UNA SOLUCIÓN NO SIMÉTRICA EN LA OPTIMIZACIÓN ESTRUCTURAL DE PUENTES EMPLEANDO ALGORITMOS GENÉTICOS

Socedad Mexcana de Ingenería Estructural UNA SOLUCIÓN NO SIMÉTRICA EN LA OPTIMIZACIÓN ESTRUCTURAL DE PUENTES EMPLEANDO ALGORITMOS GENÉTICOS Gutérrez Astudllo Nayar C 1., Penche Vera Rebeca del R. 2, Carrón Vramontes Francsco 3, Alvarado Cárdenas Roberto 4. RESUMEN Se presenta una nueva propuesta para el cruzamento en algortmos genétcos con representacones reales. Demostramos aquí que trabajando con varables contnuas y domnos no smplfcados se puede llegar a solucones que medante metodologías anterores no se habrían encontrado. Se trabaja sobre un problema de la lteratura y donde se encuentra una solucón fuera de lo común que resulta tener un mejor comportamento estructural, además de un peso menor. ABSTRACT A new proposal for the crossover operaton wth real representatons wth genetc algorthms s presented. Ths operaton works wth contnuous varables and non smplfed doman, showng solutons that can not be reached n other way. A well known problem s resolved n whch a soluton out of the ordnary was found, resultng a structurally better soluton, addtonally s lghter than prevous ones. Keywords: Algortmos genétcos, cruzamento por zgoto, Solucón no smétrca, domno smétrco. INTRODUCCIÓN La computacón evolutva es un conjunto de técncas que buscan la optmzacón de solucones a problemas con muchas posbldades de solucón y tenden a acercarse a la solucón óptma global del msmo. Dentro de las técncas que comprenden la computacón evolutva encontramos las estrategas evolutvas, la programacón genétca y los algortmos genétcos, entre muchas otras. La computacón evolutva se basa en el prncpo Darwano de seleccón natural y evolucón. La metodología general consste en crear poblacones de solucones o ndvduos, que son sometdos a condcones ambentales o restrccones del problema y con dchas condcones se les evalúa y penalza según su adaptacón. Después de la evaluacón se selecconan parejas de ndvduos para generar su descendenca y con ello formar la sguente generacón, esto es, se efectúa el cruzamento de las solucones. La operacón de cruzamento, junto con las operacones de mutacón y reproduccón, pasan la nformacón clave que forma a un nuevo ndvduo, a estas operacones se les conoce como operadores genétcos (Coello, 2002). Los operadores genétcos modfcan la nformacón que pasan de una generacón a otra, combnando característcas o cromosomas, ntroducendo nuevas característcas o ben copando úncamente, lo que corresponde a las operacones de cruzamento, mutacón y reproduccón respectvamente. De estas operacones la que más peso tene sobre la sguente generacón a crear, en el caso de los algortmos genétcos (AG), es el cruzamento; ya que de ella se genera más del 70% de las solucones (Hasançeb y Erbatur, 2000, Kcnger et al,2005). De aquí la justfcacón del por que buscar hacer más efcente el proceso de seleccón y cruzamento, con el objeto de llegar a mejores solucones (Hasançeb y Erbatur, 2000). Yang y Kong (2002) basándose en la programacón genétca (PG) encontraron el dseño de la armadura de un puente. Yang y Kong (2002) menconan la exstenca de problemas nherentes a la PG como lo es la nterrupcón de cruzamento e ncompatbldad de dmensones, problemas que los AG no tenen y por eso son empleados aquí. 1 Estudante de posgrado, Facultad de Ing., Unversdad Autónoma de Querétaro, Cerro de Las Campanas S/N, Col. Las Campnas, Santago de Querétaro, Querétaro. Teléfono: (442)19212-00; Fax: (442)1921200 ext 6007; nayar@correo.uaq.mx 2 Profesor Facultad de Ing., Unversdad Autónoma de Querétaro, Cerro de Las Campanas S/N, Col. Las Campnas, Santago de Querétaro, Querétaro. Teléfono: (442)19212-00; Fax: (442)1921200 ext 6007; penche@uaq.mx 3 Investgador, Insttuto Mexcano del Transporte, Km. 12+000, Carretera Querétaro-Galndo, Sanfandla Mpo. de Pedro Escobedo, Qro. A.P. 1098, Querétaro, Qro. Francsco.Carron@mt.mx 4 Profesor Facultad de Ing., Unversdad Autónoma de Querétaro, Cerro de Las Campanas S/N, Col. Las Campnas, Santago de Querétaro, Querétaro. Teléfono: (442)19212-00; Fax: (442)1921200 ext 6007; ralvarad@tesm.mx 1

XVI Congreso Naconal de Ingenería Estructural Veracruz, Ver., 2008 En el trabajo de Yang y Kong (2002) demuestran que su metodología genera una mejor solucón que la encontrada por Shrestha y Ghabouss (1998). Esto lo logran al aprovechar la condcón de smetría que se presenta en el problema y además dscretzan el domno espacal. El propósto de este trabajo es demostrar que una metodología que sn aprovechar las condcones de smetría del problema, y sn dscretzar el domno espacal, puede generar un mejor dseño estructural en el caso de la armadura del puente. Esto se logra apegándose a los esquemas naturales de reproduccón sexual y combnacón de cromosomas medante un cgoto de reproduccón aplcado al AG. HIPOTESIS Una presa que evta ser atrapada por un depredador puede adoptar la estratega de esconderse en el fondo del agujero más cercano que encuentre. En este ejemplo, dado por Kemp (2005), se muestra como un ser vvo sn analzar funcones matemátcas encuentra un mínmo local; y esto lo hace sguendo la pendente descendente del terreno hasta que topa con un camno sn fn. En otro caso que propone Kemp (2005) analza a una mujer de compras con un presupuesto restrngdo puede optmzar sus ganancas. Con este ejemplo demuestra como un consumdor percbe gradentes que le ayudan a optmzar sus gastos sn necesdad de hacer análss económcos detallados. Basándonos en la dea del párrafo anteror y suponendo que podemos hacer que los ndvduos generados por computadora tengan la alternatva de elegr. Se plantea la sguente hpótess: Un ndvduo, que en este caso será el femenno, determna la efcenca de búsqueda en un AG al selecconar a su pareja dentro de un conjunto de canddatos smlares a ella, con este proceso ella determna que tanto se preservan las característcas genétcas de ambos. TIPO DE REPRESENTACIÓN Se ve la necesdad de emplear representacones de valores reales y longtud varable, en los ndvduos planteados en esta metodología, esto para cumplr con los puntos de: no redundanca, legaldad, totaldad, la propedad Lamarkana y la propedad de contnudad menconados por Kcnger et al (2005) y tener así una representacón fenotípca de un ndvduo. Se busca con esto, tener el control de los ndvduos que se generan y poder dentfcar en cada paso del algortmo el desarrollo del ndvduo sn necesdad de tener una decodfcacón. Una representacón puede ser bnara o real, la bnara requere decodfcacón. La representacón, de longtud varable, se propone con la fnaldad de cubrr un mayor número de solucones posbles sn tener que sub-utlzar memora del equpo de computo, además se espera que el en proceso natural de la solucones los ndvduos vayan de ndvduos complejos,con muchos nodos y barras, a ndvduos más smples como se muestra en la Fgura 1. Fgura 1. Representacón grafca de los ndvduos Los ndvduos mostrados en la Fgura 1 se trabajan en una matrz de nx9; donde n representa el número de renglones que estos a su vez representan las barras en la armadura y las nueve columnas son: nodos y j (columnas 1y2), coordenada en x y ordenada en y del nodo (columnas 3 y 4), coordenada en x y ordenada en y del nodo j (columnas 5 y 6), longtud (columna 7) y las columnas 8 y 9 representan el número y área de la seccón transversal. 2

Socedad Mexcana de Ingenería Estructural ESQUEMA DE SELECCIÓN Como se defnó en la hpótess tenemos la necesdad de contar con un ndvduo femenno, la cual nos va a determnar que tan apto es un ndvduo macho para generar descendenca. La hembra de una pareja de ndvduos que se elgen dentro del 85% de mejores solucones de la poblacón; este porcentaje queda después de elmnar al 15% de los ndvduos menos aptos. De los dos ndvduos el más lgero en peso se le consdera como la hembra y al más pesado se consdera como el macho. El peso se refere a la cantdad total de acero en klogramos del ndvduo y no a su grado de adaptabldad, que es la calfcacón que se le da a un ndvduo según cumple con las restrccones y parámetros de dseño. La hembra puede rechazar a un macho que la exceda en peso en un certo factor preestablecdo. En este caso la pareja genera dos hjos. Con esto se busca que las característcas físcas, no la adaptabldad, sean compatbles para generar descendentes sanos, esto es, que no formen estructuras que se colapsen por defncón. La ventaja que se le da al macho en este caso es la de poder combnarse con otra hembra aun después de haber sdo rechazado o aceptado varas veces, a la hembra solo se le permte reproducrse en una ocasón y tener dos descendentes junto con su pareja. La Fgura 2 muestra la afndad genétca que puderan presentar una pareja y su descendenca. Fgura 2. Conservacón de la afndad genétca medante el cruzamento. PROPUESTA DE CRUZAMIENTO Coello (2002) y Kcnger et al (2005) muestran varos tpos de cruzamentos empleados tanto en representacones bnaras o reales, pero en representacones de longtud varable se menconan pocos casos (Rajeev y Krshnamoorthy, 1998, Shrestha y Ghabouss, 1998). El operador de cruzamento creado en este trabajo es dferente a los casos antes menconados debdo a que hace un análss de la nformacón del ndvduo y la ordena dentro de una undad de nformacón llamada zgoto; en los casos comunes de cruzamento la nformacón de los ndvduos smplemente se parte y se combna en puntos aleatoramente escogdos. En la Fgura 3 se observa como esta representado un ndvduo, la forma matrcal, y de donde se extraen los prncpales zgotos de nformacón, que en este caso son dos. El prmer zgoto es el de arcos y seccones transversales, mentras que el segundo zgoto se forma con las coordenadas de los ndvduos. Los zgotos son formados con los gametos de los ndvduos, los gametos de A y B de los ndvduos k=1,2. Los gametos A forman el prmer zgoto y los gametos B forman el segundo zgoto. 3

XVI Congreso Naconal de Ingenería Estructural Veracruz, Ver., 2008 Fgura 3. Representacón matrcal y grafca de un ndvduo. La unón se realza cuando la nformacón de los gametos se une en una sola matrz de nformacón, en donde además se ordena en orden ascendente de acuerdo con los valores de cada varable; lo anteror provoca que la nformacón se acomode en un arreglo que nos permta extraer datos ordenadamente para ubcarlos en donde sean necesaros según las necesdades de problema. La extraccón de la nformacón se realza tomando en cuenta el número de nodos que los hjos deben tener, la cantdad de barras y la forma estas se conectan (arcos). En la metodología aquí planteada se maneja que del cruzamento se genere el 80% de la poblacón total. La propuesta de cruzamento se le llama cruzamento por zgoto. MUTACIÓN Y REPRODUCCIÓN La mutacón genera el 10% de la poblacón y se aplca drectamente sobre las varables de los ndvduos. Cuando se decde que un ndvduo va a ser mutado quere decr que se le pueden aplcar varos tpos de mutacón: qutar una barra, modfcar la poscón de un nodo, cambar la seccón transversal de una barra o cambar el nodo al que se conecta. Estos tpos de mutacones tenen la probabldad de presentarse todas al msmo tempo en un ndvduo o al menos una de ellas, las probabldades varían según crteros aleatoros. El termno reproduccón se emplea para ndcar cuando un ndvduo smplemente se pasa de una generacón a otro sn sufrr mutacones o cruzamento. Lo anteror se hace para explotar la mejor nformacón genétca ntacta, debdo a que la reproduccón se aplca en los mejores ndvduos. METODOLOGIA DE SOLUCIÓN El modelo computaconal empleado se basa en el empleado por Yang y Kong (2002), En este modelo se comenza ntroducendo los parámetros prncpales de la corrda como lo son el número de generacones (n gen), la cantdad de ndvduos por generacón (n. ndv), las seccones transversales con las que hay que trabajar. Aquí se emplearon 251 generacones con 2000 ndvduos por generacón y las seccones trasversales fueran las desgnadas en el AISC correspondentes a W14x22 a la W14x426 que dan un total de 30. 4

Socedad Mexcana de Ingenería Estructural Fgura 4. Metodología general de la solucón Sguendo los pasos de la Fgura 4 se observa que el sguente proceso es el de generar la prmera poblacón de ndvduos a evaluar, esto se hace aleatoramente. A contnuacón los ndvduos son analzados por medo del método del elemento fnto (MEF). Para lo que se obtenen de cada ndvduo las rgdeces de sus barras, ecuac. 1 (A= superfce de la seccón transversal y L= longtud de la barra y el modulo de elastcdad del materal para cada barra en este caso el acero, E= 2.039432x10 10 kg/m 2 ). k F e A E L (1) Ya con las rgdeces de las barras se procede a armar las matrces local y global de la armadura y se arma la ecuacón 2. De la cual se despeja {d} para obtener los desplazamentos en los nodos de la armadura y después se procede a obtener los esfuerzos nternos en las barras. [k]{d}={f} (2) Con los datos obtendos del análss se pasan a revsar las restrccones del problema que en esta caso es que el máxmo desplazamento sea menor al ancho entre ml, el esfuerzo a tensón permsble es 0.6f y, la relacón de esbeltez es especfcada para membros a tensón en 300, y en 200 para membros en compresón; la longtud de los membros no debe ser menor de 5 m y no mayor de 35 m (la mtad de la longtud del domno de dseño) y el esfuerzo permsble a compresón pandeo y se calculan de la sguente manera: 2 S > C, pandeo elástco, b 12 E (3) 2 23 de la barra se obtene de las consderacones de b 5

XVI Congreso Naconal de Ingenería Estructural Veracruz, Ver., 2008 S < C, pandeo plástco, Donde 2 (1 ) f 2 y b 2 C 5 3 3 8C 8C =L /r, C= 2 E/ fy 3 3 (4), y L y r son la longtud y el rado de gro de la seccón transversal de la barra, respectvamente. Consderacones de dseño tomadas de las especfcacones de dseño del Manual del AISC. Después se clasfca a los ndvduos del más apto al menos para después selecconar úncamente al 85% de los ndvduos más aptos como padres de la sguente generacón. El crtero de paro en este caso es el número de generacones. Después de la seleccón de los progentores se aplcan los operadores genétcos en los porcentajes mostrados en la Fgura 4. Después de la aplcacón de los operadores genétcos se obtene una nueva generacón con algunos ndvduos guales a los de la generacón anteror (10%) pero el 90% ya dfere en alguna medda de los anterores y esto con la tendenca haca la mejora de la espece. El número de generacones se determna de manera empírca buscando darle el sufcente número de teracones que lleguen a la convergenca de la solucón global del problema. PROBLEMA El domno espacal donde se desea alojar el dseño corresponde a un rectángulo de 70 m de ancho por 10 m de alto, apoyado en los extremos nferores, en el costado zquerdo por un apoyo que resste desplazamentos en x y en y. En el costado derecho el apoyo resste úncamente desplazamentos en y. Se le aplcan ses cargas de 50.968 ton repartdas equtatvamente en la parte nferor del rectángulo (ver Fg. 5). Fgura 5. Descrpcón grafca del problema de estudo. RESULTADOS Como resultado de ajustar los parámetros de las funcones de penalzacón empleados por Yang y Kong se logran obtener los resultados de las Fguras 6 y 7. En donde se observan en la Fgura 6 cuatro comportamentos del algortmo, en el prmero (generacones de la 0 a la 10) se observa una rápda dsmnucón de pesos debdo a su vez a la dsmnucón de barras en los ndvduos. De la generacón 10 a la 25 se observa un lgero estancamento en solucones con topologías smlares y pesos constantes, a contnuacón el algortmo encuentra la forma de mejorar las solucones medante el cambo con gradentes pequeños, qutado de una o dos barras, en topología de la armadura (generacones 25 a la 125). En el comportamento fnal, de la generacón 125 a la 250, el algortmo trabaja sobre las seccones transversales sn modfcar en gran medda la topología de la armadura pero s las seccones transversales y la geometría. 6

Socedad Mexcana de Ingenería Estructural Fgura 6. Evolucón de pesos. Se observa que de la generacón 56 a la generacón 245 (Fg. 8) hay pequeños cambos en la topología pero modfcacones mayores en la geometría. En el trabajo de Yang y Kong (2002) se observa un comportamento smlar. El tempo aproxmado para encontrar la solucón de la Fgura 8 fue de 7 horas y meda, en el trabajo de Yang no se hace mencón del tempo de la corrda. Por medo de un correo electrónco se le pregunto a Yang (2007) s consderaba el peso propo de las barras de la armadura para el dseño, a lo que Yang contesto que no empleaba el peso propo. Al consderar el peso propo en la mejor solucón de este trabajo y el de Yang y Kong (2002) se obtenen las relacones de falla de las fguras 8 y 9. Fgura 7. Evolucón de las mejores solucones de algunas generacones. Los mayores desplazamentos obtendos son: 0.06925 m sn peso propo y 0.07891 m con peso propo en este trabajo y 0.06941 m y 0.07919 m, sn y con peso propo, con los datos de Yang y Kong (2002). Por lo que la solucón de Yang y Kong (2002) rebasa lgeramente la de este trabajo por 0.2 % sn peso propo y en 0.3% con peso propo. 7

XVI Congreso Naconal de Ingenería Estructural Veracruz, Ver., 2008 Fgura 8. Solucón de este trabajo. Peso 45.22 tons, generacón 245, fallan 2 barras (en rojo). Datos sobre barras que fallan cuando se aplca el peso propo se observan en las fguras 8 y 9. Fgura 9. Solucón de Yang y Kong 2002. Peso 45.404 tons, generacón 98, fallan 6 barras (en rojo). Consdera el domno smétrco. CONCLUSIONES Se logra encontrar una solucón que estructuralmente es mejor a la encontrada en la lteratura y adconalmente tene un peso menor, solucón que otros autores no habrían encontrado con sus propuestas. El que no sea una solucón smétrca abre la posbldad a no restrngr un domno en el cual se cree que la mejor solucón que se puede encontrar es smétrca, sn embargo este estudo demuestra hasta el momento que no es así. Además de la fgura 6 tambén se puede conclur que los valles y pendentes que se forman son regones de óptmos locales de los cuales se sale satsfactoramente. 8

Referencas Socedad Mexcana de Ingenería Estructural Coello Coello C.A., (2002) Theoretcal and numercal constrant-handlng technques used wth evolutonary algorthms: a survey of the state of the art. Computer methods n appled mechancs and engneerng, vol. 191,pp. 1245-1287. Hasançeb O., y Erbatur F., (2000) Evaluaton of crossover technques n genetc algorthm based optmum structural desgn. Computers and Structures vol. 78, pp. 435-448. Kemp S., (2005) Smple Optmsaton. Behavoral Processes vol. 69, pp. 131-132. Kcnger R., Arcszewsk T., De Jong K., (2005) Evolutonary computaton and structural desgn: A survey of the state-of-the-art. Computers and Structures vol. 83, pp. 1943-1978. Amercan Insttute of Steel Constructon (AISC) (1989) Manual of steel constructon: Allowable stress desgn, 9 th ed. Chcago, IL. Shrestha S.M., y Ghabouss J., (1998) Evoluton of optmum structural shapes usng genetc algorthm. Journal of Structural Engneerng ASCE vol. 124(11), pp. 1331-1338. Yang K., y Kong Soh C., (2002) Automated optmum desgn of structures usng genetc programmng. Computers and Structures 80, 1537-1546. Yang K. (2007). Dd you consder self weght n your desgn, n your work Yang and Kong (2002)?, contacto personal por correo electronco 9