Sñals y Sistmas Aálisis d Fourir.
Itroducció El foqu d st capítulo s la rprstació d sñals utilizado sos y cosos ( otras palabras, xpocials complas). El studio d sñals y sistmas utilizado xpocials complas s domia aálisis d Fourir, hoor a Josph Fourir (1768-1830) dbido a su gra cotribució st campo.
Rprstacios d Fourir para cuatro class d sñals Propidad d timpo Priódica No priódica Cotiua Discrta Sri d Fourir (FS) Sri d Fourir timpo discrto (DTFS) Trasformada d Fourir (FT) Trasformada d Fourir timpo discrto (DTFT)
Sñals priódicas: rprstacios mdiat las sris d Fourir Cosidérs la rprstació d ua sñal priódica cualquira como ua suprposició d sos y cosos (xpocials complas). La frcucia d cada soid db sr u múltiplo d la frcucia fudamtal d la sñal. Supogamos qu s ti ua sñal priódica co priodo fudamtal N, su rprstació mdiat la sri d Fourir s: x[] k k X[k] 0 Dod Ω 0 = 2π/N s la frcucia fudamtal d la sñal priódica. La frcucia d la xpocial k-ésima la suprposició s kω 0.
Sñals priódicas (cot.) E l caso d ua sñal cotiua priódica co priodo fudamtal T, la sri d Fourir s dfi como: x( k 0t t) X[k] k dod ω 0 = 2π/T s la frcucia fudamtal d la sñal priódica cotiua.
Sñals priódicas (cot.) Psado l caso d ua scucia discrta priódica surg la prguta cuátos térmios y psos db usars cada suma? Rcordmos qu, l caso discrto, xpocials complas co frcucias distitas o simpr so difrts. Tmos: ( N k ) 0 Es dcir, hay sólo N xpocials complas distitas d sta forma. N 2 0 k k k 0 0 0
Sñals priódicas (cot.) E coscucia, podmos rscribir la cuació d la sri d Fourir d ua sñal discrta priódica: x[ k 0 ] X[k] k N dod la otació k = <N> idica dar qu k varí sobr cualsquira N valors coscutivos (comúmt s usa los valors d k = 0 hasta N-1).
La DTFS La rprstació mdiat la DTFS stá dada por x[] k N k X[k] 0 X[k] 1 N N x[] Dcimos qu x[] y X[k] so u par DTFS y dotamos sta rlació como k 0 DTFS; 0 x[ ] X[ k]
Importat: La DTFS s la úica rprstació d Fourir qu pud valuars y maipulars uméricamt (co la computadora). Esto s db a qu tato la scucia l timpo como la rprstació frcucia stá caractrizadas por u couto fiito d N úmros. S mpla a mudo para aproximar uméricamt las otras trs rprstacios d Fourir.
La rprstació mdiat la FS stá dada por: x( X[ k 0t t) X[ k] k 1 T k 0t k] x( t) T Afirmamos qu x(t) y X[k] so u par FS y dotamos sta rlació como FS; 0 x( t) dt X[ k]
La sri d Fourir os coduc a...
La trasformada d Fourir!
Rprstació mdiat la DTFT La Trasformada d Fourir timpo discrto (DTFT) s xprsa como dod X( x[ ] 1 2 X( ) x[ ] Rprstació dl par d DTFT: ) d x[ ] DTFT X( )
Rprstació mdiat la FT La Trasformada d Fourir (FT) s xprsa como dod x( t) 1 2 X( ) t d X( ) x( t) t dt Rprstació dl par d FT: FT x( t) X( )
Rcomdació Para la DTFT ivstigar las siguits propidads: Lialidad Simtría - sñals rals imagiarias Simtría - sñals pars impars Dsplazamito l timpo Dsplazamito frcucia Difrciació itgració Covolució y modulació
Emplo: Primra figura: Sñal d voz d hombr (Homro Simpso iglés) Sguda figura: Su trasformada d Fourir (para valors d ω tr π y π)
Otro mplo: Cació lctróica Su trasformada d Fourir
Domiio d timpo Las cuatro rprstacios d Fourir Priódica No priódica Cotiua FS FT No priódica x( k 0t t) X[ k] k x(t) 1 2 X( ) t d X[ 1 T k 0t k] x( t) T dt X( ) x(t) t dt Discrta DTFS DTFT Priódica x[] k N k X[k] 0 x[ ] 1 2 X( ) d X[k] 1 N N x[] k 0 X( ) x[ ] Discrta Cotiua Domiio d la frcucia