ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA - 2 PARTE Mrí Susn Montelr Fultd de Cienis Exts, Ingenierí y Agrimensur - UNR
EXTENSIÓN DEL SÍMBOLO INTEGRAL < b f(x) dx = g(x) dx b = b f(x) dx = 0 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA INTEGRAL DE UNA CONSTANTE. Ddo k R, ulesquier sen, b R, k dx = k(b ). ADITIVIDAD. Si f y g funiones integrbles en [, b], entones f + g es integrble en [, b] y (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx. HOMOGENEIDAD Si f es un funión integrble en [, b], entones kf es integrble en [, b] y kf(x) dx = k f(x) dx
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA LINEALIDAD Si f y g son funiones integrbles en [, b] y k 1, k 2 R, entones k 1 f + k 2 g es integrble en [, b] y (k 1 f(x) + k 2 g(x)) dx = k 1 f(x) dx + k 2 g(x) dx. ADITIVIDAD RESPECTO DEL INTERVALO DE INTEGRACIÓN Si f es integrble en [, b] y [, d] [, b] entones f es integrble en [, d]. Si f es integrble en [, ] y en [, b] entones f es integrble en [, b]. y en mbos sos, f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx Interpretión geométri: f ontinu y no negtiv en [, b]. re(r S) = re(r) + re(s) f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx b
OBSERVACIONES Si f y g son funiones integrbles en [, b], entones (f(x) g(x)) dx = f(x) dx g(x) dx Tods ls propieddes de l integrl definid que hemos visto, son válids si > b. L propiedd de Aditividd respeto l intervlo de integrión es válid independientemente del orden entre, b y Interpretión geométri pr el so f ontinu y no negtiv en I,, b, I, < b < re(r S) = re(r) + re(s) f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx b f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx b f(x) dx = f(x) dx f(x) dx f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx b
EJERCICIOS Aplir ls propieddes de l integrl definid, pr lulr ls siguientes integrles. 2 7 dx = 7(2 5) = 21 5 0 (7 2x) dx 2 2 x 1 dx 2 2 (x 2 2x) dx 1
PROPIEDADES DE COMPARACIÓN Sen f y g funiones integrbles en [, b] 1 Si f(x) 0 pr todo x [, b], entones f(x) dx 0 2 (Monotoní) Si f(x) g(x) pr todo x [, b], entones f(x) dx f(x) dx 3 Si m f(x) M pr todo x [, b], entones m(b ) f(x) dx M(b ) 4 f(x) es integrble en [, b] y f(x) dx f(x) dx
TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CALCULO INTEGRAL Se f ontinu en un intervlo I y, b I. Entones existe l menos un entre y b, de mner que: f(x) dx = f()(b ) Interpretión Geométri: f 0 en I, < b R b S reinto de ordends de f R retángulo de bse (b ) y ltur f(), donde [, b] es tl que re(s) = re(r) es deir: f(x) dx = f()(b )
TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CALCULO INTEGRAL Demostrión: 1 o so < b.- Como f es ontinu en el intervlo errdo [, b], lnz su máximo y su mínimo en [, b], es deir, existen α y β en [, b] tles que, pr todo [, b] f(α) f(x) f(β) plindo Prop. de Orden 3 se divide por (b ) f ontinu en [, b], por TVI existe [, b] tl que multiplindo por (b ) 2 o so > b.- f(α)(b ) f(x) dx f(β)(b ) f(α) 1 f(x) dx f(β) b f() = 1 f(x) dx b f(x) dx = f()(b ) f(x) dx = f(x) dx = f()( b) = f()(b ) b }{{} ( ) ( )Aplindo el 1 o so l intervlo [b, ] 3 o so = b.- f(x) dx = f()(b ) }{{}}{{} =0 =0
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO INTEGRAL CALCULO DIFERENCIAL Pb. de l ret tngente CALCULO INTEGRAL Pb. del áre ISAAC BARROW (1630-1677) DESARROLLO DEL CALCULO INTEGRAL ISAAC NEWTON (1642-1724) GOTTFRIED LEIBNIZ (1646-1716)
DEFINICIÓN: FUNCIÓN INTEGRAL Se f integrble en [, b] y [, b], se llm funión integrl : g : [, b] R tl que x g(x) = f(t) dt Observiones: l funión g está bien definid Interpretión Gráfi - f ontinu y no negtiv en [, b] Si < x < b, x g(x) = f(t) dt = re(s) Si < x <, x g(x) = f(t) dt = re(r) x x b
Ejemplo : Se f : [0, 2] R tl que f(x) = 2 si 0 x 1 1 si 1 < x 2 x x Se definen ls funiones g(x) = f(t) dt y h(x) = g(t) dt 0 0 Probr que están bien definidd, enontrr l ley, y trzr l gráfis de d un de ells. Anlizr ontinuidd y derivbilidd.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO INTEGRAL PRIMERA PARTE - VERSIÓN FUERTE x Se f es integrble en [, b] y g(x) = f(t) dt. Entones ) g es ontinu en [, b]. b) Si f es ontinu en [, b] entones g es derivble en (, b) y demás pr todo x (, b) g (x) = f(x) PRIMERA PARTE - VERSIÓN DÉBIL x Si f es ontinu en [, b] y g(x) = f(t) dt, entones g es ontinu en [, b] y derivble en (, b) y demás pr todo x (, b) g (x) = f(x) SEGUNDA PARTE - REGLA DE BARROW Si f es ontinu en [, b] y P un primitiv de f en [, b], entones f(x) dx = P (b) P ().
TFCI - PRIMERA PARTE x Si f es ontinu en [, b] y g(x) = f(t) dt, entones g es ontinu en [, b] y derivble en (, b) y demás pr todo x (, b) g (x) = f(x) Demostrión: ❶ Primero vmos demostrr que g es un funión derivble en (, b) Se x (, b) y h 0 tl que x + h (, b). g(x + h) g(x) = 1 h h (g(x + h) g(x)) = 1 ( x+h x ) f(x)dx f(x) = h ( 1 x+h ) 1 x+h = f(x)dx + f(x) = f(x)dx = }{{} h }{{} x h x (1) (2) 1 = f()(x + h x) = f(). }{{} h (3) (1)y (2) Propieddes de l integrl definid. (3) Como f es ontinu en (, b) y x, x + h (, b), por el teor. del vlor medio del CI, existe está entre x y x + h
Demostrión (ontinuión): g(x + h) g(x) Luego: = f() h Observemos que x < h, luego x undo h 0 y omo f es ontinu en x (, b), lím f() = f(x). x Por lo tnto Luego, g(x + h) g(x) lím = lím f() = f(x) h 0 h h 0 g es derivble en (, b) y g (x) = f(x) pr todo x (, b) ❷ Como g es derivble en (, b) result que g es ontinu en (, b), vmos probr que g es ontinu por dereh en x = y por izquierd en x = b. Reordemos que lím x g(x) = g() lím h 0 (g( + h) g()) = 0 Se h > 0, g( + h) g() = +h f(x)dx = f() h on [, + h], por lo tnto lím (g( + h) g()) = lím f() h = f(x) 0 = 0 h 0 h 0 es deir, g es ontinu por dereh en x =.
Demostrión (ontinuión): Se h < 0, g(b + h) g(b) = Ejeriio: ompletr l demostrión del teorem, probndo que g es ontinu por izquierd en x = b.... Por lo tnto result que g es ontinu en [, b]. OBSERVACIONES f es un ntiderivd (o primitiv )de g en (, b). Por lo tnto ls funiones ontinus en en un intervlo I dmiten primitiv en diho indervlo. ( d x ) f(t) dt = f(x) pr todo x (, b) dx
TFCI - SEGUNDA PARTE - REGLA DE BARROW Si f es ontinu en [, b] y P un primitiv de f en [, b], entones f(x) dx = P (b) P (). x Demostrión: Por el TFCI-1 o, sbemos que l funión g(x) = f(t) dt es un primitiv de f en (, b), y omo P es tmbién un primitiv de f en [, b], plindo el teorem..., result que existe C R tl que P (x) = g(x) + C, x (, b) Si bien est iguldd es válid en (, b), ls funiones P y g son ontinus en [, b], por lo tnto P () = lím P (x) = lím + C) = g() + C (1) x + x +(g(x) P (b) = lím P (x) = lím + C) = g(b) + C (2) x b x b (g(x) Teniendo en uent (1) y reemplzndo g por su ley, result P () = f(t) dt + C = C Por lo tnto teniendo en uent (2) = C = P () P (b) = f(t) dt + P () = f(t) dt = P (b) P () omo querímos demostrr.
OBSERVACIONES Notión: Si f es ontinu en [, b] y P es un primitiv de f en [, b] f(x) dx = P (x) b = P (b) P () Obvimente esto vle independientemente del orden entre y b, es deir, si f es ontinu en un intervlo I, P es un primitiv de f en I y, b I, entones f(x) dx = P (x) b = P (b) P () Ejemplos
REGLA DE SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS Se g un funión uy derivd, g, es ontinu en el intervlo I, y f un funión ontinu en el intervlo J = g(i). Entones, ulesquier sen, b J, g(b) f(g(x))g (x) dx = f(t) dt g() Demostrión Se P un primitiv de f en J y g(), g(b) J, entones g(b) f(t) dt = P (x) g(b) = P (g(b)) P (g()). (3) g() g() Por otro ldo, P g es un primitiv de f g en I, por lo tnto f(g(x))g (x) dx = P (g(x)) b = P (g(b)) P (g()). (4) De (3) y (4), result f(g(x))g (x) dx = g(b) f(t) dt omo querímos demostrr. g() Ejemplo
REGLA DE INTEGRACIÓN POR PARTES PARA INTEGRALES DEFINIDAS Sen f y g funiones uys derivds son ontinus en un intervlo I. Entones, ulesquier sen, b I, f(x)g (x) dx = f(x)g(x)) b f (x)g(x) dx Demostrión fg es un primitiv de fg + f g en I, y fg + f g es ontinu en I, por lo tnto Teniendo en uent que Result ( f(x)g (x) + f (x)g(x) ) dx = f(x)g(x)) b ( f(x)g (x) + f (x)g(x) ) dx = f(x)g (x) dx + f (x)g(x) dx omo querímos demostrr. f(x)g (x) dx = f(x)g(x)) b f (x)g(x) dx Ejemplos