Unverstas Scentarum ISS: 0-7483 revstascentfcasjaverana@gmal.com Pontfca Unversdad Javerana Colomba Aranda, Mosés; Molna, Fabo; Moreno, Vladmr EL PROBLEMA DEL CUMPLEAÑOS, UA GEERALIZACIÓ Unverstas Scentarum, vol. 3, núm., enero-juno, 008, pp. 5-0 Pontfca Unversdad Javerana Bogotá, Colomba Dsponble en: http://www.redalc.org/artculo.oa?d49930 Cómo ctar el artículo úmero completo Más nformacón del artículo Págna de la revsta en redalc.org Sstema de Informacón Centífca Red de Revstas Centífcas de Amérca Latna, el Carbe, España Portugal Proecto académco sn fnes de lucro, desarrollado bajo la ncatva de acceso aberto
UIVERSITAS enero-juno SCIETIARUM 008 Revsta de la Facultad de Cencas Vol. 3, 5-0 EL PROBLEMA DEL CUMPLEAÑOS, UA GEERALIZACIÓ THE BIRTHDAY PROBLEM: A OVERVIEW Mosés Aranda, Fabo Molna, Vladmr Moreno Departamento de Matemátcas, Pontfca Unversdad Javerana Unversdad Sergo Arboleda. Departamento de Matemátcas, Facultad de Cencas, Pontfca Unversdad Javerana Cra. 7 o 43-8. Bogotá, Colomba molnaf@javerana.edu.co Resumen El problema del cumpleaños, en el conteto clásco, se resuelve asumendo una dstrbucón de probabldades unforme dscreta de los nacmentos. El propósto de este artículo es resolver el msmo problema bajo una dstrbucón de probabldades dscreta arbtrara, demostrar que bajo la dstrbucón unforme dscreta, la probabldad de que dos o más personas cumplan años en el msmo día es subestmada. Palabras clave: combnatora, probabldad, dstrbucones dscretas, muestra aleatora, Smple. Abstract In the classc contet, the brthda problem s solved assumng a dscrete unform probablt dstrbuton of brths. The man purpose of ths paper s to solve the brthda problem through an arbtrar dscrete probablt dstrbuton and to prove that usng dscrete unform dstrbuton, probablt of two or more people s brthda at the same date s underestmated. Ke words: combnatoral, probablt, dscrete dstrbutons, random sample, smple. ITRODUCCIÓ El problema del cumpleaños se presenta de la sguente manera, ver [], [3], [4], [5]: Se supone que a una reunón assten personas, las cuales regstran el día de su cumpleaños. Se pregunta: cuál es la probabldad de que dos o más personas, de las asstentes, cumplan años el msmo día? A cada fecha de cumpleaños se le asgna un número entero entre, no tenendo en cuenta el año bsesto, por ejemplo s una persona cumple años el 5 de marzo entonces se le asgnará el número 84 3 8 5. En el sguente análss se asume que <, pues en caso contraro se tendrá la solucón trval: probabldad de que 5
Unverstas Scentarum, Vol. 3, 5-0 dos o más personas cumplan años el msmo día es gual a. Este problema se resuelve utlzando el complemento del evento defndo por dos o más personas cumplan años el msmo día, es decr, calculando la probabldad del evento todos los asstentes cumplen años en día dferente. Planteamento del problema clásco. Sea Ω {n : n } el espaco muestral, la sgma álgebra es I Ω el conjunto de partes del espaco muestral, la medda de probabldad P está defnda, sobre los eventos smples untaros, por. P( {} ω ), ω Ω. El evento a medr es { ( ) A,,, Ω : { } }, j,, j j Empleando argumentos de conteo, se encuentra que P( A ), donde per (, )! per (, ) es el número de ( )! permutacones de tamaño en el conjunto Ω. De esta manera la probabldad de que haa dos o más, de los selecconados aleatoramente, que cumplan años el msmo día es c ( ) P( A) P A (, ) per. La sguente tabla muestra los valores de la probabldad P (A c ) para dstntos valores de. P(A c ) 5 0.07 0 0.7 5 0.53 0 0.4 3 0.507 5 0.569 30 0.706 35 0.84 40 0.89 45 0.94 50 0.970 55 0.986 60 0.994 65 0.998 70 0.999 Una de las preguntas de nterés en este problema, ver [3] [5], es determnar el menor número de asstentes tal que la probabldad de que haa dos o más con el msmo día de cumpleaños sea por lo menos el cncuenta por cento. En la tabla se ha resaltado esta probabldad para un tamaño de 3 asstentes. PROBLEMA DEL CUMPLEAÑOS BAJO DISTRIBUCIÓ DE PROBABILIDADES GEERAL Sea X una varable aleatora con valores en el conjunto fnto A {,,..., }, con funcón de probabldad f. Sea X, X,..., X, con <, varables aleatoras ndependentes e déntcamente dstrbudas con dstrbucón de probabldades común f. Proposcón La probabldad p de que las varables aleatoras X, X,, X, tomen todos sus valores dstntos, dos a dos, está dada por: < < <,,, Az () () () p! f f f donde Z denota los números enteros postvos. 6
enero-juno 008 Demostracón La probabldad p de que estas varables aleatoras tomen todos sus valores dstntos es Tenendo en cuenta que s I J son dos permutacones de (,,, ), donde,,, son elementos de A dstntos dos a dos, en total ha! permutacones de éstos, entonces P p j l para j l,..., ( X, X,..., X ) I) P ( X, X,..., X ) J ) ( de tal forma que, p! P( X X,..., X ) < <... <,..., debdo a la ndependenca,, p! P( X ) P( X )... P( X ) < <... <,..., fnalmente p! P ( X, X X ) f < <... <,..., ()() f... f () ota: Observe que el número de sumandos n presentes en la sumatora está dado por En partcular, la solucón al problema del cumpleaños, con n, será: P,..., ( C ) p ; consderando que se tene una dstrbucón unforme sobre C {,,3,,}, entonces f ( j ) para todo j C así,! Proposcón Sean {,,..., }un conjunto fnto de números reales postvos, >, un número entero. Entonces Demostracón Los casos etremos se prueban fáclmente. El caso es drecto a que el lado zquerdo de la desgualdad anteror es..., mentras que el lado derecho es El caso se sgue de la desgualdad de meda geométrca meda artmétca: p! de la dentdad. < <... <,..., Per(, ). < < <,,, Demostracón de los casos : < < : Sn pérdda de generaldad se puede asumr que, pues en caso contraro s s, entonces bas- ta defnr las nuevas varables se s tendrá que, 7
Unverstas Scentarum, Vol. 3, 5-0 Se defne la funcón g: R R, medante El domno de la funcón es el conjunto cerrado acotado S (,,, ) R : } { como g es una funcón contnua entonces g alcanza mámo sobre S. Sea z ( z z z ) < < <,,, g (,,, ) < < <,,,,,, el punto en S donde g alcanza el mámo, el cual resulta únco a que el conjunto S es un smple. El mámo de g está en z (,,,), en efecto: Se supone, por el contraro, que esten j, j, tales que z z j se consdera el punto S, defndo por -ésma j ésma - z zj z zj z,,,,,, z, es decr, tene las msmas coordenadas del punto z salvo que en las poscones ésma j ésma están los promedos de las poscones ésma j ésma del punto z. g(,,, ) Entonces < < <,,, < < <,,,,, < < <,,,,, < < <,,,,, j Luego, g (,,, ) < < <,,,,, < < <,,,,, < < <,,,,, ( ) j ( ) j Entonces por la desgualdad de meda geométrca meda artmétca, para dos componentes se tene que: g(,,, ) < < <,,,,, < < <,,,,, j zz z zzz z z ( ) j z zj zz z < <. <,,,,, j gz (, z,, z ) > 8
enero-juno 008 Esta últma desgualdad contradce que ( ) z z, z,, z sea el punto donde la funcón g alcanza mámo. Por tanto z z z, es decr z (,,,), a que z z z Proposcón 3. El supuesto de dstrbucón unforme dscreta de nacmentos para cada día de un año de días subestma la probabldad de que dos o más personas, de un conjunto de personas con <, cumplan años el msmo día. Demostracón Bajo una dstrbucón de probabldades general, la probabldad que todas las personas cumplan años en días dstntos es: < < <,,, Az () () () p! f f f Sea, f ( ),,,, r r r entonces de la proposcón se tene que p! f () f () f () < < <,,, Az!! ( )! Esta cota corresponde a la probabldad dada por la dstrbucón unforme de nacmentos, así, la probabldad de tener cumpleaños en días dstntos es mamzada por la dstrbucón unforme que es equvalente a que la dstrbucón unforme subestma la probabldad de que dos o más personas, de un conjunto de personas con <, cumplan años el msmo día. COCLUSIOES La probabldad de que dos o más personas cumplan años en el msmo día, bajo el supuesto de dstrbucón unforme dscreta, es subestmada. En el caso de una dstrbucón arbtrara de nacmentos el número de ndvduos que garantzan concurrenca en cumpleaños de por lo menos dos ndvduos, es a lo más 3, a que la probabldad está acotada nferormente por la correspondente probabldad en el caso unforme. Queda la pregunta de s el valor mínmo de 3 ndvduos, en el caso unforme, requerdo para que por lo menos dos ndvduos cumplan años el msmo día con probabldad maor al 50% se puede mejorar en el sentdo de que se necesten menos ndvduos en el caso general de una dstrbucón arbtrara de nacmentos. LITERATURA CITADA BOYD, S. & VADEBERGHE. Conve optmzaton, reprnted, Cambrdge. U.K. 006; 3-35. DEGROOT M. Probabldad estadístca. Adsson Wesle. Washngton, 999. FELLER, W. An ntroducton to probablt theor and ts applcatons, vol. I, 3 rd edton, Wle and sons, ew Yor, 968; 33. 9
Unverstas Scentarum, Vol. 3, 5-0 PARZE, E. Teoría moderna de probabldad sus aplcacones. Lmusa, orega Edtores. Méco D.F. 993; 64. SHIRYAEV, A.. Probablt. Sprnger GTM 95. nd edton. Berln Hedelberg, 996; 5. Recbdo: 6-07-07 Aprobado: 8-0-08 0