Departameto de Matemáticas Física FUNCIÓN DE ONDA ECUACIÓN DE ONDA EN UNA DIMENSIÓN Fís. Jorge Eardo Aguilar Rosas El movimieto olatorio e u sistema se preseta cuado ua perturbació procida e u lugar del medio se propaga co ua rapidez que depede de las características del medio ísico. Las características geerales de propagació de las odas las aalizaremos a partir de la situació de u medio o-dispersivo e ua dimesió. Primero idicaremos la orma geeral de las ucioes de oda que se propaga hacia la derecha o a la izquierda. Luego, presetaremos las características parámetros importates relativos a las odas armóicas. E la tercera parte, os reeriremos a los aspectos particulares de las odas periódicas, mediate el Teorema de Fourier. E la parte ial mostraremos la estructura geeral de la ecuació de oda e ua dimesió para u medio si dispersió.. Odas viajeras e ua dimesió Como puto de partida cosideremos la descripció matemática de las odas que se propaga si deormarse (medio o-dispersivo) e ua dimesió. Para ijar ideas, por su secillez, tomemos como ejemplo ua líea recta que pasa por el orige, como se muestra e la igura.a, dada por la ecuació: ( x) mx, () dode m es la pediete. Si ahora queremos represetar a la recta "desplazada" hacia la derecha ua distacia "a", mateiedo la misma pediete, como se idica e la igura.b, la ució viee dada por la ecuació: ( x) m( x a). () Pediete m Pediete m Pediete m Orige Orige a -a Orige (c) Figura. Recta "desplazada" a la derecha, (c) a la izquierda. Si el "desplazamieto" es hacia la izquierda ua distacia "a", como se muestra e la igura.c, la ecuació de la recta queda como: ( x) m( x a). + ()
Fució de Oda Ecuació de Oda u ua Dimesió Jorge Eardo Aguilar Rosas Departameto de Matemáticas Física Estos "desplazamietos" se puede geeralizar para cualquier ució de la siguiete orma. Cosideremos que la ució (x) represeta a ua oda e el tiempo t, supogamos que la oda se propaga hacia la derecha co la rapidez de propagació v, como se ilustra e la igura.b. E el tiempo t, la orma de la oda es la misma pero "desplazada" ua distacia "vt", de tal maera que la ució que describe a la oda e este tiempo es la misma que e el tiempo t pero desplazada, esto es: ( x,t) ( x vt). (4) La variable "" represeta a cualquier variable ísica que se perturbe a partir de su estado estable debido al paso de la oda, por lo que es ua ució de la posició "x" del tiempo "t". E el caso de ua cuerda "" puede represetar el "desplazamieto" a partir de la posició de equilibrio de cada elemeto de la cuerda; para las odas de soido "" puede ser el "desplazamieto" de las partículas del gas (aire) a partir de su "posició de equilibrio", o la "variació" e la presió o la desidad; es decir, e cada medio se tiee que cosiderar las variables ísicas que se ve aectadas por el paso de las odas. (x) (x-a) (x+a) Orige Orige a -a Orige (c) Figura. Fució "desplazada" a la derecha, (c) izquierda. Si la oda se "desplaza" hacia la izquierda si deormarse, co ua rapidez de propagació v, como se idica e la igura.c, la ució de oda que describe a la oda e el tiempo está dada por: ( x,t) ( x vt). + (5) E otras palabras, e pricipio para idetiicar si ua ució represeta a ua oda desplazádose e u medio se debe aalizar la depedecia de la ució e térmios de las catidades "x vt" o "x + vt". E el caso de odas armóicas cosideraremos otras ormas de expresar estas depedecias auque e el odo seguirá siedo lo mismo. La depedecia de la ució de oda de la posició del tiempo permite "ver" a la oda e dos ormas distitas. Si se cosidera u tiempo "ijo" t, se tiee la image de la variable "" del medio para todas las posicioes x, esto es como si se tuviera ua "otograía" del medio, como se muestra e la igura.b. La otra orma de "ver" a la oda es "ijarse" úicamete e u elemeto o puto del medio x, observar lo que le sucede a la variable "" e esta posició coorme trascurre el tiempo, como se idica e la igura.c. E este caso la máxima deormació ocurre e el tiempo t x /v, que es cuado el máximo de la oda está pasado por la posició x.
Jorge Eardo Aguilar Rosas Departameto de Matemáticas Física Fució de Oda Ecuació de Oda u ua Dimesió (x) (x-vt ) (x -vt) Orige x Orige vt x t x /v t t (c) Figura. Fució de oda e térmios de la posició e u tiempo ijo t, (c) del tiempo e ua posició ija x. Como e el mismo medio se puede teer la presecia de odas viajado a la derecha hacia la izquierda, la ució de oda correspodiete es la superposició de las ucioes de oda: ( x,t) ( x vt) + ( x vt). + (6) Posteriormete se cosiderará la superposició de odas co detalle para aalizar odas periódicas de dieretes ormas, las situacioes de odas estacioarias, las pulsacioes o batimietos; e todos estos casos, el puto de partida so las odas armóicas que presetamos a cotiuació.. Odas armóicas Cosideremos que ua oda que se "desplaza" hacia la derecha, co rapidez de propagació v, e el tiempo t, está descrita por la ució armóica "seo", ( x, ) ( x) se( kx), (7) e dode " M " es la amplitud máxima;, "k" es ua costate, llamada "úmero de oda", que represeta la "recuecia agular espacial" de la oda. Para aclarar el sigiicado de esta "recuecia" veamos la image de la igura 4.a, e dode la orma de la oda se repite a itervalos de distacia "". La catidad es el "periodo espacial", llamado "logitud de oda", su sigiicado es precisamete ese: la distacia a la que la orma de la oda se repite. E la ució armóica "seo" la orma de la oda se repite cada "π" radiaes, de tal maera que el argumeto de la ució armóica "kx" debe relejar esta "periodicidad espacial", así que k π, de dode el úmero de oda (recuecia agular espacial) resulta: M π k. (8) M M (x,t ) (x-vt ) (x) (x) Figura 4. Fució de oda armóica e térmios de la posició e el tiempo iicial t, (c) cualquiera t, desplazádose hacia la derecha
Fució de Oda Ecuació de Oda u ua Dimesió Jorge Eardo Aguilar Rosas Departameto de Matemáticas Física La ució de la oda desplazádose hacia la derecha, co rapidez de propagació v, para cualquier tiempo, como se muestra e la igura 4.b, está dada por: distribuedo el procto e el argumeto teemos: ( x,t) ( x vt) Mse[ k( x vt) ]; (9) ( x,t) se( kx kvt), M e dode idetiicamos a la "recuecia agular temporal" " o simplemete recuecia agular), como: por lo que la ució de oda la podemos escribir e la orma: ω kv, () ( x,t) se( kx t). M ω () La recuecia el periodo T está relacioados co la recuecia agular mediate π ω π, () T de tal maera que otras ormas de escribir a la ució de oda armóica so: x ( x,t) Mseπ t; () x t ( x,t) Mseπ. (4) T Por otra parte la rapidez de propagació de las odas se puede expresar, de acuerdo co las ecuacioes 8,, como:. Aálisis de Fourier v. (5) T Cosideremos que teemos ua ució (de oda) periódica e el espacio (x), co "periodo espacial", como se muestra e la igura 5.a. El Teorema de Fourier idica que la ució (x) se puede escribir e térmios de las ucioes armóicas seo coseo, co "recuecias agulares" iguales a k, k, k,..., k,..., siedo k π/, e la orma: ( x) a + a cos( kx) + a cos( kx) + a cos( kx) +... + a cos( kx) +... + b se( kx) + b se( kx) + b se( kx) +... + b se( kx) +..., (6) 4
Jorge Eardo Aguilar Rosas Departameto de Matemáticas Física Fució de Oda Ecuació de Oda u ua Dimesió e dode los coeicietes a, a, a, a,..., a,..., b, b, b,..., b,..., se obtiee cosiderado la idepedecia lieal de las ucioes armóicas seo coseo como se idica posteriormete. (x,t ) (x-vt ) (x) (x) Figura 5. Fució de oda periódica e térmios de la posició e el tiempo iicial t, (c) cualquiera t, desplazádose hacia la derecha La ució de la oda desplazádose hacia la derecha, co rapidez de propagació v, como se idica e la igura 5.b, viee dada por la relació: ( x vt) a + a cos( kx ωt) + a cos( kx ωt) + a cos( kx ωt) +... + a cos( kx ωt) +... + b se( kx ωt) + b se( kx ωt) + b se( kx ωt) +... + b se( kx ωt) +..., (7) e dode se cosideró la relació, etre la velocidad la recuecia agular. La recuecia ω/π es la recuecia udametal o el primer armóico, la recuecia ω/π correspode al - ésimo armóico. La determiació de los coeicietes se puede hacer co la ució (x) de la ecuació 6. E la determiació de los parámetros cosideremos primero el aálisis para el parámetro a. Al itegrar la ecuació 6 e u periodo, teemos: ( x) dx [ a + a cos( kx) + a cos( kx) + a cos( kx) +... + a cos( kx) + b se kx +... ( ) + b se( kx) + b se( kx) +... + b se( kx) +...] dx, las itegrales de las ucioes armóicas so ulas, quedado sólo el térmio de a, de dode se obtiee el valor del coeiciete: a ( x) dx a, ( x) dx. (8) Para determiar a los coeicietes a multiplicamos a la ució (x) idicada e la ecuació 6, por e itegramos e u periodo, quedado: cos ( kx), 5
Fució de Oda Ecuació de Oda u ua Dimesió Jorge Eardo Aguilar Rosas Departameto de Matemáticas Física ( x) cos( kx) dx [ a + a cos( kx) + a cos( kx) + a cos( kx) +... + a cos( kx) + b se kx +... ( ) + b se( kx) + b se( kx) +... + b se( kx) +...] cos( kx) dx. La itegral del primer térmio de la derecha es ulo, mietras que las otras itegrales, debido a la idepedecia lieal de las ucioes seo coseo resulta: cos ( mkx) cos( kx) dx si si m m ( ) cos( kx) dx. se mkx Etoces, el úico térmio que sobrevive es el correspodiete al coeiciete a, multiplicado por el actor /; por lo que: a ( x) cos( kx) dx. (9) De maera aáloga, para determiar los coeicietes b, multiplicamos por e itegramos, quedado ialmete que: se ( kx), b ( x) se( kx) dx. () El valor de cada uo de los coeicietes a b idica qué ta importate es la cotribució de la ució armóica correspodiete para la "costrucció" de la ució (x) origial. Así, por ejemplo, ua misma ota de soido geerada por dieretes istrumetos musicales suea dierete por que la cotribució de los armóicos es dierete. 4. Ecuació de oda E el caso del movimieto armóico simple (MAS) se estableció su ecuació característica, d ω, () dt e dode "" es el desplazamieto respecto a la posició de equilibrio;, ω es la recuecia agular de oscilació. Geeralmete, cuado se hace el aálisis "diámico" sobre el movimieto de u objeto se llega a ua expresió de la orma idicada e la ecuació, podemos señalar que el objeto tedrá u movimieto armóico simple. La ecuació es la relació etre la aceleració el desplazamieto respecto a la posició de equilibrio de u objeto. 6
Jorge Eardo Aguilar Rosas Departameto de Matemáticas Física Fució de Oda Ecuació de Oda u ua Dimesió Ahora procederemos a determiar la ecuació propia de u movimieto olatorio de ua perturbació que se desplaza co rapidez de propagació v, si distorsió, e ua dimesió. Para ijar ideas, cosideremos que las odas so procidas e ua cuerda, de tal maera que la variable "" represeta el "desplazamieto" de cada elemeto de la cuerda respecto a su posició de equilibrio. Si se tratara de ua oda armóica (ec. ), el movimieto de cada elemeto de la cuerda e el tiempo correspodería a u movimieto armóico simple, por lo que deberíamos de esperar que la ecuació de la oda ivolucrara a la aceleració de cada elemeto de la cuerda de acuerdo a la ecuació, esto es: ω, () e dode la seguda derivada es "parcial" porque solo se deriva respecto al tiempo, permaeciedo x costate. Además, si cosideramos la orma de la cuerda e u tiempo "ijo", esperaríamos ua relació de la orma de la cuerda o cocavidad co sus características de posició, esto sigiica que: x k, () e dode la seguda derivada es "parcial" respecto a la posició, permaeciedo t costate. De las dos ecuacioes ateriores teemos la relació etre el espacio el tiempo de la variable "", dada por: ω k. x Utilizado la relació para la rapidez de propagació, la ecuació de oda queda como: v. x (4) Esta relació represeta la orma geeral de la ecuació de oda e ua dimesió, e u medio si dispersió. Las solucioes de la ecuació de oda so de la orma idicada e la ecuació 6, ( x,t) ( x vt) + ( x vt). + es decir odas que se propaga a la derecha o a la izquierda, o solo odas armóicas. Para mostrar que las ucioes de la orma ( x,t) ( x vt), so solucioes de la ecuació de oda (ec. 4), cosideremos que siedo u (5) ( x,t) ( u), ( x,t) x vt. 7
Fució de Oda Ecuació de Oda u ua Dimesió Jorge Eardo Aguilar Rosas Departameto de Matemáticas Física Etoces, al tomar las derivadas de (x,t) utilizado la regla de la cadea teemos: Para la seguda derivada queda: ( x,t) d( u) u ( x,t) d( u) v. ( x,t) d( u) v t ( x,t) d d( u) v ( x,t) d ( u) v. u Procediedo de maera aáloga para las derivadas de la variable "" respecto a la posició obteemos: ( x,t) d ( u). Etoces, de las dos últimas relacioes teemos la ecuació de oda (ec. 4): x v. x Si e el aálisis de u sistema e ua dimesió se llega a ua relació de la orma idicada e la ecuació 4, podemos señalar que se tiee odas viajado si dispersió e el medio. 8