Ejeriios Resuelos P Nº 4: SERIE DE FOURIER Ejeriio L señl dd es x( Se pide lulr los oefiiees de l Serie rigooméri de Fourier, es deir,, b y Como l señl o iee igú ipo de simerí, ls iegrles pr hllr los oefiiees de l - - - 9 serie será por rmos ( rmos Si embrgo, desplzdo l señl o e l direió de ls x omo e l de ls y, puede simplifirse los álulos Cosideremos l señl (x(--, que es u señl que se obiee desplzdo x( pr bjo, es deir, resdo e mpliud od l señl, o lo que qued: 4 x( x(- 4 - - - 9 y luego rerdádol uiddes de iempo (fleh roj figur : ( 4 - -7 - - - 7 Puede erse que l señl obeid filmee es u señl pr OBSERVACIÓN: Podrí hberse obeido ( deldo x( e 4 uiddes de iempo (fleh zul figur y l soluió es igulmee álid: (x(4- Debido l simerí que posee, l serie de ( es más fáil de obeer que l de x(: ( ( bse(
Luego podemos reuperr x( reorddo que (x(--, y eoes: ( ( ( ( ( ( se b x SOLUCIÓN Coefiiees de ( ( ( ( ( / / d d d d / es el deomido lor medio de l señl y, udo l form de l fuió lo permie puede lulrse simplemee hiedo el oiee del áre bjo l ur e u período de l señl y diho período, es deir, e ese so: / A Como l señl ( es pr, los oefiiees b será igules ero pr odo : ( ( se / / d b L iegrl de u fuió impr es ero El úio álulo que res her es el de los ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( si se se se se se se / / d d d Se uo e ue que: - - ( ( se α α (bl de equileis rigooméris- Sdosky - si( se( α α α Ahor y podemos esribir ( por su represeió e serie rigooméri de Fourier: Por ser señl pr Porque ere x y x l señl le ero pr impr impr
si ( Y filmee, obeemos l represeió e serie geoméri de Fourier de x(, uesr fuió origil: ( ( x se se si si si ( Se usó l equilei rigooméri: ( ( ( ( ( β α β α β α se se, o α y β OBSERVACIONES: - L ompoee de oiu quid x(, es deir, el lor de que se le resó od l fuió, se sum l lor medio (ompoee de oiu de ( pr reuperr l fuió origil - L fuió x( o iee simerí, por lo o iee oefiiees y b disios de ero Serie expoeil de Fourier de x( U ez obeid l serie rigooméri, puede obeerse muy fáilmee l serie expoeil (y mbié l iers prir de l relió ere oefiiees ( ( e x o e x j j si se si se si si j e j j jb Eoes si ( e e x j j b Espero de mpliud y espero de fse Reordemos que los so úmeros omplejos, por lo o los podemos expresr e módulo y fse / Vlor medio de x( b
El espero de mpliud esá formdo por los lores de los módulos de los pr d, es deir, j si e si 4 - - Los eros de l si se euer e k, es deir, e k (d El espero de fse es el gráfio de los lores de l fse de los pr d lor de j Sbemos que si e, y por lo o su fse será θ ( θ ( 4pi pi/ -pi/ -4pi - - Los gráfi esá hehos e fuió de, pero podrí hberse heho e fuió de, y llí se erí lrmee que l seprió ere brrs es Reuerde: Los esperos de mpliud y fse de ls señles periódis so disreos L eolee NO es el espero 4
Qué sigifi l represeió e serie de u fuió? Culquier fuió periódi puede represerse medie u serie de fuioes rigooméris de freueis que so múliplos eeros de l freuei fudmel de l señl dd Es serie es l deomid Serie de Fourier, que puede ser expoeil o rigooméri L serie oerge el lor de l fuió, es deir, medid que se sum más érmios l serie és es más preid l fuió que represe Cómo se lul l expresió emporl de l ompoee k-ésim? Cuál es su mpliud y uál es su fse? SERIE EXPONENCIAL j x e ( Expresió emporl de l primer rmói: j j jθ j jθ x ( e e e e e e - j Luego, eiedo e u que si l señl es rel los so úmeros omplejos ojugdos, Im( eoes y θ r ( θ y Re jθ j jθ j j( θ j( θ x ( e e e e ( e e ( θ Expresió emporl de l segud rmói: x ( ( θ Expresió emporl de l rmói k-ésim: x ( ( k θ SERIE RIGONOMÉRICA x( k k ( b se( Expresió emporl de l primer rmói: x ( ( bse( Expresió emporl de l segud rmói: ( ( b se( x Expresió emporl de l rmói k-ésim: x ( ( k b ( k k k k k se Puede probrse que xk ( k ( k bkse( k Rk ( k φk bk Im( Co Rk k bk y φ k r r ( k Re k k jbk, reorddo que
Vemos l proximió por u úmero reiee de rmóis de l señl ( esudid es Freuei fudmel (f / Hz Gris: fuió ex Negro: proximió por l serie Hs l segud rmói - - Hs l qui rmói - - Hs l déim rmói - - - - Y por qué pree es diferei e l mpliud? Porque odí o summos l ompoee de oiu, el lor medio, que e el so de ( es // Y hor si - -