su epresión generl, se otiene: Resolviendo, se otiene: y S, 8 8 8 6 8 6 ; vlores permitidos, l solución es: Tmién eisten ls ecuciones polinómics que, en principio, precen ser de myor grdo. Pero l llevrls su epresión generl resultn de segundo grdo, l cncelrse los términos de myor grdo. Aplicciones Eisten innumerles plnteos de situciones prolemátics que dn origen un ecución cudrátic. Siguiendo los psos y indicdos pr l resolución de un prolem plicndo ecuciones, se puede rrir l solución del mismo. Ejemplo: Un terreno rectngulr tiene su lrgo igul l dole de su ncho. Si el lrgo se ument en m y el ncho en 6m, el áre se hce dole. Hllr ls dimensiones del terreno originl. Llmndo l ncho del terreno, su lrgo quedrá representd por. El áre del terreno es: A =. = Aumentndo el lrgo y el ncho como indic el enuncido, se otienen otrs dimensiones: Ancho = + 6m y Lrgo = + m Con estos nuevos vlores, el áre será ( + 6m).( +m). Pero según el enuncido ést nuev áre será el dole de l nterior. Es decir ( + 6m).( +m) =.
Prescindiendo de ls uniddes, se puede epresr l siguiente ecución: 6 Llevndo l ecución su epresión generl, se otiene: 5 Donde =, = 5 y c =. Aplicndo l fórmul de resolución, se otiene: y En el conteto del prolem, sólo se cept como solución el vlor = ( no eisten longitudes negtivs). L respuest del prolem será: El ncho del terreno es de m y el lrgo es de 6m. Biliogrfí Archivo tomdo de: o.uns.edu.r/dnt/nivelcion/mt_aneo_ing.doc Cmus N. - Mssr L. (995) Mtemátic Ed. AIQUE Bldor A. (99) Álger Ed. Culturl Venezoln Crione N. Crrnz S. - Trm E.(997) Mtemátic Ed Sntilln Tpi N. -Tpi A. Tpi C. (986) Mtemátic y Ed. Estrd ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA ) Un número multiplicdo por 5 sumdo con el mismo número multiplicdo por 6 d 55. Cuál es el número? ) Qué número se dee restr de p+ pr otener 5? ) El dole de un número umentdo en es igul su triple disminuido en 5. Cuál es el número? ) Tres números impres consecutivos sumn 8. Cuáles son los números? 5) El dole de un número más el triple de su sucesor, más el dole del sucesor de éste es 7. Hllr el número. 6) L diferenci entre los cudrdos de dos números consecutivos es. Cuáles son los números? 7) Si el ldo de un cudrdo se duplic, su perímetro ument m. Clculr l medid del ldo del cudrdo. 8) Ls dimensiones de un rectángulo están en l rzón : 5 y su perímetro es m. Clculr el lrgo y en ncho. 9) Si el ldo de un cudrdo es umentdo en 8 uniddes, su perímetro se triplic. Cuánto mide el ldo? ) Un pdre tiene ños más que su hijo. Dentro de ños, el pdre tendrá el dole de l edd del hijo. Cuántos ños tiene cd uno ctulmente?
) L edd de Mrí es el triple de l de Ester y ecede en 5 ños l edd de Isel. Si ls eddes de Ester e Isel sumn ños. Hllr l edd de cd un. ) Hce 6 ños un pdre tení el cuádruplo de l edd de su hijo. En ños más tendrá sólo el dole. Hllr l edd ctul del pdre e hijo. ) Se comprn 5 lápices, cudernos y goms de orrr y se cncel por ello $ 6.9. Si cd cuderno cuest el triple de cd gom, más $ y cd lápiz cuest el dole de cd gom, más $ 8. Cuánto cuest cd mteril? ) Hllr dos números enteros consecutivos cuy sum se. 5) Tres números enteros consecutivos sumn. Hllr los números. 6) Hllr dos números enteros pres consecutivos cuy sum se 9. 7) L sum de tres números impres consecutivos es 99. Hllr los números. 8) L cez de un pez corresponde l tercio de su peso totl, l col un curto del peso y el resto del cuerpo pes kg. 6 grmos. Cuánto pes el pez? 9) Un psicólogo cor $6. por hor y su uilir terpeut $.. Un pciente recie l finl de su trtmiento un orden de coro por $58.. si se se que el uilir de terpi trjo 5 hors menos que el psicólogo. Cuánts hors trjo cd uno de ellos? ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA ) L sum del cudrdo de un número entero y el cudrdo del duplo del consecutivo es. Cuál es el número?. Rt:6 ) Un consultorio tiene form rectngulr, se dese colocr un dorno que trviese el consultorio en form digonl, siendo que un ldo mide ls tres curts prtes del otro y que tiene un áre es 8 m. Rt: ) Clculr el perímetro de un rectángulo cuy áre es 68, siendo que l diferenci entre l se y l ltur es. Rt:5 ) Clculr l ltur del frente de un chlet de form tringulr de 7.75 m de áre, siendo que l medid de l ltur es igul ls dos tercers prtes de l medid de l se. Rt:9 m. ) El áre y el perímetro de un rectángulo son respectivmente 89 m y 57 m. Clculr l longitud de su digonl. Rt:.88 m. 5) Los ingresos mensules de un fricnte de zptos están ddos por l función I(z)=z-z, donde z es l cntidd de pres de zptos que fric en el mes. Relicen el gráfico proimdo de l función y respondn. ) Qué cntidd de pres dee fricr mensulmente pr otener el myor ingreso? ) Cuáles son los ingresos si se fricn 5 pres de zptos? y 75 pres? c) A prtir de qué cntidd de pres comienz tener pérdids?. Rts: Dee fricr 5 pres pr otener el máimo ingreso; Los ingresos son los mismos $9.75.; Fricndo más de 5 pres. 6) En un isl se introdujeron iguns. Al principio se reprodujeron rápidmente, pero los recursos de l isl comenzron escser y l polción decreció. El número de iguns los t ños de herlos dejdo en l isl está ddo por: I(t)= - t +t+ (t >). Clculr: ) L cntidd de ños en los cules l polción de iguns umentó. ) En qué momento l polción de iguns se etingue? Rts: ños; Se etingue proimdmente los 6 ños y meses.