TRIGONOMETRÍA Sistems de Medición de Ángulos Equivlenci entre los tres Sistems Áre del Circulo = π. r 360º = πrd = 400 G α º = α R = α G 360º π 400 G C = π. rdio Longitud de l Circunferenci Áre de Anillo o Coron Circulr = π. R - π. r Funciones Trigonométrics sen α = ordend =. rdio vector ρ cos α = scis =. rdio vector ρ ρ r R Áre del Sector Circulr = rco rdio tg α = ordend =. scis cotg α = scis =. ordend sec α = rdio vector = ρ. scis cosec α = rdio vector = ρ. ordend Resolución de Triángulos Rectángulos B C = + tg α = α = rco tg β c tg β = β = rco tg C γ α A Mtemátic Crrer Arquitectur 1
Resolución de Triángulos Olicuángulos Teorem del Seno B = = c c sen α sen β sen γ Teorem del Coseno C γ β c α A = + c c cos α = + c c cos β c = + cos γ Clculo de Áre Áre del tring = h. Teorem Fundmentl Are =. c. sen α Áre de un Tringulo en función de sus tres ldos Formul de Herón - donde p = + + c. Are = p ( p ) ( p ) ( p c ),, c son ldos del triángulo GEOMETRÍA ANALÍTICA. SISTEMAS DE COORDENADAS Sistem de Coordends Unidimensionl Distnci entre dos puntos. L distnci entre los puntos A( 1 ) B( ) Distnci horizontl AB = ( 1 ) = ( 1 ) AB = es l longitud del segmento AB soluto) (Ls rrs se lee: vlor L distnci verticl entre los puntos C(1) D() CD = ( 1 ) = ( 1 ) Mtemátic Crrer Arquitectur
SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL PLANO Distnci entre dos puntos. P 1 ( 1 ; 1 ) P ( ; ) P 1 P = ( 1 ) + ( 1 ) Punto Medio de un Segmento. 1 + m = ------------ 1 + m = ------------ Relciones entre ls coordends Rectngulres Polres. ρ = + α = rc tg = ρ cos α = ρ sen α SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL ESPACIO Sistem de coordends Notción del punto Crtesins rectngulres P ( ; ; z ) Polres P( ρ; α; ; ) Cilíndrics P(( ρ; α; z). Esférics P( ρ; α; β). Distnci entre dos puntos A( 1 ; 1 ;z 1 ) B( ;: ;z ) AB = ( 1 ) + ( 1 ) +(z z 1 ) Punto Medio de un Segmento 1 + m = --------------- 1 + m = ----------------- z 1 + z z m = ----------------- Mtemátic Crrer Arquitectur 3
Relciones entre ls coordends Rectngulres Polres. ρ = + + z ) α = rc cos ρ β = rc cos ρ γ = rc cos z ρ = ρ cos α = ρ cos β z = ρ cos γ Relciones que lign ls coordends Cilíndrics con ls Rectngulres ρ = + α = rc tg z = z = ρ cos α = ρ sen α z = z Relciones que lign ls coordends Esférics con ls Rectngulres ρ = + + z β = rc sen z ρ α = rc tg = ρ cos β cos α = ρ cos β sen α z = ρ sen β GEOMETRÍA ANALÍTICA EN DOS DIMENSIONES LA RECTA Ecución Generl Form eplícit : = + Form implícit: Vrile Coef. ngulr Ordend l orígen Dependiente A + B + C = 0 Vrile Independiente Mtemátic Crrer Arquitectur 4
Form Segmentrl o Reducid: + = 1 Ecución de l rect que ps por un punto de pendiente Punto - Pendiente 1 = ( 1 ) Ecución de l rect que ps por dos puntos. Crtesin 1 = 1 ( 1 ) 1 Condición de prlelismo entre rects Dds ls rects: 1 = 1 + 1 = + 1 // <=> 1 = Condición de perpendiculridd entre rects Dds ls rects: 1 = 1 + 1 = + 1 <=> 1 = - 1 Intersección entre dos rects Pr hllr el punto de intersección de dos rects en el plno, 1. Igulr ms rects ( 1 = ). despejr el vlor de l scis ( ) pr el cul ms rects tienen idéntic ordend (). 3. Pr hllr el vlor de reemplzr en culquier de ls dos epresiones mtemátics originles l vrile por el vlor encontrdo. Ángulo entre dos rects: 1 - tg θ = ------------------ 1 + ( 1. ) Fórmul trigonométric: tngente de l diferenci de dos ángulos. Mtemátic Crrer Arquitectur 5
GEOMETRÍA ANALÍTICA EN TRES DIMENSIONES LA RECTA Dirección de un rect Los cosenos directores de l rect l que contiene los puntos P1(1,1,z1) P(,,z) Son: P P 1 P l l Angulo de dos rects o θ d d d 1 l 1 P 1 l 1 El ángulo θ formdo por dos rects dirigids culesquier en el espcio, cuos ángulos directores son α 1, β 1, γ 1 α, β,γ respectivmente, se determinn por l relción cos θ = cos α cos α +cos β cos β +cos γ cos γ 1 1 1 Tmién podemos clculr el ángulo θ formdo por dos rects c espcio conocidos los números directores de ms 1 + 1 + c1c cos θ = ± cos θ = ± + +c + c + 1 1 1 ulesquier dirigids en el 1 + 1 +c1c d d 1 Form prmetric de l ecucion de l rect en el espcio - 1= t cos α, - = 1 t cos β, z z 1= t cos γ O ien = 1 + t cos α = 1 + t cos β z = z 1 + t cos γ Form Continu 1 1 z z 1 = = cos α cos β cos γ Mtemátic Crrer Arquitectur 6
CONICAS Circunferenci Ecución ordinri. Centro (h; k) rdio r ( h) + ( k) = r k c r Si el Centro est en el origen del S. de coord. h = k = 0 l ecución será h + = r Ecución cnónic Ecución Generl + + D + E + F = 0 en donde D = -h E = -k F = h + k r h = - D k = - E r = h +k F Elipse Determinción de los focos Distnci focl c A C(h;k) A F F 1 Eje Mor = D D Eje Menor = C(h;k) F c F c = Ecentricidd de l elipse e c < e c < 1 L long del ldo recto pr el foco F F es Áre de l elipse =.. Perímetro = 1/( + ) Aproimdmente Ecución Cnónic Elipse con centro en el origen del S. de coord. Crtesins () + = 1 F F + = 1 F F Mtemátic Crrer Arquitectur 7
Segund form Ordinri Elipse con centro en el punto ( h;k) eje focl prlelo l eje X ( h ) + ( k ) = 1 Elipse con centro en el punto ( h;k) eje focl prlelo l eje Y ( h ) + ( k ) = 1 Práol (Geometrí Anlític) Directriz Vértice (h;k) 0:0 Foco (p;0) Ecución Cnónic (Vértice en el origen del Sistem de Coordends Crtesins) = 4 p p>0 Foco Foco p<0 = 4 p Foco p>0 Foco p<0 Mtemátic Crrer Arquitectur 8
Ecución Ordinri Vértice en el punto ( h; k) Eje focl prlelo l eje X ( k) = 4 p ( h) Foco p>0 Foco p<0 Vértice en el punto ( h;k) Eje focl prlelo l eje Y ( h) = 4 p ( k) Foco p>0 p<0 Foco Práol (Análisis Mtemático) Función cudrátic, o trinomio de do Grdo = + + c Ecución Complet Ecución Incomplet Ecución Incomplet Ecución Incomplet 0 = + + c Ls ríces 1, se clculn - - 1-4 c = 0 = Eje de simetrí de l práol en el eje de ls vértice en el origen 0 = + c Eje de simetrí de l práol en el eje de ls vértice desplzdo del origen 0 = + práol eje verticl desplzdo l izquierd o derech del eje de ordends. v = - = 1 + Propieddes de ls Ríces Coordends del Vértice v = - 4 c 4 = c - 4 1. = c pr = 1 ( 1 + ) = - Relción entre Geometrí Anlític Análisis Cundo = = 1 4 p p = 1 4 Segmento de Prol Are = /3. Mtemátic Crrer Arquitectur 9
Hipérol Ecución de l Asínt.: = -/ ASÍNTOTA Y ASÍNTOTA Ecución de l Asínt.: = / w c P(X;Y).. F v o v F X c c = + w c Eje Focl = c Eje rel = Eje imginrio = PF - PF = ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA CON EJE REAL COINCIDENTE CON EL DE ABCISAS / / = 1 ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA CON EJE REAL COINCIDENTE CON EL DE ORDENADAS / / = 1 Mtemátic Crrer Arquitectur 10
ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CON EJE FOCAL PARALELO PERO NO COINCIDENTE CON EL DE ABSCISAS Y CENTRO NO UBICADO SOBRE EL EJE DE ORDENADAS (-h) / (-k) / = 1 C (h; k) EXCENTRICIDAD DE LA HIPÉRBOLA e = c/ > 1 HIPÉRBOLA EQUILÁTERA CON EJE REAL COINCIDENTE CON EL DE ABSCISAS Y SUS ASÍNTOTAS Pr = Y=-X Ecuc. de l síntot Y Y=X Ecuc. de l síntot W V V X W ECUACIÓN: - = Mtemátic Crrer Arquitectur 11
SUPERFICIES: El Plno Ecución generl F( ; ; z) = 0 A + B + Cz + D = 0 No siendo A, B C nulos l vez Form segmentri de l ecución del Plno z z c + + = 1 c o POSICIONES PARTICULARES DEL PLANO CON RESPECTO A LOS EJES Y PLANOS COORDENADOS Plno prlelo l eje OX: Ecución generl B + Cz + D = 0 Plno prlelo l eje OY: Ecución generl A + Cz + D = 0 Mtemátic Crrer Arquitectur 1
Plno prlelo l eje OZ: Ecución generl A + B + D = 0 Plno que ps por el origen: Ecución generl ( D = 0) A + B + Cz = 0 Cundo un plno contiene lguno de los ejes coordendos, en l ecución es 0 el coeficiente que fect dicho eje, por tnto ese término se nul en l ecución. L condición necesri suficiente pr que un plno conteng un eje coordendo es que en su ecución flte el término de l vrile homónim de ese eje el término independiente -D/C -D/B -D/A Plno prlelo l plno XOY Ecución: Cz + D = 0 Plno prlelo l plno XOZ Ecución: B + D = 0 Plno prlelo l plno YOZ Ecución: A + D = 0 TRAZAS: z En el plno coordendo XY: Ecución generl de l rect: A + B + D = 0 En el plno coordendo XZ: Ecución generl de l rect: A + Cz + D = 0 o En el plno coordendo YZ: Ecución generl de l rect: B + Cz + D = 0 Mtemátic Crrer Arquitectur 13
DISTANCIA DEL ORIGEN A UN PLANO: d = D A + B + C DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO: Pr P ( 1 ; 1 ; z 1 ) d = A + B + Cz + D 1 1 1 A + B + C CUÁDRICAS Ecución generl: A + B + Cz + D + Ez + Fz + G + H + Iz + J = 0 Uno de los 6 coeficientes es distinto de 0 CUÀDRICAS CON CENTRO: FORMAS DE LA ECUACIÓN: M + N + Pz = R z ± ± ± = c 1 z c + + = 1 ELIPSOIDE + z = 1 + z = 1 + + z = 1 c c c HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Mtemátic Crrer Arquitectur 14
z + = c 1 HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS CUÀDRICAS SIN CENTRO: FORMAS DE LA ECUACIÓN: M + N = Sz ± cz ± = + = cz z + = c z + = c PARABOLOIDE ELÌPTICO = cz PARABOLOIDE HIPERBÒLICO z z = c = c Mtemátic Crrer Arquitectur 15
Superficie Cilíndric + z = r Superficie Esféric + + z = r ECUACION CANÒNICA pr C (;0) ( ) ( ) ( z c) r + + = ECUACION pr C (;;c) CUADRICAS DEGENERADAS: Cono de Segundo Orden: Responde culquier de ests ecuciones Mtemátic Crrer Arquitectur 16
POLIGONOS PROPIEDADES NUMERO DE DIAGONALES SUMA DE ANGULOS INTERIORES SUMA DE ANGULOS INTERIORES Y EXTERIORES SUMA DE ANGULOS EXTERIORES N de dig de un pol. = (n- 3). n S = R ( n - ) S = R. n S = 4 R POLÍGONOS REGULARES Ángulos de un polígono regulr Ángulo Interior = R (n - ) n Angulo Centrl = 4R ( 4 rectos) n (número de ldos) Superficie del Polígono Regulr Perimetro Apotem Superficie = Mtemátic Crrer Arquitectur 17
AREAS Y VOLÚMENES A = l A = 1/ B.h A = B. h A = B. h A = 1/ D.d A = A = B + h A = P. A = π R A = π(r - r ) π R A = Mtemátic Crrer Arquitectur 18
A = 6 l A = πr (h + R) V = l 3 V = πr.h A = ( + c + c) V = c A = πr(g +R) V= 1/3π R.h A= P(h +) V = A.h A= π g (R + r) + R + r V = 1/3 πh (R + r + Rr) A = l 3 V = l 3 1 A = 4 π R V = 4/3 π R 3 A = l 3 l 3 V = 3 4 π R A =.n 360 V = 4. π R 3.n 3 360 A = 1/ P( + ) V = 1/3 A.h A = πr.h V = 1/3 π h (3R h) A = 1/ (P + P ). + +A +A V = 1/3 h (A + A + + A A ) A = πr.h V = πh (h + 3r + 3r ) 6 Mtemátic Crrer Arquitectur 19