Teorema del biomio y su demostració por iducció matemática Objetivos. Demostrar el teorema del biomio usado la iducció matemática y la fórmula recursiva para los coeficietes biomiales. Requisitos. Coeficietes biomiales y sus propiedades, demostracioes por iducció matemática, otació ř para sumas, cambio de variable e ua suma. 1. Sugerecia. E estos aputes se explica solamete la demostració formal algebraica del teorema del biomio. Para eteder mejor el tema, se recomieda estudiar el setido combiatorio de los coeficietes biomiales y la demostració combiatoria del teorema biomial. Coeficietes biomiales (repaso) La fució factorial y los coeficietes biomiales se debe estudiar muy bie ates de atacar la demostració del teorema del biomio. E este texto repasamos solamete las fórmulas ecesarias co velocidad de luz. 2. Defiició de coeficietes biomiales a través de factoriales (repaso). Para cualquier P t, 1, 2,...u y cualquier P t,..., u se poe!!p q!. Los úmeros ` se llama coeficietes biomiales debido al papel que hace e el Teorema 12. El úmero ` se puede prouciar como el coeficiete biomial de o simplemete de, debido a su setido combiatorio. 3. Codicioes de frotera para los coeficietes biomiales (repaso). Para cualquier P t, 1, 2,...u, 1, 1. (1) 4. Fórmula recursiva para los coeficietes biomiales (repaso). Para cualquier P t, 1,...u y cualquier P t,..., u, ˆ `. (2) ` 1 ` 1 Teorema del biomio, págia 1 de 5
5. Los primeros regloes del triágulo de Pascal (repaso muy rápido). La fórmula recursiva (2) y las codicioes de frotera (1) permite calcular los coeficietes biomiales de maera recursiva. Primero se calcula `, luego `1 co, 1, luego `2 co, 1, 2, etc. Los resultados se escribe como ua tabla triagular: 1 1 2 3 1 1 1 2 1 1 3 3 1 6. Potecias del biomio,, 1, 2. Cálculos directos muestra que pa ` bq 1 1a b, (3) pa ` bq 1 a ` b 1a 1 b ` 1a b 1, (4) pa ` bq 2 a 2 ` 2ab ` b 2 1a 2 b ` 2a 1 b 1 ` 1a b 2. (5) Observamos que e cada uo de estos casos particulares pa ` bq se expade e ua suma de ` 1 sumados; cada sumado es de la forma Ca j b, dode j ` ; los coeficietes C so elemetos de los primeros regloes del triágulo de Pascal. La potecia j se puede escribir como. Podemos geeralizar estas observacioes y cojeturar que siempre se cumple la siguiete fórmula: pa ` bq a b. Es el teorema del biomio. Vamos a demostrarlo por iducció matemática. 7. Defiició recursiva de las potecias aturales de u úmero (repaso). Para cualquier úmero x real (o complejo), x 1, x `1 x x. 8. El paso de 2 a 3. Calculemos pa ` bq 3 usado la defiició recursiva de las potecias y la fórmula (5): pa ` bq 3 pa ` bq 2 pa ` bq p1a 2 b ` 2a 1 b 1 ` 1a b 2 qpa ` bq p1a 3 b ` 2a 2 b 1 ` 1a 1 b 2 q ` p1a 2 b 1 ` 2a 1 b 2 ` 1a b 3 q 1a 3 b ` p2 ` 1qa 2 b 1 ` p1 ` 2qa 1 b 2 ` 1a b 3 1a 3 b ` 3a 2 b 1 ` 3a 1 b 2 ` 1a b 3. Comparado co el regló 3 del triágulo de Pascal cocluimos que 3ÿ pa ` bq 3 a 3 b. (6) Teorema del biomio, págia 2 de 5
9. Pasamos de 3 a 4. Este razoamieto es crucial para eteder la demostració geeral. Calculemos pa ` bq 4 usado la defiició recursiva de las potecias y la fórmula (6). Ahora escribimos los coeficietes biomiales de maera simbólica, si sustituir los valores uméricos: pa ` bq 4 p1q pa ` bq 3 pa ` bq p2q ˆ a 3 b ` a 2 b 1 ` a 1 b 2 ` a 3 b pa ` bq 1 2 3 p3q ˆ a 4 b ` a 3 b 1 ` a 2 b 2 ` a 3 1 b 1 2 3 ˆ ` a 3 b 1 ` a 2 b 2 ` a 1 b 3 ` a 4 b 1 2 3 p4q ˆ a 4 b ` a 3 b 1 ` a 2 b 2 ` a 3 1 b 1 2 3 ˆ ` a 3 b 1 ` a 2 b 2 ` a 3 1 b ` a b 4. 1 2 3 p5q ˆ ˆ a 4 b ` ` a 3 b 1 ` ` a 2 b 2 1 2 1 ˆ ` ` a 1 b 3 ` a b 4 3 2 p6q a 4 b ` a 3 b 1 ` a 2 b 2 ` a 1 b 3 ` a b 4. 1 2 3 4 Justificació de los pasos: (1) Se usa la defiició recursiva de las potecias. (2) Se aplica la fórmula (6). (3) Multiplicamos los parétesis usado la propiedad distributiva y otras propiedades de operacioes algebraicas co úmeros, tambié se utiliza la defiició recursiva de las potecias (por ejemplo, a 2 a a 3 ). (4) Separamos los sumados extremos : el sumado co a 4 b y el sumado co a b 4. (5) Agrupamos los sumados itermedios jutado las potecias iguales. (6) Aplicamos las fórmulas (2) y (1): 1, 1, 3 4 ˆ ˆ 3 4 `. ` 1 ` 1 Teorema del biomio, págia 3 de 5
1. Ejercicio. Demostrar la fórmula para pa ` bq 5 usado la fórmula para pa ` bq 4 que acabamos de demostrar. 11. Cambio de variable de sumatoria (repaso). Necesitamos repasar u truco más. E la suma 9ÿ p5 hagamos el cambio de variable q p 3. Como p corre de 5 a 9, la ueva variable q corre de 2 a 6, y p se expresa a través de q como p q ` 3. Etoces 9ÿ 6ÿ a p a q`3. p5 12. Teorema del biomio. Sea a, b alguos úmeros reales. Etoces para cada P t, 1, 2,...u se cumple la fórmula pa ` bq a b. (7) 13. Observació. La fórmula es válida tambié para úmeros complejos, para poliomios, y e geeral, para dos elemetos a, b de u aillo asociativo, tales que ab ba. Demostració. Notemos que a y b so fijos. Para cada P t, 1, 2,...u deotemos por Rpq al lado derecho de la fórmula (7). Vamos a demostrar por iducció sobre que para cualquier e t, 1, 2,...u se cumple la fórmula pa ` bq Rpq. Verifiquemos la base de iducció, esto es, demostremos la fórmula pa ` bq Rpq: ÿ ˆ pa ` bq 1 1a b a b Rpq. Paso de iducció. Supoiedo que pa ` bq Rpq demostremos pa ` bq `1 Rp ` 1q. `1 p1q pa ` bq pa ` bq pa ` bq p2q p3q p4q p5q a b pa ` bq a p q2 a b a ` a b b a `1 b ` a `1 b ` 1 a b `1 a `1 b ` 1 ÿ Teorema del biomio, págia 4 de 5 a b `1 ` a b `1.
Cosideremos por separado la última suma. Hagamos el cambio de variable j ` 1: 1 ÿ ˆ a b `1 a j`1 b j, j 1 luego redeotamos j por : ˆ a j`1 b j j 1 Etoces `1 p6q pa ` bq Justificació: p7q p8q p9q j1 a `1 b ` a `1 b ` `1 ÿ a `1 b 1 1 j1 ˆ a `1 b. 1 1 a `1 b ` ˆ a `1 b ` 1 1 ˆ ˆ ` a `1 b ` 1 ÿ 1 a `1 b ` a `1 b Rp ` 1q. ` 1 a `1 b ` 1 (1) Defiició recursiva de las potecias aturales de úmeros reales. (2) La hipótesis de iducció, esto es, la fórmula pa ` bq Rpq. (3) La propiedad distributiva. a b `1 a b `1 (4) La propiedad distributiva, la propiedad comutativa de multiplicació (para escribir a b a como a ab ) y la defiició recursiva de las potecias aturales. (5) E la primera suma separamos el sumado que correspode a, e la seguda suma separamos el sumado que correspode a. (6) Cambio de variable e la seguda suma. (7) Reagrupació (usado propiedades algebraicas de úmeros reales). (8) Propiedades (2) y (1) de los coeficietes biomiales: ˆ `, 1, 1 1 ` 1. ` 1 (9) Observamos que los sumados extremos se puede escribir como ``1 a`1 b, co y ` 1. Teorema del biomio, págia 5 de 5