Mg. Mrco Atoio Plz Viurre LA TASA E ITERÉS ATICIPAA Y SUS APLICACIOES L ts e iterés veci es quell que se utiliz e u operció ficier cuy liquició se efectú l fil el u perioo y l ts e iterés ticip, ifereci e l terior, l liquició es l iicio el perioo. Por ejemplo, si u perso recibe u préstmo e S/.,000.00 pr ser pgo etro e u mes y el bco comercil le cobr por el préstmo u ts e iterés efectiv e u vlor el 3%, y o se especific si l ts e iterés es veci o ticip, etoces, se sume que ést es veci. Siguieo el ejemplo, etro e u mes l perso terá que evolver el moto presto más el iterés que serí el 3% el préstmo, es ecir, S/. 30.00. L perso recibe hoy el préstmo si embrgo sólo cuo filiz el perioo e u mes, pg el iterés. Este tipo e operció e préstmo es el más comú cuo se recibe u cti e iero si etregr u ocumeto cmbio, como puee ser u letr o pgré. Co l fili e explicr el cocepto e l ts e iterés ticip y su plicció e ls fizs, esrrollremos u ejemplo hipotético. Supogmos que u empres A, posee u letr que vece e 30 ís. Letr 30 ís e l empres A efectivo letr BACO COMERCIAL L letr se puee covertir e líqui tes e los 30 ís, meite l operció e escueto Figur º Jime Grcí, Mtemátic Ficier co ecucioes e ifereci, curt eició, Perso, St Fe e Bogotá,.C., Colombi, 2000; pági 82
Mg. Mrco Atoio Plz Viurre 2 L perso B firmó l letr l empres A por u vlor omil, lo que sigific que etro e 30 ís est perso ebe pgr l empres l cti. Est perso A puee ser u cliete e l empres A. Est empres requiere liquiez el í e hoy y h eciio peir u préstmo u bco comercil e lugr e 30 ís, tl como terí que hcer l crcterístic e l letr por vecer. El bco comercil le plic u ts e iterés efectiv i, luego l pregut será, cuál será el proceimieto pr que el bco comercil le preste iero e efectivo l empres cmbio e l letr por vecer? Como est letr vece etro e 30 ís, etoces, el bco le prestrá l empres el vlor presete el vlor omil e l letr, es ecir,, escot co l ts e iterés efectiv i. Se sume que el escueto se efectú utilizo u ts e iterés efectiv veci; este métoo e escueto se cooce como el escueto rciol o mtemático Vlor omil e l Letr Se utiliz l ts e iterés efectiv veci i 30 ís Préstmo ser recibio por l empres A Figur º 2 Si utilizmos el igrm e flujos e l Figur º 2, el vlor futuro es el vlor omil e l letr,, su vlor presete es P, y se utiliz l ts e iterés efectiv veci i. Luego teremos lo siguiete: P. ( + i
Mg. Mrco Atoio Plz Viurre 3 E otrs plbrs, P es el vlor equivlete e, e el perioo cero, sumieo como ts e escueto u ts e iterés efectiv veci. E tl setio, cuo l empres A etreg l letr pr ser escot, el préstmo ser recibio por l empres A es meor que el vlor omil e l letr, es ecir, el bco comercil escuet el vlor omil e l letr u porcetje etermio e cuero su polític comercil. Este escueto es el iterés que se cobr por elto el bco y su vez es el costo el créito, luego teemos que: Iterés. ( + i L ecució terior o se explic que el iterés cobro por el bco comercil es l ifereci etre el vlor omil e l letr y el vlor presete el vlor omil e l letr, escot co l ts e iterés efectiv veci. Este iterés es eomio el escueto efectuo por el bco comercil y este escueto es el iterés cobro por elto. E otrs plbrs, el préstmo origil es el vlor e l letr pero como el iterés se pg por elto, etoces el vlor eto ser recibio es meor que el vlor omil e l letr. Est operció ficier e escueto es cooci como el escueto rciol o mtemático, y se le llm sí porque utiliz u ts e iterés efectiv veci. Tmbié se le eomi e est form porque es el métoo más uso pr covertir vlores futuros e vlores presetes. Luego teemos que: escueto. ( + i SI embrgo, existe otro métoo, que ú o los mismos resultos e el cálculo el escueto, se hce más simple su respectivo uso. Este métoo e escueto es eomio el escueto bcrio y cosiste e plicr u ts e iterés irectmete l vlor omil e l letr. L ts e iterés utiliz e este métoo se le eomi, l ts e iterés efectiv ticip o elt. Al plicr est ts e iterés ticip, se obtiee el mismo vlor el escueto que si se utilizr l ts e iterés veci.
Mg. Mrco Atoio Plz Viurre 4 Supogmos que l empres A, tiee e su poer u letr e u vlor omil e S/.,000.00 co fech e vecimieto etro e u ño. El escueto se efecturá e u bco comercil que cobr u ts e iterés efectiv veci e 0%. Luego el vlor el préstmo escoto será el siguiete: S /.000 P S /.909.09 + 0. El escueto será el siguiete: S /.000 escueto P S /.000 S /.90.909 + 0. Si efectumos rreglos lgebricos l terior expresió: S /.000 escueto S /.000 S /.90.909 + 0. Asumieo que es l ts ticip que plic irectmete l vlor omil e l letr os el mismo vlor el escueto rciol o mtemático, teremos que: escueto..( S /.000 Teieo el vlor el escueto y el vlor omil e l letr escot: escueto S S /.90.909 /.000 0.090909 9.0909% Como poemos observr, existirá u equivleci ete l ts e iterés veci y l ts e iterés ticip, e tl mer que mbs os e el mismo vlor el escueto e l letr. Efectuo el álisis terior pero utilizo como ts e iterés veci i, teeos que:
Mg. Mrco Atoio Plz Viurre 5 S /.000 escueto S /.000 ( + i escueto S /.000.( + i S ( + i S /.000.( + i S /.000 ( + i /.000. i + i eucimos sí que: y espejo i : i + i i ; i > ; Ests os ecucioes relcio l ts ticip y l ts veci co l cules se obtiee el mismo escueto. Si embrgo el métoo es iferetes, pues, co l ts veci teemos el escueto rciol y co l ts ticip, el escueto bcrio. Otro efoque itereste pr relcior el escueto co l ts e iterés veci y ticip es el siguiete. Multiplico l terior ecució, tto e el umeror como e el eomior por, teemos: i i Sbemos que:. escueto _ bcrio. vlor _ letr escueto _ bcrio escueto _ bcrio préstmo _ escoto i P
Mg. Mrco Atoio Plz Viurre 6 Poieo l ts veci e fució e l ts ticip, teemos l siguiete ecució: espejo P P + escueto vlor _ letr Filmete teemos ls siguietes ecucioes que relcio l ts veci co el escueto y el vlor e l letr: escueto _ bcrio i préstmo _ escoto P escueto _ bcrio vlor _ letr P + si comprmos mbs ts teemos que i > P P + eucimos sí que si l ts ticip es equivlete l ts veci, etoces que est últim es myor que l primer i > Si bie es cierto que l ts ticip tiee su vlor equivlete como u ts veci, l coversió e u por otr o se puee efectur irectmete sobretoo cuo los perioos o coicie como si es el cso e l coversió e ls tss vecis.
Mg. Mrco Atoio Plz Viurre 7 Supogmos que teemos u ts e iterés veci y requerimos covertirl u ts e iterés ticip. E este cso prticulr, lo primero que se ebe hcer es covertir l ts veci u ts veci, e llí, covertir est ts veci u ts ticip co l fórmul euci teriormete. E tl setio, ls fórmuls e coversió e u ts veci u ts ticip o vicevers sólo se puee plicr cuo mbs tss está e l mism ui e tiempo. e o ser sí, etoces, ls tss vecis eberá ser covertis e tl mer que l ts ticip y l ts veci coici e l ui e tiempo. Si teemos u ts ticip y queremos covertirl u ts ticip, etoces seguimos los psos e l Figur º 3. Ts ticip Ts veci Ts veci Ts veci Ts veci Ts ticip Figur º 2 Hemos visto sí que pr covertir tss ticips teemos que utilizr como vís ls tss vecis. Si embrgo e ls pliccioes u mer irect e efectur ls coversioes.
Mg. Mrco Atoio Plz Viurre 8 Apliccioes: El Vlor presete utilizo l ts ticip El vlor presete e u vlor futuro lo obteemos co l siguiete fórmul: P ( + i E este cso, el escueto se efectú utilizo u ts e iterés veci y veces. Si i está e ís, etoces tmbié eberá estr e ís, es ecir, l ui e tiempo e i y ebe ser l mism. Sbieo que: i y reemplzo est ecució e el vlor presete P : P ( + i ( + + ( (.( luego teemos que: P.( E este cso, si es u ts e iterés ticip, etoes eberá estr e meses. Si está e ís, etoces eberá estr tmbié e ís. Supogmos que l ui e tiempo e es iri y so 45 ís, etoces: P 45.( iri.( 45 _ ís
Mg. Mrco Atoio Plz Viurre 9 E l terior ecució, se puee usr l ts ticip pr 45 ís oe terí u vlor igul que uo (u perioo e 45 ís, o l ts ticip iri pero el vlor e serí igul que 45. Así, os quemos co l siguiete expresió: ( 45 _ ís iri 45 ( ( 45 _ ís iri 45 y espejo l ts ticip iri, teemos: ( iri iri 45 ( ( 45 _ ís 45 45 _ ís E este ejemplo, el vlor presete se puee estimr utilizo u ts e iterés ticip e 45 ís o iri, y lo que iferecirí c uo e estos s mers es el expoete Siguieo el mismo métoo, etoces porímos sosteer que: y tmbié: ( 2 ( ( 2 ( 2 ( ( Supogmos que teemos u ts e iterés ticip y requerimos u ts ticip pr 38 ís, etoces: 2 ( 38 _ ís 38 _ ísl 38 ( ( y si queremos estimr l ts teieo el to e l ts ticip pr 38 ís 38
Mg. Mrco Atoio Plz Viurre 0 ( 38 _ ísl ( 38 ( 38 _ ís 38 e lo explico teriormete, poemos geerlizr e l siguiete mer: ( X _ ís X _ ís ( ( X _ ís X _ ís ( X _ ís X _ ís X _ ís ( ( X _ ís Est geerlizció se puee tmbié plicr l cso e l coversió e u ts e iterés ticip u ts ticip e X ís, y vicevers. e lo explico teriormete, el vlor presete utilizo u ts e iterés ticip cuy ui e tiempo o coici co los perioos e escueto, eucimos l siguiete fórmul: P.( horizote _ el _ escueto horizote _ e _ ts _ ticip Por ejemplo, si teemos u ts e iterés veci y u letr se escuet 5 meses, y queremos expresr P e fució e l ts e iterés ticip, teemos que: P ( + i ( + ( (.( 5 5 5 5 2 2 + 2 2 5 2
Mg. Mrco Atoio Plz Viurre Vemos sí que el umeror e l poteci es el horizote el escueto, e este cso, 5 meses, y el eomior es el horizote e l ts e iterés ticip ser utiliz. Geerlizo, teemos que: Vlor presete teieo u ts e iterés ticip y X ís e escueto: P.( X _ ís b Vlor presete teieo u ts e iterés ticip y X ís e escueto: P.( X _ ís 30 c Vlor presete teieo u ts e iterés ticip e Y ís y X ís e escueto: P.( X _ ís Y _ ís Y _ ís Vlor presete teieo u ts e iterés ticip iri y X ís e escueto: P.( iri X _ ís e Vlor presete teieo u ts e iterés ticip e X ís y X ís e escueto: P.( X _ ís