RELACIÓN DE EJERCICIOS T CONTINUIDAD a. a) La función f: R R definida por f() no está definida en. Hallar a para que sea posible definir f() resultando así una función continua. b) Estudia la continuidad de la función g() sen().. La función f: R R definida por a f() no está definida en. Halla a para que sea posible definir f() resultando así una función continua. Dada la función f() a b si 0 si 0 si Halla a y b para que la función sea continua y dibuja su gráfica. 4. Halla a y b para que la siguiente función sea continua si < 0 f() a b si 0 < si 5. Una almacén cobra euro por unidad si se compran 5 o menos paquetes de café, a partir de 5 unidades, cobra por cada unidades: 0 5 C() a 5 5 a) Halla a de manera que el precio sea el mismo para 5 aplicando las dos reglas. b) A qué precio tenderá el paquete de café para un grandiiiísimo consumidor? 6. Un comerciante vende un determinado producto. Por cada unidad de producto cobra 5 euros. No obstante, si se le encargan más de diez unidades, disminuye el precio por unidad, y por cada unidades cobra: 5 0 0 C() k 500 0 a) Halla k de manera que el precio varíe de forma continua al variar el número de unidades que se compran. b) A cuánto tiende el precio de una unidad cuando se compran muchísimas unidades? 7. Describe las discontinuidades de las siguientes funciones: a) y. b) y Ln. c) y sen 8. Clasifica las discontinuidades de las siguientes funciones: a) f() cos b) g().e c) h()
9. Demuestra que la función f() π π, 4 4 cos().sen() presenta una discontinuidad evitable en el intervalo. Redefine la función de modo que sea continua en dicho intervalo. 0. Demuestra que la función f() π π, cos().tg() presenta una discontinuidad evitable en el intervalo. Redefine la función de modo que sea continua en dicho intervalo. 4 4. La función f() es discontinua en. Halla el valor de a y clasifica todas a 8 4 las posibles discontinuidades de la función. a. La función f() tiene una discontinuidad evitable en. Halla el valor de a y b 4 b y clasifica todas las posibles discontinuidades de la función. a. Determina a, b y c para que la curva y sea la siguiente: bc 4. Estudia la continuidad de las funciones siguientes en los puntos considerados y, caso de ser discontinuas, enuncia el tipo de discontinuidad. a) f().e() en 0 0 / e si 0 b) g() / e en 0 0 0 si 0 5. Estudia la continuidad de las funciones siguientes en los puntos considerados y, caso de ser discontinuas, enuncia el tipo de discontinuidad. E() si 0 a) f() en 0 0 E( ) si 0 b) g() si 5 6 0 si en 0 4 6. Halla el valor de a para que la función f: R R tal que f() presente una a 4 discontinuidad evitable en, y redefine f para que sea una función continua.
7. Prueba que la función g() halla el valor de f en dicho punto. e e presenta una discontinuidad evitable en el punto 0 y 8. Averigua, razonadamente, si es continua en 0 la función f() sea, indica el tipo de discontinuidad eistente. cos() tg(), caso de que no lo 9. Dibuja la gráfica de una función que cumpla las siguientes condiciones: Su dominio es R{,0, } No corta a los ejes de coordenadas. Es simétrica impar. La recta y es asíntota oblicua. Presenta al menos dos discontinuidades de salto infinito. Es decreciente en (,). 0. Esboza la gráfica de una función f() que cumpla las siguientes condiciones: en tiene una discontinuidad evitable en 0 tiene una discontinuidad de salto finito en tiene una discontinuidad asintótica f() f().. Demuestra que las gráficas de las funciones f() ln() y g() e se cortan en algún punto y localízalo con un error menor que la unidad. Enuncia el o los teoremas que hayas empleado en la resolución.. Sea la función f: [0, π ] la función definida por f() cos() a) Prueba que f es estrictamente decreciente en ese intervalo. b) Prueba que la ecuación f() 0 posee una única solución en el intervalo. c) Encuentra la solución anterior con un error menor que una centésima.. Sea la función f() cos()sen() definida en el intervalo [0, π ]: a) Prueba que f es estrictamente decreciente en ese intervalo. b) Prueba que la ecuación anterior posee una única solución en el intervalo. c) Encuentra la solución anterior con un error menor que una centésima. 4. Una función polinómica de segundo grado f() q está definida en el intervalo [a, b]. Sabiendo que fa).fb) <0 demuestra que la gráfica de la función corta al eje de abscisas en dos puntos, estando uno de ellos entre a y b. 5. Sea una función f: [0, ] continua tal que f(0) f(). Demuestra que eiste [0, ] tal que f()f(). Deduce que si se supone continua la distribución de temperatura en los distintos puntos de la tierra, entonces eisten dos puntos antipodales en el ecuador de la tierra que tiene la misma temperatura. 6. Un escalador comienza a subir una montaña desde un día determinado desde un punto P situado en su falda a las 6 de la mañana y alcanza su cima a las 6 de la tarde. Acampa en la cima y al día siguiente baja a las 6 de la mañana hasta que llega al punto P a las 6 de la tarde. Demuestra que eiste una determinada hora, a lo largo del día de bajada, en que el escalador se encuentra a la misma hora a la misma altura que el día de subida.
7. Dos pueblos de la montaña leonesa, Brañas y Tejera, se encuentran separados por una distancia de 0 km que se pueden recorrer por dos rutas distintas, una más suave y otra más abrupta. Dos aldeanos, uno de cada pueblo, discuten cuál es la mejor ruta y para ello al día siguiente saldrán de sus respectivos pueblos a la misma hora, las 8 de la mañana, en dirección a la casa del otro y ganará quien antes llegue. El primero va por la ruta A muy deprisa, pero como se cansa se para a comer un bocadillo y reponer fuerzas durante un buen rato, con lo cual tarda 5 horas en llegar, el otro recorre la ruta B a ritmo sostenido pero no para en ningún momento y llega al otro pueblo en el mismo tiempo que el anterior. Demuestra que eiste una determinada hora, a lo largo del día de la apuesta, en que ambos aldeanos se encuentran a la misma distancia de Brañas. 8. Sea una función f: [a, b] continua y c y d dos valores de dicho intervalo que verifican que fc) 5 y f(d) 5. Demuestra que la función g()f() 6 es tal que eiste un punto e, interior al intervalo (c, d), para el que g(e) 0. 9. Sea la función f() cos()sen() definida en el intervalo π 0, a) Prueba que f es estrictamente decreciente en ese intervalo. b) Prueba que la ecuación anterior posee una única solución en el intervalo. c) Encuentra la solución anterior con un error menor que una centésima. : 0. Sea f:[0, ] una función continua que sólo toma valores racionales y verifica que f ( ). Demuestra que f() cualquiera que sea [0,].. Sea una función f: [a, b] R continua y c y d(a, b) dos puntos que verifican fc) 0 y f(d) 0, demuestra que eiste un punto e(c, d) para el que g(e) 0 siendo g la función g()f().. Determina si la función f() está acotada y alcanza sus valores máimos y mínimo en los intervalos (0,5) y [, ]. Enuncia los teoremas que hayas utilizado.. Determina si la función f() está acotada y alcanza sus valores máimos y mínimo en los intervalos (0,) y [4,]. Enuncia los teoremas que hayas utilizado. 4. Determina si la función f() está acotada y alcanza sus valores máimos y mínimo en los 4 intervalos (0,) y [,]. Enuncia los teoremas que hayas utilizado. 4
SOLUCIONES DE CONTINUIDAD a. a) La función f: R R definida por f() no está definida en. Hallar a para que sea posible definir f() resultando así una función continua. b) Estudia la continuidad de la función g() sen() Para que sea continua en debemos redefinirla de modo que f() a dicho ite es una indeterminación 0 0. que resolvemos factorizando el numerador de la fracción aplicando la regla de Ruffini y sabiendo que una de las raíces es : a a Como el resto ha de anularse: a 0 a Quedando: ( )( ) ) 6 ( b) Para estudiar la continuidad de la función g la redefinimos: sen() sen() si 0 g() sen() si 0 Como es un cociente de funciones continuas lo será en R, salvo quizás en 0. Hallamos los ites laterales, teniendo en cuenta que sen() en 0: sen() 0 sen() 0 Por lo tanto g() es continua en R* a. La función f: R R definida por f() no está definida en. Halla a para que sea posible definir f() resultando así una función continua Para que sea continua en debemos redefinirla de modo que f() a 0 dicho ite es una indeterminación que resolvemos factorizando el numerador de la 0 fracción aplicando la regla de Ruffini y sabiendo que una de las raíces es : a 5
Como el resto ha de anularse: a 0 a a Quedando: ( )( ) ) 6 (. Dada la función f() a b si si 0 si 0 Halla a y b para que la función sea continua y dibuja su gráfica. Como es una función definida a trozos en y las ramas son funciones polinómicas, será una función continua ecepto, quizás, en los puntos de solapamiento. Los puntos donde puede haber problemas son 0 0 y : 0 f() ( ). 0 f(0) 0 0 f() (a b) b. 0 Como han de ser iguales los ites laterales para que sea continua: b. f() f() f() (a b) a.. Como han de ser iguales los ites laterales para que sea continua: a a. Por lo tanto f es continua en todo para a y b. 4. Halla a y b para que la función si < 0 f() a b si 0 < si sea continua. Como es una función definida a trozos en y las ramas son polinómicas, será una función continua ecepto, quizás, en los puntos de solapamiento. Los puntos donde puede haber problemas son 0 0 y : 0 0 f() 0 ( ) 0. 0 6
f() 0 f() 0 (a b) b. Para que sea continua obtenemos b 0. f() f() f() (a b). a b. Para que sea continua obtenemos a. Por lo tanto f es continua en todo para a y b 0. 5. Una almacén cobra euro por unidad si se compran 5 o menos paquetes de café, a partir de 5 unidades, cobra por cada unidades: 0 5 C() a 5 5 a) Halla a de manera que el precio sea el mismo para 5 aplicando las dos reglas. b) A qué precio tenderá el paquete de café para un grandiiiísimo consumidor? a) Para que el precio sea el mismo para 5 unidades aplicando las dos reglas la función de coste, C(), ha de ser continua en el dicho punto: f(5) f() 5 5 5 f() a 5 5 5 Igualando ambos ites: 5a 5 a 5 5 a 5 a a a b) El precio el paquete de café para un grandiiiísimo consumidor será el obtenido hallando el C() C() ite de la función para, que como es una indeterminación del tipo que Resolvemos utilizando infinitos equivalentes: 5 6. Un comerciante vende un determinado producto. Por cada unidad de producto cobra 5 euros. No obstante, si se le encargan más de diez unidades, disminuye el precio por unidad, y por cada unidades cobra: 5 0 0 C() k 500 0 a) Halla k de manera que el precio varíe de forma continua al variar el número de unidades que se compran. b) A cuánto tiende el precio de una unidad cuando se compran muchísimas unidades? a) Para que el precio sea el mismo para 0 unidades aplicando las dos reglas la función de coste, C(), ha de ser continua en el dicho punto: f(0) f() 5 50 0 0 7
0 f() k 500 0 Igualando ambos ites: 0 k 5 50 k 5 00k 500 5 k5 5 k 0 0 k 5 b) El precio de una unidad de producto cuando se compran muchísimas unidades será el obtenido hallando el ite de la función tipo C() C() resolvemos utilizando infinitos equivalentes: 0 500 0 0 para, que como es una indeterminación del 7. Describe las discontinuidades de las siguientes funciones: a) y a) y b) y Ln c) y 0 sen es una suma de una función continua, con un cociente de funciones continuas, luego será continua en todo R, salvo quizás en el punto donde se anula del denominador, 0. Redefinimos la función como función definida a trozos: si si y si si obteniendo en una discontinuidad de salto finito, ya que: ( ). ( ) 0. b) y ln es una composición de funciones continuas en su dominio, como debemos considerar el punto donde se anula del denominador, 0 0, obteniendo una discontinuidad de salto infinito con asíntota convergente, ya que: ln ln ln 0 0 ln ln ln 0 0 8
c) y sen es una composición de funciones continuas en su dominio, como debemos considerar el punto donde se anula del denominador, 0, obteniendo una discontinuidad esencial ya que el valor del seno oscilará en dicho punto. sen sen sen() sen sen sen() 8. Clasifica las discontinuidades de las siguientes funciones: a) f() cos b) g().e c) h() a) f() cos es una composición de funciones continuas en su dominio, como debemos considerar el punto donde se anula del denominador, 0, obteniendo una discontinuidad esencial ya que el valor del coseno oscilará en dicho punto. cos cos cos() 0 0 cos cos sen() 0 0 9
.e b) g() es un producto de funciones continuas en su dominio, como debemos considerar el punto donde se anula el denominador de la eponencial, 0, obteniendo una discontinuidad de salto infinito, ya que: 0 0.e.e 0 0 e e e e 0 0 Ya que las funciones eponenciales son infinitos de orden superior que la potenciale.s c) h() es un cociente de funciones continuas, como debemos considerar el punto donde se anula del denominador,, obteniendo una discontinuidad evitable: 0 ( ).( ) ( ). 0 0 cos() 9. Demuestra que la función f().sen() presenta una discontinuidad evitable en el intervalo π π, 4 4. Redefine la función de modo que sea continua en dicho intervalo. 0
La función es continua en el intervalo por ser un cociente de funciones continuas, el numerador es diferencia de constante y coseno y el denominador producto de potencial y seno. El único punto donde puede presentar una discontinuidad es 0 0, donde se anula el denominador, luego hemos de hallar sus ites laterales para ver si la discontinuidad es evitable: cos().sen() f() 0 0 0 0 Indeterminación que resolvemos recordando que sen() y cos() (infinitésimos equivalentes): f() 0 f() 0 0 0 cos() / /.sen() cos().sen() 0 0 cos() / 0 0 sen() Indeterminación que resolvemos recordando que sen() y cos() f() 0 0 cos() / /.sen() cos() / 0 0 sen().. :.. para 0 Presenta una discontinuidad evitable en 0 ya que coinciden los ites laterales en dicho punto. Para que la función sea continua en dicho intervalo se redefine: cos() si 0.sen() f() si 0 cos() 0. Demuestra que la función f() presenta una discontinuidad evitable en el. tg() π π intervalo,. Redefine la función de modo que sea continua en dicho intervalo. La función es continua en el intervalo por ser un cociente de funciones continuas en el dominio, el numerador es diferencia de constante y coseno y el denominador producto de potencial y tangente. El único punto donde puede presentar una discontinuidad es 0 0, donde se anula el denominador, luego hemos de hallar sus ites laterales para ver si la discontinuidad es evitable: cos() f().tg() 0 0 0 0 Indeterminación que resolvemos recordando que y tg() y cos() y equivalentes para 0: f() 0 0 cos() / /.tg() 0 cos() / 0 tg() son infinitésimos 0 f() 0 cos() 0.tg() 0 Indeterminación que resolvemos recordando que y tg() y cos() y equivalentes para 0: son infinitésimos
f() 0 0 cos() / /.tg() 0 cos() / 0 tg() Como coinciden los ites laterales en 0 0, presenta en dicho punto una discontinuidad evitable. Para que la función sea continua en dicho intervalo se redefine: cos( ) si 0. tg() f() si 0 4 4. La función f() es discontinua en. Halla el valor de a y clasifica todas a 8 4 las posibles discontinuidades de la función. Para que sea discontinua, al ser un cociente de polinomios, el denominador ha de anularse: ( ) a( ) 8() 40 0 4a 0 a 5 quedando 4 4 f() 5 8 4 Los otros puntos donde se anula la función se hallan descomponiendo el denominador en factores mediante la Regla de Ruffini obteniéndose y. 4( ) f() ( ) ( ) En tenemos: 4( ) 4 ( ).( ) ( ) 4( ) 4 ( ).( ) ( ) 4 4 Discontinuidad evitable con verdadero valor de la función f(0) 4. En tenemos: 4( ) ( ).( ) 4( ) ( ).( ) Discontinuidad inevitable de ª especie con salto infinito. a. La función f() tiene una discontinuidad evitable en. Halla el valor de a b 4 y b y clasifica todas las posibles discontinuidades de la función. Como es un cociente de polinomios para que sea discontinua ha de anularse el denominador en 0 : ( ) b( ) 4() 0 0 4a 0 a 5
Para que el ite para sea finito, el numerador ha de anularse pues en caso contrario sería un ite infinito: k 0 Quedaría la función: f() 5 4 Los otros puntos donde se anula la función se hallan descomponiendo el denominador en factores mediante la Regla de Ruffini obteniéndose como raíces 0 y 7..( ) f()..( )( 7) En 0 tenemos:.( ).( )( 7) 0 0.( ).( )( 7) 0 0 7 7 Discontinuidad evitable con verdadero valor de la función f(0) En tenemos:.( ).( )( 7).( ).( )( 7) 7 7 Discontinuidad evitable con verdadero valor de la función f(0) En tenemos:.( ).( )( 7) 7 7.( ).( )( 7) 7 7 7 7 7 9 9 7 Discontinuidad inevitable de ª especie con salto infinito. 7 9... Determina a, b y c para que la curva y a b c sea la siguiente: Teniendo en cuenta la gráfica la función tiene dos discontinuidades de salto en y, por lo tanto el denominador ha de ser de la forma ().(), es decir que la función será:
a a y ( ).( ) es decir bc ().() por lo tanto b y c b c Por otro lado tiene un máimo en (, ), es decir pasa por dicho punto, sustituyendo valores en la epresión de la función: a f() a 8 () ( ) a 4 obteniendo finalmente la epresión: y 8 4. Estudia la continuidad de las funciones siguientes en los puntos considerados y, caso de ser discontinuas, enuncia el tipo de discontinuidad. a) f().e() en 0 0 / e si 0 b) g() / e en 0 0 0 si 0 a) Para que f sea continua en 0 0 han de ser iguales sus ites laterales e iguales al valor de la función f(0) 0: f().e() 0.() 0 0 f() 0 0.E() 0 0 0.0 0 0 Es continua ya que coinciden los ites laterales en 0 y el valor de la función. b) Para que g sea continua en 0 0, han de ser iguales sus ites laterales e iguales al valor de la función g(0) 0: g() 0 g() 0 0 0 e e / / e e / / Indeterminación que resolvemos dividiendo numerador y denominador por e / : g() 0 0 / e / e / / Al ser los ites laterales distintos y finitos presenta una discontinuidad de ª especie de salto finito. 5. Estudia la continuidad de las funciones siguientes en los puntos considerados y, caso de ser discontinuas, enuncia el tipo de discontinuidad. E() si 0 a) f() en 0 0 E( ) si 0 b) g() si 5 6 0 si en 0 4
a) Para que f sea continua en 0 0 han de ser iguales sus ites laterales e iguales al valor de la función f(0) 0: E() 0() f() 0 f(0) f() 0 0 E( ) 0 Es continua ya que coinciden los ites y el valor de la función. si 5 6 0 si b) Para que g sea continua en 0 0, han de ser iguales sus ites laterales e iguales al valor de la función g(0) 0: g() 0 5 6 0 Indeterminación que resolvemos descomponiendo factorialmente los polinomos: ( ).( ) ( ) g() 0 ( )( 6) ( 6) Como coinciden los ites laterales en 0 y el valor de la función es continua en dicho punto. 4 6. Halla el valor de a para que la función f: R R tal que f() presente una a 4 discontinuidad evitable en, y redefine f para que sea una función continua. Para que sea continua en debemos redefinirla de modo que: ( ) f() a 4 0 dicho ite es una indeterminación que resolvemos factorizando el numerador de la 0 fracción aplicando la regla de Ruffini y sabiendo que una de las raíces es : a 4 0 a 0 a 4a 5
Como el resto ha de anularse: 4a 0 a Quedando: ( ) 4 Luego redefinimos f de la siguiente forma: si f() si 7. Prueba que la función g() e e y halla el valor de f en dicho punto. presenta una discontinuidad evitable en el punto 0 Tomando factor común e en el numerador obtenemos que e e e (e ) y teniendo en cuenta que si e y son infinitésimos equivalentes en 0 también lo son e y : 0 e e 0 e (e ) 0 e. u u 0 u e. u Que al ser finito permite sustituir f(0) por su ite para 0 y redefinir la función como: e e si 0 f() si 0 8. Averigua, razonadamente, si es continua en 0 la función f() lo sea, indica el tipo de discontinuidad eistente. cos() tg(), caso de que no La función es continua en el intervalo por ser un cociente de funciones continuas, el numerador es diferencia de polinomio y seno y el denominador es raíz de la diferencia de una constante y coseno. En 0 0, donde se anula el denominador, puede presentar una discontinuidad hallaremos sus ites laterales para ver si la discontinuidad es evitable: f() 0 0 cos() tg() 0 0 Indeterminación que resolvemos recordando que tg() y cos() / para 0 (infinitésimos equivalentes): f() 0 0 / 0 sen() 0 f() 0 cos() 0 0. 0. Indeterminación que resolvemos recordando que tg() y cos() /: f() 0 0 / 0. 0. Presenta una discontinuidad inevitable de salto finito en 0 ya que no coinciden los ites laterales en dicho punto. 6
9. Dibuja la gráfica de una función que cumpla las siguientes condiciones: Su dominio es R{,0, } No corta a los ejes de coordenadas. Es simétrica impar. La recta y es asíntota oblicua. Presenta al menos dos discontinuidades de salto infinito. Es decreciente en (,). Basta considerar la función f() si 0 Cuyo dominio es R{,0, } ya que no está definida en 0 y tampoco en y puesto que el cociente se anula en 0 ± No corta a los ejes de coordenadas ya que: En 0 no está definida, por lo tanto no corta al eje de ordenadas. Si y 0 Es simétrica impar puesto que f() 0 0, imposible puesto que no está definida en dicho punto. La recta y es asíntota oblicua ya que m n f() [f() m] /( () ) f() 0 Presenta al menos dos discontinuidades de salto infinito en y. Es decreciente en (,). cuya gráfica es la siguiente: 0. Esboza la gráfica de una función f() que cumpla las siguientes condiciones: en tiene una discontinuidad evitable en 0 tiene una discontinuidad de salto finito en tiene una discontinuidad asintótica f() f(). 7
Tomamos, por ejemplo la función: si 0 y f() si 0 ln( ) si Que cumple que. f() Que cumple que en 0 tenga discontinuidad evitable ya que no eiste f(), pero tiene como ites laterales que podemos. f() Que tiene en 0 una discontinuidad de salto finito de valor. Que tiene en una discontinuidad asintótica de valor ya que tiene ites laterales f() f(). La gráfica es la de la figura adjunta. f(). Demuestra que las gráficas de las funciones f() ln() y g() e se cortan en algún punto y localízalo con un error menor que la unidad. Enuncia el o los teoremas que hayas empleado en la resolución. Si eiste algún punto de corte entre ambas gráficas es porque en dicho punto coinciden los valores de las ordenadas y abscisas, es decir se cumple que f() g(). Para demostrar que eso ocurre basta construir la función h() e ln() y demostrar que se anula en algún punto utilizando el Teorema de Bolzano Si, por ejemplo, tomamos el intervalo [,e], la función es continua en dicho intervalo como suma de funciones continuas. En los etremos los valores son: g() e ln() > 0 g(e) e e ln(e) e e < 0 Es decir que el punto de corte se sitúa en el intervalo (, e). Con error menor que la unidad basta considerar el intervalo [,;,4] ya que: g(,) e, ln(,) 0,75 0,64 0,0 >0 g(,4) e,4 ln(,4) 0,466 0,64 0,09 <0 8
. Sea la función f: π 0, la función definida por f() cos() a) Prueba que f es estrictamente decreciente en ese intervalo. b) Prueba que la ecuación f() 0 posee una única solución en el intervalo. c) Encuentra la solución anterior con un error menor que una centésima. a) f es estrictamente creciente en el intervalo π 0, < () < 0 por ser decreciente en R. ya que: < cos() cos() < 0 por ser decreciente cos() en π 0, siendo la suma de funciones decrecientes una función decreciente tal como se ve en la figura. b) Para probar que la ecuación f() 0 posee una única solución en el intervalo utilizamos el Teorema de Bolzano ya que como ambas funciones son continuas en el intervalo, su diferencia lo es cumpliéndose en los etremos que: cos(0)0 π 0 π π cos π π > 0 < 0 π Con lo cual eiste una solución en el intervalo 0,. Es además única, ya que si eistiera otra solución en dicho intervalo la función habría de ser creciente en algún subintervalo de intervalo (, ) que contradeciría el hecho de que la función es estrictamente decreciente en el intervalo π 0, tal como discutimos en el apartado a). c) Para encontrar la solución anterior con un error menor que una centésima bastaría, utilizando la calculadora determinar puntos en el interior del intervalo. Serían [0,7; 0,74]: f(0,7) cos(0,7) 0,7 0,7450,7 0,05 f(0,74) cos(0,74) 0,74 0,7850,74 0,005.. Sea la función f() cos()sen() definida en el intervalo [0, π ]: a) Prueba que f es estrictamente decreciente en ese intervalo. b) Prueba que la ecuación anterior posee una única solución en el intervalo. c) Encuentra la solución anterior con un error menor que una centésima. 9
a) La función f es estrictamente creciente en el intervalo π 0, ya que: < cos()cos() <0 por ser decreciente cos() en dicho intervalo. < sen()sen()< 0 por ser creciente sen() en dicho intervalo. siendo la suma de funciones decrecientes una función decreciente tal como se ve en la figura. b) Para probar que la ecuación f() 0 posee una única solución en el intervalo utilizamos el Teorema de Bolzano ya que como ambas funciones son continuas en el intervalo, su diferencia lo es cumpliéndose en los etremos que: cos(0)sen(0) 0 > 0 π π cos sen 0 < 0 π Por lo tanto f(0).f < 0 π Aplicando el Teorema eiste una solución de la ecuación 0,. Dicha solución es única, ya que si eistiera otra solución en dicho intervalo, d, la función habría de ser creciente en algún subintervalo de intervalo (c, d) lo que contradeciría que la función es estrictamente decreciente como hallamos en el apartado anterior. c) Para encontrar la solución anterior con un error menor que una centésima bastaría, utilizando la calculadora determinar puntos en el interior del intervalo. Serían [0,78; 0,79]: f(0,78) cos(0,78)sen(0,78) 0,7090,70 0,0076 f(0,79) cos(0,79)sen(0,79) 0,7080,704 0.0066 4. Una función polinómica de segundo grado f() q está definida en el intervalo [a, b]. Sabiendo que fa).fb) <0 demuestra que la gráfica de la función corta al eje de abscisas en dos puntos, estando uno de ellos entre a y b. Para demostrar que la gráfica de la función corta al eje de abscisas en dos puntos, debemos demostrar que la solución de la ecuación de segundo grado f() 0 tiene dos soluciones reales y distintas. Como las soluciones vienen dada por la fórmula: q q 4..() q q q 0
para que haya dos soluciones el discriminante q > 0, que siempre es cierto cualquiera que sea el valor de q R. Para demostrar que uno de ellos está entre a y b utilizamos el Teorema de Bolzano: Es continua por ser una función polinómica. Toma valores de distinto signo en el intervalo (a, b) ya que fa).fb) <0 Luego eistirá un valor 0 (a, b) tal que f(0) 0. 5. Sea una función f: [0, ] continua tal que f(0) f(). Demuestra que eiste [0, ] tal que f()f(). Deduce que si se supone continua la distribución de temperatura en los distintos puntos de la tierra, entonces eisten dos puntos antipodales en el ecuador de la tierra que tiene la misma temperatura. Para demostrar que eiste 0(0, ) tal que f()f() basta considerar la función g: [0, ], tal que g() f() f( ) que cumple: a) Es continua en [0, ] ya que es la diferencia de dos funciones continuas. b) Toma valores de distinto signo en cada etremo del intervalo ya que como f(0)f(): g(0) f(0) f(0 ) f(0) f() g() f() () f() () Si f(0) f() queda demostrado, 0[0, ] / f(0) f() Si f(0) f() f(0) < f() ó f(0) > f() con lo cual g toma valores de distinto signo a ambos lados del intervalo. Aplicando el teorema de Bolzano a la función g, eistirá un valor 0(0, ) tal que: g(0) f(0) f(0 ) 0 f(0) f(0 ) como queríamos demostrar. Si se supone continua la distribución de temperatura en los distintos puntos de la tierra basta considerar la función temperatura T() que asigna a cada punto del ecuador la temperatura correspondiente, pudiendo dar cada punto por el valor del ángulo correspondiente a su meridiano. Basta pues considerar T() f() con lo cual entonces eisten dos puntos antipodales en el ecuador de la tierra que tienen la misma temperatura. 6. Un escalador comienza a subir una montaña desde un día determinado desde un punto P situado en su falda a las 6 de la mañana y alcanza su cima a las 6 de la tarde. Acampa en la cima y al día siguiente baja a las 6 de la mañana hasta que llega al punto P a las 6 de la tarde. Demuestra que eiste una determinada hora, a lo largo del día de bajada, en que el escalador se encuentra a la misma hora a la misma altura que el día de subida. Consideremos dos funciones: hs: [6, 8], tal que hs(t) es la altura alcanzada por el escalador en la subida. hb: [6, 8], tal que hb(t) es la altura alcanzada por el escalador en la bajada. Y consideremos que en P la altura sobre el nivel del mar toma el valor p y en la cima el valor c. Ambas son, evidentemente, continuas y además se cumple que: hs(6) p, hs(8) c hb(6) c, hb(8) p Basta construir la función auiliar f(t) hs(t) hb(t) y aplicarle el teorema de Bolzano ya que cumple: a) Es continua en [8, 8] ya que es la diferencia de dos funciones continuas. b) Toma valores de distinto signo en cada etremo del intervalo ya que:
f(6) hs(6) hb(6) p c < 0 f(8) hs(8) hb(8) c p > 0 Eistirá un valor t0(6, 6) tal que: f(t0) hs(t0) hb(t0) 0 hs(t0) hb(t0) como queríamos demostrar y eistirá una misma hora del día de subida y del día de bajada en que el escalador se encuentra a la misma altura. 7. Dos pueblos de la montaña leonesa, Brañas y Tejera, se encuentran separados por una distancia de 0 km que se pueden recorrer por dos rutas distintas, una más suave y otra más abrupta. Dos aldeanos, uno de cada pueblo, discuten cuál es la mejor ruta y para ello al día siguiente saldrán de sus respectivos pueblos a la misma hora, las 8 de la mañana, en dirección a la casa del otro y ganará quien antes llegue. El primero va por la ruta A muy deprisa, pero como se cansa se para a comer un bocadillo y reponer fuerzas durante un buen rato, con lo cual tarda 5 horas en llegar, el otro recorre la ruta B a ritmo sostenido pero no para en ningún momento y llega al otro pueblo en el mismo tiempo que el anterior. Demuestra que eiste una determinada hora, a lo largo del día de la apuesta, en que ambos aldeanos se encuentran a la misma distancia de Brañas. Consideremos dos funciones db: [8, ] y dt: [8, ] que indican la distancia recorrida por cada aldeano siendo tt el tiempo que descansa el aldeano que sale de Brañas. vb la velocidad que lleva y vt la velocidad que lleva el que comienza en Tejera. Cumpliéndose además que vb > vt. Si medimos la distancia desde Brañas las epresiones del camino recorrido son: vb.t si 0 t t db vb. t si t t t v.(t t ) si t t B dt 0 vt.t Obteniendo una situación como la de la figura. Por lo cual ambas funciones son continuas y además se cumple que: db(8) dt() 0 (ambos están en Brañas en ese momento) db() dt(8) 0 (ambos están en Tejera en ese momento) Para demostrar que eiste una determinada hora, a lo largo del día de la apuesta, en que ambos aldeanos se encuentran a la misma distancia de Brañas basta construir la función auiliar d(t) db(t) dt(t) y aplicarle el teorema de Bolzano ya que cumple: a) Es continua en [8, ] ya que es la diferencia de dos funciones continuas. b) Toma valores de distinto signo en cada etremo del intervalo ya que:
d(8) db(8) dt(8) 0 0 < 0 d() db() dt() 00 > 0 eistirá un valor t0(8, ) tal que: d(t) db(t0) dt(t0) 0 db(t0) dt(t0) como queríamos demostrar y ambos aldeanos estarán a la misma distancia de Brañas. 8. Sea una función f: [a, b] continua y c y d dos valores de dicho intervalo que verifican que fc) 5 y f(d) 5. Demuestra que la función g()f() 6 es tal que eiste un punto e, interior al intervalo (c, d), para el que g(e) 0. Consideramos la función g: [a, b], tal que g() f() 6 que es continua en [c, d] [a, b] ya que es suma de dos funciones continuas. Como: gc) fc) 6 5 6 g(d) f(d) 6 5 6 Aplicando el teorema de los valores intermedios o de Darbou a la función g, para cualquier k tal que gc) K g(d) eistirá un valor e(c, d) tal que: gc) 0 g(d) g(e) 0 como queríamos demostrar. 9. Sea f: [0, ] una función continua que sólo toma valores racionales y verifica que f ( ). Demuestra que f(). cualquiera que sea [0,]. Vamos a efectuar una demostración por reducción al absurdo. Supondremos que la función no es constante y demostraremos que se llega a una contradicción con el enunciado del problema. Si la función es continua en el intervalo [0, ] lo será en cualquiera de sus subintervalos, por ejemplo [a, b] [0, ]. Suponiendo que f no es constante y que toma valores distintos en los etremos de dicho intervalo, fa) fb), por el teorema de Darbou o de los valores intermedios, eistirá una valor c[a, b] tal que para todo valor k comprendido entre fa) y fb), fc) k. Ahora bien entre dos valores racionales, fa) y fb), siempre eisten números irracionales, por lo tanto eiste c[a, b] tal que fc) k, con K irracional. Pero esto contradice la hipótesis de que el recorrido de la función sólo está formado por números racionales. Por lo tanto fa) fb) y la función, puesto que a y b pueden ser cualesquiera ha de ser constante en el intervalo. Como f ( )., al ser constante f() cualquiera que sea [0,]. 0. Sea una función f: [a, b]r continua y c y d(a, b) dos puntos que verifican fc) 0 y f(d) 0, demuestra que eiste un punto e(c, d) para el que g(e) 0 siendo g la función g()f(). Solución: Consideramos la función g: [a, b], tal que g() f() que es continua en [c, d] [a, b] ya que es suma de dos funciones continuas. Como: gc) fc) 0 g(d) f(d) 0 6 6
Aplicando el teorema de los valores intermedios o de Darbou a la función g, para cualquier k tal que gc) K g(d) eistirá un valor e(c, d) tal que: gc) 0 g(d) g(e) 0 como queríamos demostrar.. Determina si la función f() está acotada y alcanza sus valores máimos y mínimo en los intervalos (0,5) y [, ]. Enuncia los teoremas que hayas utilizado. Redefinimos la función como función definida a trozos: si 0 f() si 0 No está acotada en el intervalo (0, 5) ya que 0 f() y por lo tanto no tiene máimo en dicho intervalo. Si está acotada inferiormente, puesto que (0, 5), f() > 0, pero no alcanza su valor mínimo ya que tiene un comportamiento asintótico y no alcanza su etremo inferior k 0. Si está acotada en el intervalo [, ] ya que es un cociente de funciones continuas, no anulándose la función denominador en el intervalo en intervalo cerrado tal como enuncia el Teorema de Weiertrass. Tiene un máimo de valor que alcanza en el punto y un mínimo de valor / que alcanza en el punto.. Determina si la función f() está acotada y alcanza sus valores máimos y mínimo en los intervalos (0,) y [4,]. Enuncia los teoremas que hayas utilizado 4
No está acotada en el intervalo (0, ) ya que f() 0 y por lo tanto no tiene máimo en dicho intervalo. Si está acotada inferiormente, puesto que (0, ), f() > 0, pero no alcanza su valor mínimo ya que tiene un comportamiento asintótico y no alcanza su etremo inferior k 0. Si está acotada en el intervalo [4, ] ya que es un cociente de funciones continuas, no anulándose la función denominador en el intervalo en intervalo cerrado tal como enuncia el Teorema de Weiertrass. Tiene un máimo de valor /4 que alcanza en el punto y un mínimo de valor /6 que alcanza en el punto 4.. Determina si la función f() 4 está acotada y alcanza sus valores máimos y mínimo en los intervalos (0,) y [,]. Enuncia los teoremas que hayas utilizado. No está acotada en el intervalo (0, ) ya que f() y f() por lo tanto no tiene máimo ni mínimo en dicho intervalo. Si está acotada en el intervalo [, ] ya que es un cociente de funciones continuas, no anulándose la función denominador en el intervalo cerrado tal como enuncia el Teorema de Weiertrass. Tiene un máimo de valor /4 que alcanza en el punto 0 y dos mínimos de valor /6 que se alcanzan en los puntos y. 5