Teorema Central del Límite

Capítulo 7 Teorema Cetral del Límite 7 La Ley Débil de los Grades Números Lema 7 (Desigualdad de Markov) Sea X 0 ua variable aleatoria y a u úmero positivo, etoces (X a) E(X) (7) a Demostració Si E(X) = +, o hay ada que probar E caso cotrario, llamado A al eveto A = {X a}, se tiee las desigualdades siguietes, X(ω) X(ω) A (ω) a A (ω) La primera desigualdad se debe simplemete a que X(ω) 0 y A (ω) es igual a 0 ó E cuato a la seguda, si ω / A etoces A (ω) = 0 y ambos miembros so iguales y si ω A, por u lado A (ω) = y por otro, dada la defiició del eveto A, X(ω) a Se deduce que E(X) E(a A ) = a E( A ) = a (A) Dividiedo por a se obtiee (7) Lema 7 (Desigualdad de Tchebichev) Sea X ua variable aleatoria co variaza fiita y ε > 0 Etoces ( X E(X) ε) Var(X) (7) ε Demostració El eveto { X E(X) ε} es el mismo que {(X E(X)) ε } Apliquemos la desigualdad de Markov poiedo ε e lugar de a y (X E(X)) e lugar de X Resulta ( X E(X) ε) = ((X E(X)) ε ) ε E((X E(X)) ) = ε Var(X) que es (7)

9 CAÍTULO 7 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Teorema 7 ( Ley Débil de los Grades Números) Sea {X } ua sucesió de variables aleatorias idepedietes, E(X ) = µ, Var(X ) = σ =,, Etoces, cualquiera que sea ε > 0, se tiee ( ) lim X + X + + X µ ε = 0 (73) Demostració ogamos S = X + X + + X y apliquemos la desigualdad de Tchebichev a la variable aleatoria S / Teemos E( S ) = E(X i ) = µ = µ, Aplicado (7) i= Var( S ) = Var( X i ) = i= ( ) S p µ ε i= Var(X i ) = σ σ ε 0 cuado Esto prueba la ley débil de los grades úmeros 7 Ejemplos y Cometarios = σ E el caso de la distribució biomial, e el cual cosideramos la variable aleatoria S que represeta el úmero de veces que ocurre u suceso A co probabilidad p = (A) e observacioes idepedietes del mismo, hemos cosiderado oportuamete la estimació del parámetro p e geeral descoocido mediate la frecuecia relativa ˆp = S del úmero de veces que ocurre A e las observacioes, co relació al total de observacioes realizadas Se verifica etoces que ( ˆp p ε) 0 para todo ε > 0 cuado (74) La propiedad (74), de aproximació etre ˆp (que es fució de las observacioes empíricas que podemos efectuar), y el úmero p (que es u cierto parámetro del problema), os idica que si el úmero de observacioes es bastate grade, es etoces pequeña la probabilidad de que la distacia de ˆp a p sea mayor que u úmero dado La desigualdad de Tchebichev os dá, además, ua acotació de la velocidad co la que el primer miembro de (74) tiede a cero cuado E el ejemplo que estamos cosiderado, como ya hemos visto e la secció 63, y etoces E(ˆp ) = p Var(ˆp ) = p( p) ( ˆp p ε) p( p) ε Esta desigualdad puede ser utilizada para resolver problemas como el siguiete: Supogamos que p es la probabilidad descoocida de que resulte defectuoso u objeto producido e ua fábrica y S es el úmero de objetos defectuosos e ua muestra de objetos observados e u muestreo al azar co reposició Calculamos ˆp = S (75)

7 LA LEY DÉBIL DE LOS GRANDES NÚMEROS 93 Co frecuecia se platea el problema de hallar el tamaño que debe teer la muestra para que se satisfaga ciertos márgees de toleracia or ejemplo, supogamos que descoocemos el verdadero valor de p y queremos estimarlo por ˆp pero de modo que la probabilidad de que p difiera de ˆp e a lo sumo 00, o sea iferior a 095 Es decir, queremos elegir de modo que o equivaletemete Usado (75) teemos ( ˆp p 00) 095 ( ˆp p 00) 005 (76) p( p) ( ˆp p 00) (00) (77) Si o teemos igua iformació adicioal sobre p teiedo e cueta que p( p) /4 para 0 p, si elegimos de modo que resultará Es secillo ver que (78) se verifica si 50000 (00) 005, (78) 4 ( ˆp p 00) 005 ˆp ε p ˆp ˆp + ε Figura 7 E pricipio, la acotació dada por la desigualdad de Tchebichev es grosera E el ejemplo umérico que estamos aalizado, se podría dar acotacioes mucho más precisas del primer miembro que figura e la desigualdad (77), lo cual permitiría reducir cosiderablemete el valor de a partir del cual se verifica (76) E particular, si aproximamos por la distribució ormal cosa que veremos más adelate se puede ver que si el verdadero valor de p es / (para dar algú valor) y = 50000, etoces el primer miembro de (76) está acotado por 00000, es decir, es mucho meor que el segudo miembro E el caso de la distribució de oisso, que aparece e el estudio de fallas de aparatos que o evejece, hemos visto que los tiempos de vida de los aparatos sigue ua distribució expoecial del tipo (T > t) = e λt, t 0, dode λ es u parámetro positivo El úmero (aleatorio) de fallas e el itervalo [0, t] tiee la fució de probabilidad (N t = k) = (λt)k e λ, k = 0,, k! Etoces, si ˆλ t = N t t que represeta el úmero de fallas por uidad de tiempo que efectivamete ha ocurrido durate uestro período de observació, se tiee E(ˆλ t ) = t E(N t) = t λt = λ

94 CAÍTULO 7 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE E cosecuecia para cada ε > 0, Var(ˆλ t ) = t Var(N t) = t λt = λ t 0 ( ˆλ t λ ε) < ε λ t, ( ˆλ t λ ε) 0 (t + ) y podemos aplicar cosideracioes aálogas a las del ejemplo aterior (t + ) 3 E la demostració de la ley débil de los grades úmeros, hemos supuesto que las variables aleatorias X, X, so idepedietes y tiee igual variaza Se puede verificar, si gra esfuerzo, que vale ua demostració aáloga si las variables o está correlacioadas y σi 0 i= ( + ) dode σ i = Var(X i ) E realidad, hay u bue úmero de geeralizacioes de la ley débil de los grades úmeros, alguas de las cuales requiere complicacioes técicas para su demostració, que está más allá del alcace de este curso El lector iteresado puede cosultar, por ejemplo, los textos clásicos de M Loève y de W Feller, citados e la bibliografía 4 Vale la pea teer e cueta que la ley débil expresa, e algú setido, la idea comúmete aceptada de que se puede reemplazar promedios teóricos por promedios experimetales El promedio teórico del feómeo bajo cosideració es µ, es decir, la esperaza matemática, y el promedio experimetal es X + X + + X, es decir, la media aritmética de las observacioes La ley débil dice que si las observacioes se repite bajo ciertas codicioes (idepedecia, etc) e el setido de la expresió (73), la media experimetal está cerca del promedio teórico Dicho de otro modo, si el úmero de observacioes es grade, resulta poco probable que uo y otro esté alejados 7 Covergecia e robabilidad y Covergecia Casi Segura Defiició 7 Diremos que ua sucesió de variables aleatorias Y, Y, coverge e probabilidad a la variable aleatoria Y, si se verifica que para todo ε > 0 cuado E este caso usamos la otació Y ( Y Y ε) 0 (79) Y ( ) Ejemplo Básico La ley débil de los grades úmeros os da u ejemplo de covergecia e probabilidad Allí Y = S / es el promedio de las variables aleatorias X, X,, X y la variable aleatoria Y es la costate µ, que es el valor esperado comú de las X Defiició 7 Diremos que ua sucesió de variables aleatorias Y, Y, coverge casi seguramete (o co probabilidad ) a la variable aleatoria Y, si se verifica que (Y Y cuado ) = (70) es decir, si salvo para u cojuto de evetos ω cuya probabilidad es igual a cero, se verifica que exite el límite lim Y (ω) = Y (ω) Usaremos la otació Y Y cs o tambié Y Y cp

73 LA LEY FUERTE DE LOS GRANDES NÚMEROS 95 Ejemplo Si Y (ω) Y (ω) cuado para todo ω Ω, es claro que se verifica (70), ya que e este caso el cojuto {ω : Y (ω) o coverge a Y (ω)} (7) de los evetos ω tales que Y (ω) o bie o tiee límite, o bie tiee u límite que o es Y (ω), o es otro que el vacío, y por lo tato su probabilidad es igual a cero Obviamete, este ejemplo o es demasiado iteresate Importará situacioes e las que hay covergecia casi segura, pero el cojuto (7) o es vacío, auque tega probabilidad ula La siguiete proposició y la observaci posterior aclara la relació etre ambos modos de covergecia La demostració puede ser cosultada e el apédice a este capítulo roposició 7 Sea {Y } ua sucesió de variables aleatorias que coverge casi seguramete a la variable aleatoria Y Etoces Y coverge a Y e probabilidad Observació 7 El recíproco de esta propiedad es falso Ver ejercicio 5 de este capítulo 73 La Ley Fuerte de los Grades Números Teorema 7 (Ley Fuerte de los Grades Números) Sea {X } ua sucesió de variables aleatorias idepedietes tal que E(X ) = µ, E(X 4 ) C =,, dode C es ua costate Etoces, coverge a µ casi seguramete Y = X + X + + X La demostració de este resultado se puede ecotrar e el apédice 73 Ejemplos y Cometarios E el caso de la distribució biomial, se verifica las hipótesis de la ley fuerte de los grades úmeros E efecto, si teemos observacioes idepedietes del suceso A, p = (A), defiimos { si A ocurre e la i-ésima observació X i = 0 si A o ocurre e la i-ésima observació, co lo cual S = X +X + +X es el úmero de éxitos e la observació de A Etoces E(X i ) = p para i =,, y E(Xi 4) es acotado (por la costate, por ejemplo, ya que X4 i ) Se cocluye que S / p casi seguramete Esta relació etre frecuecia relativa y probabilidad, precisa la respuesta origiada e la ley débil de los grades úmeros y respode a la problemática plateada ateriormete, e toro a la viculació etre observacioes experimetales y probabilidad La coclusió de la ley fuerte de los grades úmeros sigue valiedo bajo hipótesis más débiles que las del teorema que hemos demostrado or ejemplo, podemos reemplazar la hipótesis de que los mometos de orde 4 (E(Xi 4 )) esté acotados, por la hipótesis (meos exigete) de que = Var(X ) < y obteer el mismo resultado Diversas geeralizacioes so posibles, co aplicacioes diversas tambié El lector iteresado puede cosultar el texto de W Feller citado e la bibliografía

96 CAÍTULO 7 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE 74 La Fórmula de Stirlig E la próxima secció estudiaremos la aproximació de la distribució biomial mediate la distribució ormal ara ello, utilizaremos la siguiete proposició sobre sucesioes de úmeros reales Lema 73 (Fórmula de Stirlig) Cuado, se tiee Demostració Se trata de probar que lim! π e! e = π Dividimos la demostració e dos pasos E el primero veremos que existe y es fiito el límite idicado e el primer miembro; e el segudo veremos que dicho límite vale π aso Cosideremos la fució f(x) = log x y acotemos iferiormete el área A limitada por su gráfica, el eje 0x y la vertical por x =, sustituyedo cada trozo de la curva k k+ por el segmeto k k+ Teiedo e cueta que el área del trapecio k k k+ (k + ) es obteemos A = (log k + log(k + )) log x dx > k= (log k + log(k + )) = log + log 3 + + log( ) + log (7) y k+ k 0 3 k k + x Figura 73 Sea a = A (log + log 3 + + log( ) + log ), la diferecia etre el área A y la suma de las áreas de los trapecios Es claro que la sucesió {a } es moótoa creciete Además, si llamamos b k al área sombreada e la figura 74, dode el segmeto k k+ es tagete al gráfico de f(x) = log x e el puto de abcisa x = k + /, es claro que a < b k, ( > ), (73) k=

74 LA FÓRMULA DE STIRLING 97 dode b k es la diferecia de las áreas de los trapecios k k k+ (k + ) y k k k+ (k + ) or lo tato ya que log( + x) x Sustituyedo e (73) b k = log(k + ) [log k + log(k + )] = log (k + ) k(k + ) = /4 log( + k(k + ) ) 8k(k + ) a < 8 porque la serie k /k es covergete k=0 k(k + ) < 8 k= k = C < k+ k+ k k k k + k + Figura 74 E cosecuecia, la sucesió {a } es moótoa creciete y acotada superiormete or lo tato tiee u límite fiito que llamaremos a or otra parte, itegrado por partes y e cosecuecia A = log x dx = x log x dx = log + a = log + (log + + log( ) + log ) Tomado expoeciales e ambos miembros e a = e /,! de dode! e = α cuado / ea

98 CAÍTULO 7 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE aso robemos ahora que α = π ara ello cosideramos de dode I = π/ 0 = I se x dx = π/ 0 π/ 0 se x ( cos x) dx se x cos x cos x dx [ = I se x cos x = I I π/ 0 π/ + 0 se x sex dx I = I (74) or lo tato, cosiderado separadamete los casos e los cuales es par e impar, y aplicado (74) reiteradamete, obteemos Además o sea que I p = p p 3 p p 3 4 I 0 = π/ I p = p p 3 p p 3 4 0 I 0; I p+ = p p p + p 4 5 3 I dx = π, I = π/ π ; I p = p 0 sex dx =, p p + p 4 5 3 (75) Observamos ahora que {I } es ua sucesió decreciete, ya que para 0 x π/ se tiee 0 sex, se x decrece co, y por lo tato, tambié la itegral I De aquí resulta que: Usado (74) teemos y por lo tato la sucesió itermedia I p+ I p < I p+ I p < I p+ I p = p + p + I p+ I p cuado p tambié tiede a cuado p Usado ahora (75) esto idica que I p+ [p(p ) 4 ] = I p (p + )[(p )(p 3) 5 3] cuado p, π y e cosecuecia p(p ) 4 (p )(p 3) 5 3 cuado p π(p + ) Multiplicado umerador y deomiador por p(p ) 4 = p p(p )(p ) = p p!

75 EL TEOREMA DE DE-MOIVRE - LALACE 99 obteemos ( p p!) (p)! Utilizamos ahora el resultado del paso Sabemos que cuado p π(p + )! α e Sustituyedo ( p p!) (p)! π(p + ) (p α p p e p p) α(p) p e p p π(p + ) α π Como el límite es, debe ser α = π Esto termia la demostració de la fórmula de Stirlig 75 El Teorema de De-Moivre - Laplace odemos ahora probar el teorema de De-Moivre - Laplace, que permite aproximar la distribució biomial por la distribució ormal Recordemos que la distribució ormal típica co parámetros (0,) es aquella cuya desidad es la fució φ(x) = e x / (76) π Deotamos la fució de distribució respectiva por Φ(x) = x φ(t) dt = π x e t / dt (77) Como ateriormete, llamaremos S a ua variable aleatoria co distribució biomial, que represeta el úmero de veces que ocurre el eveto A e observacioes idepedietes Sea p = (A), 0 < p < y q = p La distribució de S está dada por ( ) p,k = (S = k) = p k q k k = 0,,,, k y tiee E(S ) = p, Var(S ) = pq E los próximos dos teoremas probaremos que cuado el úmero de observacioes crece idefiidamete, la distribució de la variable aleatoria S = S p pq tiede a la distribució ormal dada por (77) Teorema 73 Sea a < b úmeros reales, etoces (a < S b) Φ(b) Φ(a) = Demostració Teemos que estudiar el límite cuado de b (a < S b) = (a < S p pq b) = = a a< k p pq b a< k p pq b φ(t) dt, cuado (78) (S = k) p,k

00 CAÍTULO 7 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE dode la suma se extiede sobre los eteros k tales que a < k p pq b (79) Comecemos por dar ua aproximació para cada sumado p,k, dode k verifica (78) ara facilitar la otació poemos δ = k p Si k verifica (78), etoces ya que etoces, δ = k p y como / 0 teemos or otro lado δ 0 cuado (70) es ua sucesió acotada, porque p,k = a pq < k p b pq δ = δ 0 ( ) p k q k! = k k! ( k)! pk q k Utilizamos ahora la fórmula de Stirlig co la siguiete otació: podremos! = π e e γ dode γ 0 (y por lo tato e γ ) cuado Teiedo e cueta que bajo la codició (74) que se verifica puesto que sólo os iteresa los valores de k que cumple (78) tato k como k tiede a + cuado, teemos π e p k q k e γ γ k γ k p,k = πkkk e k π( k)( k) ( k) e ( k) = π (p + δ)(q δ) El primer factor lo podemos escribir como (p + δ)(q δ) = ( p ) ( ) k k q e γ γ k γ k (7) k k ( p + δ ) ( q δ ) = pq e γ co γ 0 cuado Tomado logaritmos e el segudo factor teemos ( p ) ( ) ( q k log + ( k) log = (p + δ) log + δ ) ( (q δ) log δ ) k k p q Usamos el desarrollo de MacLauri de la fució log( + x) cuado x < : log( + x) = x x + 3 ( + θx) 3 x3, (0 < θ < ) Si x < / y A = 3 (+θx) 3 se tiee A < 3, es decir, que e esta situació vale log( + x) = x x + Ax3 co A < 3

75 EL TEOREMA DE DE-MOIVRE - LALACE 0 Apliquemos este desarrollo a log( + δ p ) y log( δ q ), lo cual es posible si es suficietemete grade, ya que δ δ 0, y e cosecuecia, tato p como δ q so meores que / a partir de u cierto valor de e adelate Resulta ( p ) ( ) q k log + ( k) log k k ( δ = (p + δ) p δ p + A δ3 3 p 3 ( = δ p + ) + B δ3 q, ) ( (q δ) δ q δ δ 3 q + A 3 q 3 dode A < 3, A < 3 y B está acotado por ua cierta costate fija, digamos B M Tomado el atilogaritmo del segudo factor y sustituyedo e (7) p,k = πpq exp{ δ pq + B δ3 + θ,k} (7) = pq φ(x,k ) exp{b δ3 + θ,k} = pq φ(x,k )e α,k (73) ) co θ,k = γ γ k γ k γ, α,k = B δ3 + θ,k y x,k = δ pq = k p pq, dode δ3 0 cuado ya que δ 3 ( ) 3 δ = y el primer factor permaece acotado cuado k verifica (78) Volvamos ahora a uestra suma iicial Sustituyedo e ella la expresió hallada e (73) para p,k, obteemos (a < S b) = = a< k p pq b a< k p pq b pq φ(x k, )e α,k pq φ(x k, ) + a< k p pq b Dado que pq es justamete el icremeto x k+, x k,, y que pq 0 pq φ(x k, ) [e α,k ] (74) el primer sumado tiede a cuado b a φ(t) dt (75)

0 CAÍTULO 7 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE y a b φ x k, x k+, x Figura 75 E cuato al segudo sumado de (74), dado que e x e x, el mismo se acota por sup k α,k a< k p pq b pq φ(x k, ), y ahora el primer factor tiede a cero cuado mietras que el segudo tiede a la itegral (75) or lo tato el segudo sumado de (74) tiede a cero Esto termia la demostració del teorema 73 Teorema 74 (S x) Φ(x) = x φ(t) dt cuado Demostració Nos apoyamos e el teorema 73 Sea ε < 0, elegimos a y a tales que a < x < a (ver figura 76) y Φ(a ) < ε, Φ(a ) < ε (76) Etoces (a S > x) (S > x) = (S x) (a < S x) El primer miembro tiede a (Φ(a ) Φ(x)) = Φ(x) + ( Φ(a )) y el último a Φ(x) Φ(a ) cuado y a a φ x x Figura 76

75 EL TEOREMA DE DE-MOIVRE - LALACE 03 or lo tato, existe N tal que para N se tiee Φ(x) + ( Φ(a )) + ε (S x) Φ(x) Φ(a ) ε y dada la forma e que ha sido elegidos a, a, para N Φ(x) + ε (S x) Φ(x) ε o sea (S x) Φ(x) ε Observació 7 ara geeralizar e diversos setidos el teorema de De-Moivre - Laplace, se puede utilizar ua técica de demostració esecialmete aáloga Observado lo que hemos hecho, se ve que el procedimieto depede solamete de que y δ 0 (77) Ahora bie, es claro que (73) implica (730) ya que δ = /3 δ 3 0 (78) ( ) δ 3 /3 or lo tato, siempre que se verifique (73) para todos los eteros k tales a k p pq b, se podrá obteer la misma coclusió Esta observació permite geeralizar el resultado aterior al caso e el cual los límites a y b varía co A título de ejemplo, se puede utilizar la misma demostració de los teoremas 73 y 74 para probar que si a 3 0 cuado es decir, que a puede teder a +, pero sólo más letamete que, etoces ( ) k p + > a φ(t)dt cuado (79) pq a dode φ es, como ates, la desidad ormal típica y el símbolo dice que ambos térmios so ifiitésimos equivaletes Estos resultados permite estudiar desviacioes grades del úmero de aciertos S (co distribució biomial), del valor esperado p ara u uso eficaz de esta relació, coviee saber cómo tiede a cero, cuado, la expresió Φ(x) = + x π e t / dt

04 CAÍTULO 7 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Veamos e primer lugar que si x > 0 etoces E efecto, Φ(x) = π ya que e la última itegral t/x Etoces E segudo lugar mostraremos que Queremos probar ahora que Φ(x) π x e x / dt (730) Φ(x) π x x ( = π x e t x e t / dt π te t / dt + / Φ(x) π x e x / lim x x Φ(x) =, π x e x / Aplicamos la regla de L Hôpital El cociete de las derivadas es π e x / ( π x e x / + x ( xe x / ) ) = x + x t x e t / dt, = π x e x / cuado x (73) x, de modo que tiee límite el cociete de las derivadas y por lo tato tambié el de las fucioes, y vale lo mismo Esto prueba (73) E las aplicacioes, geeralmete iteresa saber o sólo que cuado el úmero de observacioes crece idefiidamete, la distribució biomial tiede a la distribució ormal, sio además, cuál es la velocidad de covergecia Dicho de otra maera, iteresa coocer ua acotació del error cometido cuado, para u dado, sustituímos la distribució biomial por la distribució ormal Dicho error depede, aturalmete, del valor de, pero además depede del valor de p; la covergecia es tato mas rápida cuato más cercao es p a / Siguiedo el procedimieto de la demostració del teorema de De-Moivre - Laplace, para dar ua acotació del error e cosideració, el paso fudametal es el de afiar la fórmula (73), que aproxima la fució de probabilidad de la distribució biomial, mediate la desidad de la distribució ormal ara ello debe darse, por u lado, ua estimació del error e la aplicació de la fórmula de Stirlig que puede obteerse por el mismo método que hemos seguido para probarla y por otro, tomar más térmios e el desarrollo de log( + x) ara fijar las ideas, podemos tomar como mejora de la fórmula de Stirlig! = π e e α dode 0 < α < E cuato al desarrollo del logaritmo podemos tomar, por ejemplo, log( + x) = x x + x3 3 x4 4 + 5 x 5 ( + θx) 5 para 0 < θ <, x < Cuado p está cerca de 0 ó de y o es muy grade, puede ser más precisa la aproximació de la distribució biomial por la de oisso Sobre este y otros aspectos de aproximació, así como para la exposició de diversos ejemplos, recomedamos al lector cosultar el Vol del libro de W Feller, icluido e la bibliografía

76 EJEMLOS 05 Fialmete, e la fórmula (75), tambié aproximamos mediate u desarrollo de Mac-Lauri ( + δ ) / ( δ ) / ( + δ p )( δ q ) p q Sustituyedo e (7), si agregamos, por ejemplo, la codició k p = δ C pq (73) dode C es ua costate, y tomamos lo bastate grade como para que C pq < 3, (733) obteemos, e lugar de (76), ua fórmula del tipo p,k = pq φ(x k, )e ε (734) dode ε ( + C3 )(q p) pq + ( + C4 ) pq (735) Observamos que la costate C que aparece e la codició (73), iterviee e la acotació del error (734), e el setido de que, cuato mayor es C, para u mismo, meos precisa es la aproximació Lo que idica C, es cuá distates del valor medio p puede ser los valores k de la variable aleatoria S que estamos cosiderado Cuato más lejao del promedio p so dichos valores de k, mayor es el ecesario para obteer la misma aproximació La codició (733) puede ser cambiada, dado que C pq 0 cuado Cuato más pequeño es el segudo miembro que e este caso es /3 es decir, cuato mayor es para u valor dado de C, más precisa es la cota del error que se obtiee e lugar de (735) Agreguemos fialmete que la acotació (735) sugiere la depedecia del error cometido al sustituir la distribució biomial por la ormal, e fució de los valores de p Si p = q = /, el primer térmio del segudo miembro de (735) vale 0, y la covergecia a cero cuado es esecialmete más rápida or otra parte, para u dado, la cota depede de pq, o sea que es tato meos precisa cuato más distate es p de / (o sea, cuato más próximo es p de 0 ó de ) 76 Ejemplos Verificar que, para el cálculo de límites e probabilidad, vale las mismas reglas que para el cálculo de límites ordiarios or ejemplo: X X X, Y X g : R R cotiua Y X + Y } g(x ) X + Y, X Y XY, etc g(x)

06 CAÍTULO 7 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Vamos a probar solamete el caso de la suma Los restates so aálogos y o los expodremos e esta solució Sea etoces X X e Y Y ara ε > 0 teemos la siguiete iclusió de evetos { (X + Y ) (X + Y ) ε} { X X ε } { Y Y ε } (736) Esta iclusió es cierta ya que si ocurre que (X + Y ) (X + Y ) ε alguo de los dos cojutos que aparece e el segudo miembro tiee que ocurrir (y por lo tato la uió), porque de o ocurrir iguo de los dos se tedría X X < ε y Y Y < ε simultaeamete, de dode se obtiee que X X + Y Y < ε, cotra lo supuesto De la relació (736): ( (X + Y ) (X + Y ) ε) ( X X ε ) + ( Y Y ε ) y como cada térmio del segudo miembro tiede a cero, lo mismo ocurre co el primero Se cosidera ua sucesió X, X, de variables aleatorias idepedietes co la misma distribució de probabilidad y mometos de cuarto orde fiitos robar que a ( i= X ) i (E(X )) b a Como i= (X i X) Var(X ), dode X = X i i= X i E(X ) y g(x) = x es ua fució cotiua, se obtiee el resultado b oiedo E(X ) = µ, escribimos (X i X) = (X i µ + µ X) i= i= ( = ) (X i µ) (X µ) (X i µ) + (X µ) = i= (X i µ) (X µ) i= El primer térmio e el último miembro es ua suma de variables aleatorias idepedietes co igual distribució y segudo mometo fiito (porque lo es el de cuarto orde de X i ) y por lo tato, le podemos aplicar la ley débil de los grades úmeros, es decir, que i= (X i µ) E((X µ) ) = Var(X ) i= E cuato al segudo térmio, como X µ, se tiee que (X µ) ( ) 0, obteiedose el resultado idicado e b

76 EJEMLOS 07 3 Se arroja u dado 6000 veces Aproximar mediate la distribució ormal la probabilidad de obteer el úmero 6 etre 990 y 00 veces Sea X el úmero de veces que obteemos 6 e 6000 lazamietos Sabemos que X b(6000, /6) (990 X 00) = 990 000 X 000 00 000 6000 5 6 6 6000 5 6 6 6000 5 6 6 π 0,346 0,346 e x dx 0, 7 4 E 5000 lazamietos de ua moeda se obtuviero 800 caras Es razoable supoer que la moeda o está cargada? La preguta puede reformularse tambié de este modo: Si la moeda o está cargada, cuá excepcioal es el eveto de que el úmero de caras ocurridas e 5000 lazamietos exceda de 500 al meos e 300? Si la probabilidad de este eveto es muy pequeña, más que atribuir el resultado a u rarísimo acotecimieto, uo tederá a atribuirlo a que, e realidad, la moeda está cargada, y e cosecuecia la probabilidad ha sido calculada sobre ua base erróea Veamos rimero acotamos dicha probabilidad usado la desigualdad de Tchebichev: = 5000, p = 0, 5 p = 500 (S 800) = (S p 300) = ( S p 300) (300) Var(S ) = 5000 0, 0068 4(300) Es decir que la probabilidad del suceso excepcioal, está acotada superiormete por 0,0068 Si recurrimos a la aproximació mediate la distribució ormal ( ) S p 300 (S p 300) = + p( p) p( p) π co a = 300/ 5000/4 8, 48 La última itegral se acota por a e a / a e x / dx y reemplazado resulta para el último térmio ua acotació por 0, 0 7, que es astroómicamete pequeño 5 Sea X, X, ua sucesió de variables aleatorias idepedietes, cada ua co distribució uiforme e (0, ) y m = mi{x, X,, X } a robar que m 0

08 CAÍTULO 7 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE a Sea 0 < ε < ( m ε) = (m ε) = (X ε, X ε,, ε) = (X i ε) = ( ε) i= que tiede a cero cuado, porque 0 < ε < Ejercicios Calcular ua aproximació de la probabilidad de que el úmero de 6 obteidos al lazar u dado perfecto 000 veces, este compredido etre 900 y 50 Ecotrar el úmero k tal que la probabilidad de obteer etre 490 y k veces cara e 000 lazamietos de ua moeda, sea igual a / 3 Se toma ua muestra al azar co reposició, a efectos de estimar la fracció p de hembras e ua població Ecotrar u tamaño de muestra que asegure que la estimació se hará co u error de meos de 0, 005, al meos co probabilidad 0,99 4 Se desea estimar la probabilidad de falla p e u proceso de producció mediate la observació de objetos producidos, elegidos idepedietemete Se sabe que p está compredida etre 0, y 0,3, e virtud de la iformació previa de que se dispoe sobre el proceso Se desea hallar el tamaño de la muestra para que la probabilidad de que la frecuecia relativa de objetos defectuosos e la muestra difiera del verdadero valor p e más de 0,0 sea meor que 0,05 5 robar que el siguiete es u ejemplo de ua sucesió de variables aleatorias {X } que coverge e probabilidad pero o casi seguramete Tomamos Ω = [0, ] co la probabilidad uiforme Defiimos la sucesió {X } de acuerdo a lo que sugiere la figura 77 X X X 3 0 0 0 X 4 X 5 X 6 0 3 3 0 3 3 0 robar que ( X ε) 0 cuado para todo ε > 0, pero que, e cambio, o sólo o es cierto que X 0 casi seguramete, sio que X (ω) o coverge para igú ω 6 Aproximació de la distribució biomial por la distribució de oisso

76 EJEMLOS 09 Sea {X } ua sucesió de variables aleatorias co distribució biomial de parámetros (, p ) Supogamos que y p 0 simultáeamete, y de tal maera que p = λ > 0, dode λ es ua costate robar que la distribució de probabilidad de X tiede a la distribució de oisso co parámetro λ, e el setido de que (X = k) λk k! e λ para k = 0,,, 7 Se observa repeticioes idepedietes de u juego de ruleta Hallar para que, co probabilidad meor que 0,, la frecuecia relativa del úmero de veces que ocurre la primera docea sea mayor que /3 Hacer el cálculo de dos maeras: a Usado la desigualdad de Tchebichev b Usado la aproximació por la distribució ormal Nota Los resultados posibles e u juego de ruleta so 0,,,, 36 y la primera docea costa de los úmeros,,, 8 Cosideremos el espacio Ω = [0, ) dotado de la probabilidad uiforme Recordemos que cada úmero x [0, ) tiee ua escritura decimal x = 0, x x x 3 (737) dode los x i so dígitos, es decir, eteros compredidos etre 0 y 9 (para i =,, ) Recordemos tambié, que el sigificado de (740) o es otro que x = i= x i 0 i (738) Cuado la sucesió {x i } es tal que x i = 0 para todo i i 0, para algua represetació de x, se dice que x es u úmero decimal a robar que la represetació decimal (740) es úica, salvo para los úmeros decimales, que tiee dos represetacioes (E este último caso elegimos como represetació aquella que tiee ceros de u ídice e adelate) b Cosideremos las variables aleatorias X, X, defiidas e Ω de la siguiete maera: si x tiee la represetació (740), X i (x) = x i para i =,, robar que esta es ua sucesió de variables aleatorias idepedietes, cada ua co la distribució (X i = k) = 0 k = 0,,, 9 c Sea S (x) el úmero de veces que aparece u cierto dígito (por ejemplo el 7) etre los primeros decimales de la represetació de x Muestre que, salvo para los x [0, ) e u cojuto de probabilidad ula, se cumple que S (x) 0 cuado Es decir que, salvo para estos x excepcioales (pruebe que so u cojuto o-umerable) la proporció del úmero de veces que aparece el dígito 7 tiede a /0 Lo mismo pasa, obviamete, co cualquier otro dígito

0 CAÍTULO 7 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE 9 Sea X, X,, X variables aleatorias idepedietes co igual distribució F Llamamos distribució empírica de la muestra X, X,, X a la fució F : R [0, ] defiida por F (x) = ( {i : X i x}) (observe que, para cada x, F (x) es ua variable aleatoria) a Represetar gráficamete la fució F y mostrar que ella es, como fució de x, ua fució de distribució co saltos puros b robar que, para cada x R, se cumple c Mostrar que tambié, para cada x R F (x) ( ) F (x) cuado F (x) F (x) casi seguramete cuado 0 E u cálculo umérico mediate ua computadora, 000 úmeros se reemplaza por el etero más próximo Si los errores de redodeo cometidos so idepedietes y la distribució de probabilidad de cada uo es uiforme e el itervalo (, ), calcular aproximadamete la probabilidad de que la suma de los 000 úmeros redodeados difiera de la suma de los 000 úmeros origiales e meos de 0 Al lazar ua moeda 0000 veces se obtuviero 5500 caras Sospecharía Ud que la moeda o es equilibrada? Sea X, X, ua sucesió de variables aleatorias idepedietes co igual distribució, y supogamos que σ = Var(X ) < =,, a Calcular el límite e probabilidad de Y = (X i+ X i ) + i= b E particular, idicar cuál es el resultado e a cuado la distribució comú de las X i es la ormal (0, ) Sugerecia: No podemos aplicar directamete la ley débil de los grades úmeros ya que las variables {(X i+ X i ) + } o forma ua sucesió de variables aleatorias idepedietes Si embargo, si i + < j, (X i+ X i ) + y (X j+ X j ) + si resulta idepedietes Aproveche esta observació para acotar Var(Y ) y probar que tiede a cero cuado

76 EJEMLOS Apédice roposició 7 (ropiedad ) Sea {Y } ua sucesió de variables aleatorias que coverge casi seguramete a la variable aleatoria Y Etoces Y coverge a Y e probabilidad Observació 73 El recíproco de esta propiedad es falso Ver ejercicio 5 de este capítulo Demostració Sea ε u úmero positivo cualquiera Queremos probar que Defiimos los evetos ( Y Y ε) 0 cuado (739) A = {ω : Y (ω) Y (ω) ε} A = lim A = {ω : ω A para ifiitos valores de } (este cojuto suele llamarse el límite superior de la sucesió de cojutos {A }) Es secillo verificar que las siguietes proposicioes so ciertas a A = m= =m A b Si llamamos B m = =m A, etoces la sucesió de evetos {B m } es decreciete y A = m= B m Observamos que A {ω : Y (ω) o tiede a Y (ω)}, porque si ω A, etoces, de acuerdo a la defiició de A Y (ω) Y (ω) ε para ifiitos ídices, y esto implica que Y (ω) o tiede a Y (ω), segú la defiició del límite de las sucesioes de úmeros reales Etoces, teiedo e cueta que Y Y casi seguramete, (A) (ω : Y (ω) o tiede a Y (ω)) = 0 y e cosecuecia (A) = 0 or otra parte, de las propiedades geerales de los espacios de probabilidad, como la sucesió de evetos {B } es decreciete, se tiee Fialmete, es claro de la defiició de B m que lim m (B m) = ( m=b m ) = (A) = 0 A m B m (A m ) (B m ) lim (A m ) = 0 que es justamete (739) Teorema 75 (ropiedad (Lema de Borel-Catelli)) Sea {A } ua sucesió de evetos e u espacio de probabilidad Etoces (A ) < (A) = 0 (A ) = + (A) = A, A, es ua sucesió de evetos idepedietes

CAÍTULO 7 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Demostració Veamos la primera parte Sabemos que A = B m co B m = Etoces m= (B m ) (A ) =m y como la serie (A ) es covergete, la cola de la serie que figura e el segudo miembro de esta desigualdad tiede a cero cuado m or lo tato, =m (B m ) 0 cuado m ero, por otra parte, A B m para todo m =,, implica que (A) (B m ) para todo m =,,, y e cosecuecia (A) lim m (B m) (A) = 0 Esto prueba la primera parte ara la seguda parte basta ver que (A c ) = 0 E virtud de la reglas de De Morga A c = m= B c m, B c m = =m Etoces (A c ) m= (Bc m), y para probar () basta co probar A A c (B c m) = 0 para todo m =,, (740) Llamemos Es claro que C m,p = m+p =m A c B c m C m,p para todo p =,, (B c m) (C m,p ) para todo p =,, Ahora bie, como los {A } forma ua sucesió de evetos idepedietes, tambié la sucesió {A c } es de evetos idepedietes, y por lo tato m+p (C m,p ) = ( A c ) = =m m+p =m (A c ) = +p =m ( (A )) (74) A estas alturas, aplicamos la desigualdad x e x, válida para todo x real, y que puede ser demostrada por métodos elemetales de cálculo Como además, todos los factores e el último miembro de (74) so o-egativos, resulta (C m,p ) m+p =m m+p e (A) = exp{ =m (A )} Hagamos teder p + e esta desigualdad Como la serie (A ) es divergete, el expoete de la derecha tiede a y la expoecial a cero Esto prueba que (B c m) lim p (C m,p) = 0 y de aquí que (B c m) = 0 Esto es (740) y termia la demostració de la seguda parte

76 EJEMLOS 3 Teorema 76 (Ley Fuerte de los Grades Números) Sea {X } ua sucesió de variables aleatorias idepedietes tal que E(X ) = µ, E(X 4 ) C =,, dode C es ua costate Etoces, coverge a µ casi seguramete Y = X + X + + X Demostració Queremos probar que el eveto {ω : Y (ω) o tiede a µ} tiee probabilidad ula Observamos que decir que Y o tiede a µ es lo mismo que decir que existe u úmero de la forma /k, k etero positivo, tal que Y µ k para ifiitos valores de Es decir que se tiee la igualdad etre evetos {Y o tiede a µ} = { Y µ k k= para ifiitos valores de } que implica (Y o tiede a µ) ( Y µ para ifiitos valores de ) (74) k k= ara probar que el primer miembro vale cero, alcaza co probar que cada sumado del segudo miembro es igual a cero ara esto, itroducimos algo más de otació k estará fijo e lo que sigue A,k = { Y µ k } Observamos que el k-ésimo sumado del segudo miembro de la desigualdad (74) es la probabilidad de lim A,k = A k = {ω : ω A,k para ifiitos valores de } ara demostrar que (A k ) = 0 usaremos el lema de Borel-Catelli (propiedad de la secció 73) Segú éste, basta demostrar que la serie (A,k ) es covergete ara ello acotaremos cada térmio por el térmio respectivo de ua serie covergete, de la siguiete forma (A,k ) = ( Y µ k ) = ((Y µ) 4 k 4 ) k4 E((Y µ) 4 ) La última desigualdad resulta directamete de aplicar la desigualdad de Markov Itroducimos aú algo de otació: Y µ = X + X + + X µ = X + X + + X µ = (X µ) + (X µ) + + (X µ)

4 CAÍTULO 7 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE y ahora poiedo Z i = X i µ obteemos Y µ = Z + Z + + Z Etoces es claro que E(Z ) = E(Y ) µ = 0 y, por otra parte, desarrollado la cuarta potecia de Z, E(Z 4 ) = E(X 4 ) 4µ E(X 3 ) + 6µ E(X ) 4µ 3 E(X ) + µ 4 y esta expresió está acotada por ua costate fija, ya que, si los cuartos mometos de X está acotadas (por hipótesis), tambié lo está los mometos de orde meor, por la propiedad 7 de los valores esperados (ver secció 6) Etoces, la hipótesis implica que, para todo =,,, E(Z 4 ) C dode C es ua costate odemos ahora acotar ( (Z ) ) 4 E((Y µ) 4 + Z + + Z ) = E ( = ) 4 4 E Z i i= = 4 E = 4 i,j,k,l i= Z i Z j j= Z k k= E(Z i Z j Z k Z l ) Z l Ahora teemos que estudiar como so los térmios E(Z i Z j Z k Z l ) y para ello hay que cosiderar todos las cuadruplas (i, j, k, l) de eteros etre y rimero, si e la cuadrupla hay u elemeto que o está repetido, etoces esta esperaza vale cero E efecto, si el que o está repetido es el i (el mismo argumeto vale si es algú otro ídice), etoces E(Z i Z j Z k Z l ) = E(Z i ) E(Z j Z k Z l ) = 0 La primera igualdad se debe a que Z i y Z j Z k Z l so idepedietes, y la seguda a que E(Z i ) = 0 Segudo, os queda etoces solamete los térmios e los que o hay ídices solos, y estos so de dos tipos: aquellos térmios e los que los cuatro ídices so iguales i = j = k = l y aquellos e los que hay dos parejas de ídices iguales, distitas etre si, por ejemplo, i = j = ; k = l = Más precisamete, resulta E((Y µ) 4 ) = 4 E(Zi 4 ) + i= ( ) 4 i<j l= E(Zi Zj ) El factor ( 4 ) correspode a todas las maeras de teer e la cuadrupla dos factores co ídice i y dos co ídice j Todavía, para acotar estas sumas, usamos las desigualdades E(Zi 4 ) C E(Zi Zj ) E(Zi 4) E(Z4 j ) C C = C dode la primera desigualdad de la última líea resulta de aplicar Cauchy-Schwarz E defiitiva E((Y µ) 4 ) ( ) ( ) 4 C + 6 C C

76 EJEMLOS 5 Aquí ( )/ es el úmero de térmios e la suma doble y C es ua ueva costate Y ahora, reemplazado e (76) obteemos y como la serie (A,k ) C k 4, es covergete, se deduce que (A,k) tambié lo es Es lo que queríamos probar 76 El Teorema Cetral del Límite: La Codició de Lideberg El problema del estudio del comportamieto asitótico de ua suma de variables aleatorias idepedietes cuado el úmero de sumados tiede a ifiito, es uo de los problemas clásicos de gra importacia e la teoría de probabilidades Agreguemos, a título complemetario, el euciado de u teorema geeral que asegura, bajo ciertas codicioes, la covergecia a la distribució ormal de la distribució de ua suma de variables aleatorias idepedietes Teorema 77 (Lideberg) Sea X, X, ua sucesió de variables aleatorias idepedietes co y pogamos S = X + X + + X Es claro que E(X ) = 0, σ = E(X ) < para =,, E(S ) = 0 s Var(S ) = Diremos que se cumple la codició de Lideberg si para todo ε > 0 E(Xi Ai, ) 0 dode Ai, s i= es la fució idicatriz del eveto Bajo esta codició se tiee A i, = { X i > εs } σi i= ( ) S x x e t / s π Observamos que la codició E(X ) = 0 o tiee igua importacia restrictiva, ya que si E(X ) 0, cosideramos X = X E(X ), y etoces E(X ) = 0 ara la demostració, el lector puede cosultar los textos de M Loève, W Feller (Vol ), Billigsley o R M Dudley icluidos e la bibliografía U caso de suma importacia e el que se cumple la codició de Lideberg es aquel e el cual X, X, tiee todas la misma distribució Teemos Teorema 78 Sea X, X, ua sucesió de variables aleatorias idepedietes co igual distribució F Supogamos que E(X i ) = µ Var(X i ) = σ para =,, Etoces ( S µ σ ) x x e t / π No es difícil probar que la sucesió de variables aleatorias idepedietes X = X µ cumple la codició de Lideberg, y por lo tato, la codició del teorema 77 Es claro además, que el teorema de De-Moivre - Laplace es u caso particular del teorema 78 (y como cosecuecia, del 77) Basta cosiderar como distribució comú F a la variables idepedietes X, X, la defiida por (X = ) = p, (X = 0) = p