TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposcoes de Secudara TEMA 8 MATRICES. ALGEBRA DE MATRICES. APLICACIONES AL CAMPO DE LAS CIENCIAS SOCIALES Y DE LA NATURALEZA.. Iroduccó.. Cocepo báscos... Tpos de marces. 3. M mx (K es somorfo a L(K m, K. 4. El Espaco Vecoral M mx (K. 4.. Suma de Marces. 4.. Produco de Ua Marz por u escalar. 4.3. El espaco Vecoral M mx (K. 5. El Allo M (K. 5.. Produco de Marces. 5.. El Allo M (K. 6. Produco de Marces geeralzado. 7. Marces Regulares. 8. Trasposcó de Marces. 9. Marces Smércas y Hemsmércas.. Rago de ua Marz.. Aplcacoes de las Marces... Uso de las Marces e las Cecas Psco-socales... Aplcacoes de las marces al campo de las Cecas..3. Aplcacoes de las marces al campo de las Cecas Socales y de la Nauraleza. Bblografía Recomedada. /9
TEMA 8 MATRICES. ALGEBRA DE MATRICES. APLICACIONES AL CAMPO DE LAS CIENCIAS SOCIALES Y DE LA NATURALEZA.. INTRODUCCIÓN. E ese ema vamos a defr el cocepo de marz y operacoes báscas ere ellas. Los coefcees de las marces cosderaremos que pereece a u cuerpo que deoaremos por K. Muchas de las propedades y defcoes que aparecerá e el ema so váldas s e lugar de rabaar co u cuerpo, lo hacemos co u allo. Defremos la ocó de ua marz e relacó co la exseca de marces versas. També esableceremos ua correspodeca ere las marces y los homomorfsmos ere espacos vecorales.. CONCEPTOS BÁSICOS. DEF Ua marz co coefcees e K es ua famla de elemeos de K, ( a ( IxJ sedo I y J couos fos. El elemeo a de K correspode co el elemeo (, IxJ. S I {,..., m} y J (,..., se suele deoar ua marz por,, S m ( a m ( a, També se usa la oacó a a Λ a m a a Λ a m Λ Λ Λ Λ a a a Λ m La famla ( a ( a m co fo se llama fla -ésma de la marz, y la famla co fo se llama columa -ésma de la marz. Los elemeos de cualquer fla -ésma se correspode co u vecor de K. Aálogamee, los elemeos de cualquer columa -ésma se correspode co u vecor de K m. Los prmeros se cooce como vecores fla y los segudos como vecores columa. /9
DEF Llamaremos marz de orde m x a oda marz de forma ( a m DEF. Llamaremos M mx (K al couo de odas las marces de orde mx co A m. coefcees e K. Se suele deoar por leras mayúsculas, ( a.. Tpos de Marces. DEF DEF DEF Llamaremos marz columa a oda marz de orde mx. Llamaremos marz Fla a oda marz de orde x. Llamaremos marz Nula a aquella que ee odos sus elemeos ulos. DEF Llamaremos marz Cuadrada a la marz co gual úmero de flas que de columas (Card(I Card(J. DEF Llamaremos marz Smérca a oda marz cuadrada que verfca a a, IxJ (. DEF Llamaremos dagoal prcpal a los elemeos de ua marz cuadrada. La dagoal secudara esá formada por los a co + +. DEF Llamaremos raza de ua marz cuadrada a la suma de los elemeos suados a lo largo de la dagoal prcpal. Traza ( A DEF Llamaremos marz dagoal a oda marz smérca cuyos elemeos suados fuera de la dagoal prcpal so odos ulos. DEF Llamaremos marz escalar a oda marz dagoal cuyos elemeos dagoales so odos guales ere s. DEF Llamaremos marz dedad a oda marz escalar cuyos elemeos dagoales so odos guales a la udad. DEF Llamaremos marz ragular a oda marz cuadrada que ee ulos odos los elemeos suados por debao (o por ecma de la dagoal prcpal. 3. M mx (K ES ISOMORFO A L(K m, K. L(K m, K es el couo formado por odas las aplcacoes leales f: K m K. Podemos defr a ϕ: M mx (K L(K m, K a 3/9
dode A M mx (K, co A (a, ϕ(a L(K m, K y ϕ(a: K m K vee dada por ϕ ( A( e a e co B { e,..., } base de K m, B { e,..., e } e m elemeos de la fla -ésma de la marz A. base de K y los ( a los PROP La aplcacó ϕ defda aerormee es byecva. ϕ es homomorfsmo. Trval ϕ es yecva. Sea ϕ(a(e ϕ(a(e k a e' ak e' a e' ak e' ( a ak e' y como B es ua base de K a { } a a { } a k,.., k,.., Eoces e e k porque so B o sería base de K m ϕ es suprayecva. { e,..., e } Sea f L(K m, K f(e K y f ( e a e {,..., m} es base de K. Podemos eoces cosderar la marz A ( a m que ϕ ( A f pues ( A( e f ( e m ϕ. m COROLARIO M ( K L( K, K mx ya que y es medao comprobar 4/9
Es ua cosecueca medaa de la proposcó aeror. Debdo a que la aplcacó ϕ sea u somorfsmo, oda aplcacó leal f K(K m, K se puede escrbr como la marz asocada, fadas las bases. Igualmee, odo lo vso es váldo s e lugar de eer K m y K eemos dos espacos vecorales cualesquera V y W de dmesoes m y respecvamee. DEF Dremos que las marces A y B so guales s las aplcacoes leales f y g asocadas a dchas marces (ϕ(a f y ϕ(b g respeco de las msmas bases so guales. Veamos ahora que la esrucura de espaco vecoral de L(K m, K y de allo s m las podemos rasladar de forma aural al couo M mx (K. 4. EL ESPACIO VECTORIAL M mx (K. OBS Todo el desarrollo para L(K m, K sería gual s omamos L(V, W co V, W K-espacos vecorales co dm V m y dm W. 4.. Suma de Marces. DEF Sea A y B dos marces de M mx (K y f y g aplcacoes leales asocadas respecvamee. Defmos la marz suma, A + B, como aquella que ee por aplcacó asocada la suma de las aplcacoes asocadas, f + g. Es decr: A + B ϕ - (ϕ(a + ϕ(b (recordemos que ϕ(a f y ϕ(b g S A ( a m y B ( b m e base de K. ϕ co B { e,..., } base de K m y B { e,..., e } ( A + B( e ϕ( A( e + ϕ( B( e f ( e + g( e ae + ( a + b e / m Eoces A + B ( a + b m e m PROP La operacó de suma así defda verfca las propedades: Asocava. Comuava. 3 Elemeo Neuro. 4 Elemeo Opueso. b e 5/9
Las propedades y so medaas s más que eer e cuea que K es u cuerpo. 3 Defmos la marz eura para la suma como O M mx (K sedo aquella que odos sus elemeos so ulos. Es claro que su aplcacó asocada es aplcacó ula. A + O ( a + ( O ( a + O ( a A 4 Defmos la marz opuesa de ora dada como aquella que ee los msmos elemeos e los msmos sos pero cambados de sgo. Es claro que s A ee por aplcacó asocada a f, eoces - A edrá a - f. A + ( A ( a + ( a ( a a ( O O Coclusó (M mx, + es u grupo abelao. 4.. Produco de ua marz por u escalar. DEF Sea A ua marz que ee por aplcacó asocada f. Sea λ K u escalar. Defmos el produco de ua marz por u escalar, λa, como la marz que ee por aplcacó asocada λf. Es decr S A ( a m y λ K ( λ ( λa ϕ ϕ A ( A( e λϕ( a( e λ ae ( λa ϕ λ Eoces λ A ( λ a m PROP La operacó de produco por u escalar defda e M mx (K verfca las propedades: Comuava. PseudoAsocava. 3 Elemeo Udad. Las propedades so medaas. Coclusó (M mx (K, K es u e 6/9
4.3. El espaco vecoral M mx (K. PROP E M mx (K se verfca la propedad dsrbuva del produco co respeco a la suma. La comprobacó de λ(a + B λa + λb es medaa. Coclusó (M mx (K, +, K es u K-espaco vecoral. Por ao ϕ: M mx (K L(K m, K es u somorfsmo de espacos vecorales. 5. EL ANILLO M (K. Ya sabemos que (M (K, + es u grupo abelao. Defamos ua seguda operacó era. 5.. Produco de Marces. DEF Sea A y B dos marces de M (K co f y g como aplcacoes asocadas. Defmos la marz produco A B como aquella que ee por aplcacó asocada a g ο f. Es decr A B ϕ ( ϕ( A ϕ( B ϕ ( ϕ( B οϕ( A S A ( a, y B ( b, co B { e,..., } base de K, eemos que e ϕ ( AB( e ( ϕ( A ϕ( B ( e ( ϕ( B οϕ( A ( e ϕ( B ( ϕ( A( e ϕ ( B a ( ( e aϕ B e a bkek K K a b K e K Luego AB a b K, K Tegamos e cuea que el elemeo de AB que ocupa la fla columa K se obee realzado la suma de producos de los elemeos de la fla de A por la columa K de B. PROP La operacó produco de Marces defda e M (K verfca las propedades Asocava Elemeo Neuro. 7/9
Imedaa. Defmos como euro a la marz dedad I M (K. Es fácl comprobar que I A A I A A M (K. Coclusó (M (K, es u semgrupo co udad. 5.. El Allo M m (K. PROP El produco de marces verfca la propedad dsrbuva respeco de la suma. A, B, C M (K co f, g, h aplcacoes leales asocadas, hemos de comprobar que A (B + C AB + AC y (A + BC AC + BC. Y es cero ya que sabemos que se verfca ( g + h ο f g ο f + h ο f y h ο ( f + g h ο f + h ο g Coclusó (M (K, +, es u allo y M ( K Ed( K 6. PRODUCTO DE MATRICES GENERALIZADO. E el puo aeror hemos defdo el produco de marces cuadradas del msmo orde. Podemos obeer ua geeralzacó de dcho produco como sgue. Sea A M mx (K y B M mx (K y cosderemos K m, K y K p K-espacos vecorales. Sea f K(K m, K y g L(K, K p las aplcacoes leales asocadas a A y B respecvamee. { e } B { e,..., e } B,..., K m, K y K p. e m S A ( a m y B ( b K K p ϕ ϕ ( AB ϕ( B οϕ( A y B { e,..., e } eoces p las bases respecvas de ( AB( e ( ϕ( B οϕ( A ( e ϕ( B ( ϕ( A( e ϕ( B a e p p aϕ( B( e a bke K K K a b K e K 8/9
p K a b K e K K m K p Luego A B a b A B M ( K 9/9 mxp Y su aplcacó asocada g ο f L( K m, K p. PROP La operacó produco de marces geeralzado verfca las propedades Asocava. Elemeo Neuro. Fácl. Hay que eer e cuea que hemos de elegr la marz dedad coveeemee para poder realzar el produco. S A M mx (K I m A A I A OBS Dadas dos marces A y B, para poder realzar el produco A B debe ocurrr que el úmero de columas de A cocda co el de flas de B. La marz resulae edrá las msmas flas que A y columas que B. A M mx (K, B (M pxq (K {A B M mxq (K p} 7. MATRICES REGULARES. DEF Dremos que A M (K es ua marz regular, verble o o sgular s exse B M (K al que A B I B A PROP S A M (K es ua marz regular eoces exse ua úca marz B M (K al que Sea B y B dos marces que verfca A B I B A A B I B A A B I B A
Eoces B B I B (A B (B A B I B B Esa úca marz se deoma versa de A, y la represearemos por A -. Sea B { e,..., } e la base caóca de K. Sabemos que M ( K L( K, K. e Veamos ahora que las marces regulares se correspode co los auomorfsmos de K. PROP A M (K es regular su aplcacó asocada es u auomorfsmo e K. Dada A M (K marz regular ϕ(a es la aplcacó asocada de A. Como A es regular, exse A - M (K sedo ϕ(a - su aplcacó asocada. Para smplfcar la escrura, llamaremos f ϕ(a y g ϕ(a - ϕ ϕ ( g ο f ϕ ( f ϕ ( g A A I ( f ο g ϕ ( g ϕ ( f A A I Y como que es la úca aplcacó leal de L(K, K al que ϕ ( I K K, resula g ο f K f ο g Eoces f es byecva y al ser leal es u auomorfsmo e K. Sea f l(k, K u auomorfsmo g L(K, K al que f ο g g K ο f Sea A, B M (K al que ϕ(a f y ϕ(b g ( f ϕ ( g ϕ ( g ο f ( K I A B ϕ ϕ ( g ϕ ( f ϕ ( f ο g ( K I B A ϕ ϕ Eoces B A - y A es regular. /9
OBS La eleccó de la base caóca o fluye e el desarrollo. S se hubese omado ora base cualquera, el resulado sera el msmo. DEF Sea GL el couo formado por GL { A M ( K A es regular} / Es fácl ver que el produco de marces es ua operacó era e GL. PROP Dadas A, B GL. (A B B - A - ( A B ( B A A ( B B A A I A A A I ( B A ( A B B ( A A B B I B B B I Luego ( AB B A PROP (GL, es u grupo. Por la proposcó aeror, la operacó es era. Exseca de Elemeo Neuro. I GL ya que I - I Exseca de Elemeo Iverso. A GL A - / A A - I Eoces ( A A I A ( A luego ( A A GL Por ao a - GL OBS Sabemos que A( K ( GL, ( A( K, ο. GL, por ao podemos afrmar que 8. TRASPOSICIÓN DE MATRICES. DEF Sea A M mx (K. Llamamos marz raspuesa de A, y se deoa por A, a ua marz que pereece a M mx (K al que s A (a y A (b, eoces b a. /9
OBS La marz raspuesa de ua dada se obee escrbedo por columas las flas de la marz cal. La rasposcó de marces o es ua operacó era, pero verfca las sguees propedades; de medaa comprobacó: ( A + B A + B ( α A α A α K * 3 ( A A 4 ( A B B A S defmos Ø: M mx (K M mx (K como Ø(A A podemos afrmar que Ø es Leal. Ø( A + B ( A + B A + B Ø( A + Ø ( B Ø( α A ( αa αø( A Ø es ua volucó (Ø I d s esá defda e marces cuadradas. S Ø: M (K M (K Ø (A Ø (Ø(A Ø(A (A A d (A Ø d 9. MATRICES SIMÉTRICAS Y HEMISIMÉTRICAS. DEF Dremos que ua marz A es smérca s A A. OBS Ua marz smérca ecesaramee debe ser cuadrada. DEF Dremos que ua marz A es hemsmérca o asmérca s A - A. OBS Ua marz asmérca debe ser cuadrada y a a luego a., PROP Toda marz a M (K se puede descompoer de forma úca como suma de ua marz smérca y oro hemsmérca. Sea las marces S ( A + A y H ( A A /9
Calculemos S y H S ( A A + ( A + A A + ( A ( ( A + A S Eoces H es asmérca. S + H ( A + A + ( A A A ( A + A ( A A A S H Sumado y resado A + A A + A S S A A H A A H Y S y H so úcas, ya que la descomposcó es úca.. RANGO DE UNA MATRIZ. DEF Dada ua marz A M mx (K, s cosderamos las columas como vecores de K m, defmos el rago por columas de la marz A como el rago del couo formado por los vecores columa. Sedo C (a, a,.., a rag c (A rag(c, C,..,C DEF Dada ua marz A M mx (K, s cosderamos las m flas como m vecores de K, defmos el rago por flas de la marz A como el rago del couo formado por los m vecores fla. Sedo F (a, a,.., a rag F (A rag(f, F,, F PROP Para cualquer A M mx (K se verfca rag c (A rag F (A Cualquer relacó de depedeca ere las columas de la marz A equvale a resolver el ssema. 3/9
ρ ρ ax +... + a x x c o a x +... + a x m S realzamos algua modfcacó e el orde de las flas segumos obeedo el msmo ssema, y o aleramos el rago por columas, por flas. Supogamos que rag F (A r. Eoces m r ecuacoes depede de r de ellas (supodremos que so las r prmeras. El ssema ax +... + ax... a +... + rx arx ee las msmas solucoes que el ssema cal. Eoces rag c (A r rag c a a r... a... a... r m Podemos cosderar las columas de esa úlma marz vecores de K r dmk r r se deduce que: y como Rag c (A rag F (A c r Realzado el msmo razoameo co la marz raspuesa como obeemos rag c (A rag F (A rag F (A rag c (A rag c (A c rag F (A r c Por ao r c rag c (A rag F (A Al hablar de rago de ua marz o se dsgue ere rago por columas, al ser el msmo. OBS S f: K m K es la aplcacó asocada a la marz A M mx (K se verfca rag F (A dm Imf. 4/9
PROP Sea f: K m K ua aplcacó leal ere espacos vecorales, y sea A M mx (K la marz asocada a f respeco de bases B y B de K m y K respecvamee. Eoces rag(a rag (f Sea A la marz asocada a f respeco de las bases B { e,..., e m } { e,..., e } B de K. de K m y Como las flas F, F,., F m de A so las coordeadas de los vecores f(e, f(e,.., f(e m e la base B, y el rago de u ssema de vecores cocde co el rago del ssema de sus vecores coordeadas, eemos que rag(f rag(f(e, f(e,.., f(e m rag (F, F,., F m rag (A PROP Sea f: K m K ua aplcacó leal ere espacos vecorales de dmesó fa y A su marz asocada. Eoces: f es yecva rag (A dm (K m f es suprayecva rag (A dm (K Imedaa COROLARIO Ua marz A M (K es verble s y solo s rag (A. Basa recordar que A es verble s f es byecva.. APLICACIONES DE LAS MATRICES. Las marces so e la acualdad ua herramea mprescdble e múlples ramas de la maemáca pura y aplcada (álgebra leal, geomería, esadísca, ec y e oras muchas cecas (mecáca, ecoomía, físca, ec. Veamos ahora dferees aplcacoes de las marces... Uso de las marces e las cecas Psco-Socales. Ua posble ulzacó de las marces e Pscología y oras Cecas Socales es la preseacó de las puuacoes obedas por m persoas, amales, ec, e caraceríscas. La fla esaría cosuda por las puuacoes 5/9
( a a,..., a, e las caraceríscas. La columa esará cosuda por las m puuacoes e la caracerísca. ( a a,..., a, m La puuacó a es la obeda por la persoa, amal, ec, e la caracerísca... Aplcacoes de las Marces al campo de las Cecas. Acualmee podemos ecoraros co marces e dversdad de campos ales como la físca, formáca, ecoomía y, e geeral, sempre que rabaamos co u gra úmero de daos. Esos daos se orgaza y dspoe e marces para su poseror mapulacó. a La prcpal uldad del álgebra marcal esá e al posbldad de poder represear, esudar y resolver ssemas de ecuacoes co ayuda de ocoes como rago de ua marz, marz versa y deermae. U ssema de ecuacoes se puede escrbr e forma marcal como AX B S la marz A es versble, la solucó al ssema es X A - B b Dero del aálss, y por ao, e ua ampla gama de problemas físcos, de geería, ec aparece las marces para esudar las fucoes de varas varables y deermar sus máxmo y mímos. S eemos ua fucó f: m, se defe su dervada por medo de ua marz f de M mx ( llamada Jacobaa y cuyos elemeos so a (dervada de la x compoee -ésma respeco de la varable -ésma. La marz de las segudas dervadas se llama Hessaa. També se rabaa co marces a la hora de aplcar la regla de la cadea e fucoes de varas varables. Veamos u eemplo: Sea las fucoes g: y f 3 defdas como: G(x, y (xy, y f(u, v (u, u, u v 6/9
7/9 Calculemos ( g f ο (, - co la regla de la cadea ( ( 4,, g y x y y x g ( ( ( ( 4,,,, f g como u v u f y ( ( ( ( 5 4 8 4 4 4,,, g f f ο g co lo que hemos calculado la dervada de la composcó ulzado el produco de marces. La herramea prcpal para el esudo de ecuacoes dferecales leales es el aálss marcal, dode adquere especal relevaca la llamada marz de Jorda. c E la geomería, las marces srve para represear los movmeos y semeazas e el espaco, que so de val mporaca e la dámca, crsalografía e cluso e la eoría de la relavdad. Veamos alguos eemplos: Ecuacó de raslacó de vecor (a, b, c + c b a z y x z y x Ecuacó del gro de águlo α y ee z: z y x z y x cos se se cos α α α α També podemos esudar medae marces las smerías axales, cerales, co deslzameos, ec. d E la Esadísca ambé empleamos las marces: marz de daos para presear formacó, marz de desvacoes, marz de varaza-covaraza, marz de correlacoes, e E el campo de la ecoomía, gra cadad de suacoes compevas que se presea muchas veces, puede esudarse co ayuda de las marces de pago, que forma de las gaacas o pérddas que puede darse e deermadas suacoes.
.3. Aplcacoes de las marces al campo de las Cecas Socales y de la Nauraleza. a Cadeas de Markov. Las cadeas de Markov se puede ver como ua aplcacó de las marces ao a las cecas socales como de la auraleza. Se puede aplcar al esudo de la geéca Medelaa, por eemplo, cuado eamos cruzar dvduos de la msma especa pero co dferees caraceres. Los resulados posbles a obeer los podemos represear medae ua cadea de Markov. DEF Defmos el espaco de esados, S, como el couo dode oma valores las varables de ua famla. DEF Ua sucesó de varables aleaoras {x } se deoma Cadea de Markov (e empo dscreo co espaco de esados dscreos s [ x x,..., x ] P[ x x ] P + + / o o + + / K S presee, + fuuro, {,., } pasado es decr, el fuuro es depedee del pasado coocedo el fuuro. Cadeas de Markov co Probabldad de Trascó Esacoara. Marz de Trascó. A cada S se le asoca u couo E Hablamos de esado S Couo de esados. DEF Se deoma probabldad de Trascó e pasos a la probabldad de pasar al esado E e u empo + m sabedo que e esaba e el esado E. P [ x x ] + m / Esa probabldad de rascó se deoma esacoara s o depede del sae del que pare,, s o sólo del úmero de pasos, m. E parcular s P [ x / x ] m o e ese caso se deoma a las probabldades de rascó. ( m p probabldad de pasar del esado al e m pasos. Las cadeas de Markov so las probabldades de rascó e u paso. La marz de rascó e m pasos es P ( p S ( m ( m, 8/9
Por coveo P ( I.4. Aplcacoes a la Teoría de Grafos. Dado u grafo es posble asocar a él marces. a Marz de Adyaceca. Es la marz A (a defda por a K s v es adyaceea v e caso coraro sedo K el úmero de arsas que ue el vérce v co el v. A M m (. La marz de adyaceca es muy úl para decdr cuesoes de coexó, pues s A es marz de Adyaceca de u grafo co m vérces do de m >, eoces el érmo a de la marz A os da el úmero de camos de logud que va del vérce v al v. b Marz de Icdeca. Es la marz M (m co M M m ( al que m s el vérce v es cdee co la arsa e e caso coraro Bblografía Recomedada. Curso de algebra y geomería. Jua de Burgos. Ed: Alhambra Algebra leal y geomera. Ed: Uv. de Barceloa Algebra lea. Jua de Burgos. Ed: McGraw-Hll Algebra leal. F. Puera. Ed: Uv. de Barceloa.975 Lear Algebra. W. Greub. Ed: Sprger-Verlag 9/9