Sucesioes de úmeros reales Sucesioes Ejercicio. Prueba que si x <, etoces + x + x +... + x x. Solució. Sabemos que + x+ x +...+ x x+ x es la suma de ua progresió geométrica) y, usado que x 0, se obtiee lo pedido. Ejercicio. Sea a u úmero real positivo y defiamos x a, x + x +x para N. Probar que la sucesió {x } N coverge a cero. Solució. y que, e geeral, x Usado la defiició de la sucesió, se puede comprobar que x a, x a + a, x 3 a + a a + )a, co lo que es imediato cocluir que x 0. Ejercicio 3. su límite. Demuestra que la sucesió x, x + 3x, es covergete y calcular Solució 3. a) Veamos por iducció que la sucesió es creciete. Es imediato comprobar que x < x. Si x < x + teemos que comprobar que x + < x + : x + 3x < 3x + x +. b) Además es ua sucesió acotada, ya que por iducció otra vez teemos que x 3, N. Para es imediato, y si x 3, comprobémoslo para x +. E efecto, x + 3x 3 3 3. Por tato, la sucesió es creciete y mayorada, luego existe su límite x, que estará compredido etre x 3. Para calcular su valor vamos a tomar límites e la fórmula de recurrecia, esto es x + 3 x x 3x xx 3) 0 de lo que se deduce que x x 3. E Ejercicio 4. Se cosidera la sucesió defiida por recurrecia por a y a + a + 3 para N. Estudia si es covergete y, e caso de que lo sea, calcula el límite. Solució 4. Aplicado la fórmula de recurrecia, comprobamos que a 5 > a. Para comprobar que la sucesió dada es moótoa creciete, lo vemos por iducció: a) Para, acabamos de ver que a a. b) Hipótesis de iducció: supoemos que a a +. c) Comprobamos que a + a +. E efecto, si partimos de la hipótesis de iducció: a a + a a + a + 3 a + + 3 a + 3 a + + 3 a + a + Por tato, la sucesió es moótoa creciete.
Al ser creciete, ya sabemos que la sucesió está acotada iferiormete por a. Veamos que está acotada superiormete por 3. Esto es, que a 3 N. Otra vez lo hacemos por iducció: a) Para, es evidete que a 3. b) Hipótesis de iducció: Supoemos que a 3. c) Comprobamos que a + 3. E efecto, si partimos de la hipótesis de iducció: a 3 a 6 a + 3 9 a + 3 9 3 a + 3 Por tato, la sucesió dada es moótoa y acotada, por lo que etoces es covergete. Para calcular el límite de {a } partimos de la fórmula de recurrecia y tomamos límite. Supogamos que {a } x y os queda que x x + 3. Resolvemos la ecuació: x x + 3 x x + 3 x x 3 0 x ó x 3 Pero como el límite ha de ser mayor que, teemos que a 3. E Ejercicio 5. Se defie la sucesió {x } por recurrecia como x, x + + x. Calcula x y x x +. Solució 5. a) Vamos a comprobar que la sucesió {x } es moótoa y acotada. i) Veamos, e primer lugar, que la sucesió {x } es decreciete. Utilizaremos el pricipio de iducció. ) Es imediato comprobar que x > x 3. ) Supogamos que x > x +, etoces x + > x + + + x > + x +, o, lo que es lo mismo, x + > x +. ii) Comprobemos que todos los térmios so positivos de uevo por iducció: ) Es evidete que que x > 0 y, ) si x > 0, + x > o, lo que es lo mismo, x + > 0. Resumiedo, {x } es decreciete y está acotada iferiormete y, por tato, es covergete. Si llamamos L al límite, se cumple que L + L de dode se deduce que L 0. b) Para calcular el límite de la sucesió { } x x +, multiplicamos y dividimos por + x + y obteemos x x + x + + x x + + x + + x + ). E Ejercicio 6. Sea {x } N la sucesió defiida por recurrecia como x y x + x + 4 a) Demuestra que 5 < x < 4 5 para cualquier atural. b) Demuestra que {x } N es decreciete. c) Calcula su límite. Solució 6. a) Lo demostramos por iducció. Es claro que 5 < x < 4 5. Supogamos que 5 < x < 4 5, etoces 5.
x + x + 4 5 > x + x + 4 5 < ) + 4 5 5 5, y ) 4 + 4 5 5 4 5. b) De uevo comprobamos que la sucesió es decreciete por iducció. E primer lugar, es evidete que x 4 00 x. Supogamos ahora que x x +, etoces x + x + + 4 5 x + 4 5 x +, ya que la fució elevar al cuadrado coserva el orde e los positivos. c) De los dos apartados ateriores se deduce que la sucesió es moótoa y acotada y, por tato, covergete. Si L es su límite, debe verificar que L L + 4 ± 6 5 L 5 5, o 4 5. Puesto que la sucesió es decreciete, el límite o puede ser 4 5 y, se tiee que L 5. Ejercicio 7. Sea a R, a >. Estudiar el comportamieto de la sucesió x a, x + para todo N. x +a Solució 7. E primer lugar, probamos que la sucesió es decreciete. Se tiee que x a +a < a x a > ). Si supoemos que x + < x veamos que tambié x + < x +. E efecto, como x+ < x, etoces x + x + + a < x + x + a. Además la sucesió está acotada, ya que < x a, N pruébese por iducció!), por tato la sucesió tiee límite x que verifica la ecuació siguiete: Criterios de covergecia x x + a x a x a. Ejercicio 8. Estudia la covergecia de las siguietes sucesioes y calcular su límite cuado exista. { + 4 + 3 4 + + 4 } { } + / + /3 + + / a) c) { 5 } {! +! + 3! + +! + 3 + 5 + + ) b) d) + }! + Solució 8. 3
a) Aplicamos el criterio de Stolz y os queda x + x y + y +)4. Si desarrollamos el deomiador +) 5 5 teemos u poliomio de grado 4 y co coeficiete pricipal 4, ya que queda de la forma + ) 5 5 5 4 +... +. Por tato el límite es 5. b) Aplicado el criterio de Stolz teemos que x + x + )! y + y + )!! + )!! + ) ) +. x c) Por el criterio de Stolz, + x y + y d) Escribimos la sucesió de la forma x Stolz Por tato el límite es 3. y /+) +) 0. +6+0+ + ) +)+) +) x + x + ) + 3) + ) + ) + )) 3 y + y + ) + ). Ejercicio { 9. Calcula } el límite de las siguietes sucesioes log ) a), + + 3 3 +... log) c) b) + + 3 3 +... + Solució 9. a) Aplicamos el criterio de Stolz a + a log + )) log ) b + b + ) log + ) log) log + ) log + ) + log ) + log + ) log + ) + log ) + y aplicamos el criterio de dividimos por log + ) y usamos que + ) e, + log+) log ) +. b) Aplicamos el criterio de Stolz y os queda: x + x + ) + y + y + ) + multiplicamos y dividimos por + ) + + 4
+ ) 4 + ) 4 + ) + + ) + + ) + ) 5 5 + ) 4 + + ) + ) 5 4 + + + ) 4 + + ) + ) 5. c) Este ejercicio se puede itetar resolver por el criterio de Stolz. Si llamamos x + + 3 3 +... y y se tedrá que a + a + 3 + 3 +... + 3 ) + + + + 3 +... b + b + ) Teiedo e cueta que + +, teemos que x + x y + y 3 + + 3 +... Por tato 0. + + + 0. Ejercicio { } 0. Estudia la covergecia de las siguietes sucesioes: a) 4 6 d) {! } + b) 3 + )3 + ) 3 + ) )! c)! + + +. Solució 0. a) Aplicamos el criterio de la raíz: y, por tato, 0.! x + x! + )! + 0, b) Auque directamete o podemos aplicar el criterio de la raíz si hacemos ua pequeña maipulació e la sucesió sí que será posible. Se tiee que 3 + )3 + ) 3 + ) 3 + )3 + ) 3 + ). Si ahora llamamos a 3+)3+) 3+), teemos que 5
a + a 3 + 4)3 + 5) 3 + + 4) + ) + 3 + )3 + ) 3 + ) 4 + )4 + )4 + 3)4 + 4) 3 + )3 + )3 + 3) + ) + 4 + )4 + )4 + 3)4 + 4) 3 + )3 + )3 + 3) + ) ) 4 4 + 3 3 e. c) El térmio geeral lo podemos escribir de la forma x )!! y aplicamos el criterio de la raíz: x + x +)! +) + +)! )!! + ) + ) + ) + ) 4 e. d) Modificamos el térmio geeral de la sucesió para poder aplicar el criterio de la raíz. Es decir, la sucesió que vamos es: 4 6 + ) y llamado a 4 6 +), al aplicar el criterio de la raiz, el límite que tedremos que estudiar ahora es: a + 4 6 ) + ) + ) a + ) + 4 6 + ) + + + El primer factor es ua sucesió de tipo racioal que coverge a ; y el segudo factor es ua sucesió que preseta la idetermiació del tipo por lo que aplicamos la regla del úmero e: Por tato: 4 6 + e e ) + + + ) + e + Ejercicio. Calcula el límite de las siguietes sucesioes. a) + + ) +56+5 c) { + log + ) log) ) } ) +5 + 5 + 6 b) + + Solució. a) Cosideramos la sucesió x ) + +56+5 +. Como la base coverge a y es siempre distita de uo aplicamos la regla del úmero e. Cocretamete, ) + 56 + 5) + + + 56 + 5, + 6
y, por tato, x e. b) Aplicamos la regla del úmero e y estudiamos + 5 + 5 + 6 + + ) 7 3 + 3 7. + Por tato, la sucesió tiede a e 7. c) Escribimos el térmio geeral de la forma x + log )) + y aplicamos la regla del úmero e: ) ) ) + + + log log log + loge). ) Etoces + log + ) log) ) e. Ejercicio. a) + +... + log) Calcula el límite de las siguietes sucesioes. b) Solució. a) Por el criterio de Stolz se tiee que x + x y + y b) Por el criterio de Stolz se tiee que { log + )! log + ) + log + ) log) + ) log ). + } + ) log + x + x log + )! log + )! y + y + ) log + ) log + ) log + ) log + +) + log + ) [ ]. log + ) log+) + ) Ejercicio 3. Calcula el límite de las siguietes sucesioes. ) { )} + +log) a) b) se + + 5 cos c) + ) log) Solució 3. a) Si llamamos x al térmio geeral de la sucesió propuesta, vamos a estudiar logx ), es decir 7
logx ) log + ) log + + 5) ) + log) log + ) log) log + / + 5/ ) + log) log+) log) log+/+5/ ) log) log) +. Etoces, x e. b) Utilizado la cotiuidad de la fució seo e el cero se tiee que ) se se0) 0. c) El límite es ) log) cos + 0, dode hemos utilizado que es el producto de ua sucesió acotada, cos + ), por ua covergete a cero, log). Ejercicio 4. Calcula el límite de las siguietes sucesioes.! log!) a) b) ) + + +... + Solució 4. a) Aplicamos el criterio de la raíz y, si x! ) +, estudiamos el límite x + x +)! +) +! ) + + + + )) + + ) + ) +. + Ahora estudiamos cada uo de los factores por separado: el primero de ellos es u cociete de poliomios de mismo grado que tiee límite /; el segudo preseta ua idetermiació de la forma. La resolvemos: + ) + e L + ) Es muy fácil comprobar que L y, por tato,! ) + /e e. + ) L. 8
b) Para la sucesió x log!) + +...+ aplicamos el criterio de Stolz. Notemos que e este caso el deomiador es ua sucesió de úmeros positivos estrictamete creciete y o mayorada. Aplicado Stolz teemos que log + )!) log!) log ) +)!! log + ). + +... + + +... + + Fialmete aplicamos de uevo el criterio de Stolz a este último cociete: log + + ) log + ) + + + lo que os asegura que x 0. log + + ) + + log + + + ) ) 0, + + E Ejercicio 5. Calcula el límite de la sucesió + 3 + 43 + + +) 3. Solució 5. E este caso vamos a utilizar el criterio de Stolz para ver el comportamieto de la sucesió. Si llamamos a + 3 mayorada y etoces a + a b + b + 43 + + +) y b 3 es claro que {b } es creciete y o + 3 + 43 + + +) + +)+ 3 +) + 3 + ) 43 + + +) 3 + ) +) + +) + + + ) +. + Se tiee que el límite de { } { ) + + es / y, utilizado la regla del úmero e, la sucesió + } + tiede a e, co lo que la sucesió coverge a e. E Ejercicio 6. Calcula el siguiete límite + log 3 )) 4+ + + 3. + 5 Solució 6. Está claro que el cociete de poliomios al que afecta el logaritmo, al ser poliomios del mismo grado, coverge a, que es el cociete de los coeficietes líderes. Como logaritmo eperiao es cotiuo e y vale 0 teemos que la base del térmio geeral coverge a mietras que el expoete es claro que diverge positivamete. E coclusió, estamos ate ua idetermiació de la forma. Utilizado la regla del úmero e teemos que 3 )) 4+ + + 3 + log 3 e L ) ) + + 4 + ) + log + 5 3 L, + 5 pero 9
3 )) + + 4 + ) log 3 + 5 log 3 ) 4+) + + 3. + 5 Ahora hacemos 3 ) 4+) + + 3 3 e L ) + + 4 ) + 5 3 L + 5 y 3 ) ) + + 3 + ) + 7 4 + ) 3 4 + ) + 5 3 + 5 3 4, + 5 y el límite buscado resulta + log 3 + + 3 + 5 )) 4+ e 4 e 4. 0