Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas. º B de ESO Capítulo : Potecias y raíces www.aputesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
1 Potecias y raíces. º B de ESO Ídice 1. OPERACIONES CON POTENCIAS 1.1. PRODUCTO DE POTENCIAS 1.. COCIENTE DE POTENCIAS 1.. POTENCIA DE UN PRODUCTO 1.. POTENCIA DE UN COCIENTE 1.. POTENCIA DE OTRA POTENCIA. POTENCIAS DE NÚMEROS RACIONALES.1. POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE NEGATIVO.. PRODUCTO DE POTENCIAS DE BASE RACIONAL.. COCIENTE DE POTENCIAS DE BASE RACIONAL.. OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS. NOTACIÓN CIENTÍFICA.1. NÚMEROS GRANDES Y NÚMEROS PEQUEÑOS.. OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA. RAÍCES.1. RADICALES DE ÍNDICE CUALQUIERA.. POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO.. EXTRACCIÓN DE FACTORES DE UN RADICAL.. OPERACIONES CON RADICALES.. OPERACIONES COMBINADAS.6. RAÍCES CUADRADAS Resume E este capítulo utilizamos los grades úmeros, las potecias, que os permite describir de maera más fácil la imesidad del Uiverso, epresar sus distacias, la masa de los cuerpos celestes, el úmero de galaias, estrellas y plaetas. Tambié os fijaremos e los pequeños úmeros, el mudo microscópico epresado e forma de potecia de epoete egativo. Utilizaremos la otació cietífica para grades y pequeños úmeros. Repasaremos las operacioes co potecias de epoete u úmero atural, itroduciedo las potecias co epoetes egativos y racioales. Ya coocemos las potecias de base u úmero atural, ahora usaremos las mismas ideas utilizado bases de úmeros egativos y racioales. Ya cooces los radicales, ahora veremos que u radical es ua potecia de epoete u úmero fraccioario y que podemos utilizar las propiedades de las potecias co ellos. Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces www.aputesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
Potecias y raíces. º B de ESO 1. OPERACIONES CON POTENCIAS Recuerda que la potecia a de base u úmero atural a y epoete atural es u producto de factores iguales a la base: a = a a a... factores... a ( > 0) El factor que se repite es la base y el úmero de veces que se repite es el epoete. Al resultado se le llama potecia. Ya cooces las propiedades de las operacioes co potecias, que vamos a repasar. E este capítulo veremos que si el epoete o si la base es u úmero egativo o fraccioario, esas propiedades se matiee. epoete = 6 base potecia Recuerda: a 0 = 1 1 m = 1 (1) m = 1 m par (1) = 1 impar 0 = 0 a = a 1 1.1. Producto de potecias Co la misma base El producto de potecias de la misma base es otra potecia co la misma base y de epoete, la suma de los epoetes. b m b b p = b m++p () () () () 6 = () +( ) + +( 6) = () = 1/() = 1/ 1 Co el mismo epoete El producto de potecias co el mismo epoete es otra potecia cuya base se calcula multiplicado las bases, elevada al mismo epoete. a m b m c m = (a b c) m () () (1) () = [() () (1) ()] = (+60) = 600 1.. Cociete de potecias Co la misma base El cociete etre dos potecia de la misma base es otra potecia co la misma base y su epoete se calcula restado los epoetes. (1) 7 : (1) = (1) 7 = (1) c m : c = c m Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces www.aputesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
Potecias y raíces. º B de ESO Co el mismo epoete Para dividir potecias co el mismo epoete, se divide las bases y el resultado se eleva al mismo epoete. 18 : = (18/) = 6 () : (1) = (/1) a b Potecias de epoete etero egativo Ua potecia de base real a 0, y epoete atural < 0 es el iverso de la misma co epoete positivo. 1 a a La epresió a puede ser el resultado de dividir dos potecias de la misma base, ya que: a : a y = a y si < y (y) < 0. 6 : 6 8 = 6 8 = 6 = 1/6 1.. Potecia de u producto La potecia de u producto puede calcularse realizado primero el producto y elevado el resultado a dicha potecia o bie, elevado cada uo de los factores a dicha potecia y realizado después el producto. a b (a b c d) = a b c d [() (+) ()] = (+0) = +6000 = () (+) () = (8) (+1) (6)= +6000 1.. Potecia de u cociete La potecia de u cociete puede calcularse efectuado primero el cociete y elevado el resultado a dicha potecia, o bie elevar dividedo y divisor a la potecia y después efectuar el cociete. (a : b) m = a m : b m [( ) : ()] = (/) = (1,) = +1,6 = () : () = : 16 = 1,6 1.. Potecia de otra potecia Al elevar ua potecia a otra potecia obteemos ua potecia co la misma base y cuyo epoete es el producto de los epoetes: (( ) ) 6 = ( ) 6 = ( ) 18 ((d) m ) = d m Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces www.aputesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
Potecias y raíces. º B de ESO Actividades resueltas Se cueta que el ivetor del ajedrez se lo mostró al rey Shirham de la Idia, que se etusiasmó tato que le ofreció regalarle lo que quisiera. El ivetor pidió u grao de trigo para la primera casilla, dos para la seguda, para la tercera, y así duplicado la catidad e cada casilla. Cuátos graos de trigo habría que poer e la última casilla, e la 6? Observamos que el úmero de graos de trigo de la casilla es 1 por lo que debemos calcular 6. Calculamos =. Luego: ( ) = = 16 (( ) ) = 8 = 16 16 = 6 ((( ) ) ) = ( 8 ) = 16 = 6 6 = 66 (((( ) ) ) ) = ( 16 ) = = 66 66 = 996796 ((((( ) ) ) ) ) = ( ) = 6 = 996796 996796 = 1867077091616 Y ahora, para calcular 6 podemos dividir potecias de la misma base: 6 = 6 / = 9706877808 graos de trigo, u úmero eorme y difícil de maejar. Para calcular el úmero total de graos de trigo observamos que la suma de graos hasta la casilla es por lo que etoces debemos calcular 6, que estimado 100 graos por kg da poco más de 1 billoes de Tm y eso correspode a la producció mudial de 168 años. Imposible que el rey tuviera tato trigo! Actividades propuestas 1. Determia el sigo de las potecias: (1) 9 () 1 (1) (8) Alga maria (fotografía microscópica). Epresa e forma de ua úica potecia: (7) (7) (7) (7) 6 () () 7 () () (). Epresa e forma de potecia: (6) () (1) (). Epresa e forma de potecia: (8) 9 : (8) () : () 7. Epresa e forma de potecia: (+7) : () () 8 : ( 8) 8 6. Epresa e forma de potecia: (() ) 6 ((7) ) Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces www.aputesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
Potecias y raíces. º B de ESO. POTENCIAS DE NÚMEROS RACIONALES La potecia de u úmero racioal es otro úmero racioal cuyo umerador y deomiador queda elevados a dicha potecia. a b a b.1. Potecias de base racioal y epoete egativo El resultado de elevar u úmero racioal a ua potecia egativa es otra potecia cuya base es el úmero racioal iverso, elevado al mismo epoete, positivo. (/9) = (9/) a b.. Producto de potecias de base racioal Se matiee las propiedades de las potecias de base u úmero atural. Co la misma base El resultado de multiplicar potecias co la misma base es otra potecia co la misma base y epoete la suma de los epoetes. b a (a/b) m (a/b) (a/b) p = (a/b) m++p (/) (/) (/) (/) = (/) +1+( )+ = (/) Co el mismo epoete El resultado de multiplicar potecias co el mismo epoete es otra potecia cuya base es el producto de las bases, elevada al mismo epoete. (a/b) m (c/d) m (e/f) m = [(a/b) (c/d) (e/f)] m (/) (1/) (/) = [(/) (1/) (/)] = (6/60) = (1/10) Actividades propuestas 7. Calcula: a) (/) b) (/7) c)(1/6) d) (/) 8. Epresa como úica potecia: a) (/) (/) ((/) 8 b) (1/8) (1/8) (1/8) 16 6 Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces www.aputesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
6 Potecias y raíces. º B de ESO 9. Epresa como úica potecia: a) (/) 6 (/) 6 (1/7) 6 b) (/) (/8) (1/).. Cociete de potecias de base racioal Co la misma base El resultado de dividir potecias co la misma base es otra potecia co la misma base y el epoete la diferecia de los epoetes. (1/) : (1/) = (1/) = (1/) 1 Co el mismo epoete (a/b) m : (a/b) = (a/b) m El resultado de dividir potecias co el mismo epoete es otra potecia cuya base es el cociete de las bases, elevada al mismo epoete. (a/b) m : (c/d) m = [(a/b) : (c/d)] m (/) : (7/8) = [(/) : (7/8)] = (/8) = (6/7) = (7/6).. Operacioes combiadas co potecias ( ) ( ) ( ) 8 6 ( ) ( ) ( ) 1 86 ( ) ( ) (9 ) ( ) ( ) Actividades propuestas 10. Calcula: ( ) ( ) 1 ( ) 0 a) (/) : (/) 7 b) (/8) : (/8) 11. Calcula: a) (1/) : (/9) b) (6) : ( /9) 1. Calcula: 1 ( ) 6 0 1 ( ) 1 7 1 ( ) = 106. a) ( ) 1 6 b) 6 8 8 Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces www.aputesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
7 Potecias y raíces. º B de ESO. NOTACIÓN CIENTÍFICA.1. Números grades y úmeros pequeños U úmero epresado e otació cietífica está formado por u úmero decimal cuya parte etera está etre 1 y 9, multiplicado por10, siedo u úmero etero positivo o egativo. a 10 siedo 1 a 9 Si el epoete es positivo se utiliza para epresar úmeros grades y si el epoete es egativo para epresar úmeros pequeños 0000000000 =, 10 1 0,00000000007 =,7 10 11 Actividades resueltas E la leyeda del ajedrez utilizamos úmeros muy grades. Si o os iteresa tata aproimació sio haceros ua idea úicamete de los grades que so, podemos usar la otació cietífica. Ua aproimació para el úmero de graos de trigo de la casilla 6 es 9 10 18, co lo que os hacemos ua idea mejor de lo eorme que es que co el úmero: 97068778089706877808 que da u poco de mareo. Escribe e otació cietífica: 16, y 6 16 = 66 6, 10 = 996796 = 10 9 6 = 1867077091616 = 1,8 10 19.. Operacioes co otació cietífica Suma o diferecia Para realizar sumas y restas, co epresioes e otació cietífica, se trasforma cada epresió decimal de maera que se iguale los epoetes de 10 e cada uo de los térmios Para calcular 10 8 +, 10 6 6, 10 epresamos todos los sumados co la misma potecia de 10, eligiedo la meor, e este caso 10 : 000 10 + 10 6, 10 Sacamos factor comú: 10 (000 + 6,) = 016, 10 =,016 10 8 Producto El producto de epresioes e otació cietífica es el resultado de multiplicar los úmeros decimales y sumar los epoetes de base 10. Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces www.aputesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
8 Potecias y raíces. º B de ESO, 10 1,6 10 6 = (, 1,6) 10 +6 =, 10 11 Cociete El cociete de dos epresioes e otació cietífica es el resultado de dividir los úmeros decimales y restar los epoetes de base 10., 10 9 : 10 7 = (, : ) 10 97 = 1, 10 Actividades resueltas Para hacer el cociete para calcular 6 dividiedo 6 etre e otació cietífica: 6 = 6 / = 1,8 10 19 / = 0,9 10 19 = 9 10 18. Usa la calculadora Las calculadoras utiliza la otació cietífica. Muchas calculadoras para escribir 9 10 18 escribe 9e+18. 1. Utiliza tu calculadora para obteer 16, y 6 y observa cómo da el resultado. 1. Utiliza la calculadora para obteer tu edad e segudos e otació cietífica. Actividades propuestas 1. Efectúa las operacioes e otació cietífica: a) 0,0007 + 1, 10 b) 00000000, 10 6 + 8, 10 16. Efectúa las operacioes e otació cietífica: a) (1, 10 ) (6,1 10 ) b) (,7 10 8 ) ( 10 6 ) (, 10 ) 17. Efectúa las operacioes e otació cietífica: ( 10 8 ) : (1, 10 ) b) (, 10 ) ( 10 ) : (6,1 10 7 ) 18. Se estima que el volume del agua de los océaos es de 18600000 km y el volume de agua dulce es de 000000 km. Escribe esas catidades e otació cietífica y calcula la proporció de agua dulce. 19. Se sabe que e u átomo de hidrógeo el úcleo costituye el 99 % de la masa, y que la masa de u electró es aproimadamete de 9,109 10 1 kg. Qué masa tiee el úcleo de u átomo de hidrógeo? (Recuerda: U átomo de hidrógeo está formado por el úcleo, co u protó, y por u úico electró) 0. A Jua le ha hecho u aálisis de sagre y tiee milloes de glóbulos rojos e cada mm. Escribe e otació cietífica el úmero aproimado de glóbulos rojos que tiee Jua estimado que tiee litros de sagre. Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces www.aputesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
9 Potecias y raíces. º B de ESO. RAÍCES.1. Radicales de ídice cualquiera La raíz eésima de u úmero a es u úmero que al elevarlo a, da como resultado a. a = a. Recuerda: = ídice de la raíz a = radicado = a raíz La raíz cuadrada de u úmero real o egativo a es u úico úmero o egativo que elevado al cuadrado os de a: a a, a 0, 0. Observació No cofudas resolver ua ecuació, = 9, que tiee dos raíces, y, co calcular ua raíz, como 9 que es úicamete. Imagia que lío ta horrible sería calcular 9 + 1 + si el resultado pudiera ser: + 1 + = 6, o bie, 1 = 0, o bie + 1 =, o bie 1 + = La raíz eésima de u úmero e el campo real o o eiste o es úica. Observa que 1 o eiste e el campo real. Nigú úmero real al elevarlo al cuadrado da u úmero egativo. Sólo podemos calcular raíces de epoete par de úmeros positivos. Si embargo 1 = 1, pues ( 1) ( 1) ( 1) = 1. Actividades resueltas Cuáto mide el lado de ua habitació cuadrada embaldosada co 1 baldosas de cuadradas de cm de lado? Cada lado tedrá 1 = 1 baldosas, que mide cm, luego medirá 1 = 00 cm = m de largo. E u depósito cúbico cabe 1000 cubos de 1 dm, cuáto mide su arista? Y si cabe 1167 cubos? Calculamos 1000= 10. La arista mide 10 dm. Calculamos ahora 1167=. La arista mide dm porque = 1167. Calcula 6 ; 8; 7 ; 1000. Las raíces de radicado egativo e ídice impar, si eiste: 6 = ; 8 = ; 7 = ; 1000 = 10. Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces www.aputesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
0 Potecias y raíces. º B de ESO.. Potecias de epoete fraccioario Se defie 1 como : 1 = m Por tato, la potecia puede epresarse e forma de radical, de maera que será el ídice de la raíz y m el epoete del radicado. m = m / = Las propiedades de las potecias de epoete fraccioario coicide co las de las potecias de epoete u úmero atural. Actividades resueltas Simplifica los radicales 1 10 1, 7 usado potecias de epoete fraccioario. Escribimos el radical como potecia de epoete fraccioario y simplificamos las fraccioes: 1 1 8. 7 10 1 7 1 10 7 7 7 7 Calcula 8 y 7000 factorizado previamete los radicados 8 11 11 7000 0 Calcula 0, ; y 6 1 0, 8 6 6 7 Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces www.aputesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
1 Potecias y raíces. º B de ESO.. Etracció de factores de u radical Teemos m = m co m >, para etraer factores de la raíz realizamos el cociete: m dividido etre tiee de cociete p y de resto r: m = p + r. El resultado es pr r p m pr = p r. Si m >, m = m = p r. = = = = 1 1 Actividades propuestas 1. Calcula todas las solucioes: a) 11 b) 8 c) 10000 d) 1 e) 7 1. Epresa e forma de radical a) () / b) 8 1/ c) /. Etrae los factores posibles e cada radical: a) a 6 b b) 6 6 c) 9.. Operacioes co radicales Como los radicales se puede escribir como potecias, tiee las propiedades que ya cooces de las potecias. Raíz de u producto La raíz de u producto es igual al producto de las raíces de los factores y z y z 8 76 = 8 7 6 = = Raíz de u cociete La raíz de u cociete es igual al cociete de la raíz del dividedo y la raíz del divisor y y Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces www.aputesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
Potecias y raíces. º B de ESO = Raíz de ua raíz Recuerda Hay operacioes co radicales que NO está permitidas. 10 = 100= 6 6 que es distito de: 6 + 6 = 8 + 6 = 1 La raíz de ua raíz es igual a otra raíz co el mismo radicado y cuyo ídice es el producto de los ídices. 6 6 6 6 6 6 m m.. Operacioes combiadas / y 1/ = y y 7 7 Actividades propuestas. Epresa e forma de producto o de cociete: a) 7 a b b) 7 c) 6. Epresa e forma de úica raíz: a) 18 b) 6. Epresa e forma de potecia: a) b) 7. Simplifica la epresió: 11 a) b) d) y Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces www.aputesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
Potecias y raíces. º B de ESO.6. Raíces cuadradas Ya sabes que: La raíz cuadrada eacta de u úmero a es otro úmero b cuyo cuadrado es igual al primero: a b b a Al poder costruir u cuadrado de lado co cuadrados pequeños se dice que es la raíz cuadrada de, ya que =, y por tato decimos que es la raíz cuadrada de, es decir:. Obteer la raíz cuadrada eacta es la operació opuesta de elevar al cuadrado. Podemos costruir u cuadrado de lado co 9 cuadrados pequeños, por tato como = 9 etoces: 9. Al escribir 6 8 se lee que la raíz cuadrada de 6 es 8. Al sigo se le deomia radical, se llama radicado al úmero colocado debajo, e este caso 6 y se dice que el valor de la raíz es 8. Sabemos que el área de u cuadrado es 11 cm, cuáto vale su lado? Su lado valdrá la raíz cuadrada de 11. Como 11 = 11, etoces la raíz cuadrada de 11 es 11. El lado del cuadrado es 11. Se puede costruir u cuadrado co 7 cuadrados pequeños? Observa que se puede formar u cuadrado de lado, pero sobra cuadrados pequeños, y que para hacer u cuadrado de lado falta cuadrados pequeños. El úmero 7 o es u cuadrado perfecto, o tiee raíz cuadrada eacta porque co 7 cuadrados pequeños o se puede costruir u cuadrado. Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces www.aputesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
Potecias y raíces. º B de ESO Es más, aquellos úmeros aturales que o tiee raíz cuadrada eacta, su epresió decimal es u úmero irracioal, co ifiitas cifras decimales o periódicas. Pero podemos afirmar que < 7 <. Como es u cuadrado perfecto y =, y 9 es tambié otro cuadrado perfecto y 9 =, los úmeros,, 6, 7, y 8 o so cuadrado perfectos y su raíz cuadrada es u úmero irracioal. Co más dificultad se puede aproimar esos valores, así,6 < 7 <,7, (Multiplica,6 por sí mismo, y,7 por sí mismo, y comprueba que se verifica la desigualdad) o podemos obteer más cifras decimales:,6 < 7 <,6, o bie,6711 < 7 <,671. Podemos ecotrar u valor aproimado de la raíz. Para calcular raíces cuadradas puedes utilizar la calculadora, co la tecla Es importate coocer los cuadrados perfectos, pues metalmete, te ayuda a saber etre qué valores eteros está la raíz cuadrada que quieres calcular. Observa que: El cuadrado de u úmero, positivo o egativo, es siempre u úmero positivo. Luego o eiste la raíz cuadrada de u úmero egativo. Actividades propuestas 8. Escribe la lista de los 1 primeros cuadrados perfectos. 9. Calcula metalmete e tu cuadero las siguietes raíces: a) 9 b) c) 100 d) 6 e) 81 f) 1 g) 0. 0. Calcula metalmete e tu cuadero las aproimacioes eteras de las siguietes raíces: a) 1 b) 7 c) 10 d) 6 e) 80 f) g) 1. 1. Idica qué raíces cuadradas va a ser úmeros aturales, cuáles úmeros irracioales y cuáles o eiste: a) 6 b) c) 100 d) e) 7 f) 10 g) 100. Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces www.aputesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
Potecias y raíces. º B de ESO CURIOSIDADES. REVISTA Células solares de silicio de tamaño microscópico El programa de Tecología Solar del Departameto de Eergía de Estados Uidos, e su objetivo de coseguir mayor eficiecia e la producció de eergía solar, ha creado células microscópicas de silicio. Estas células utiliza 100 veces meos material de silicio policristalio de 0 micrómetros de grosor co u sigificativo coste meor de fabricació. Estas células covierte casi u 1 % de la luz solar e eergía eléctrica. La cruz de Eistei Sabías que a las operacioes e otació epoecial tambié se las llama de coma flotate" porque el epoete equivale a la posició del decimal? E los ordeadores, la potecia de cálculo se mide e mflops, o miles de operacioes e coma flotate por segudo, e igles floatig poit operatios per secoud, abreviado "flops". Tu ordeador igual puede hacer u milló de estas operacioes por segudo, u "giga flops"! Albert Eistei había auciado, a partir de su teoría de la relativiadad geeral, el llamado espejismo cósmico o "lete gravitacioal". Este efecto puede eplicar la formació de cuatro o más imágees a partir de ua sola fuete muy distate. La cruz de la image resultó ser u solo quásar situado a uos 10.000 milloes de años luz al que se llamó Cruz de Eistei, cuya luz queda curvada e su trayectoria por ua galaia lete situada diez veces más cerca. Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces www.aputesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
6 Potecias y raíces. º B de ESO La presecia de las bacterias Se estima que eiste 100 milloes de bacterias, de 600 especies diferetes, por cada milímetro cúbico de saliva y 0 milloes de bacterias e u gramo de tierra. Alguos cietíficos calcula que e el iterior de la Tierra podría haber hasta 100.000 billoes de toeladas de bacterias, de maera que si todas estuviera sobre la superficie, cubriría uestro plaeta hasta ua altura de 1 metros. Hay mucha más vida e el iterior que e el eterior. E el Papiro de Ajmeed (160 a.c.) se muestra cómo los egipcios etraía raíces cuadradas. E la atigua Idia, e los mauscritos del Baudhayaa Sulba Sutra Aryabhata (800 00 a.c.) se aota u método para calcular raíces cuadradas. E Europa, o se ha ecotrado referecias ates de Cataeo (16). El símbolo de la raíz cuadrada fue itroducido e 1 por el matemático Christoph Rudolff, y es ua forma estilizada de la r miúscula. Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces www.aputesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
7 Potecias y raíces. º B de ESO RESUMEN Producto y cociete de potecias Potecia de u producto y de u cociete POTENCIAS Y RAÍCES E el producto de potecias co la misma base se suma los epoetes. E el cociete se resta los epoetes Co el mismo epoete: E el producto, se multiplica las bases y se eleva el resultado al mismo epoete. E el cociete se divide las bases y se eleva el resultado al mismo epoete La potecia de u producto es igual al producto de cada uo de los factores elevados a dicha potecia ( a b c d) = a b c d La potecia de u cociete es igual al cociete del dividedo y el divisor elevados a dicha potecia c m : c = c m Ejemplos () () = () 6 : 7 = 7 = 1 () : () =( /) ( ) = (7/) 6 = 7 6 /() 6 Potecia de otra potecia Potecia de base racioal Potecia de epoete egativo Notació cietífica: operacioes a 10 siedo 1 a 9. + para grades úmeros para pequeños úmeros ((d) m ) = d m (() ) = () 1 (a/b) = a /b (6/) = 6 / a = 1/a 8 = 1/8 0000000 =, 10 8 0,0000000009 = 9 10 10 Radicales: raíces de ídice cualquiera Potecias de epoete racioal 9 7; 16 6; 6 ; 81 ; Ua potecia co epoete racioal puede epresarse e forma de raíz cuyo ídice es el deomiador del epoete y el radicado queda elevado al umerador del epoete: m m 8 / = 8 Etracció de factores de u radical Si m = c+ r etoces a m a c a r 7 8 8 8 Operacioes co radicales y z y ; z y y = 1 1 7 7 = 1 Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces www.aputesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
8 Potecias y raíces. º B de ESO EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Potecias 1. Epresa e forma de úica potecia: a) ( ) (1) b) (1) (1) 8 (1) c) () (1) d) () () ( ) e) (9) 9 9 9 f) (18) : () g) ( 6) : (6) h) () : (). Epresa e forma de úica potecia: a) 6 (1) 6 b) [() 7 : ( ) 7 ] ( ) () c) [ () 6 ] : [() 8 () ] 9 6 9 : 9 d) () (10) : () 7 : 7. Epresa e forma de potecia de epoete positivo: a) () b) (9) c) () : () 9 d) () () : () 6. Epresa e forma de úica potecia: a) (() ) b) (( ) ) c) (( 1) ) d) (() ) /. Epresa e forma de úica potecia: a) (/) b) ( /9) c) (1/) d) (/) 6. Epresa e forma de úica potecia: a) (/) ( /) (/) b) (1/6) (/) (6/7) c) (/) : (/) d) ( /9) : (/9) e) ((/) ) f) ((/7) 1 ) Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces www.aputesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
9 Potecias y raíces. º B de ESO 7. Epresa e forma de úica potecia: a) ( /) (1/) (/9) (1/) (1/) (1/) (1/) (1/) b) ((1/) ) / ( /) 1/6 c) ( /) 1/ (/) / ( /) 1/6 (7/8) : (1/6) 8. Epresa e forma de otació cietífica: a) 10000000 b) 800 c) 71000000000000000 d) 0,000007 e) 18000000 f) 0,000000000 g) 0,009 h) 0,00000000007 9. Busca iformació epresada e otació cietífica sobre: a) La distacia etre la Tierra y la Lua b) Uidad de masa atómica c) Km que correspode a u año luz d) U gúgol e) La logitud de oda de los rayos cósmicos 10. Realiza las operacioes y epresa el resultado e otació cietífica: a) 10 +, 10 6 1,7 10 10 b), 10, 10 + 6 10 c) 10, 10 d) 1,8 10 : 10 8 11. La estrella Sirio está a uos 8,611 años luz de uestro plaeta. Epresa e metros, mediate otació cietífica la distacia que recorrería ua ave espacial que realizara u trayecto de ida y vuelta a Sirio. (Recuerda: U año luz, la logitud que recorre la luz e u año, es aproimadamete igual a 9,6 10 1 km (9 60 70 7 80,8 km co más aproimació)) 1. La masa de u electró e reposo se estima e 9,11 10 1 kg, la de u protó es de 1,67 10 7 kg, y la de u eutró 1,6 10 7 kg. Calcula la masa de u átomo de carboo 1 (C 1 ) formado por seis protoes, seis electroes y 6 + = 8 eutroes. (El C 1 es u isótopo que tiee dos eutroes más que el carboo ormal y que se utiliza para datar). Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces www.aputesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
60 Potecias y raíces. º B de ESO 1. Calcula y epresa e otació cietífica: a) 0,0089 + 10 + 7, 10 6, 10 b) 10 6,8 10 7 10 c) 10 10 + 1, 10 d) 10 (,7) 10 +, 10 6 1. Epresa el resultado de esta operació e otació cietífica:, 10 1, 10 a) 0,0 10 1, 10 10 b) 6 10, 10 1. Se estima que eiste 0 milloes de bacterias e u gramo de tierra. Epresa e otació cietífica de forma aproimada el úmero de bacterias que eiste e uos camioes que está descargado 0 toeladas métricas de area e ua playa. 16. Si = 0000 y = 0,0008 z = 7, 10 6 Calcula y epresa e otació cietífica a) y b) + y 10 7 c) y 17. Arquímedes, e su tratado El areario cueta ua maera para epresar úmeros muy grades, como el úmero de graos de area que hay e toda la Tierra. Vamos a estimarlos ahora por otro procedimieto. Estimamos cuátos graos de area ecesitamos para teer u gramo de area. Te parece que 0 graos de area. Se estima que la masa de la Tierra es de: M T = 980 000 000 000 000 000 000 000 000 g = 98 10 g Calcula de forma aproimada el úmero de graos de area que hay e toda la Tierra. Grafito Cultivo de Escherichia coli 18. Vemos e Iteret que la masa de Marte es de 69E1 kg, que la masa de Júpiter es de 1,898E7 kg, y que la masa de la Tierra es de,97e kg. a) Calcula cuátas veces cabría la Tierra e el plaeta Júpiter. b) Calcula la relació etre la masa de la Tierra y la de Marte. Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces www.aputesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
61 Potecias y raíces. º B de ESO Raíces 19. Calcula: a) 1100 b) 0, 008 c) 1 d) 1 e) 0, 9 0. Calcula: a), 076 b) 0, 00001 c) 60000 d) 6,7 10 1. Epresa e forma de raíz: a) () / b) 7 1/6 c) (1) 1/ d) () /. Epresa e forma de potecia: a) 6 b) ( 7) c) d) ( 0). Etrae los factores posibles de estos radicales: a) 10 b) 6 9 c) 11 y d) 6. Etrae los factores posibles de estos radicales: a b c b) a) 7 6. Simplifica: 6 c) 10 : 6 8 8 d) a) b) 6. Epresa e forma de producto: c) y 8 y d) 1 : a) 01 b) 6 c) 8 9 d) a 8 b c 6 7. Epresa e forma de cociete: a) 1 b) 7 c) 9 d) 1 8. Epresa e forma de úica raíz: a) 8 b) 0 c) 9000 d) 1 9. Simplifica las operacioes: 1 8 a) b) 7 c) : d) 10 : 0. Simplifica las operacioes: a) 1 6 6 : b) 10 c) ( ) ( ) d) 1 7 10 ( 6) : ( 6) 1. Simplifica las operacioes: 6 b) a) : : 1 7 c) 7 7 Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces www.aputesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF
6 Potecias y raíces. º B de ESO AUTOEVALUACIÓN 1. El resultado de las operacioes siguietes es: (6) ( 6) (6) y (1) 7 : (1) a) 6 y 1 b) 1/6 y 1 c) 1/6 y 1. El resultado de las operacioes siguietes es: () (1) (6) y ( 8) 7 : () 7 a) (0) y () 7 b) 0 y (8/) 7 c) 0 y () 7. El resultado de las operacioes siguietes es: (() ) ; ((1) ) 7 y (() / ) 6 a) () 1 ; (1) y () 8/ b) 1 ; (1) y c) () 1 ; (1) y (). El resultado de las operacioes siguietes es: (8) ; () y (10 ) a) 1/1; 1/16 y 1/10 10 b)1/8 ; 1/ y 1/10 10. El resultado de las operacioes siguietes es: ( /7) ; ( 1/) y ( /) a) /7 ; 1/ y / b) /7 ; y / 6. El resultado de las operacioes siguietes es: (/) (/) (/) a) 1 b) / c) / d) (/) (/) 7. Las epresioes,1 10 8 y 0,000000009 correspode a : a) 100000000 y 9, 10 10 b)10000000 y 9, 10 10 c)10000000 y 9, 10 9 8. El resultado de esta operació es: (0,00098 + 10 6, 10 ), 10 a) 1, b) 07, c) 107, d) 10,7 9. El resultado de las operacioes siguietes es: 11; 6 y 1 a) 11, 16, 1 b) 11, 16, 1 c) 11, 16, 1 10. Las siguietes epresioes correspode a: () / ; () 1/ y () / a) ; y b) ; y c) 11. El resultado de etraer factores de estos radicales es: y a) ( ) b) ( ) y y 10 0 c) ( ) 1. Las operacioes siguietes puede epresarse: : 1 y 18 ; y y ( ) ( ) a) y 9 18 b) 1 y 6 18 c) 1 1 y 9 18 Matemáticas orietadas a las eseñazas académicas º B ESO. Capítulo : Potecias y raíces www.aputesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Herádez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF